Аналитическая геометрия. Линии второго порядка.

Декартова система
координат в пространстве и
на плоскости.
Полярная система
координат на плоскости.
Прямая на плоскости.
Кривые второго порядка
Опр.: Упорядоченные координатные оси, не
лежащие в одной плоскости и имеющую одну
общую точку, называются косоугольной
системой координат в пространстве.
Если координатные оси взаимно
перпендикулярны, то косоугольную систему
координат называют прямоугольной
системой координат Декарта в
пространстве и обозначают хуz.
Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в
избранной системе координат называется
трехмерным пространством.
Элементы системы координат:
z
z1
P(х1; у1; z1)
у1 у
х1
х
координатные плоскости Оху, Оуz,
Охz;
оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу –
ось ординат; Оz – ось аппликат.
Точка О – начало координат;
упорядоченная тройка чисел (х; у; z) –
координаты произвольной точки Р.
у
у1
0
Р(х1; у1)
х1
х
Частным случаем является система
координат на плоскости, например
координатная плоскость Оху.
у
Р (х1; у1)
r
φ
0
А
  А Оˆ Р
r  ОР
х
Точка на плоскости может быть
задана полярной системой координат,
при этом положение точки Р
описывается углом поворота
положительной полуоси Ох против
часовой стрелки до положения луча
ОР и расстоянием точки Р от начала
координат.
Р r ; 
Из Δ АРО, где  А  90
0
, имеем:
r  х 2  у 2
1
1


y1
;
  аrctg
х1

 х1  r cos 

 y 1  sin 
и
Примеры
1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных
координатах.
2
2
Решение. r=
(  1)  1  2 ,

  аrctg (  1)   аrctg 1  

4
( 2 ; )
Таким образом А
4
2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых
координатах.
Решение.
х1=0,5cosπ/6 =0,5
3
 0 , 25 3
2
у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .
Таким образом В (0,25 3 ; 0,25)
Прямые на плоскости
Прямая на координатной плоскости может быть
получена в результате пересечения произвольной
плоскости
Ах + Ву + Сz + D = 0
и координатной плоскости.
Составим уравнение прямой, принадлежащей,
например, плоскости хОу. Эта прямая определяется
системой двух уравнений:
 Ах  Ву  Сz  D  0
 Ах  Ву  D  0
или 

z  0
z  0
Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение

прямой на координатной плоскости, причем n (А; В)
является нормальным вектором этой прямой.
n
L
Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее
уравнению (*), называется прямой.
у
l:
b
х
а

у
в
1
- уравнение прямой в отрезках на осях
а
0
L
у
L
М1(х1;у1) М2(х2;у2)
l:
х  х1
х 2  х1

у  у1
- уравнение прямой,
у 2  у 1проходящей через две точки
у
L
b
φ
0
х
L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с
угловым коэффициентом;
L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).
Угол между прямыми
Пусть прямые заданы уравнением
А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0
Угол между этими прямыми найдем из формулы:
cоо  
А1 А 2  В1 В 2
А В 
2
1
2
1
А В
2
2
2
2
Если прямые заданы уравнением с угловыми
коэффициентами, то угол между ними находим по
формуле:
k 2  k1
tg  
1  k1k 2
y
L2
L1
φ
0
х
Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых:
L1||L2, если
А1
А2

В1
В2
или k1=k2
L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1
Примеры
1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5.
Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим
tg  = -2–3/1+(-2)3= -5/-5= 1, т.е.  = /4= 0,785 рад.
2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым
коэффициентом, получаем:
у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.
Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые
параллеьны.
3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти
уравнения высот треугольника AD, BN и CM.
Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:
kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.
В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.
Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:
у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.
Линии второго
порядка на
плоскости
Линии второго порядка на плоскости.
• Общее уравнение линии второго порядка на
плоскости:
• а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где
а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из
чисел а11,а12,а22 не равно нулю.
• Окружностью называется геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (центра).
Каноническое уравнение окружности с центром в точке
М(х0;у0) и радиусом R.
2
2
( x  x0 )  ( y  y 0 )  R
2
Уравнение окружности с центром в начале координат
2
2
x  y R
2
• Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой
же плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
F1 F2  2 c
- фокальное расстояние, тогда фокусы будут
иметь следующие координаты: F1 (  c ; 0 ) и F2 ( c ; 0 )
r1 + r2 = 2а (const); a>c.
Выразим r1 =
( x  c )  y,
2
2
r2 =
( x  c )  y , тогда
2
2
аналитическое уравнение эллипса примет вид:
( x  c)  y 
2
Обозначив a  c
эллипса:
2
2
2
( x  c)  y
2
2
 2a
 b , получим каноническое уравнение
2
x
2
a
2

y
2
b
2
1
Свойства эллипса
1.
2.
3.
4.
Эллипс – ограниченная кривая второго порядка.
Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси
симметрии, а так же центр симметрии.
А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось
(ОВ1 - полуось).
А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем ОВ 1  в , ОА 1  а
c - называется эксцентриситетом эллипса,
 
a
 
1
b
2
a
2
,т.е. 0<
 <1;
 - характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение
от окружности”.
 =1, значит x2+y2
= a2, где а – радиус окружности
a
5. Прямые x  
называются директрисами
(направляющими) 
r1
r2
MN 1 , d 2  MN
т.о. имеем:

  , где d1=
d1
d2
2
Пример:
2
2
Дан эллипс x  25 y  25 найти полуоси, эксцентриситет,
уравнения директрис.
x  25 y  25 ,
2
 
x
2
1
1
2
5
2

5
2 6 /5
x
2

y
2
 1, т .о . _ а  5 , в  1 .
25
1
24
2 6

25

 эксцентрис итет
5
25
2 6
 уравнения _ директрис .
Гипербола
Определение:
Гиперболой
называется
множество точек плоскости, модуль разности
расстояний каждой из которых до двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная.
F1 F2  2 c , тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и
F2(c;0).
r1  r2  2 a ( const ); a  c .
Выразим r1 = ( x  c )  y, r2 = ( x  c )  y , тогда
аналитическое уравнение гиперболы примет вид:
2
2
2
( x  c)  y 
Обозначив a  c
гиперболы:
2
2
b
2
2
2
2
( x  c)  y
2
2
 2a
, получим каноническое уравнение
x
2
a
2

y
2
b
2
1
Свойства гиперболы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гипербола – неограниченная кривая второго порядка.
Гипербола обладает центральной симметрией.
А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а –
действительная, 2b – мнимая.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется
основным прямоугольником гиперболы. в
Гипербола имеет две асимптоты: y   х
Эксцентриситет гиперболы:
причем  
7.
1
в
2
а
2
Прямые х  
причем
r1
d1

r2
d2
 
с
а
a
,
, т .е . _   1
а


- называется директрисами гиперболы
Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти:
полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения
асимптот; уравнения директрис.
16х2 – 9у2 = 144
1. 16 x 2

144
9y
2
1
x
144
2
2
2

9
4. y  
5. x  
2
 1  a  3; b  4
16
2
2. b  a  c  c 
3.   c    5
a
y
25  c  5 ; F1 ( 5 ; 0 ) _ и _ F2 (  5; 0 )
3
b
x y
4
a
3
a
3

 x  
x
5/3
 
9
5
Парабола
Определение:
параболой
называется
множество точек плоскости, равноудаленных
от фиксированной точки плоскости(фокус F) и
фиксированной прямой (директриса d).
F А  p  параметр
_ параболы ; MB  MF
d – директриса параболы.
p
F ( ; 0 )  фокус _ параболы
2
Выразим MB  x 
p
, MF 
(x 
2
p
2
2
)  y , тогда
2
аналитическое уравнение параболы примет вид:
(x 
p
2
)  (x 
2
p
2
)  y
2
2
таким образом получим каноническое уравнение параболы:
2
x  2 py
или
2
y  2 px
Свойства параболы
1.
2.
Парабола – неограниченная кривая второго порядка,
расположенная в правой или верхней полуплоскости .
Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или
ось ординат.
Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8
определяет параболу, и найти координаты ее вершины А,
величину параметра р и уравнение директрисы.
1.
у2 = 4х – 8
Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)
вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две
единицы.
А(2;0) – координаты вершины параболы.
2.
2р = 4  р = 2 – параметр параболы.
3.
x
p
2
 x  1 - уравнение директрисы параболы.