если в уравнении плоскости отсутствует одна переменная, то

Лекционно-практическое
занятие по теме
Аналитическая геометрия
в пространстве
Раздел «Аналитическая геометрия ав
пространстве» курса «Высшая математика»
включает две основные темы:
1. Плоскость
2. Прямая в пространстве
3. Поверхности 2-го порядка
1. Плоскость
Основные уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) перпендикулярно
заданному вектору N   A ; B ; C 
N  A; B ; C 
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
2. Общее уравнение плоскости
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Ax  By  Cz  D  0
N  A; B ; C 
Z
- вектор нормали
c
3. Уравнение плоскости « в отрезках»
x
a

y
b

z
Y
1
b
c
a
X
Уравнения плоскости
4. Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) и M 3 ( x 3 ; y 3 ; z 3 )
N  A; B ; C 
M 1 M   x  x1 ; y  y 1 ; z  z 1 
M ( x; y ; z )
M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
Условие компланарности векторов
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x 3  x1
y 3  y1
z 3  z1
M 1 M 2   x 2  x1 ; y 2  y 1 ; z 2  z 1 
M 1 M 3   x 3  x1 ; y 3  y 1 ; z 3  z 1 
( M 1M  M 1M 2  M 1M 3 )  0
Построение плоскостей
1. Построить плоскость
3 x  4 y  6 z  12  0
Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.
Z
x
0
0
4
y
0
3
0
z
2
0
0
2
3 Y
4
X
Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»
1) Переносим вправо свободный член уравнения 3 x  4 y  6 z  12
3x
4y
6z
2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части


1
12 12 12
3) Убираем коэффициенты из числителей x  y  z  1
4 3 2
Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат
Построение плоскостей
2. Построить плоскость
3 x  5 y  10  0
В уравнении отсутствует переменная z.
Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.
X
0
10/3
y
-2
0
Соединяем точки прямой линией и получаем
след плоскости на плоскости XOY.
Теперь из точек пересечения проводим
прямые, параллельные оси OZ.
Аналогично строятся все плоскости,
в уравнении которых отсутствует одна
переменная
Z
Z
3
2
Z
Y
-2
10/3
X
X
2
Y
7
2 x  7 z  14  0
X
3y  2z  6
Y
Построение плоскостей
3. Построить плоскость
3z  8  0
В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит
параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.
Z
8/3
Y
Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные
0
X
Z
4x  9  0
5y  3  0
Z
Y
X
9/4
0
X
0
3/5
Y
Таким образом, если в уравнении плоскости
отсутствует одна переменная, то плоскость проходит
параллельно той оси координат, переменной которой
нет в уравнении.
Если в уравнении плоскости отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
Если в уравнении плоскости отсутствуют две
переменные, то плоскость проходит параллельно
координатной плоскости, переменных которой нет в
уравнении.
Уравнения координатных плоскостей
x0
y 0
- уравнение плоскости YOZ
- уравнение плоскости XOZ
z0
- уравнение плоскости XOY
Взаимное расположение плоскостей
1. Условие параллельности плоскостей
A1
N 1 || N 2

A2
B1
B2

N 1   A1 ; B1 ; C 1 
C1
C2
N 2   A2 ; B 2 ; C 2 
2. Условие перпендикулярности плоскостей
N1
N2
(N1  N 2 )  0
A1  A 2  B 1  B 2  C 1  C 2  0
N1
N2
3. Косинус угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами
нормалей этих плоскостей
A1  A 2  B 1  B 2  C 1  C 2
cos   cos( N 1 , N 2 ) 
2
2
2
2
2
2
A1  B 1  C 1  A 2  B 2  C 2
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки
до плоскости
находится по формуле
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
Ax  By  Cz  D  0
d 
| Ax 1  By 1  Cz 1  D |
A B C
2
2
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
d
2
Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.
!
Расстояние – величина всегда положительная
2. Прямая в пространстве. Основные уравнения
1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку
параллельно заданному вектору
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
s  m ; n ; p 
x  x0

y  y0
m

z  z0
n
p
- канонические уравнения
s  m ; n ; p  - направляющий вектор
s  m ; n ; p 
2. Параметрические уравнения
x  x0
m

y  y0

z  z0
n
 t,
p
 x  mt  x 0
 y  nt  y
0

 z  pt  z

0
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
x  x1
x 2  x1

и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
y  y1
y 2  y1

z  z1
z 2  z1
s  M 1M
2
M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
Прямая в пространстве. Основные уравнения
4. Общее уравнение прямой в пространстве
 A1 x  B1 y  C 1 z  D 1  0

 A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
а) Направляющий вектор

i

j

k
s  N 1  N 2  A1
B1
C1
A2
B2
C2


s  m ; n ; p 
N 1   A1 ; B1 ; C 1 
N 2   A2 ; B 2 ; C 2 
 A1 x  B1 y   C 1 z 0  D 1
б) Нахождение точки M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) на прямой 
 A2 x  B 2 y   C 2 z 0  D 2
x  x0
m

y  y0
n

z  z0
p
- канонические уравнения прямой
Взаимное расположение прямых в пространстве
1. Нахождение угла между прямыми.
Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это угол между направляющими векторами
s1
s2 
( s1  s 2 )
m 1 m 2  n1 n 2  p 1 p 2

cos  

2
2
2
2
2
2
s1  s 2
m 1  n1  p 1  m 2  n 2  p 2
2. Проверка условий параллельности и
перпендикулярности прямых
Условие параллельности прямых
s1 || s 2
m1
m2

n1
n2

s2
p1
p2
s1
Условие перпендикулярности прямых
s1
s2
( s1  s 2 )  0
s2
m 1 m 2  n1 n 2  p 1 p 2  0
s1
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Задача о нахождении расстояния от точки
до прямой
x  x0
y  y0
z  z0

m
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )

n
p
решается так же, как в векторной алгебре находилась высота
параллелограмма, построенного на двух известных векторах.
M 1 ( x1 ; y 1 ; z 1 )
d
На векторах
M 0 M 1   x1  x 0 ; y 1  y 0 ; z 1  z 0 
s
и s  m ; n ; p  строим
параллелограмм.
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.
Высоту находим как отношение площади параллелограмма
к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного
произведения векторов, а длина основания – это длина вектора s
M 0M 1  s
d 
s


Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
1. Условие параллельности прямой и плоскости
N  A; B ; C 
s  m ; n ; p 
s
( N  s)  0
N
Am  Bn  Cp  0
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
s  m ; n ; p 
N  A; B ; C 
A
N || s
m

B
n

C
p
Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
s  m ; n ; p 
N  A; B ; C  
Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол  .


Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.
Косинус угла  между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы  и  в сумме дают 90 градусов, а значит
cos   sin 
Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным
sin  
| ( N  s) |
N s

| Am  Bn  Cp |
A B C 
2
2
2
m n  p
2
2
2
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости
x  x0
m

y  y0
n

z  z0
t
p
Ax  By  Cz  D  0
Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид
 x  mt  x 0
 y  nt  y
0

 z  pt  z

0
Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости
A ( mt  x 0 )  B ( nt  y 0 )  C ( pt  z 0 )  D  0
Из этого уравнения находим параметр t и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения
Составление уравнений плоскости

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно вектору a  3;  2 ; 4 
M 0 (  1;3;  5 )
Исходное уравнение:
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Подставляем координаты точки и вектора
3 ( x  1)  2 ( y  3 )  4 ( z  5 )  0
Раскрываем скобки
3 x  3  2 y  6  4 z  20  0
Приводим подобные
3 x  2 y  4 z  29  0
Получили общее уравнение плоскости.
Решение типовых задач контрольной работы № 4
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку


двум векторам a  2 ;  7 ;5 и b   3; 0 ;  4 
M 0 (  1;3;  5 ) параллельно

b

a
N
Используем уравнение
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора
нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять
вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи
векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных
векторов, а значит перпендикулярен и плоскости.



i
N  ab  2
3

j
7
0

k



5  28 i  7 j  21 k
Итак,
N  28 ;  7 ;  21 
4
Подставляем все данные в уравнение плоскости
4 ( x  1)  ( y  3 )  3 ( z  5 )  0
28 ( x  1)  7 ( y  3 )  21 ( z  5 )  0
4x  y  3z  8  0
Аналогично решаются задачи с такими условиями:
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P ( 2 ;  3;1)
и прямую x  5  y  1  z  6
0
3
4
N
M
s  0 ; 4 ;  3
P
s
Итак, вектор нормали

i

j
N  s  MP  0
4


3
4
Из уравнения прямой можно определить
координаты направляющего вектора и точки

k
M ( 5;1;  6 )
Чтобы найти вектор нормали плоскости,
нужно знать два вектора, параллельных
этой плоскости. Один из этих векторов –
направляющий вектор прямой, а другой
вектор можно получить, соединив две
известные точки
MP   3;  4 ; 7 



 3  16 i  9 j  12 k
7
16 ( x  2 )  9 ( y  3 )  12 ( z  1)  0
Раскрываем скобки и упрощаем
16 x  9 y  12 z  17  0
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые
x3
5

y2
2

z
1
и
 x  5t  1
 y   2t  3

 z  t  6
Из уравнения каждой прямой можно определить координаты
направляющего вектора и точки
s1
M1
s1  {5 ;  2 ;1}
M 1 ( 3;  2 ; 0 )
s 2  {5 ;  2 ;1}
M 2 (1;3;  6 )
N
M
2
Задача сводится к предыдущей, если образовать вектор, соединяющий
две известные точки на прямых. Тогда для нахождения вектора нормали
будут известны координаты двух векторов в этой плоскости. Точку для
составления уравнения плоскости можно взять любую.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2 ;  1;5 )
перпендикулярно двум плоскостям 4 x  y  3 z  2  0 и x  2 y  5 z  3  0
N
N 1  4 ;  1;3
N 2  1; 2 ;  5
Основное уравнение:
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
M
Для составления уравнения плоскости есть точка M ( 2 ;  1;5 ) .
Вектором нормали может являться вектор, равный векторному
произведению векторов нормалей данных плоскостей.



i
N  N1  N 2  4
1

j
1
2

k



3   i  23 j  9 k
5
Остается только подставить
все данные в уравнение.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки
M 1 (  1;3;  5 ),
M 2 ( 2 ;  1; 0 ), M 3 ( 0 ;  4 ; 7 )
В данном случае можно воспользоваться готовой формулой уравнения
плоскости, проходящей через три точки
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x 3  x1
y 3  y1
z 3  z1
Подставляем в это уравнение координаты точек и раскладываем
определитель по элементам первой строки
x 1
y3
2 1
1 3
0 1
43
z5
x 1
y3
z5
05 0
3
4
5
75
1
7
12
 13 ( x  1)  31 ( y  3 )  17 ( z  5 )  0
13 x  31 y  17 z  5  0
0
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2 ;  1;3 )
перпендикулярно прямой
x 1 y  2
z

5

3
4
Основное уравнение плоскости
s
N
M
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Из рисунка видно, что в качестве
вектора нормали плоскости можно
взять направляющий вектор прямой
N  s  {5 ;3;  4}
Таким образом, для составления уравнения плоскости есть все данные:
координаты точки и вектора нормали
5 ( x  2 )  3 ( y  1)  4 ( z  3 )  0
5x  3y  4z  5  0
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 4 ;  2 ;  1)
и отсекающую на осях координат одинаковые отрезки
Для решение задачи используем уравнение плоскости «в отрезках»
x

a
y

b
z
1
c
Отрезки на осях одинаковые, поэтому
x
a

y
a

z
1
или
x y z  a
a
Для нахождения a
подставляем в это уравнение координаты точки M
4  2 1  a
Итак, уравнение плоскости
a 1
x y z 1
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ( 4 ;  6 ; 2 )
параллельно вектору s   2 ;5 ;  7 
Требуется составить канонические уравнения прямой
x  x0

y  y0
m

z  z0
n
p
Подставляем исходные данные
x4
2

y6
5

z2
7
9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
M ( 4 ;  6 ; 2 ) параллельно прямой
 x  7t  2
 y  13 t  3


 z  9t
Для все параллельных прямых можно использовать один направляющий
вектор. Поэтому для искомой прямой имеем точку и направляющий вектор
s   7 ;13 ;9 
Уравнения прямой
x4
7

y6
13

z2
9
10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (  3;  1;5 )
параллельно оси OY.
В качестве направляющего вектора можно использовать любой вектор,
параллельный оси OY. Самый простой вектор – это орт оси OY
s  j  0 ;1; 0 
x3
Канонические уравнения прямой
0

y 1
1

z5
0
11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две
точки M ( 3;  2 ; 0 ) и M ( 0 ; 6 ;  4 )
1
2
В качестве направляющего вектора можно использовать вектор,
соединяющий эти точки.
s  M 1 M 2   3;8 ;  4 
Уравнения прямой
x3
3

y2
Точку можно подставить любую.
8

z
4
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (  3;5;  2 )
перпендикулярно плоскости 4 x  y  3 z  1  0
Канонические уравнения прямой
x  x0
m
s
n

z  z0
p
Из рисунка видно, что в качестве
направляющего вектора прямой можно
взять вектор нормали плоскости
N
M

y  y0
s  N  { 4 ;  1;3}
Таким образом, для составления уравнения прямой есть все данные:
координаты точки и направляющего вектора
x3
4

y5
1

z2
3
13. Перейти от общего уравнения прямой к каноническому виду
 2x  y  3z  7  0
N 1  2 ;  1;3

N 2  1; 4 ;  5
 x  4 y  5 z  10  0
Как уже отмечалось, для перехода к каноническому виду
x  x0
m

y  y0

n
z  z0
p
нужно знать точку на прямой и направляющий вектор
а) Находим направляющий вектор



i
s  N1  N 2  2
1

j
1
4

k



3   7 i  13 j  9 k
Итак, направляющий вектор
s   7 ;13 ;9 
5
б) Находим точку на прямой. Для этого можно положить в системе
уравнений одну из координат равной нулю. Итак, z  0
x2
Тогда система примет вид  2 x  y  7
Решая
ее,
найдем

y  3
x  4 y   10

M ( 2 ;  3; 0 )
Точка
Получим параметрические уравнения
и канонические уравнения
 x  7t  2
 y  13 t  3
x2
y3 z
x2
y3 z



 t

7
13
9
7
13
9

 z  9t
14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ( 2 ;  4 ;1)
0
и составляющую с осями координат углы   45 0
и   120
Направляющим вектором в данном случае может являться единичный
вектор – орт, координатами которого являются направляющие косинусы
Нам известны углы, которые вектор образует с осями OX и OY соответственно.
Для нахождения косинуса угла с осью OZ используем основное свойство
направляющих косинусов вектора
cos   cos   cos   1
2
2
2
cos   cos 45 
0
2
cos   cos 120
,
2
2
0
 
1
2
2
 2
 1
2

      cos   1,
 2
 2 
Направляющий вектор
2
4

1
 cos   1,
2
1
cos  
2
4
(получили уравнения двух прямых)
cos   
4
 2
1 1
s 
; ; 
2 2
 2
Канонические уравнения прямых
,
x2
2
или

y4
1
s


z 1
1
1
2
2 ;  1;  1
15. Найти точку пересечения и угол между прямой
x3

y5
4
1
и плоскостью 5 x  3 y  4 z  2  0

z2
3
Для нахождения точки пересечения преобразуем канонические уравнения
прямой к параметрическому виду
 x  4t  3
x3
y5 z2


 t,  y  t  5

4
1
3
 z  3 t  2
Подставляем в уравнение плоскости и находим параметр t
5 ( 4 t  3 )  3 (  t  5 )  4 ( 3t  2 )  2  0
20 t  3 t  12 t  15  15  8  2  0
5 t  10  0 ,
Подставляем t
t  2
в параметрические уравнения
 x   8  3   11
 y  257


 z  6  2  8
Итак, координаты точки пересечения
M (  11;7 ;  8 )
Угол между прямой и плоскостью находим по формуле
sin  
| ( N  s) |
N s
N  5 ;3;  4 
s  4 ;  1;3
| Am  Bn  Cp |

A B C 
2
2
m n  p
2
2
2
2
- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой
Подставляем в формулу
sin  


| ( N  s) |
N s
| Am  Bn  Cp |

A B C 
2
2
m n  p
2
2
| 20  3  12 |
5  3  (4) 
2
2
5
50 
2

26
4  (  1)  3
2
5
5 2
2

26
1
52

2

1
2 13
2
2

M ( 5 ; 3;  2 )
16. Найти расстояние от точки
до плоскости
3x  4 y  z  9  0
Используем формулу расстояния от точки до плоскости
d 
d 
| Ax 1  By 1  Cz 1  D |
A B C
2
2
3  5  4  3  1  (2)  9
3  (  4 )  (  1)
2
2
2
2

| 4 |
26

4
26
17. Найти расстояние от точки M (  1; 4 ;  2 ) до прямой в
x2
y4 z
пространстве

3
5

1
Искомое расстояние – это высота
параллелограмма, построенного на
векторах
M (  1; 4 ;  2 )
d
  3;8 ;  2 
s  3;  5 ;1 и M 0 M
s  3;  5 ;1
M 0 ( 2 ;  4 ;0 )
Площадь параллелограмма находим, используя векторное произведение
i
j
k

S  s  M 0M

3
5
1
3
8
2
 2i  3 j  9 k 
Длина основания – это длина вектора s  3;  5 ;1
s 
3  ( 5)  1 
S
94
d


Расстояние от точки до прямой
35
s
2
2
2
35
2 3 9 
2
2
2
94
3. Поверхности 2-го порядка
Общее уравнение плоскости или прямой в пространстве – есть
уравнения линейные относительно переменных x , y и z
Уравнение поверхности 2-го порядка
Ax  By  Cz  Dx  Ey  Fz  G  0
2
2
2
квадратичная часть
Dx  Ey  Fz  G  линейная часть
Ax  By  Cz 
2
2
2
.
К поверхностям 2-го порядка относятся :
сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип
поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и
построить поверхность в системе координат.
1. Сфера
Определение. Сферой называется множество точек пространства,
равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение сферы с центром в начале координат
x  y z R
Уравнение сферы со смещенным центром
2
2
2
2
( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z 0 )  R
2
!
2
2
'
O ( x0 ; y0 ; z 0 )
2
В уравнение сферы входят квадраты трех переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.
Построение сферы
Построить сферу
x  y  z  6y
2
2
2
Данное уравнение определяет сферу, так как
имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых
одинаковые.
Для построения сферы необходимо знать координаты центра и радиус.
Наличие слагаемого с первой степенью переменной y указывает на
наличие смещения центра сферы по оси OY
Для приведения уравнения к каноническому виду
( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z 0 )  R
2
2
2
2
необходимо выполнить преобразования,
связанные с выделением полного квадрата
3
x  y  6y  z  0
2
2
2
x  ( y  6 y  9)  9  z  0
2
2
2
x  ( y  3)  z  9
2
2
2
'
O ( 0 ; 3; 0 )
R 3
- центр сферы
- радиус сферы
Построение сферы
2. Построить сферу x 2  y 2  z 2  2 y  9 z  1
Данное уравнение определяет сферу, так как
имеются квадраты всех переменных, знаки и коэффициенты при которых
одинаковые.
Наличие слагаемых с первой степенью переменных z и y указывает на
наличие смещения центра сферы по осям OY и OZ
Для приведения уравнения к каноническому виду
( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z 0 )  R
2
2
2
2
необходимо выполнить преобразования,
связанные с выделением полного квадрата
4,5
x  ( y  2 y  1)  1  ( z  9 z  4 ,5 )  4 ,5  1
2
2
2
2
2
x  ( y  1)  ( z  4 ,5 )  1  4 ,5  1
2
2
2
x  ( y  1)  ( z  4 ,5 )  22 , 25
2
2
2
1
2
'
O ( 0 ;1; 4 ,5 )
R
22 , 25
- центр сферы
- радиус сферы
Эллипсоид
Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
c
a , b , c  полуоси эллипсоида.
a
Центр этого эллипсоида находится
в начале координат.
Уравнение эллипсоида с центром в точке
( x  x0 )
a
2
2

( y  y0 )
b
2
2

( z  z0 )
c
2
O ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) имеет вид
'
2
1
Признаки уравнения эллипсоида:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных
3. Разные коэффициенты при квадратах переменных
b
Построить поверхность

x  16 y  4 z  8 z  5
2
2
2
В уравнении есть квадраты переменных, знаки при которых одинаковые,
а коэффициенты разные. Это эллипсоид, причем со смещенным центром.
Уравнение нужно привести к каноническому виду
( x  x0 )
( y  y0 )
2

2
a
x  16 y  4 z  8 z  5
2
2
b
2
2

( z  z0 )
c
2
2
1
2
x  16 y  4 ( z  2 z )  5
2
2
2
3
x  16 y  4 ( z  2 z  1  1)  5
2
2
2
x  16 y  4 ( z  1)  4  5
2
2
2
x  16 y  4 ( z  1)  9
2
2
2
O ( 0 ; 0 ;1) - центр эллипсоида
'
x
2

9
16 y
2

4 ( z  1)
9
x
2
9

2
1
9
y
2
9 / 16

( z  1)
9/4
2
1
Полуоси эллипсоида
a  3, b  3 / 4 , c  3 / 2
Гиперболоиды
Канонические уравнения гиперболоидов
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
 1
В зависимости от знака перед единицей в правой
части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.
Каноническое уравнение
гиперболоида
x
2
a
2

однополостного
a
y
2
b
2

z
2
c
2
b
1
a , b , c  полуоси
1.
2.
3.
в
Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения,
правой части плюс 1.
Разные ориентации однополостных гиперболоидов
Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой
переменной в каноническом уравнении стоит знак минус.
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OY
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
c
1
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OX

x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
Гиперболоиды
Каноническое уравнение двуполостного
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
 1
a , b , c  полуоси
Если из уравнения выразить z, то получим
z  c 
Т.к.
x
2
a
2

y
2
b
2
1 1
x
2
a
2

y
2
b
2
гиперболоида
1
c
c
, то получается, что | z | c
Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.
1.
2.
3.
в
Признаки уравнения двуполостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной
левой части уравнения, другой в правой части при 1.
Разные ориентации двуполостного гиперболоида
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит
два знака минус в уравнении.
Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй
поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко
определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом
какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось
системы координат и будет являться осью симметрии.
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
b
b
 1
| y | b

x
2
a
2

y
2
b
2
| x | a

z
2
c
2
 1
Конусы 2-го порядка
Каноническое уравнение конуса
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
0
Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов
отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а
ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения,
то ось симметрии конуса определится также, как и для
гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части
уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться
осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.
Признаки уравнения конуса:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных
3. Свободный член в правой части уравнения равен нулю.
Конусы с разными осями симметрии
Ось симметрии конуса определяется по уравнению
Конус с осью симметрии OY
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
0
Конус с осью симметрии OX

x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
0

2
Построить поверхность x

4
y
2

( z  1)
1
2
9
Перенесем квадраты переменных в левую часть уравнения так, чтобы
получился один знак «минус»
x
2
4

y
2
1

( z  1)
2
0
9
Это уравнение конуса, так как в правой части стоит ноль.
Вершина конуса смещена на 1 по оси OZ вверх.
Ось симметрии конуса – OZ, так как перед квадратом
переменной z стоит знак минус.
Параболоиды
Канонические уравнения параболоидов можно записать
2
2
x
y
в общем виде
 2  2 pz
2
a
b
Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной.
В зависимости от знака между квадратами двух других переменных
различают эллиптические и гиперболические параболоиды
Эллиптический
параболоид
x
2
a
2

y
2
b
2
 2 pz
Круговой
параболоид
Если a  b , то
x  y  2 pz
2
2
Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения
Различные ориентации эллиптических параболоидов
Характерным признаком уравнения эллиптического параболоида
является присутствие всех трех переменных, но одно из них
входит в уравнение только в первой степени, т.е. в уравнении
параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось
симметрии параболоида параллельна той оси, координата
которой в уравнении только в первой степени.
y
2
b
2
x
2
a
2


z
2
c
2
z
2
c
2
 2 px  параболоид с осью симметрии OX
 2 py  параболоид с осью симметрии OY
Возможна также смена направления чаши параболоида.
Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус,
то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии.
Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной
x
2
a
2

y
2
b
2
 2 p ( z  z 0 ),
'
где O ( 0 ; 0 ; z 0 ) - вершина параболоида
Для построения эллиптического параболоида нужно знать:
1. Координаты вершины
2. Ось симметрии (определяется по переменной,
квадрата которой нет в уравнении)
3. Направление чаши параболоида (определяется по знаку
переменной в правой части канонического уравнения)
• Построить поверхность
x z  y2
2
2
Уравнение определяет круговой параболоид с осью симметрии OY
и смещенной также по оси OY вершиной
Приведем уравнение к каноническому виду
x  z  2 y
2
2
x  z  ( y  2)
2
2
O ( 0 ; 2 ; 0 ) - вершина параболоида
'
Чаша параболоида направлена влево, т.е. в отрицательном
направлении оси симметрии
Построить поверхность

3z  1  2x  5 y
2
2
Уравнение определяет эллиптический параболоид (так как
коэффициенты при квадратах переменных различные) с осью симметрии OZ
(так как отсутствует квадрат переменной z) и смещенной также
по оси OZ вершиной
Проведем необходимые преобразования уравнения
к каноническому виду
x
2
a
2

y
2
b
2
 2 p ( z  z 0 ),
2 x  5 y  1  3z
2
2
2 x  5 y   3( z  1 / 3)
2
'
O ( 0 ; 0 ;1 / 3 )
2
- вершина параболоида
Чаша параболоида направлена вниз, т.е. в отрицательном
направлении оси симметрии
Замечание: наличие коэффициентов при квадратах переменных при
таком схематичном построении можно не принимать во внимание.
Гиперболический параболоид
Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

x
2
a
2

y
2
b
2
 2 pz
Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида
является то что в левой части уравнения между квадратами
переменных знак минус.
Признаки уравнения гиперболического параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных в левой
части уравнения
Эта поверхность имеет форму седла.
Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида
в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах.
Цилиндрические поверхности



Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую
описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь
параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой,
называемой направляющей. По названию направляющей
получают свое название и цилиндры.
Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то
каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении
соответствующую переменную. В этом случае уравнение
цилиндра повторяет уравнение своей направляющей.
Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно
много.
Для построения цилиндра нужно построить направляющую в
той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту
линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в
уравнении.
Признаки уравнения цилиндрической поверхности:
В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует
одна переменная.
Виды цилиндров

Круговые цилиндры:
Направляющей линией является окружность.
x  y  R 
ось симметрии OZ
y  z  R 
ось симметрии OX
2
2
2
2
2
2
x  z  R 
2
2
2
ось симметрии OY
На рисунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ.
R
R
Для построения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY,
а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая
вдоль оси симметрии.
Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько
одинаковых окружностей параллельных друг другу на разной высоте,
а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии.

Эллиптические цилиндры
Направляющей кривой являются эллипсы
x
2
a
2
y
2
b
2
x
2
a
2



y
2
b
2
z
2
c
2
z
2
c
2
1
1
1
ось симметрии OZ
ось симметрии OX
ось симметрии OY
a
b
Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY,
а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.
По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой
цилиндры выглядят одинаково.

Построить поверхности
y 
x  z  2z
2
2
В уравнении отсутствует переменная y.
Это круговой цилиндр с осью
симметрии OY. Приводим уравнение
к каноническому виду
x  z  2z  0
2
2
x  z  2z 11  0
2
2
x  ( z  1)  1  0
2
2
x  ( z  1)  1
2
'
O ( 0 ; 0 ;1)
2
2x  x
2
В уравнении отсутствует переменная z.
Это круговой цилиндр с осью
симметрии OZ.
Приводим уравнение к каноническому
виду
2
2
y  2x  x
x  y  2x
2
2
( x  1)  y  1,
2
2
y0
R 1
Правая половинка
цилиндра

Гиперболические цилиндры
В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.
x
2
a
2
y
2
b
2
x
2
a
2
y
2
b
2



z
2
c
2
z
2
c
2
 1 
ось симметрии OZ

x
2
a
2

y
2
b
2
1
  1  ось симметрии OX
  1  ось симметрии OY
При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно
правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось
симметрии самого цилиндра.

Параболические цилиндры
Направляющей этих цилиндров является парабола.
x  2 py
2
x   2 py  ось симметрии OZ
2
y   2 px 
2
y   2 pz 
2
ось симметрии OZ
ось симметрии OX
z   2 py 
ось симметрии OX
x   2 pz 
ось симметрии OY
2
2
z   2 px 
2
ось симметрии OY
При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы:
координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить
параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии.
Построить поверхности
1) 3 z  6  y
2
y  6  3z
2
y   3( z  2 )
2
Ось цилиндра – OX,
Направляющей является парабола
с осью симметрии OZ , смещенной
на 2 единицы вверх по оси OZ вершиной
и ветвями, направленными вниз,
'
вершина O ( 0 ; 0 ; 2 )
2) y  5  x
2
x  y5
2
Ось цилиндра – OZ,
направляющей является
парабола с осью
симметрии OY, вершиной в
точке O ' ( 0 ;5; 0 )
и ветвями, направленными
вправо
Построить поверхности
3) z  1  x
2
x  z 1
2
Ось цилиндра – OY,
направляющей является парабола
с осью симметрии OZ, вершиной
в точке O ' ( 0 ; 0 ;1)
и ветвями, направленными вверх
4) z 
4  y,
z  4 y
2
z   ( y  4 ),
2
z0
Верхняя
половинка
Ось цилиндра – OX, направляющей является
парабола с осью симметрии OY, вершиной
в точке O ' ( 0 ; 4 ; 0 )
и ветвями, направленными влево