на отрезках

Геометрия - одна из самых древних наук,
она возникла очень давно, еще до нашей
эры. Возможно, на фоне удивительных
достижений науки и техники она может
показаться каким – то малосовременным,
неразвивающимся предметом, не нужным
современному человеку.
Недавно я услышала про такую
геометрическую фигуру как арбелос. Меня
заинтересовала эта фигура, показалась
загадочной. И я решила познакомиться с
ней поближе.
Кто не слышал об
удивительном ученом
Древней Греции Архимеде!
Этот великий человек жил в
III столетии до н. э. в городе
Сиракузы на Сицилии,
бывшим в то время
греческой колонией. Много
прекрасных открытий и
изобретений сделал
Архимед за свою долгую
жизнь. Будучи уже зрелым
ученым, в 50 лет, он увлекся
геометрией и не расставался
с ней до конца своих дней.
Архимед
287 – 212 гг. до н.э.
Используя исторический
подход познакомиться с
геометрической фигурой
арбелосом Архимеда и
рассмотреть её свойства.
1
2
3
• Познакомиться с понятием арбелоса
• Доказать свойства арбелоса
• Применить полученные знания при
решении задач на окружности
Задачу Архимеда
можно решить
современными
методами
геометрии
теоретические
изучение и анализ
источников
информации по
геометрической фигуре
«арбелос Архимеда»
анализ решенных задач
эмпирические
исследование
различных задач с
применением к
геометрической фигуре
«арбелос Архимеда»
применение полученных
знаний при решении задач
на окружности
Задача
Архимеда
Арбелос — так назвал
Архимед
криволинейный
треугольник,
ограниченный тремя
полуокружностями, изза его сходства с
очертаниями сапожного
ножа,
использовавшегося для
разделки кож.
αρβύλος
Если взять на прямой три
последовательные точки A, B и C и
построить три полуокружности с
диаметрами AB, BC, AC,
расположенные по одну сторону от
прямой, то фигура, ограниченная
этими полуокружностями, и является
арбелосом.
Задача
На отрезке AB взята точка C. На отрезках
AC, BC и AB, как на диаметрах, в одной
полуплоскости построены полуокружности
s1, s2 и s соответственно. Из точки C
восстановлен перпендикуляр к прямой AB,
пересекающий окружность s в точке D. В
два образовавшихся криволинейных
треугольника вписаны окружности α и β:
первая касается отрезка CD,
полуокружности s1 и дуги AD, вторая —
отрезка CD, полуокружности s2 и дуги BD.
Докажите, что две эти вписанные
окружности равны.
Пусть a и b — радиусы полуокружностей s1 и s2
соответственно, r — радиус окружности α.
Выразите r через a и b. Пусть E, F и G — центры
полуокружностей s1, s2 и s соответственно, а O
— центр окружности α. Рассмотрим треугольник
OEG; все его стороны выражаются через a, b и r.
Действительно, GA = GB = a + b, OE = a + r; OG = a +
b – r; EG = GA – EA = a + b – a = b. Опустим
перпендикуляр OH на прямую EG
CH = r; EH = EC – CH = a – r; GH = |CG – CH| = |a –
b – r|.
OH2 = (a + r) 2 – (a – r) 2 = (a + b – r) 2 – (a – b – r) 2.
Разрешая полученное уравнение относительно r
получаем:
Есть и не вычислительные, но по-своему более изящные
решения.
Приведем решение самого Архимеда, которое может
показаться более сложным, но и более интересным. Для этого
понадобится следующая лемма:
Лемма. Даны две касающиеся окружности ω и ω1 и прямая
CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую. Пусть B
— точка касания окружностей, A — точка касания прямой и
окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и
окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD.
Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K —
точка касания α и s1. Применим лемму к нашей конструкции;
тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK
проходит через точку A. Далее, P — вторая точка пересечения
NK и s, R — точка пересечения CD и BP. N — точка
пересечения высот в треугольнике ARB, так как APB = RCB =
90°, следовательно прямая RA проходит через точку M.
Пусть L — вторая точка пересечения RA и α, тогда LKN = 90° (как угол,
опирающийся на диаметр), но AKC = 90°
точки L, K и C лежат на одной
прямой.
LN — диаметр окружности α, следовательно LN || AB, следовательно
Заметим, что LC || RB, так как они перпендикулярны AP, следовательно
В обозначениях из первого решения полученное выражение принимает вид
и после сокращения общих множителей совпадает с выражением
.
Окружность радиуса r касается изнутри окружности радиусом
R. Найдите радиус третьей, которая касается обеих данных и
прямой, проходящей через их центры.
Решение:
O2H2 = (R – x)2 – x2 = R2 – 2RX = R(R – 2x)
O1H2 = (r + x)2 – x2 = r2 + 2rx
O3
x (r – R) + Rr =
*
x2(r – R)2 + R2r2 + 2xRr (r – R) =
(r2 + 2rx) (R2 – 2Rx)x2(r2 – 2rR + R2) +
R2r2 + 2xr2R –
2xrR2 = x2r2 – 2rRx2 + x2R2 + 4rRx2 =
4xR2r – 4xRr2
x2( r + R)2 = 4xRr (R – r)
x=
x
О1О2 = R – r = HO2 + HO1
O1
H
O2
Вывод
Я считаю, что работа достигла цели и выполнила
поставленные задачи. Я узнала о новой
замечательной фигуре, называемой арбелосом
Архимеда. По ходу работы познакомилась также
с леммой Архимеда, благодаря которой теперь
мне стало проще решать определенные задачи
на окружности, использовать полученные
свойства при решении олимпиадных задач. Я
смогла подтвердить гипотезу, что задачу
Архимеда можно решить современными
способами решений, которые ранее были не
известны самому Архимеду. Кроме того
увеличила свои познания в области геометрии.