Применение производной для решения уравнений.

Применение производной для
решения уравнений.
В данных уравнениях полезно
доказать возрастание или убывание
на некотором промежутке функций, в
них входящих.
ПРИМЕР 1.
Решим уравнение:
x x 
5
3
1  3x  4  0
(1)
Рассмотрим функцию левой части. Область существования
функции – промежуток X=(-∞:1/3]. Функция f(x) имеет внутри
промежутка X положительную
производную f ’(x)=
3 .
4
2
5x  3x 
2 1  3x
Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке X, и т.к.
она непрерывна на этом промежутке, то каждое своё
значение она принимает ровно в одной точке. А это значит,
что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть,
что число x=-1 удовлетворяют уравнению (1).
Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень
x=1.
Ответ : -1.
ПРИМЕР 2. Найдём количество действительных корней
уравнения:
x3-x2-x+0,1=0.
Рассмотрим функцию левой части.
F’(x) =3x2-2x-1 (2)
x1=-1/3 x2=1.
Т.к. f’(x)>0 при x Є (-∞;-1/3) и (1;+∞), то на каждом из промежутков
(-∞;-1/3] и [1;+∞) функция f(x) возрастает. Так как f’(x)<0 для
любого x из промежутка (-1/3;1), то на промежутке [-1/3;1]
функция f(x) убывает.
lim
f ( x )  lim x (1 
3
1

1

0 ,1
),  
lim
f ( x )  
Т.к. x  
,
2
3
x  
x
x
x
f(x1)>0, f(x2)<0 и f(x) непрерывна на каждом из интервалов (∞;x1),(x1;x2) и (x2;+∞), то на каждом из них есть единственная
точка, в которой эта функция обращается в нуль.
Следовательно, функция имеет три нуля, т.е. уравнение (2)
имеет три действительных корня.
Ответ: уравнение имеет три действительных корня.
x  
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
4
x2
4
4  x  2.
(3)
Обе части уравнения (3) определены на отрезке [2;4].
Рассмотрим функцию левой части.
Эта функция на интервале (2;4) имеет производную
3
f’(x)=
, 3

1
1
( x  2)
4
4

(4  x)
4
4
которая обращается в нуль в единственной точке x=3. Т.к.
функция f(x) непрерывна на отрезке [2;4], то она достигает в
этой точке наибольшего и наименьшего значений. Они
находятся среди чисел f(2)= 4 2 , f(3)=2 и f(4)= 4 2.
Так как f(3)>f(2)=f(4), то наибольшее значение 2 на отрезке
[2;4] функция f(x) достигает в единственной точке x=3.
Следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень.
Ответ: 3.
Применение производной для
решения уравнений.
8