А = ∠С

Решение задач по теме
«Равнобедренный
треугольник»
Теоретический тест:
1. Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и
высотой. Это утверждение:
а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно.
2. Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный; б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на
два равных треугольника?
а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем.
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и
высотой. Это утверждение:
а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно.
5. Если треугольник равнобедренный, то:
а) он равносторонний; б) любая его медиана является биссектрисой и
высотой; в) ответы а и б неверны.
6. В каком треугольнике любая его высота делит
треугольник на два равных треугольника?
а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем.
№ 115
Дано:
А
3
В
∆АВС, АМ – медиана
АМ = МВ = МС
Доказать: ∠А = ∠В + ∠С
1
4
2
М
С
Доказательство.
∆АМС – равнобедренный ⇒ ∠1 = ∠2 (как углы при
основании равнобедренного треугольника).
∆АМВ – равнобедренный ⇒ ∠3 = ∠4 (как углы при
основании равнобедренного треугольника).
⇒
⇒ ∠1 + ∠3 = ∠4 + ∠2 ⇒ ∠А = ∠В + ∠С, что и требовалось
доказать.
Дано: ∆АВС – равнобедренный
АС – основание
ВD – медиана
Е ∊ АВ, F ∊ СВ
АЕ = СF
№ 120
В
Е
А
F
D
С
Доказать: а) ∆BDE = ∆BDF
б) ∆ADE = ∆CDF
Доказательство:
а) ∆ВDЕ = ∆ВDF по двум сторонам и углу между ними (ВD – общая
сторона, ВЕ = ВF, ∠ВЕD = ∠FВD, так как ВD – медиана и
биссектриса равнобедренного треугольника АВС).
б) ∆АDЕ = ∆СDF по двум сторонам и углу между ними (АD = СD,
DЕ = DF из равенства ∆ВDЕ и ∆ВDF, ∠А = ∠С как углы при
основании равнобедренного треугольника).
1.
Самостоятельная работа
В
Дано: AD = CD
1.
В
Дано: D –
середина АС
AC ⊥ BD
∠ADF = 90°
Доказать:
А
2.
D
С
В
∆АВС – р/б
Дано:∆АВС – р/б
А
2.
D
F
С
В
ВО -биссектриса
Доказать:
Доказать:
А
3.
О
С
Периметр р/б
треугольника 36 см,
основание – 10 см. Найти
боковую сторону.
∆АВС – р/б
Дано: ∆АВС – р/б
АО = СО
∆АВО = ∆СВО
Доказать:
А
∆АВО = ∆СВО
O
С
3.
Периметр р/б треугольника 48 см,
боковая сторона – 15 см. Найти
основание.
1.
Самостоятельная работа
В
Дано: AD = CD
1.
В
Дано: D –
середина АС
AC ⊥ BD
∠ADF = 90°
Доказать:
А
D
С
∆АВС – р/б
D
А
С
Доказать:
∆АВС – р/б
F
Доказательство:
∆ABD = ∆CBD по двум сторонам и
углу между ними (АD = СD, ВD –
общая сторона, ∠АDВ = 90° =
= ∠СDВ), тогда АВ = ВС ⇒ ∆АВС –
равнобедренный.
Доказательство:
∆ABD = ∆CBD по двум сторонам и
углу между ними (АD = СD, ВD –
общая сторона, ∠АDВ = 90° =
= ∠СDВ), тогда АВ = ВС ⇒ ∆АВС –
равнобедренный.
Самостоятельная работа
2.
В
Дано:∆АВС – р/б
2.
В
Дано:∆АВС – р/б
ВО -биссектриса
1 2
АО = СО
Доказать:
Доказать:
А
∆АВО = ∆СВО
О
С
Доказательство:
∆АВС – равнобедренный ⇒ АВ = ВС
(как боковые стороны), ∠А = ∠С (как
углы при основании) ⇒ ∆АОВ =
= ∆СОВ по двум сторонам и углу
между ними (АО = ОС – по условию,
АВ = ВС и ∠А = ∠С – по свойствам
равнобедренного треугольника).
А
∆АВО = ∆СВО
O
С
Доказательство:
∆АВС – равнобедренный ⇒ АВ = ВС
(как боковые стороны).
ВО – биссектриса ⇒∠1 = ∠2.
∆АОВ = ∆СОВ по двум сторонам и
углу между ними (ВD – общая, АВ =
ВС, ∠1 = ∠2).
3.
А
Самостоятельная работа
В
10 см
3.
Дано:∆АВС – р/б
РАВС = 36 см
АС = 10 см
Найти: АВ
С
А
В
Дано:∆АВС – р/б
РАВС = 48 см
АВ = 15 см
Найти: АС
С
Решение:
∆ABС – равнобедренный ⇒ АВ= ВС
Решение:
∆ABС – равнобедренный ⇒ АВ= ВС
РАВС=АВ+ВС+АС=АВ+ВС+10 = 36
⇒ АВ + ВС = 36 – 10 = 26 см ⇒
⇒ АВ = ВС = 13 см
РАВС=АВ+ВС+АС=15+15+АС = 48
⇒ АС = 48 – 30 = 18 см
Ответ: АВ=ВС=13 см
Ответ: АС = 18 см
Дополнительные задачи.
В
В
№1
№2
12
D
А
12
С
А
С
Дано: АВ = ВС, ∠1 = ∠2
Доказать: ∆АDC – р/б
D
Дано: АВ = ВС, ∠1 = ∠2
Доказать: ∆АDC – р/б
Дополнительные задачи.
№3
Периметр равнобедренного
треугольника равен 37 см.
Основание меньше боковой
стороны на 5 см. Найдите
стороны треугольника.
№4
Периметр равнобедренного
треугольника равен 45 см.
Боковая сторона меньше
основания на 3 см. Найдите
стороны треугольника.
Д/з: № 116, № 118, № 117.
Дополнительная задача:
1 вариант
2 вариант
Сумма двух сторон
Одна из сторон равнобедренного
равнобедренного треугольника треугольника равна 8 см, а периметр
равна 26 см, а периметр равен
равен 26 см. Какими могут быть
36см. Какими могут быть стороны
стороны этого треугольника?
этого треугольника?