Выписать первые пять членов последовательности

Числовые последовательности.
Выписать первые пять членов последовательности
если
xn 
x1 
x4 
x4 
n
n
(  1)
1
 1
1
(  1)
4

4
xn 
x1 
(1)
{x n },
x2 
(  1)
1
2

2
x5 
4
1
x3 
2
(  1)
5
 
5
(  1)
3
 
3
1
3
1
5
3n  5
2n  3
35
 8
23
34  5
24 3

x2 
17
5
32  5
22 3
x5 
 11
35  5
2 5  3
x3 

20
7
33  5
2 3  3

14
3
Написать формулу общего члена
последовательности {x n } ,если
1 1 1 1
{x n }  { , , , ,.....}
2 3 4 5
xn 
(  1)
n
n 1
{xn }  {0,2,0,2,0,2,...}
x n  (1  (  1) )
n
1 2 4 8 16
{x n }  { , ,
, ,
,....}
3 9 27 81 243
xn 
2
n 1
3
n
Доказать, исходя из определения, что число a
является пределом последовательности {x n }
 n 
{x n }  

 n  1
a 1
  0 N : n  N
xn 
n
n 1

( n  1)  1
n 1
| x n  a | | x n  1 | | 
 n 1 
N ( ) 
1

1

1
1
n 1
n
1

 1 : n  N
|
xn  a  
1
n 1
1
xn  a   
n 1
1
1
n 1

1
N 1

1
n 1

Доказать, исходя из определения, что число a
является пределом последовательности {xn }
1 
{x n }   n 
5 
| x n  a | | x n  0 |
1
q
 (1  (
n
  0 N : n  N
a0
1
1
5
n

1
5
 1))
n
 q
lim q
n 
n


q 
1
 1)  n (
q
q
n (1  q )

 0 при q  1
0  q 1
5
 1  n(
q
n
n
1
xn  a  
для
n 
lim q
n 
n
1
 1)
q
q
 (1  q )

1
4
  при q  1
С помощью определения предела последовательности
показать, что lim xn  a Найти целое число N,
n 
начиная с которого
xn  a  
9n  7
{x n } 
a
2n  3
9
  10
2
  0 N : n  N
xn  a 
n
41
4
  10
9n  7
2n  3

2

9

2
xn  a  
2(9n  7)  9(2n  3)
2(2n  3)
2
3
2
N ( ) 
41
4

 N ( )  1029
3
2

4106
4
 1028
1
2

41
2(2n  3)

Найти
, если
lim x n  a
n 
n  27
3
xn 
n  15
4
4
n  27
lim x n  lim
n 
n (
3
n 
n  15
4

n (1 
4
27

n
lim
n 
1
4
n
15
4
n
lim

n 
1
n
 lim
n 
lim 1  lim
n 
n 
27
4
0
n

15
1
n
1
0
n
k
1
)
 lim
n 
)
27

n
1
4
n

15
n

1
4
k , n  N
n
4
0  lim
n 
1
n
k

lim
n 
1
n
0
lim (
n 
1

n
lim (1 
n 
27
4
n
15
n
4
)

)
Найти
, если
lim x n  a
n 
n  27
3
xn 
n  15
2
3
lim x n  lim
n 
n (1 
n  27
3
n  n
2
 15

lim
n 
3
n (
1

n
 lim
n 
1
1
n

lim (1 
15
n
n 
n
3
n
3

)
lim
n 
1
n

27
3
n

15
n
3
)
 lim 1 / x n  
n 
  0 N : n  N
K  0
3
n
15
1
)
3
lim x n  0
n 
27
27
K  1/ 
xn  
1 / xn  1 / 
N ( ) : n  N
xn  
1 / xn  K
Найти
, если
lim x n  a
n 
n  27
3
xn 
2n  15
3
n  27
n (1 
3
3
lim
n 
2 n  15
3

lim
n 
n (2 
3
27
3
n
15
n
lim 1  lim

n 
n 
lim 2  lim
n 
n 
27
3
1
n

15
2
n
3
3
1
)

)
lim
n 
2
27
3
n

15
n
3
lim (1 
n 
lim ( 2 
n 
27
3
n
15
n
3
)

)
Найти
lim x n  a
n 
n 1
2
xn 
2n  1
n 1
, если
3n  1
2

6n  1
2
2
3
n

1
(
n

1
)(
6
n

1
)

(
3
n
 1)( 2n  1)
lim (
lim

)


n 
n 
2n  1 6n  1
(2n  1)(6n  1)
4
2
4
n (2  )
2

2

 2n  4n
n
n
 lim
lim

 lim

2
n   12n  8n  1
n  2
8
1
n 
8
1
n (12   2 )
12   2
n n
n n
4
4
lim (  2 )  lim
lim (  2  )
n 
n  n
2
1
n 
n



 
8
1
8
1
12
6
lim (12 
 2)
lim 12  lim
 lim 2
n 
n 
n  n
n  n
n
n
2
2
Найти
n 
(2)  3
n
xn 
(2)
n 1
3
n
n 1
2
3 ((  )  1)
3

 lim
2
n   n 1
n 1
3 ((  )
 1)
3
n
(2)  3
n
lim
n 
(2)
n 1
3
n
n 1
2
lim (1  ( 

, если
lim x n  a
n 
3 lim (( 
n 
)
n
)
3
2
3
)
n 1

 1)
1
3
n
lim
n 
2 n
( )  1
3

2 n 1
3 ((  )
 1)
3
Найти
n 
xn 
xn 
1
1 2
 1

, если
lim x n  a
1
1 2
1
23

1
23
 .... 
 .... 
1
n(n  1)
1
n(n  1)
 (1 
1
2
) (
1
1
1
1
1
1
 )  (  )  ....  ( 
)
2 3
3 4
n n 1
1
n 1
1
1
1
1
(
1

) 1

....

)

(

lim
lim
23
n(n  1)
n 1
n 
n   1 2
Найти
lim x n  a
n 
xn 
2
, если
n
n!
n
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
0
     ... 
     ... 
 2 
n!
1 2 3 4
n
1 2 3 3
3
3
2
0  lim
2
n 
 lim
n

n!
n 
9
2
2
lim
n 
n
n!
0
2
 
3
n
n2
9 2
  
2 3
n
Найти
xn  n
, если
lim x n  a
n 
3/ 2
( n 1 
3
n  2)
3
( n 1 
3
xn  n
3/ 2
( n  1  n  2)  n3/ 2
3
3
(n  1)  (n  2)
3/ 2
n
3
n 1 
3/ 2
( 1
3
1
n
lim
3
3
3
n
n  2 )( n  1 
n 
3
x n  lim
 1
n 
n
n
3/ 2
)
3
1
( n 1 
3
3
n 2

3
3

2
n  2)
1
n
3
 1
2
n
3
3
3
n  2 )  lim
n 
1
1
n
3
 1

2
n
3
3
2
Найти
n 
1  a  a  ...  a
n
1  b  b  ...  b
n
2
xn 
2
a  1, b  1
,
1  a  a  ...  a
n
1  b  b  ...  b
n
2
xn 
lim
n 
, если
lim x n  a
2
x n  lim
n 
1 b
1 a


1 b
1 a
1 b
1 a
S 
b1
1 q
Найти
n 
2
xn 
2
xn 

1
n
3

2
2
n
3
1
n
3
2

 .... 
2
2
n
3
 .... 
n 
xn
2

3
1
n
3
3
2
6n
 lim
n 
(
1
n
3

2
2
2
n
3
2
1
2
n
2

2
(1  2  ...  (n  1) ) 
2 n  3n  1
2
lim
(n  1)
n
(n  1)
n
(n  1)( 2n  1)
6n
, если
lim x n  a
n (2  3 / n  1 / n )
2

2
6n
 .... 
(n  1)
n
3
2
)
2

3
1

(n  1)n(2n  1)
6

3
1
1
3
2n
 lim ( 
n 

1

1
2n
6n
1
)
2
6n
2
1
3

Найти
lim x n  a
, если
xn 
2  2  2  ... 
n 
4
8
2
n
2
n
2  4 2  8 2  ...  2 2  2
1 1 1
1
  .... 
n
2 4 8
2
1
2
1
2
n
2

1
2
1
1
2  (2
2
n
)  (1  (2
2
n
2
n
 1  n( 2
n
02
lim
n 
2
xn
n
n
 1))  (1  (2
2
2
n
1
 1)  ...  (2
1
1 
 lim
n 
2
n
1
1
2
2
2
n
 1)) 
n
1
 1)  n(2
n
2
n
 1)
1
 lim
n 
2
2
n
1
n
n
8
4
2
( 2  2  2  ...  2 )  lim
n 
2
1
2
2
n
2
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
последовательности {x n }
xn  1 
1
2
xn p  1 

2
3
1
2
| x n  p  x n |

(
1
n(n  1)
1
n

1

2
 ... 
2
n
1

3
 ... 
2
1
(n  1)
1
2

1
  0  N : n, m  N
2
(n  p)
(n  2)
2
2
 ... 
 ... 
1
(n  p)
1
2

(n  p  1)( n  p )
1
1
1

)(

)  ...  (

)
n 1
n 1 n  2
n  p 1 n  p
| x n  p  x n | 
если
1
n
xn  xm  
1
1
(n  1)( n  2)
1
1
1

n
1
n p

1
n

  0  N ( ) 
1

: p, n  N
xn p  xn 
1
n

1
N

Пользуясь критерием Коши, доказать, что
последовательность {x n } расходится.
xn  1 
1

2
 ... 
3
| x n  p  x n |
pn
1
1
n
  0  N : n, m  N
xn  xm  
  0 N : n, m  N
xn  xm  
1
n 1

0 
1
n2
 ... 
1
n p
p

n p
1
2
| x n  p  x n |
1
2

n