Линейные неравенства

Линейные неравенства
с одной переменной
Неравенство
с одной переменной
Неравенство, содержащее одну переменную,
называется неравенством с одной переменной
или неравенством с одним неизвестным.
6х ≤ 13 - 2х;
(х –
1)2
+ 7 > (х +
5(4 – 3а) ≥ 12;
4)2;
3x 6  8
8  24x
 0.
Решение неравенств
Решением неравенства с одним неизвестным
называется такое значение неизвестного, при
котором это неравенство превращается в
верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все
его решения или доказать, что их нет.
3х – 2 > 17;
3х > 2 +17;
x>
6
1
3
.
8x +5 < 8x +2;
8x – 8x < 2 – 5;
0 ∙ x < -3 – неверно
при любых значениях х.
Решений нет.
Равносильные неравенства
Два неравенства называются равносильными,
если каждое решение, одного неравенства
является решением другого неравенства, и
наоборот – каждое решение второго неравенства
является решением первого, т.е. они имеют одни
и те же решения.
Неравенство 7 – 5х ≥ 37
равносильно
неравенству -5х ≥ 30,
т. к. имеют одно и то же решение х ≤ -6.
Равносильные неравенства
Равносильными называются неравенства,
которые не имеют решений.
8x +5 < 8x +2;
8x – 8x < 2 – 5;
3х + 2 > x + 2(x + 4);
3x – x – 2x > 8 – 2;
0 ∙ x < -3 – неверно
0 ∙ x > 6 - неверно
при любых значениях х.
при любых значениях х.
Решений нет.
Решений нет.
Неравенство 8x +5 < 8x +2
равносильно неравенству
3х + 2 > x + 2(x + 4).
Свойства неравенств
с одной переменной
Свойства неравенств с одним неизвестным
получаются из свойств числовых
неравенств.
1 св-во. Если в неравенстве перенести слагаемое
из одной части в другую с
противоположным знаком, то получится
неравенство, равносильное данному.
Если а + b < c + d, то а - d < c - b.
2х – 5 > x
2x - x > 5.
Свойства неравенств
с одной переменной
2 св-во. Если обе части неравенства умножить
или разделить на одно и то же
положительное число, то получится
неравенство, равносильное данному.
Если а < b и с > 0 , то ас < bс и
7х < 49
:7
x < 7.
a
c

b
c
.
Свойства неравенств
с одной переменной
3 св-во. Если обе части верного числового
неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число и
изменить знак неравенства на
противоположный, то получится верное
числовое неравенство.
a b
Если а < b и с < 0, то ас > bс и  .
c c
∙(-2)
12 ≤ -0,5
-24 ≥ х.
Решение неравенств с одной
переменной
Решить неравенство
2x  7
4
Решение.

9x  11
8
3 x
 2x  7 9x  11 
8 

.
  8
8
2
 4

2(2х – 7) – (9х + 11) < 4(3- x);
4x – 14 – 9х – 11 < 12 – 4x;
4x– 9х + 4x < 12 + 14 + 11;
-x < 37;
x > -37.
Ответ: x > -37.

3 x
2
.
Решение неравенств с одной
переменной
Решить неравенство 8х + 5 > 2(4x + 1).
Решение. 8х + 5 > 8x + 2;
8х - 8x > 2 - 5;
0 ∙ х > -3 – верно при
любых значениях х.
Ответ: х – любое число.
Линейное неравенство с
одной переменной
Линейным неравенством с одной
переменной называется неравенство
вида ах > b ( ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b), где
а и b - числа, х – переменная.
8 ≤ 13 – 5х;
8
3y  4
5
2(3х + 4) - < 7 + 8x;

y  3,5
6

5y  3
8
.
Решение линейных
неравенств
1. При a > 0
1) ax > b
3) ax ≥ b
3x + 2 > x – 4
x
b
a
x
b
a
2) ax < b
x
b
a
4)
ax ≤ b
3x – x > -4 – 2 2x – 6
Ответ: (-3; + ∞).
x
b
a
x > -3
Решение линейных
неравенств
2. При a < 0
1) ax > b
3) ax ≥ b
x
b
a
x
b
2) ax < b
4)
ax ≤ b
a
5 – 3(x + 4) ≤ 6x + 2
9x ≤ 9
Ответ: [-1; + ∞).
x
b
a
b
x
a
x ≥ -1
Решение линейных
неравенств
3. При a = 0, b > 0
1)
0∙x>b
нет
3)
0 ∙ x ≥ b решений
2)
0 ∙ x < b x - любое
4)
0∙x≤b
число
7 – x ≤ 5(x + 1) – 6(x – 4)
0 ∙ x ≤ 22
x – любое число.
4у - 25 > 2y – 2(3 – y)
0 ∙ y > 19
нет решений.
Решение линейных
неравенств
4. При a = 0, b < 0
1)
0 ∙ x > b x - любое
3) 0 ∙ x ≥ b
число
3х + 2 < x + 2(x – 4)
(4 – 2у)3 ≥ 7 -6у
2)
0∙x<b
4)
0 ∙ x ≤ b решений
3x – x – 2x < -8 – 2
Нет решений.
0 ∙ у ≥ -5
нет
0 ∙ x < -10.
x – любое число.
Решение линейных
неравенств
5. При a = 0, b = 0
1) 0 ∙ x > b
2) 0 ∙ x ≥ b
и
и
0∙x<b
0∙x≤b
нет решений.
x - любое число.
Решение линейных
неравенств
Решить относительно х неравенство (m – 3)x > 5.
Решение.
a) Если (m – 3) > 0, т.е. m > 3, то
x
5
m3
.
b) Если (m – 3) = 0, т.е. m = 3, то 0 ∙ x > 5 – нет решений.
c) Если (m – 3) < 0, т.е. m < 3, то x 
5
m3
.