Физические системы и их математические модели

Лекция № 6.
Физические системы и их
математические модели
В общем виде математическая модель такой системы может
быть записана следующим образом:
u вы х (t )  T u вх (t ) ,
где T – системный оператор, результатом воздействия которого
на сигнал
является
. u вы х ( t )
u вх (t )
В общем случае входной и выходной сигналы представляются в
виде m и n мерных
векторов: u вх ( t )   u вх1 ( t ), u вх 2 ( t ), ..., u вхm ( t ) .

Классификация физических систем на основе существенных
свойств их математических моделей:
• стационарные и нестационарные системы;
• линейные и нелинейные системы;
• сосредоточенные и распределенные системы.
Физические системы и их
математические модели
Система называется стационарной, если ее
выходная реакция не зависит от того, в какой
момент времени поступает сигнал, то есть :
u вы х (t  t 0 )  T u вх (t  t 0 )
при любом значении t 0 .
Стационарная система называется также системой
с постоянными параметрами. Если же свойства
системы не инвариантны относительно начала
отсчета времени, то такую систему называют
нестационарной (системой с переменными
параметрами, или параметрической системой).
Физические системы и их
математические модели
Система называется линейной, если в ней выполняется
принцип суперпозиции, математически записываемый в
виде следующих равенств:
T  u вх 1 ( t )  u вх 2 ( t )   T u вх 1 ( t )  T u вх 2 ( t ),


T  u вх ( t )    T u вх ( t ).


Если эти условия не выполняются, то система является
нелинейной. Строго говоря, все физические системы,
используемые в измерительной технике, в той или иной
степени не линейны. Однако существует много систем,
которые весьма точно описываются линейными моделями.
Из принципа суперпозиции и из условия стационарности вытекает
важное следствие – гармонический сигнал, проходя через
линейную стационарную систему, сохраняет свою форму,
приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.
Физические системы и их
математические модели
Сосредоточенные и распределенные системы.
Критерием этой классификации является соотношение
физических размеров элементов системы l и рабочей 
длины волны генерируемых или транслируемых сигналов.
 , то система
Если характерный размер системы l
относится к классу сосредоточенных.
Свойства
сосредоточенных систем слабо зависят от конфигурации
соединительных проводников, поэтому для их описания
используют так называемые принципиальные схемы.
Так, в радиотехнике сосредоточенные системы широко
применяют до рабочих частот в несколько сотен МГц. Лишь
при частотах свыше тысячи МГц (СВЧ-диапазон) на смену
сосредоточенным системам приходят системы с
распределенными параметрами.
Физические системы и их
математические модели
Динамические характеристики
линейных стационарных систем
Дифференциальное уравнение линейной системы,
описывающее связь между мгновенными значениями
входного и выходного сигналов, имеет вид:
a 0 u вы х ( t )  a1
b0 u вх ( t )  b1
du вы х ( t )
dt
du вх ( t )
dt
2
 a2
d u вы х ( t )
dt
2
n
 ...  a n
2
 b2
d u вх ( t )
dt
2
d u вы х ( t )
dt
n

m
 ...  b m
d u вх ( t )
dt
m
.
Если динамическая система линейна и стационарна, то все
коэффициенты этого уравнения a i и b j – постоянные
вещественные числа. Порядок этого уравнения n
принято называть порядком динамической системы.
Физические системы и их
математические модели
Частотная характеристика линейной
системы
Введем коэффициент, определяемый как отношение
преобразованных по Фурье выходного сигнала к входному:
K ( j ) 
F0  u вы х ( t ) 
F0  u вх ( t ) 
b0  b1 ( j )  b 2 ( j )  ...b m ( j )
2

m
a 0  a1 ( j )  a 2 ( j )  ...  a n ( j )
2
Коэффициент называют частотной характеристикой
динамической системы или частотным коэффициентом
передачи.
Частотная характеристика динамической системы, описываемой
обыкновенными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами, представляет собой дробнорациональную функцию переменной j .
n
Физические системы и их
математические модели
Частотная характеристика линейной системы
Значения коэффициентов a i и b j определяются
физическими свойствами и параметрами динамической
системы, а их знание позволяет найти K ( j ) .
При известном (регистрируемом) сигнале на выходе
измерительной системы и известной частотной
характеристике нетрудно получить с помощью обратного
преобразования Фурье функцию, характеризующее входное
воздействие на эту систему:
u вх ( t ) 
1
2



F0  u вы х ( t ) 
K ( j )
e
j t
d .
Физические системы и их
математические модели
Частотная характеристика линейной системы
Частотную характеристику системы K ( j ) удобно
представлять в форме:
K ( j  )  K ( j ) e
j (  )
.
Модуль K ( j )  K ( ) называют амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ) системы, а аргумент  ( ) –
фазочастотной характеристикой (ФЧХ) системы.
Записав K ( j )  A ( )  jB ( ), можно определить АЧХ и ФЧХ
системы:
B ( )
2
2

(

)


arctg
.
K ( )   A ( )    B ( )  ,
A ( )
Очевидно, что амплитудно-частотная характеристика системы
является четной функцией частоты, а фазочастотная
характеристика системы – нечетной функцией частоты.
Физические системы и их
математические модели
Физическая реализуемость систем
Далеко не каждая функция K ( j ) может являться
частотным коэффициентом передачи физически
реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с
тем, что K ( j ) должна быть четной функцией частоты, то

есть:
K ( j )  K (  j ).
Запишем без доказательства условие физической
осуществимости системы в виде критерия Пэли-Винера:
частотный коэффициент передачи физически реализуемой
системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл:



ln K ( j )
1
2
d  
Физические системы и их
математические модели
Частотный коэффициент передачи многозвенной
системы
Для последовательно соединенных звеньев сложной
измерительной системы (каскадное соединение)
справедливо выражение:
n
K ( j ) 

K i ( j ) ,
i 1
где K i ( j )  частотные коэффициенты передачи отдельных
звеньев ( i  1, 2, ..., n ).
Для параллельно соединенных звеньев можно записать:
K ( j ) 
n

i 1
K i ( j )