Структура множества решений диофантова уравнения

Структура
множества решений
диофантова
уравнения
Постановка задачи
Имеется одно уравнение от нескольких неизвестных.
Требуется найти все решения этого уравнения,
являющиеся натуральными (или целыми) числами.
Пример.
Найти все натуральные решения уравнения
Ответ. {3, 3, 3}, {2, 4, 4}, {2, 3, 6}.
Доказательство отсутствия других решений
Симметрия выражения по неизвестным позволяет их упорядочить:
x  y  z. Тогда
Далее разбираем два случая.
А) z=2 

Б) z=3
Побочное наблюдение: без умения работать с неравенствами решать
диофантовы уравнения нельзя.
Это диофантово уравнение имело конечное множество решений (всего три).
А теперь рассмотрим гораздо более простое уравнение и будем решать его в
целых числах.
3x+5y=1
Частное решение x = 2, y = –1. Ещё одно решение x = –3, y = 2.
Схема размножения решений: 3a+5b=1  3(a–5) + 5(b+3)=1.
Бесконечная серия решений: a = 2–5n, b = –1+3n (n – любое целое число).
Есть ли другие решения?
Пусть (a, b) – произвольное целое решение. Тогда
3a+5b=1=3•2+5(–1)  5(b+1)=3(2–a)  b+1=3n, 2–a = 5n  b = –1+3n, a = 2–5n.
Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя
неизвестными:
ax+by = c (числа a и b взаимно просты ).
Схема решения
1.
Ищем частное решение (x₀, y₀).
2.
Строим бесконечную серию решений: x = x₀+bn, y = y₀ –an (n –
любое целое число).
3.
Доказываем, что этот набор даёт общее решение
Пункт 2 очевиден. Пункт 3 доказывается по тем же рассуждением,
что и в частном случае, приведённом выше. Самый сложный пункт
– пункт 1. Частное решение ищется с помощью алгоритма Евклида.
Уравнение Пелля
Простейшее уравнение Пелля
x²–2y²=1.
Ищем решение в целых числах.
Очевидны следующие пары таких чисел (1,0) и (3,2).
Кроме того, перед каждым элементом пары можно менять
знаки.
Ещё одно решение: x = 17, y = 12.
Есть ли другие пары решений? Конечно или бесконечно
множество решений?
ДРУГАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ


4.
Произведение двух подходящих квадратичных 2-иррациональностей
есть подходящая квадратичная 2-иррациональность.
Построение бесконечной серии решений
Проверяем 992–2·702 = 1.
Схема размножения решений:
Удаляем все упоминания о квадратичных
иррациональностях.
Проверяем понимание
x²–3y²=1.
Очевидные решения: (1, 0), (2, 1).
1.Найдите
ещё три решения.
2.Найдите рекуррентную формулу для построения
бесконечной серии решений.

Идея доказательства пункта 4
Пусть
Тогда
ОБЩЕЕ ВИД УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: x²–Ny²=1
Что нужно делать?
1.Перейти
к разговору о подходящих иррациональностях и
заметить, что решения можно размножать – ничем не
отличается от разобранных частных случаев.
2.Найти
«примитивное» решение, то есть, такое,
размножением которого получаются все остальные.
Это – самое трудное. Естественным языком для решения
этой задачи оказывается язык цепных дробей. Смотрим
видеолекции Алексея Владимировича Савватеева.
http://www.ustream.tv/channel/math-lectures-in-irkutsk
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
(размножение решений диофантова уравнения,
работа с квадратичными иррациональностями)
1.
Выпишите рекуррентную формулу, дающую общее
решение уравнения Пелля х² – 3у²=1.
2.
Докажите, что целая часть числа
нечётное.
3.
Докажите, что число
2ⁿ.
4.
(Уравнение Маркова) Докажите, что уравнение
x²+y²+z²=3xyz имеет бесконечно много решений в
натуральных числах.
+
– число
делится на
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
(размножение решений диофантова уравнения,
работа с квадратичными иррациональностями)
5.
Докажите, что для любого натурального k>3
уравнение x²+y²+z²=kxyz не имеет решений в
натуральных числах.
6.
(Задача Эйлера) Докажите, что любую степень
двойки, начиная с 8, можно представить в виде
7х²+у², где х и у – нечётные числа.
7.
Найдите все решения диофантова уравнения 1/x +
1/y = 2/p (p – произвольное простое число).