4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

4. Линейные уравнения
первого порядка и
приводящиеся к ним.
Дифференциальное
уравнение называется
линейным, если оно линейно
(т.е. первой степени)
относительно искомой
dy
функции y и ее производной dx
Общий вид линейного
уравнения первого порядка
y
,
 p( x) y  g ( x)
Если , уравнение называется
однородным, в противном
случае неоднородным.
Способ решения линейного
однородного уравнения.
Линейное однородное
уравнение является
уравнением с
разделяющимися
переменными.
1-й способ подстановки.
Решение уравнения
y  p ( x ) y  g ( x ) , ищем в виде
y  u ( x ) ( x ) , где  ( x ) может быть
выбрана произвольно, а
u ( x ) новая искомая функция.
,
Второй способ вариации
произвольной постоянной.
Этот способ состоит в том, что
решение неоднородного
уравнения ищем следующим
образом.
Находят решение
соответствующего однородного
уравнения y  p ( x ) y  0 .
,
Общее решение имеет вид
y  Ce 
, но это решение не
будет решением
неоднородного уравнения.
Решение неоднородного
уравнения ищем в виде

p ( x ) dx
p ( x ) dz

y  C ( x )e

p ( x ) dx

   p ( x ) dx

y    g ( x )e
dx  C  e


Теорема.
y 
Если известно одно частное
решение линейного уравнения
y ( x ) , то общее решение можно
найти по формуле
1

y  y1 ( x)  C1 e
 p ( x ) dx
Теорема.
Если известны два частных решения
линейного дифференциального
уравнения y 1 ( x ) и y 2 ( x ) не
пропорциональные между собой (т.е.
y
   coust ), то общее решение можно
y
найти непосредственно по формуле
1
2
y  y 1 ( x )  C ( y 2 ( x )  y 1 ( x )).
Уравнение вида
,
n
y  p ( x ) y  g ( x ) y , где n  const ,
называется уравнением
Бернулли.
При n=0 уравнение
Бернулли переходит в
линейное уравнение.
При n=1 уравнение
является уравнением с
разделяющимися
переменными
( самостоятельно).
Пусть n  0 и n  1 .
Метод решения уравнения
Бернулли.
Уравнение Бернулли
подстановкой приводить к
линейному
dz
dx
dy
 (1  n )
1 dy
y
n
dx
n
n
 p( x) y  g ( x) y : y  0
dx
1 dy
n
y dx
 p( x)
1
y
n 1
 q( x)
Замечание.
Любой из способов решения
линейного дифференциального
уравнения может быть применен к
уравнению Бернулли
непосредственно, минуя
промежуточный этап – сведение
последнего к линейному виду.