Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными

Линейные уравнения 2-го
порядка с постоянными
коэффициентами
Лекция 6
Вывод формул общего
решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
k 1, 2  
p
p

2
2
q
4
p
2
Случай 1. Если
, то
q 0
4
характеристическое
уравнение имеет два
различных действительных корня k 1  k 2  R
В этом случае общее решение имеет вид
k1 x
k2 x
y  C1e  C 2 e .
Продолжение
p
2
q 0
Случай 2. Если
, то
4
характеристическое уравнение имеет
одинаковые корни k 1  k 2  k
.
Частные решения ЛОУ выбираем так,
чтобы они были линейно независимыми:
kx
kx
y1 e
y 2  xe .
и
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет
kx
y  e ( C 1  xC 2 ) .
иметь вид
Продолжение
p
2
q 0
Случай 3. Если
, то
4
характеристическое уравнение имеет два
комплексно-сопряженных корня
p
k1     i
и k 2     i , где   
2
и  
q
p
2
.
4
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
действительной форме можно записать
в виде y  e  x ( C cos  x  C sin  x )
1
2
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
зависимости от корней
характеристического уравнения
1. Если k 1  k 2  R, то y  C 1 e k x  C 2 e k x
x
y

e
( C 1  xC 2 )
2. Если k 1  k 2  k , то
3. Если k 1 , 2     i , то
1
x
( C 1 cos  x  C 2 sin  x )
4. Если k 1 , 2    i , то
y e
y  C 1 cos  x  C 2 sin  x
2
Пример
Найти общее решение уравнения
y    y   12 y  0.
Составим характеристическое
уравнение y    y   12 y  0. Его корни
действительны и различны:k1   4 , k 2  3 .
Поэтому общее решение
y  c1 e
4 x
 c2e
3x
Пример
Решить уравнение y+4y+4y =0.
Характеристическое уравнение
2
k  4k  4  0
имеет два кратных корня k1, 2   2 ,
поэтому искомое общее решение
2 x
y  e ( c1  c 2 x ) .
Пример
Решить уравнение y+4y+13y =0.
Составим характеристическое
уравнение k 2  4 k  13  0 . Корни
этого уравнения k1, 2   2  4  13   2  3i
комплексно-сопряженные. Общее
решение исходного уравнения:
2 x
.
y  e ( c1 cos 3 x  c 2 sin 3 x )
Теорема о структуре общего решения
линейного дифференциального уравнения
2-го порядка
Общее решение уравнения
y+py+qy = f(x),
где p и q постоянные, а f(x)0 ,
равно сумме общего решения
однородного уравнения y+py+qy =0
и какого-нибудь частного решения
неоднородного уравнения, т. е.
~
y  y0  y .
Подбор частного решения ЛНОУ по
виду правой части методом
неопределенных коэффициентов
1. Пусть f ( x )  ae . Тогда частное
решение ищут в виде:
mx
~
а)если k 1  m , k 2  m , то y  Ae
mx
~
б)если k 1  m , k 2  m , то y  xAe
2
mx
~
k

m
,
k

m
в)если 1
, то y  x Ae
2
mx
Продолжение
2. Пусть f ( x )  Pn ( x )  e , где Pn ( x ) заданный многочлен . Тогда частное
решение уравнения ищут в виде:
а)если k 1  m , k 2  m , то ~y  Q n ( x )  e mx
mx
~
k

m
,
k

m
б)если 1
, то y  xQ n ( x )  e
2
2
mx
~
k

k

m
в)если
, то y  x Q n ( x )  e ,
1
2
где Q n ( x ) = A 0 x n  A1 x n 1  ...  A n 1 x  A n
-многочлен с неопределенными
коэффициентами.
mx
В правой части уравнениямногочлен
1.Пусть f ( x )  Pn ( x ) , где Pn ( x ) заданный многочлен. Это частный
случай f ( x )  Pn ( x )  e m x при m =0. Тогда
а)если k 1  0 , k 2  0 , то ~y  Q n ( x );
~
б)если k 1  0 , k 2  0 , то y  xQ n ( x );
2
~
в)если k 1  k 2  0 , то y  x Q n ( x ).
В правой части уравнениятригонометрический полином
5. Пусть f ( x )  e
x
( Pn ( x ) cos  x  Q m ( x ) sin  x )
где степени многочленов Pn ( x ) и Q m ( x )
вообще говоря различны. Тогда
а)если k 1 , 2     i , то частное
решение ищут в виде
x
~
y  e (T l ( x ) cos  x  R l ( x ) sin  x )
где степени многочленов T l ( x ) и R l ( x )
равны l  max( n , m ).
Продолжение
б)если k 1 , 2     i, то частное решение
ищут в виде:
x
~
y  xe (T l ( x ) cos  x  R l ( x ) sin  x )
Пример: указать вид частного решения
уравнения y   2 y   5 y  xe  x sin 2 x .
Характеристическое уравнение
2
k  2 k  5  0 имеет:Д=-16 и корни
 2  4i
k 
  1  2 i , а решение имеет вид
2
1, 2
x
~
y  xe (( Ax  B ) cos 2 x  ( Cx  D ) sin 2 x )
Решить уравнение y    3 y   2 y  3e
.
2
k  3 k  2  0 . Корни этого уравнения
k 1   1, k 2   2 действительны и
различны, поэтому общее решение
соответствующего однородного
x
2 x
уравнения имеет вид y 0  c1 e  c 2 e .
Составим частное решение
неоднородного уравнения по виду
2x
правой части: f ( x )  3e .
2x
Продолжение
Среди корней характеристического
уравнения нет равных числу m =2.
2x
~
~
Поэтому ищем y в виде: y  Ae , где
А – неопределенный коэффициент .
2x
2x
2
~
~

y  Ae 2 , y    Ae  2 . Подставим
~
~
~
y , y  , y   в уравнение. Имеем
2x
2x
2x
2x
4 Ae  3 A  2 e  2 Ae  3e . Далее
имеем 12А=3 и А= ¼.
1 2x
~
y  e ,
4
y  c1 e
x
 c2e
2 x

1
4
e
2x