решение - СО РАН

Международная конференция
“Современные проблемы прикладной математики и
механики: теория, эксперимент и практика”,
посвященная 90-летию со дня рождения академика
Н.Н. Яненко
Новосибирск, Россия, 30 мая – 4 июня 2011 г.
Определение приближенного квазирешения системы линейных интегральных
уравнений Вольтерра 1-го рода и Фредгольма 1-го рода методом интервального
осреднения
А.Ф. Латыпов, О.В. Попик
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН
им. С.А. Христиановича,
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск, Россия
e-mail: [email protected]
В основе методов лежит условие равенства нулю средних значений «невязок» уравнений на каждом
интервале из множества разбиений области построения решения. Для уравнений Вольтерра
решение строится в классе кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций, для уравнений
Фредгольма – в классе кусочно-постоянных, классе непрерывных кусочно-линейных функций и в C1.
Число интервалов N и их распределение при заданном числе определяются из условия минимума
среднеквадратичной «невязки» по всей области. Решения строятся для последовательности
значений N, квазиоптимальные распределения определяются численно методом покоординатного
спуска. Приводятся примеры решения двух модельных задач и задачи восстановления
аэродинамических нагрузок при испытаниях моделей в аэродинамических трубах кратковременного
действия.
1
1. Линейный динамический объект
F (t)
Y (t)
t  U t  τ 
Y t    
F τ  d τ ; t  0 , T ;
τ
0
(1.1)
U 0  U 0  0;
Вектор-функция отклика и матрица нормальных реакций
задаются на множестве дискретных точек с известными
ошибками.
2
3
Пусть на отрезках
t l , t l  1 , l  0 , i  1
F l 
решения
определены.
Функция «невязки» на i - ом интервале будет
z  t   φ  t   U  t  t i  Fi , t  t i , t i  1 
(1.2)
i 1
φ  t   Y  t    U  t  t l  1   U  t  t l   F l
l 0
Используя условие
Средние значения
 z i 
 φ i 
t i 1
1
Δti
1
Δti
 z  t dt  0
(1.3)
ti
t i 1
 φ  t dt ,  U
ti
i

1
Δti
t i 1
 U  t  t dt
i
ti
Получим решение
Fi  U i 
1
  φi 
(1.4)
4
Функционал для определения
T
 n , t i    z
T
n, ti
t  z t dt
0
Задача
 *  inf  n , t i ,
1.5)
n ,t i
t i 1  t i  t i  1 ; i  2 , n .
5
Схема минимизации функционала Ф
tk
m
m
▪
▪
○ ▪
▪
▪
▪
▪
▪
○
tl
ti
○
inf Φ  t 2 ,..., t i ,..., t n 
ti
6
Примеры.
1. Модельная задача.
•
•
Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрен модельный
линейный динамический объект, имеющий 3 входных воздействия и
3 регистрируемых выходных реакций.
Задана следующая матрица нормальных реакций:

U τ   W 1  e
τ
β
1

sin βτ  cos βτ ,
β  2πω 0 t k , t  τ t k , t k  50 [ ms ], ω 0   ms
 1 .0
0 .1  0 .2 


W    0 .2 1 .0 0 .3  ,


2
3
10
1 .0 
 10

1
.
 0 .1 0 .5 1 .0 


ω 0   0 .1 0 .5 1 .0 
 0 .1 0 .5 1 .0 


7
Действующие силы
0,8
1,0
f0x
0,6
0,6
f0y
f0z
0,4
0,8
0,4
0,2
0,0
0,6
0,2
-0,2
0,0
-0,4
0,4
-0,6
0,2
-0,2
-0,8
-0,4
-1,0
t [ms]
t [ms]
t[ms]
0,0
0
10
20
30
40
-1,2
50
0
10
20
30
40
0
50
10
20
30
40
50
Вычисленные реакции
1,5
3
Yx
Yy
1,5
2
1,0
Yz
1,0
1
0,5
0
0,5
0,0
-1
0,0
-2
-0,5
-3
-0,5
t [ms]
-1,0
0
10
20
30
40
50
-4
t [ms]
0
10
20
30
40
50
-1,0
t [ms]
0
10
20
30
40
50
Эти величины использовались далее как экспериментальные данные
измерений, по которым были восстановлены силы.
8
Аэродинамическая модель HB-2
Динамическая тарировка методом разгрузки.
9
Графики динамических взаимовлияний
компонент тензовесов на модели HB-2
6
3
U12
U11
2,5
4
2,0
1,5
1,0
0,5
U13
2
2
1
0
0
-1
-2
-2
0,0
-4
t [ms]
t [ms]
-0,5
0
10
4
20
30
40
50
60
70
80
90
0
100
10
20
30
2,0
U14
3
1,5
2
1,0
1
0,5
0
0,0
-1
-0,5
-2
-1,0
-3
40
50
60
70
80
90
t [ms]
-3
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U16
-1,5
t [ms]
-4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t [ms]
-2,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Нормальные реакции на единичную нагрузку по FX -компоненте
10
2,0
5
U23
0,8
U21
1,5
U22
4
0,6
1,0
3
0,4
0,5
0,2
0,0
0,0
-0,5
-1,0
2
1
-0,2
0
-0,4
-1
-0,6
-1,5
t [ms]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-2
-0,8
t [ms]
0
10
20
3
40
50
60
70
80
90
t [ms]
-3
0
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U24
U26
1,5
30
2
1,0
1
0,5
0,0
0
-0,5
-1
-1,0
-2
-1,5
t [ms]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t [ms]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Нормальные реакции на единичную нагрузку по FY -компоненте
11
10
U66
4
U62
5
2
0
0
-5
t [ms]
t [ms]
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-10
0
100
2
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U61
1
0
-1
t [ms]
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Нормальные реакции на единичную нагрузку по MZ - компоненте
12
Экспериментальный пример.
Модель HB–2.
АТ–303.
q [atm]
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
t[ms]
0,02
1250
1300
1350
1400
1450
1500
1550
1600
1650
1700
M=10, Re=1.7106, Dc=300 mm, θ/2=80, α=120.
13
Данные измерений
-0,00090
Fx
-0,00045
0,00095
Fy
Fz
0,00094
-0,00050
-0,00095
0,00093
-0,00055
0,00092
-0,00100
-0,00060
-0,00105
0,00091
-0,00065
0,00090
-0,00070
0,00089
-0,00110
0,00088
-0,00075
-0,00115
0,00087
-0,00080
1100
-0,00010
1200
1300
1400
1500
1600
1100
1700
t [ms]
t [ms]
t [ms]
1200
1300
1400
Mx
1500
1600
0,00086
1100
1700
1200
1300
1400
1500
1600
1700
Mz
0,0019
-0,00012
-0,00014
0,0018
-0,00016
0,0017
-0,00018
-0,00020
0,0016
-0,00022
0,0015
-0,00024
-0,00026
0,0014
-0,00028
t [ms]
-0,00030
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
0,0013
1100
t [ms]
1200
1300
1400
1500
1600
1700
14
Действующие силы и моменты
-0,02
fx
0,010
fy
-0,03
fz
0,005
0,12
-0,04
0,000
0,10
-0,005
-0,05
-0,010
0,08
-0,06
-0,015
-0,07
0,06
-0,020
-0,08
n
0
0,020
-0,025
0,04
-0,09
5
10
15
20
0
25
mx
0,02
-0,030
n
0,02
5
10
15
20
n
0
25
mz
24
5
10
15
20
25
dt [ms]
23
0,015
0,01
0,010
22
21
0,00
20
0,005
-0,01
19
18
-0,02
0,000
17
n
n
-0,03
-0,005
0
0
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
16
n
0
5
10
15
20
Распределение длин
интервалов
15
Аэродинамические характеристики HB-2
по результатам испытаний в АТ-303
0,8
Cx
0,6
0,4
M
ReL10
10.0 2.7
9.99 1.7
-6
Onera
IT303
0,2
1,0
0,0
Cy
alfa
0
2
4
6
8
10
12
M
0,8
ReL10
10.0 2.7
9.99 1.7
-6
Onera
IT303
0,6
0,4
0,2
0,0
alfa
0
2
4
6
8
10
12
16
2. Решение линейного интегрального уравнения
Вольтерра 1-го рода вида
x
 K  x , ξ  g ξ  d ξ
 f  x , x  a , b , ξ  a , x 
(2.1)
a
K x , ξ  , f x 
1
hi
x i 1
- известные интегрируемые функции.
 K x , ξ  d ξ
 k i x 
(2.2)
xi
17
x l , x l  1 
Пусть на отрезках
решения
zx 
Тогда функция «невязки»
g l , l  1, i  1
определены.
для i-го интервала
z  x   Q i  x   k i  x  h i g i , x  x i , x i  1 ,
Q i x  
i 1
 k x  h
l
l
(2.3)
g l  f x 
l 1
Используя условие
z x  i 
1
Δxi
x i 1
 z  x  dx
 0 , i  1, n
(2.4)
xi
Получим из (2.3), (2.4) значение
g i n , x l     k i  x  
gi
1
  Q i  h i
1
(2.5)
Далее, как в разделе 1.
18
3. Приближенное квазирешение в классе кусочнолинейных функций.
квазирешение на
i -ом интервале
g i    g i 0 1     g i 1 ,  
обозначено
  xi
hi
, h i  x i 1  x i   0 ,1
(3.1)
 x 
k l 0  x ,  x     K  x , y    d  ,
0
 x 
(3.2)
k l 1  x ,  x     K  x , y   d  ,   0 ,1
0
Пусть на
отрезках
x
l
, x l 1 , l  1 ,i  1 решения
g  y  определены.
l
19
Функция невязки z i  x  для
i - го интервала
z i  x   Q i  x   h i k i 0  x ,  x   k i 1  x ,  x  g i 0  k i 1  x ,  x  g i 1   f i  x ,
(3.4)
i 1
Q i  x    h l k l 0  x ,1   k l 1  x ,1  g l 0  k l 1  x ,1  g l 1 , x   x i , x i 1 
l 1
Если значение g 10 известно,
то используя условие z i  x   0 ,
g i 1  k i 1  x ,  x 
1
получим
 fi  x   Q i  x 

  k i 0  x ,  x   k i 1  x ,  x   g i 0  (3.5)

hi


20
Значение g 10 неизвестно. Предположим также, что значения функций
в узлах слева и справа различны.
Fi  g i 0 , g i 1  
zi  x   0
1
xi 1
2 hi
xi
 z i  x  z i  x  dx  min
T
(3.6)
21
Решение


 Ax 


 Ax 



T

1 x i  1
 A  x  A  x dx 
T
 B x  

T




B
x
A
x
dx

 gi0 
xi

1 x i  1

T




B
x
B
x
dx

 g i1 
xi

1 x i  1
T
xi
T

1 x i  1
 A  x  B  x dx 
T
 B x  
T
xi
 Ax  
T
1 x i  1
 A  x  P  x dx 
T
 B x  
T
1 x i  1
xi
A  x  g i 0  B  x  g i1   P  x 
(3.7)
 B  x  P  x dx ;
T
xi
A  x   h i k i 0  x ,  x   k i 1  x ,  x ,
B  x   h i k i 1  x ,  x ,
P  x   Q i  x   f i  x ,
22
4. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода вида
b
 K  x ,  g   d   f  x , x  c , d 
(4.1)
a
K  x , , f  x  - известные интегрируемые функции.
1
y j 1
hj
yj
 K  x ,  d   k j  x 
n
zx    k j x h j g j  f x 
j 1
(4.2)
23
Условие
zx  i 
1
 xi
xi 1
 z  x  dx  0 ,i  1 , n
(4.3)
xi
Средние значения на [xi, xi+1]
1
xi 1
1
xi 1
Δ xi
xi
Δ xi
xi
 k j  x  dx  k ij ,
Введем матрицы
 f  x  dx  f i
Q  k ij ,
H  h jj ,
G  g
j
,
F   fi 
24
Из (4.2), (4.3) следует уравнение
QHG  F
(4.4)
Решение
G n , x i , y j   H
1
 n , x i , y j    z
(4.5)
n , xi , y j
Функционал для определения
d
1
Q F ; i , j  2 ,n
2
 x  dx
c
Задача
 *  inf  n , x i , y j ,
(4.6)
n ,x i , y j
x i 1  x i  x i  1 , y j 1  y j  y j  1 ; i , j  2 , n .
25
Решение – непрерывная кусочно-линейная функция
g
ξ  
j
g j  1  ξ   g
1
j 1
ξ , ξ  hj
 y  y , ξ  0 ,1
j
Решение в C1
φ 0   1 
4
g j      k  k   ,
k 1
 h
1
j
y 
y j ,   0 ,1
 1  g j 0  ,  2  g j 1  ,
3 
4 
dg
j
0 
d
dg j 1 
d


dg
j
y 
j
hj,
dy
dg j  y j  1 
dy
φ1
d φ  0  d φ 1 
dξ
dξ
1
φ2
1
φ3
1
φ4
hj
1
 1    2  3  1 ,
3
2
 2     2  3 ,
3
2
 3      2   ,
3
 4      
3
2
2
26
φ 0   1 
φ1
φ2
φ3
φ4
d φ  0  d φ 1 
dξ
dξ
1
1
1
1
27
Пример
1
 sin( xy ) f ( y ) dy 
sin( x  2 )
2( x  2 )
0

sin( x  2 )
2( x  2 )
, x  [ 0 , π / 2 ],
f  y   sin  2 y 
Точное решение
Приближенное решение (эрмитов сплайн),
n=10, равномерное разбиение.
f(y) точно
f(y) расчёт
df(y)/dy точно
df(y)/dy расчёт
0
0
0
2
2
0.1
0.1986693
0.1951
1.960133
1.8234
0.2
0.3894183
0.3812
1.842122
1.7188
0.3
0.5646425
0.5688
1.650671
1.6977
0.4
0.7173561
0.7101
1.393413
1.4683
0.5
0.8414710
0.8476
1.080605
1.2245
0.6
0.9320391
0.9317
0.724716
0.6578
0.7
0.9854497
0.9844
0.339934
0.2811
0.8
0.9995736
0.9899
-0.058399
0.0157
0.9
0.9738476
0.9807
-0.454404
-0.3981
1.0
0.9092974
0.9135
-0.832294
-0.8871
y
28
f
1,0
0,8
f0
f
0,6
0,4
0,2
0,0
y
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
df/dy
2
df0
df
1
0
-1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y
29
Спасибо за внимание
30
Влияние ошибки задания f  x 
Пусть известно:

f  x   f min  x , f

Для f 0  x   0 . 5 f min  x   f
Определим
max
max
 x 

 x 
0
0
0
G 0 n ,xi ,yj

Δ f x   f x   f 0 x 
Отклонение решения


1
ΔG n , xi , y j  H M
0
0
0
1
 ΔF,
Δ F  Δ f i , Δ f i  f i  f i 0
(3.6)
Эта оценка ошибки может быть уменьшена посредством
уточнения разбиения интервалов.
31
Метод регуляризации Тихонова
Ay  f , y  Y , f  F
Y,F
-гильбертовы пространства;
Ay  A x , y s  
b
A
Y  F
 K  x , s  y s  ds
 f  x , x  c , d , y  C 1 ,
a
C 1 - класс кусочно-гладких функций с нормой
y  max y s  , s  a , b 
K x , s   L 1 , f x   L 2
32
Регуляризация 0-го порядка (слабая регуляризация)
d
Φα 
 Ay
b
 f  x  dx  α  y s  ds , α  C   Δ f  ,
2
2
2
c
a
 ~
2
~
Δ f  f  x   f  x      f  x   f  x  dx

c
d
min Φ α 
y s 
α y x  
(1)
b




1/ 2
(2)
Уравнение Эйлера
 k  x , s  y s  ds
 w  x , x  a , b ,
(3)
a
k x , s  
d
d
c
c
 K  t , x K  t , s  dt , w  x    K  t , x f  t  dt
33
Метод регуляризации Лаврентьева М.М.
α y ξ  
b
 K  x , s  y s  ds
 f  x ,
a
ξ a
ba
cd
 x  c ; x  c , d 
34
Условия существования и единственности решения линейного
интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода
x
Ay 
 K  x , s  y s  ds
 f  x , x  a , b 
(V)
a
a , b   a , b , n  1
1 
n  2 
x , x   0
2 . K  x , x   K  x , x   ...  K
1 . K x , s   C
3 . min K
n 1
x  a , b 
n 
x , x 
 0
a , b 
1 
n 1
a   0
5 . f a   f a   ...  f
4 . f x   C
n 
 

При точных значениях f x , K x , s

и их производных уравнение (V)
имеет непрерывное и единственное решение
y s   C a , b 
35

z x  i 
z  x  dx  0 , i  1, n 

Δxi x

i

d

2
Φ n , x i , y j    z  x  dx  0

c

1
x i 1
z  x   0 , x  c , d 
36