Методы решения уравнений высших степеней

Методы решения
уравнений высших
степеней
Под методом я разумею точные и простые
правила, строгое соблюдение которых всегда
препятствует принятию ложного за истинное
и без излишней траты умственных сил, но
постепенно и непрерывно увеличивая знания,
способствует тому, что ум достигает
истинного познания всего, что доступно.
Декарт
Виды уравнений высших
степеней

Уравнения
третьей
степени

Биквадратные
уравнения

Уравнения
четвертой
степени

Возвратные
уравнения
Уравнения
пятой степени


Однородные
уравнения
Способы решения уравнений
высших степеней
Разложение
многочлена на
множители



Метод замены
переменной
Функциональнографический
метод
Разложение на множители
Способ
группировки


По теореме
Безу

По формулам
сокращенного
умножения
Схема
Горнера

Метод замены переменной

Биквадратные
уравнения


Уравнения, в
которых
выделяются
одинаковые
многочлены
Возвратные
уравнения
Замена
переменной
Разложение на
множители
1
Функционально –
графический
способ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оценивание работы
Определены верно методы решения
для:
 5-6 уравнений – оценка «3»
 7-8 уравнений – оценка «4»
 9-10 уравнений– оценка «5»

Из истории математики

Для уравнений третьей и четвертой степени есть
формулы корней (формулы Кордано и Феррари),
выведенные итальянскими математиками в 1545
году, но в силу своей громоздкости эти формулы не
используют в школьной программе. После того, как
были выведены формулы корней для уравнений
третьей и четвёртой степени, на протяжении почти
300 лет, учёные-математики пытались вывести
формулы для нахождения корней уравнений пятой
степени и выше, но труды их оказались
безуспешными.
Нильс Хенрик Абель (1802-1829)–
норвежский математик

В 1826 году норвежский
математик Абель
доказал, что нельзя
вывести формулы для
решения уравнений
пятой степени и выше.
1. Разложить на множители
многочлен уравнения
делением уголком или по схеме
Горнера
x  6 x  11 x  6  0
3
2
Корни уравнения: 1; 2; 3
2. 9 x
4
 9x
3
 10 x
2
 3x  1  0
3 x  3  3 x  10  3 / x  1 / х  0
2
2
3 x 
2
2
 3  3 x  10  3 
1
x

1
x
2
1 
1


2
 3 x   2   3  3 x    10  0
x
x 


x
 0
 0
3x 
1
 y
3 x 
x
y  3y  4  0
2

2
Ответ: уравнение не имеет корней
2

1
x
2
 y 6
2
x  3x
5
3.
y  x  3x
5
3
y  5 x  6 x  0
4
2
функция возрастает
на множестве
действительных чисел.

Ответ:√2
3
 11 2  x
y  11 2  x
функция убывает
на множестве
действительных чисел.
y  11 2 - x
y  x  3x
5
3
4. ЕГЭ 2012
( x  3 x  2 )( x  9 x  20 )  4 .
2
2
( x  1)( x  2 )( x  4 )( x  5 )  4
x

2
 6 x  5  x  6 x . 8   4
Ответ: -3;
2
. 3
5
x  6x  5  y
2
Задания 5-7
x  5 x  3 x  1  0;
3
2
2 x  5 x  5 x  2  0.
4
3
x  3x  2  0
7
Решение: 5.
x  5 x  3 x  1  0;
3
2
х  1  корень
1
x
2
уравнения
1
-5 3
1
1
-4 -1 0
 4 x  1  0, x  2 
Ответ: 1; 2 
5.
5.
6.
Уравнение решается методом разложения
на множители.
Ответ: - 1; 0,5; 1; 2.
Решение 7.
yx
7
y  -3x - 2
y  -3x - 2
Ответ: х=-1
yx
Учитель
7
3.4(г).
ax  3 x  5 x  a  0 , p   1  корень
3
2
2
Схема Горнера
2
-1
2x  x  4  0
2
3
5
4
уравнения
При а=1 уравнение принимает вид:
x  3x  5x  1  0
3
-1
2
1
-3
-5
-1
1
-4
-1
0
x  4x 1  0
x  2
2
Ответ: -1; 2 
5
5
Домашнее задание:


П. 3, №№ 3.20(б), 3.26(а), 3.29(г), 3.33(б).
Задание творческого характера: найти в
различных источниках не стандартные
приемы решения уравнений высших
степеней, привести примеры.