Использование областей существования функций

Использование областей
существования функций
Если
при
рассмотрении
уравнения
(неравенства) выясняется, что обе его
части определены на множестве М,
состоящем из одного или нескольких чисел,
то нет необходимости проводить какиелибо
преобразования,
достаточно
проверить, является или нет каждое из этих
чисел
решением
данного
уравнения
(неравенства).
Пример 1. Решить уравнение.
3
4 х
2
 lg( 1 
х  4 )  3 х  х  1.
2
2
• Обе части этого уравнения определены
только для х=2 и х=-2. Поэтому, если
исходное уравнение имеет решение, то они
могут быть только среди этих двух чисел.
Проверкой убеждаемся, что х=2
удовлетворяет уравнению, х=-2 не
удовлетворяет. Следовательно, уравнение
имеет единственный корень х=2.
•
Ответ: 2.
Пример 2. Решить неравенство.
( х  6 х  5  1) log
х
2
5

1
( 12 х  2 х  10  10 )  0 .
2
5 х
Обе части этого уравнения определены только для тех
х, которые удовлетворяют системе:
х2 - 6х + 5<=0,
12 - 2х2 – 100<=0,
х<0.

Все решения системы состоят из двух чисел х=2 и
х=-2. Поэтому, если исходное уравнение имеет
решение, то они могут быть только среди этих двух
чисел. Проверкой убеждаемся, что х=2 удовлетворяет
уравнению, х=-2 не удовлетворяет. Следовательно,
уравнение имеет единственный корень х=2.
Ответ: 2.
Пример 3. Решить неравенство.
1 х
2
 lg( x  2 ).
Обе части неравенства определены для тех х, которые
удовлетворяют системе неравенств:

х-2
1-х2

0,
 0
Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому
множество, на котором определены обе части
неравенства – пустое множество.
Ответ: решений нет.
Пример 4. Решить неравенство
2
cos x 1
 log
(x
2
2
 1)  sin x  1 .
Обе части неравенства определены только
для тех х, для которых cos x  1.
Учитывая, что cos x 1 для любого х, получаем, что cos x=1,
т.е. х= 2  л , n  Z
Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству. Т.к.
2
cos x  1
 log
(x
2
2
 1)  1  log
( 4 n
2
2
2
 1), а sin x 
то остается выяснить, для каких n справедливо
неравенство log ( 4  n  1)  0 .
Очевидно, что для n=0 неравенство не
выполняется, а для n  0 выполняется.
2
2
2
Ответ: 2  л , n  Z , n  0
1,
Использование областей существования функций
3