дифракция

Физика. Часть 3.
Оптика. Атомная физика
Лектор - доцент БОРИС ВАЛЕНТИНОВИЧ ГОРЯЧЕВ
Число. нед.
16
Объем в часах
аудиторн.
самостоят.
Лекции
24
24
Практич. зан.
32
16
Лабораторные
32
16
Итого
88
56
Оценки: «отлично» - 800-850 (+150)
«хорошо» - 700-795 (+100)
«удовл.» - 600-695 (+50)
Допуск к экзамену – 500-595
Индивидуальные задания –
2
Контрольные работы – 2
Коллоквиумы – 2
Лабораторные работы - 10
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
А. Основная
1. Савельев И.В. Курс общей физики. т. 4,5 -М., Наука,1998.
2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики, т.2. М., 1990 г.
3. Волькенштейн В.М. Сборник задач по общему курсу физики.
М. – Наука, 1990 г.
4. Тюрин Ю.И., Чернов И.П., Крючков Ю.Ю. Физика, ч.3. Изд. ТГУ,
2005 г.
Б. Дополнительная
1.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике. М., Мир, Т.3, 8, 9, 1977, 1978.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Волновое уравнение
для электромагнитных
волн
Переменное электрическое поле порождает магнитное
поле (в общем случае – переменное)  это магнитное
поле порождает электрическое и т.д.  если возбудить
с помощью колеблющихся зарядов переменное
электромагнитное поле, то в окружающем заряды
пространстве возникнет последовательность взаимных
превращений электрического и магнитного полей,
распространяющаяся от точки к точке. Этот процесс
периодический во времени и, следовательно, является
волной.
Существование э/м волн вытекает из уравнений
Максвелла 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Волновое уравнение
для электромагнитных
волн
Рассмотрим однородную нейтральную (ρ = 0) и
непроводящую (j = 0) среду с постоянными
проницаемостями ε и μ.
B
t
  0
H
t
;
 B   0  H ;
D
t
  0
E
t
;
 D   0  E .
Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде:
[  E ]    0
H  0
H
t
(1)
(2)
[  H ]   0
E  0
E
t
( 3)
(4)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Волновое уравнение
для электромагнитных
волн
Возьмем rot от обеих частей (1), изменим последовательность
дифференцирования по координатам () и времени (/t),
заменим ε0μ0 = 1/с2 и, учитывая (4), получим:
  E
2
E 
c
 E
2
x
2
t
2
 E
2
2

y
2
, где Δ – оператор Лапласа 
 E
2

z
2
  E
2

c
2
t
(5)
2
Взяв rot от обеих частей (3) и произведя аналогичные
преобразования, получим:
 H
2
x
2
 H
2

y
2
 H
2

z
2
  H
2

c
2
t
2
(6)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Волновое уравнение
для электромагнитных
волн
Уравнения (5) и (6) неразрывно связаны друг с другом, т.к.
получены из (1) и (3), каждое из которых содержит Е и Н.
Уравнения (5) и (6) – типичные волновые уравнения.
Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению,
описывает некоторую волну. Фазовая скорость такой волны
равна v  c /
  в вакууме ε = 1; μ = 1  v = c.
Таким образом, уравнения (5) и (6) указывают на то, что э/м
поля могут существовать в виде электромагнитных волн,
фазовая скорость которых в вакууме совпадает со скоростью
света в пустоте.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Плоская
электромагнитная
волна
Среда: ρ = 0; j = 0; ε = const; μ = const
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну. Направим ось х
перпендикулярно волновым поверхностям  Е и Н не зависят
от y и z, уравнения Максвелла имеют вид (скалярная форма):
0   0
B x
x
t
  0
0   0
D x
H x
E x
t
  0
;
H x
x
;
E x
E z
x
  0
H
y
t
;
E y
   0
x
H z
t
0
H z
x
0
(1 )
(2)
   0
E y
t
;
H
x
y
  0
E z
t
( 3)
(4)
x
x
Уравнения (4)
и первое
из (3) показывают, что Ех ≠ f(x,t);
уравнения (2) и первое из (1) – Нх ≠ f(x,t) 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Плоская
электромагнитная
волна
Отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены только
однородными постоянными полями, накладывающимися на э/м
поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль
оси х  Е и Н перпендикулярны направлению распространения
волны, т.е. э/м волны поперечны. В дальнейшем постоянные
поля отсутствуют и Ех = 0; Нх = 0. Два последних уравнения (1)
и два последних уравнения (3) можно объединить в две
независимые группы:
E y
x
E z
x
   0
  0
H z
t
H
t
y
;
;
H z
x
H
x
y
   0
  0
E y
E z
t
t
(5)
(6)
Уравнения (5) связывают Еу и Нz, уравнения (6) - Еz и Ну.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Плоская
электромагнитная
волна
Допустим, что первоначально было создано переменное
электрическое поле Еу вдоль ОУ, согласно второму уравнению
из (5) это поле создаст магнитное поле Нz вдоль OZ.
Аналогично Нz создает Еу и т.д. Ни поле Еz, ни поле Ну при этом
не возникают. Аналогично, если первоначально было создано
поле Еz  поля Еу и Hz в этом случае не возникают. Отсюда,
для описания плоской э/м волны достаточно взять одну из
систем уравнений (5) или (6), положив компоненты,
фигурирующие в другой системе, равными нулю.
Возьмем систему (5), положим Ez = Hy = 0,
продифференцируем первое уравнение по х, поменяем
порядок дифференцирования по х и t и подставим Hz/x из
второго уравнения 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
 Ey
2
x
2
  E y
Плоская
электромагнитная
волна
2

c
2
t
2
( 7 ) волновое уравнение для Еу.
Аналогично получим волновое уравнение для Нz:
 Hz
2
x
2
  H z
2

c
2
t
2
(8 )
Уравнения (7) и (8) частный случай уравнений (5) и (6) из
предыдущего раздела. Напомним: Ех = Еz = 0; Нх = Ну = 0 
Еу = Е; Нz = Н  индексы «у» и «z» при Е и Н подчеркивают, что
они направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.
Простейшее решение уравнения (7) – функция
Еу = Emcos(ωt – kx + α1)
(9). Аналогично для уравнения
(8):
Hz = Hmcos(ωt – kx + α2) (10)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Плоская
электромагнитная
волна
В (9), (10) ω – частота, k = ω/v – волновое число, α1, α2 –
начальные фазы колебаний при х = 0.
Подставим (9) и (10) в (5) 
kEmsin (ωt – kx + α1) = μμ0ωHmsin (ωt – kx + α2);
kHmsin (ωt – kx + α2) = εε0ωEmsin (ωt – kx + α1).
Уравнения будут удовлетворяться, если α1 = α2; kEm = μμ0ωHm;
εε0ωEm = kHm  εε0Em2 = μμ0Hm2 (11)  колебания
электрического и магнитного векторов происходят с одинаковой
фазой (α1 = α2), а амплитуды связаны соотношением
E m  0  H m
Для волны в вакууме
В гауссовой системе
Em / H m 
Em
 0
(12 )
0 / 0 
  Hm
4   10
-7
 4   9  10
9
в вакууме Еm = Hm.
 
 120  .
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Плоская
электромагнитная
волна
В векторном виде уравнение плоской волны получим, умножив
(9) на орт оси у (Еу· еу), а (10) – на орт оси z (Hz· ez) 
E = Emcos(ωt – kx); H = Hm (ωt – kx) (13) (α1 = α2).
На рис. – графическое изображение плоской э/м волны. Из рис.
следует, что Е и Н образуют с направлением распространения
волны правовинтовую систему.
В фиксированной точке пространства Е и Н изменяются с t по
гармоническому закону. Одновременно увеличиваются от 0
через Т/4 достигают max, еще через Т/4 – нулевое значение Е и
Н и т.д.  Такие изменения Е и Н происходят во всех точках
пространства, но со сдвигом по фазе,
определяемым расстоянием между
точками, отсчитанными вдоль оси х.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Экспериментальное
исследование
электромагнитных волн
Первые опыты – Герц, 1888. Для получения –
вибратор из двух стержней, разделенных искровым
промежутком (рис). При проскакивании искры
промежуток закорачивается, в вибраторе –
затухающие колебания. За время горения искры –
цуг э/м волн, длина которых ~ в 2 раза больше длины
вибратора. Вибраторы разной длины – в фокус вогнутого
параболического зеркала  плоские волны с λ = 0,6  10м.
При размещении полуволнового вибратора параллельно
вектору Е волны, в нем возбуждаются колебания тока и
напряжения. Т.к. I = λ/2, явление резонанса, проскакивает
искра.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Экспериментальное
исследование
электромагнитных волн
При помощи больших металлических зеркал и асфальтовой
призмы (m = 1,200 кг, h = 1м) Герц исследовал законы
отражения и преломления э/м волн. Результаты показали –
законы аналогичны законам оптики.
Отразив бегущую плоскую волну от металлического зеркала,
Герц получил стоячую волну  расстояние между пучностями
и узлами позволило определить λ  λ·колеб = v  c.
Прохождение э/м волн через решетку из параллельных медных
проволок доказало поперечность волн  проволоки  Е - волна
без помех, II Е - не проходит. Лебедев П.Н. (1894) – э/м волны λ
= 6мм – прохождение через кристаллы – двойное
лучепреломление. Попов А.С. (1896) - на L  250м – «Генрих
Герц».
ЭНЕРГИЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Энергия переменного э/м поля локализована в пространстве с
объемной плотностью:
2
2
 0 E
0H
w

.
2
2
Количество энергии, переносимой через 1 поверхности, 
направлению распространения энергии за 1t, определяется
вектором Пойнтинга (мгновенной плотностью потока энергии)
 Р = [EH].
1. Закон сохранения энергии в э/м поле (интегральная форма)



wdV   adV   Pn dS ,

t V
V
S
где а – объемная плотность тепловой мощности тока.
ЭНЕРГИЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Убыль энергии расходуется на выделение джоулевой теплоты
в проводниках, находящихся в поле и на распространение
энергии через замкнутую поверхность S, ограничивающую
объем.
Дифференциальная форма (в отсутствие зарядов и токов) divP
+ ∂w/∂t = 0.
2. Закон сохранения электрических зарядов:
I = - dq/dt  дифференциальная форма  divj + ∂ρ/∂t = 0.
Заряды не исчезают и не создаются.
ЭНЕРГИЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3. Закон сохранения импульса
g = [EH]/c2 = P/c2, где g – объемная плотность импульса.
Полный импульс 
G 
 g dV .
V
Наличие импульса проявляется в световом давлении
(Лебедев). Закон сохранения импульса 

g dV   ( F эл  F м агн )   T n dS ,

t V
S
где Тn – сила, действующая извне на 1S вдоль внешней
нормали n к ней  ∂К´/∂t = Fэл + Fмагн – механический импульс;
G - импульс э/м поля  если поверхность S охватывает все
поле, то полный импульс в объеме V 
G + K = const.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Излучение диполя
Простейшая излучающая э/м волны система – электрический
диполь  неподвижный точечный +q и колеблющийся около
него точечный –q (рис 1). p = -qr = -qlecosωt = pmcosωt (1), где
r – радиус-вектор заряда –q, l – амплитуда колебаний, е единичный вектор вдоль оси диполя.
pm = -qle. Данное представление важно,
т.к. позволяет с классической точки зрения
рассмотреть атом, как систему зарядов.
Рассмотрим элементарный диполь (l << λ).
Картина диполя сильно упрощается в
волновой зоне диполя (L >> λ). В однородной среде волновой
фронт – сферический (рис 2). Е  Н в каждой точке и
перпендикулярны лучу, радиус-вектору, проведенному в
данную точку из центра диполя.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Излучение диполя
Назовем «меридианами» - сечения волнового фронта
плоскостями, проходящими через ось диполя; «параллелями»
- сечения плоскостями, перпендикулярными оси диполя. Тогда
Е в каждой точке волновой зоны – по
касательной к меридиану, а Н – по
касательной к параллели. Картина
волны вдоль луча r прежняя, но
амплитуда с ростом r убывает.
Е, Н колеблются по закону cos(ωt – kr), Em, Hm = f(r,). Для
вакуума Em ~ Hm ~ 1/r sin. Среднее значение плотности
потока энергии <P> ~ Em · Hm  <P> ~ 1/r2sin2 
интенсивность волны вдоль луча ~ 1/r2 ( = const) и зависит от
. Сильнее всего диполь излучает в направлении  = π/2, в
направлениях  = 0,π диполь не излучает. На рис – диаграмма
направленности диполя.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
Излучение диполя
Мощность излучения диполя N  N ~ p 2 ~ p2m ~ ω4cos2ωt. Усредним
по t  <N> ~ p2mω4  при малых частотах излучение электрических


систем незначительно. Из (1) р = -qr = -qa, где а – ускорение
колеблющегося заряда  N ~ q2a2 (2). Коэффициент
пропорциональности равен
 0 /  0 / 6 c
2
в СИ и 2/3с2 в
гауссовой системе. Выражение (2) определяет мощность излучение
не только при колебаниях, но и при произвольном движении
заряда. Например, электроны в бетатроне теряют энергию ~ v4
(aц.с.= v2/r)  предел ~ 500 МэВ  дальше потери = сообщаемой W.
Заряд, совершающий гармонические колебания, излучает
монохроматическую волну с  =  колебаний заряда, иначе – набор
. Из (2) при а = 0 - N = 0  e- с v = const не излучает э/м волн 
справедливо при vэл  vсв = c/
Если vэл > vсв, излучение
Вавилова-Черенкова.
 .
СВЕТОВАЯ ВОЛНА
Свет – сложное явление: в одних явлениях – э/м волна, в других
– поток частиц (фотонов). Рассмотрим волновые свойства
света. Из опыта – физиологическое, фотохимическое,
фотоэлектрическое и другие действия света вызываются
колебаниями электрического вектора  вектор Е – световой
вектор.
Е = Аcos(ωt – kr + α), где А – амплитуда колебаний, r –
расстояние вдоль направления распространения световой
волны.
А = const для плоской волны в не поглощающей среде;
А ~ 1/r для сферической волны.
Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой
скорости v в некоторой среде называется абсолютным
показателем преломления этой среды (n) 
СВЕТОВАЯ ВОЛНА
Из волнового уравнения v = c/   n = . Для большинства
прозрачных веществ μ  1  n =  . Сомнение Н2О  ε = 81;
n = 1,33  ε = 81 – из электростатических измерений  ε = f()
 объясняет явление дисперсии света.
n характеризует оптическую плотность среды. Видимый свет
λ0 = 0,40  0,76 мкм (4000  7600Å). В вакууме λ0 = с/, в среде
фазовая скорость v = c/n  λ = v/ = c/n = λ0/n.
 = (0,39  0,75) · 1015Гц  глаз и другие приборы регистрируют
усредненный по времени поток энергии  модуль усредненного
по времени значения ФЕ, переносимого световой волной,
называется интенсивностью света I в данной точке
пространства  I = I<P>I = I<[EH]>I, E m  0  H m  0 
СВЕТОВАЯ ВОЛНА
Hm =  0 /  · Em , (μ = 1)  Hm ~ nEm  I ~ EmHm ~ nE2m = nA2.
0
В однородной среде I ~ А2. Линии, вдоль которых
распространяется световая энергия – лучи. <P> в каждой точке
направлен по касательной к лучу. Изотропные среды - <P>   n,
т.е. <P>   E  лучи перпендикулярны волновой поверхности.
В естественном свете присутствуют колебания Е в самых
различных направлениях (рис) t  10-8 – цуг волн (I  3м). Свет, в
котором направления колебаний упорядочены каким-либо
образом – поляризованный.
Плоско (линейно) поляризованный свет – колебания Е в одной
только плоскости.
Эллиптически поляризованный свет – конец
вектора Е описывает эллипс (частный случай – поляризованный
по кругу).
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ
ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Плоская э/м волна падает на плоскую границу двух однородных
и изотропных диэлектриков  ε1, ε2, μ1 = μ2 = 1. Опыт – кроме
плоской преломленной волны – плоская отраженная волна.
Направление падающей волны – k,
отраженной – k’, преломленной - k’’ (рис). Для
электростатических полей получали Е1 = Е2 
легко распространяется на поля,
изменяющиеся со временем. В результате 
ω = ω’ = ω” (при любых t); kx = k’x = k”x (при
любых х). Из рис  kx = ksin; k’x = k’sin’; k”x = k”sin” 
ksin = k’sin’ = k”sin”; IkI = Ik’I = ω/v1; Ik”I = ω/v2 
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ
ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
ω/v1 · sin = ω/v1 · sin’ = ω/v2 · sin”  ’ =  (1)
sin/sin” = v1/v2 = n12 (2)
(1) – закон отражения света: отраженный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в
точке падения; угол отражения равен углу падения;
(2) – закон преломления: преломленный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в
точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления есть величина постоянная для данных веществ.
n12 – относительный показатель преломления второго вещества
относительно первого.
n12 = v1/v2 = c/v2 · v1/c = c/v2 / c/v1 = n2/n1 (3)  перепишем (2) 
n1sin = n2sin” (4)  при переходе света из оптически более
плотной среды в менее плотную, луч удаляется от нормали к
поверхности раздела сред.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ
ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Увеличение угла падения  сопровождается более быстрым
ростом угла преломления ” и при пред. = arcsin n12 (5)
” = π/2. (5) - предельный угол..
По мере увеличения  Iотр растет, а Iпрел. убывает до 0 при пред.
При  = пред.  π/2 световая волна проникает во вторую среду на
расстояние ~λ и затем возвращается в первую  полное
внутреннее отражение. Если n1 < n2, при отражении фаза
колебаний Е изменяется на π, если n1 > n2 , изменения фазы нет.
Коэффициент отражения световой волны
2
n
Коэффициент пропускания
Замена в (6) n12 на n21 =
1

  I ' / I   12
 n 12  1 
 2 

  I " / I  n 12 
(7)
1
 n 12значения
1/n12 не изменяет
ρ
2
(6)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
Основа геометрической оптики – 4 закона:
1. Прямолинейного распространения света
2. Независимости световых лучей
3. Отражения света
4. Преломления света
Принцип Ферма (17в): свет распространяется по такому пути,
для прохождения которого требуется минимальное время (1, 3,
4 законы).
2
L 
 ndS

оптическая длина пути, [L] = м  принцип Ферма
(для однородной среды)   = L/c  свет распространяется по
такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее,
экстремальна. Из принципа Ферма – обратимость световых
лучей. Таутохромные пути – требуется одинаковое время.
Отставание по фазе δ на пути L определяется δ = (L/λ0)2π.
1
ФОТОМЕТРИЯ
Фотометрия – раздел оптики, занимающийся измерением
световых потоков и величин, связанных с такими потоками.
Любая световая волна – наложение волн с длинами,
заключенными в интервале λ. Распределение потока энергии по
λ с помощью функции
φ(λ) = dФэ/dλ
(1)
dФэ - поток энергии в интервале от λ до λ + dλ. Зная (1),
2
Фэ 
  ( )d
1
(2)
ФОТОМЕТРИЯ
Кривая относительной спектральной чувствительности
(среднего человеческого глаза) приведена на рис. Для
характеристики интенсивности света с учетом его способности
вызывать зрительное ощущение, вводится величина светового
потока Ф.
dФ = V(λ)dФэ  dФ = V(λ)φ(λ)dλ 

Ф   V (  ) (  ) d 
0
[Ф] = [Фэ], люмен,
V(λ) – безразмерная величина.
( 3)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Интерференция
световых волн
Две волны  A1cos(ωt + α1); A2cos(ωt + α2)  результирующая
амплитуда А2 = А12 + А22 + 2А1А2cosδ (δ = α2 – α1). Если δ не
зависит от t, волны когерентные, если нет, то <δ>t = 0 
<A2> = <A21> + <A22>  I = I1 + I2
(1)
Когерентные волны: I = I1 + I2 + 2 I 1 I 2 cosδ
(2)  в точках, где
cosδ > 0, (2) > (1); где cosδ < 0, (2) < (1), т.е. при наложении
когерентных волн происходит перераспределение светового
потока в пространстве  интерференция волн.
Наиболее отчетливо, если I1 = I2  из (2) max = 4; min = 0.
Некогерентные волны: I = 2I везде.
Когерентные волны можно получить, разделив волну,
излучаемую одним источником на две части, заставить пройти
разные оптические пути и наложить друг на друга.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Интерференция
световых волн
Пусть разделение на две когерентные волны в т. О (рис). В т. Р
первая волна A1cos[ω(t – s1/v1)]; вторая волна
A2cos[ω(t – s2/v2)]  разность фаз колебаний
в т. Р  δ = ω(s2/v2 – s1/v1) = ω/c(n2s2 – n1s1)
 ω/c = 2π/c = 2π/λ0; δ = 2π/λ0·Δ (3), где
Δ = n2s2 – n1s1 = L2 – L1 – оптическая разность
хода. Из (3): если Δ = ±mλ0 (m = 0, 1, 2, …) (4), то δ кратна 2π,
колебания, возбуждаемые в т.Р обеими волнами, будут
происходить с одинаковой фазой, т.е. (4) – условие max.
Если Δ = ± (m + ½)λ0, (m = 0, 1, 2,…) (5), то δ = ± (2m + 1)π –
колебания в т.Р в противофазе, т.е. (5) – условие
интерференционного min.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Интерференция
световых волн
Рассмотрим две цилиндрические
когерентные волны, исходящие из
источников S1 и S2 (параллельные
светящиеся нити или щели). Область
перекрывания волн – поле интерференции
(рис). На экране – интерференционная картина. Экран параллельно плоскости, проходящей через источники S1 и S2.
Положение точки на экране – координатой х. Источники
колеблются в одинаковой фазе. Из рис –
s12 = l2 + (x – d/2)2; s22 = l2 + (x + d/2)2 
s22 – s12 = (s2 + s1)(s2 – s1) = 2xd
Чтобы различимая картина  d << l; x << l  s1 + s2  2l; s2 – s1 =
xd/l; (s2 – s1)xn = Δ – оптическая разность хода. Δ = nxd/l (6)  в
(4) xmax = ± mlλ/d, (m = 0, 1, 2,…)
(7), где λ = λ0/n – длина
волны в среде между источниками и экраном.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Интерференция
световых волн
Подставим (6) в (5)  xmin = ± (m + ½)ℓλ/d, (m = 0, 1, 2,…)
(8)
Расстояние между двумя соседними max интенсивности –
расстояние между интерференционными полосами.
Расстояние между соседними min интенсивности – ширина
интерференционной полосы. Из (7) и (8) они между собой равны
 Δх = ℓλ/d
(9). Из (9)  Δх растет с уменьшением d  d  ℓ;
Δх  λ  d << ℓ.
Пусть I1 = I2, тогда из (2) I = 2I0(1 + cosδ) = 4I0cos2δ/2; δ ~ Δ 
согласно (6) δ растет пропорционально х  интенсивность
изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса (рис на
пред. слайде). Ширина интерференционных полос и расстояние
между ними зависят от λ, только в центре (х = 0) совпадут max
всех длин волн. При удалении - картина размазывается за счет
смещения max различных длин волн.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Интерференция
световых волн
В монохроматическом свете число полос возрастает. Измерив Δх и
зная ℓ и d, можно определить λ (по (9))  впервые определены
длины волн различных цветов. Рассмотрим две плоские волны при
условиях: А1 = А2, направления распространения 2φ (рис),
направление колебания Е  плоскости рис,
k1, k2  плоскости рис, Ik1I = Ik2I = k = 2πλ,
α1 = α2 = 0.
Acos(ωt – k1r) = Acos(ωt - ksinφ·x - kcosφ·y);
Acos(ωt – k2r) = Acos(ωt + ksinφ·x - kcosφ·y).
Результирующие колебания в точках с координатами х, у имеют
вид:
2Acos(ksinφ·x)cos(ωt - kcosφ·y) (10) 
условие max:
xmax = ±mπ / ksinφ = ±mλ / 2sinφ, (m = 0, 1, 2,…) (11)
условие min:
xmin = ±(2m + 1)π/2ksinφ = ±(2m + 1)λ /4sinφ, (m = 0, 1, 2,…) (12)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Когерентность – согласованное протекание нескольких
колебательных или волновых процессов. Степень когерентности
может быть различна – временная и пространственная.
1. Временная когерентность
Монохроматическая волна Acos(ωt – kr + α) – абстракция.
Δλ ~ 10-4Å или Δω ~ 108рад/с; А = А(t); ω = ω(t); α = α(t).
При рассмотрении вопроса о когерентности, есть два подхода:
«фазовый» и «частотный».
Фазовый подход. Пусть ω1 = ω2 = const; I = I1 + I2 +
· cosδ,
где cosδ = α2(t) – α1(t);
cosδ – интерференционный
2 I 1 I 2член.
2 инерционностью
I1I 2
Всякий прибор обладает
 картина,
усредненная по промежутку tприб 
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Если за tприб cosδ(t) принимает значения -11,
то < 2 I 1 I 2 cosδ> = 0  интерференция отсутствует, волны
некогерентные.
Если cosδ(t)  const  прибор обнаружит интерференцию,
волны когерентные  понятие когерентности относительно.
Характеристика tкогер  время, за которое случайное изменение
фазы волны α(t) достигает значения ~π, т.е. колебание
«забывает» свою первоначальную фазу и становится
некогерентным по отношению к самому себе 
- tприб >> tкогер – прибор не фиксирует интерференционную
картину;
- tприб << tкогер – фиксирует четкую интерференционную картину.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Расстояние ℓкогер = с·tкогер – длина когерентности (длина цуга).
При делении естественной волны на две части, необходимо,
чтобы Δ < ℓкогер  m растет, Δ растет, четкость хуже.
Частотный подход. А1, А2, α1, α2 = const; δ(t) = Δωt + (α2 – α1),
время когерентности  δ(t + tкогер) - δ(t) = Δωtкогер ~ π 
tкогер ~ π/Δω ~ 1/Δ
(1)
Все расчеты – оценка порядков величин.
Волна не монохроматическая, чем Δ шире, тем меньше tкогер
этой волны. В вакууме  = с/λ0, продифференцируем 
Δ = сΔλ0/λ02  сΔλ/λ2 (λ0  λ, минус опустили)  в (1)
tкогер ~ λ2/сΔλ (2) 
ℓкогер = сtкогер ~ λ2/Δλ
(3)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Из (4) предыдущего раздела Δ, при которой max m-го порядка
 Δm = ±mλ0  ± mλ. Если Δ  ℓкогер , полосы неразличимы 
предельный наблюдаемый порядок интерференции
определяется условием:
mпредλ ~ ℓкогер ~ λ2/Δλ  mпред ~ λ/Δλ
(4)
Из (4) следует, что чем меньше Δλ, тем больше число
наблюдаемых полос.
2. Пространственная когерентность
k = ω/v = nω/c  разбросу частот Δω соответствует разброс
значений k. Установили, что временная когерентность
определяется значением Δω, следовательно временная
когерентность связана с разбросом значений mod k.
Пространственная когерентность связана с разбросом
направлений k, характеризуемым Δеk.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Пусть источник имеет форму диска,
видимого из данной точки под углом φ
(рис 1). Угол φ характеризует интервал
значений ортов еk, φ мал. Свет из источника падает на две
узкие щели (рис 2), за которыми находится экран. Интервал
Δω мал, временная когерентность
велика, картина четкая.
Интерференционная картина на
экране – наложение картин,
создаваемых каждым из участков
в отдельности. При смещении х’<<
ширины интерференционной полосы Δх = ℓλ/d max от разных
участков источника практически налагаются друг на друга и
картина, как от точечного источника. При x’  Δx max от одних
участков -на min от других, интерференционной картины нет 
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Таким образом, интерференционная картина различима при
условии
x’ < Δх  ℓφ/2 < ℓλ/d  φ < λ/d (5) определяет угловые
размеры источника, при которых наблюдается интерференция;
d < λ/φ
(6) определяет наибольшее расстояние между
щелями.
Если источник идеально монохроматический (Δ = 0; tкогер = ),
поверхность, проходящая через щели, волновая; колебания во
всех точках – в одинаковой фазе. Реально Δ  0, конечные
размеры источника (φ  0), колебания в точках d > λ/φ не
когерентны. Поверхность, которая была бы волновой при
условии Δ = 0, псевдоволновая.
Уменьшая d, можно удовлетворить условию (5)  колебания,
возбуждаемые волной в достаточно близких точках
псевдоволновой поверхности, когерентны 
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Когерентность
Такая когерентность – пространственная. Введем расстояние
ρкогер, при смещении на которое вдоль псевдоволновой
поверхности случайное изменение фазы достигает значения
~π. Колебания в точках, отстоящих на r < ρкогер, приблизительно
когерентны. ρкогер – длина пространственной когерентности или
радиус когерентности. Из (6) 
ρкогер ~ λ/φ
(7)
Пример. φсолнца ~ 0,01 рад; λ = 0,5 мкм  ρкогер приходящих от
Солнца световых волн  ρкогер = 0,5/0,01 = 0,05мм.
Пространство, в котором волна сохраняет когерентность,
объем когерентности.
В 1802 Юнг впервые наблюдал интерференцию от небольшого
отверстия, затем – через две щели, определил λ.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Способы наблюдения
интерференции
Существуют различные способы,
рассмотрим 2 схемы: с отражением
света и преломлением света.
Зеркала Френеля - 2 плоских
соприкасающихся зеркала (угол ~π).
Параллельно линии пересечения
зеркал – прямолинейный источник света S, например, узкая
щель (рис). Зеркала – на экран 2 цилиндрические
когерентные волны, распространяющиеся как от мнимых
источников S1 и S2. Максимальное число полос
N = 4brφ2/(r + b)λ; N/2 ≤ mпред (из предыдущего раздела (4)).
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Способы наблюдения
интерференции
Бипризма Френеля – изготовленные из
одного куска стекла две призмы с
малым преломляющим углом  имеют
одну общую грань (рис). Параллельно
этой грани – прямолинейный источник
света S. Угол отклонения лучей φ = (n – 1).
Две когерентных цилиндрических волны.
4 ab ( n  1) 
2
N max 
 (a  b)
2
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
При падении световой волны на тонкую
прозрачную пластинку – отражение от обеих
поверхностей пластинки  2 световые
волны, которые могут интерферировать
(рис). Оптическая разность хода в т.С
Δ = nS2 – S1
(1) (n среды  1), из рис 
S1 = 2b tg2 sin1; S2 = 2b/cos2  в (1) 
Δ = 2bn/cos2 – 2b tg2 sin1    2 b n 2  sin 2 
1
(2)
При вычислении δ между колебаниями в лучах 1 и 2 необходимо
кроме оптической разности хода учесть возможность изменения
фазы волны при отражении. В т.А – отражение от оптически более
плотной среды – фаза изменяется на π, в т.О – от менее плотной
среды, скачка фазы нет. В итоге, между лучами 1 и 2 –
дополнительная разность фаз, равная π  учитывается λ0/2 
  2 b n  sin  1   0 /2
2
2
( 3)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
1. Плоско-параллельная
пластинка. Обе плоские
отраженные волны
распространяются в одном
направлении под углом 1.
Интерференция – если
выполняются условия временной и
пространственной когерентности.
Временная когерентность:
Δ ≤ ℓкогер  b < λ02 / 2Δλ0
(4) 
λ = 0,5мкм;
Δλ = 2·10-3мкм = b  0,06мм.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
Пространственная когерентность. Расположим на пути
отраженных лучей экран (рис)  ρ’ ≤ ρкогер – лучи 1’ и 2’
когерентны  освещенность в т.Р’ определяется значением Δ,
отвечающим ’1. Другие пары, идущие под тем же ’1, создадут
в остальных точках экрана такую же освещенность (частный
случай Δ = (m + ½)λ0 – темный). При изменении  освещенность
будет меняться. Из рис предыдущего слайда 
ρ = 2btg2cos1 = bsin21/ n 2  sin 2  1  n = 1,5; 1 = 45° 
ρ = 0,8b; 1 = 10°  ρ = 0,1b; 1 = 0  ρ = 0
ρкогер солнечного света ~ 0,05мм; 1= 45°  b  ρ = b < 0,05мм;
1 = 10°  b  0,5 мм  ρкогер больше, b больше.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
Практически наблюдают, поместив
линзу на пути отраженных пучков,
которая собирает лучи в одной из точек
экрана, расположенных в фокальной
плоскости линзы (рис). Освещенность
зависит от Δ (ф-ла (3))  Δ = mλ0 – max;
Δ = (m + ½)λ0 – min. Условие max  2 b n 2  sin 2  1  ( m  1 / 2 )  0 .
На экране – система чередующихся темных и светлых круговых
полос с общим центром; каждая полоса – лучами, падающими
под одинаковым 1  полосы равного наклона.
Иное расположение линзы – форма полос другая. Т.к. каждая
точка –параллельным пучком, то экран – в фокальной плоскости
 полосы равного наклона локализованы в бесконечности.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
2. Пластинка переменной толщины (клин). Рассмотрим клин с
углом φ при вершине, на который падает параллельный пучок
света (рис).
Лучи, отразившиеся от различных поверхностей, не будут
параллельными  два сливающихся луча 1’ – в т.Q’; два луча
1“ - в Q”. тт. Q’, Q” и другие, аналогичные им, лежат в одной
плоскости, проходящей через вершину клина. Лучи 1’ и 2’
пересекутся в т.R’ (ближе, чем Q’), 1’ и 3’ – в т.Р’.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
Направления волн, отраженных от верхней и нижней граней, не
совпадают. Временная когерентность будет соблюдаться только
для частей волн, отразившихся от мест клина, для которых
толщина удовлетворяет условию (4).
Если ρкогер >> dклина, то отраженные волны когерентны во всем
пространстве над клином  при любом расстоянии экрана от
клина – интерференционная картина в виде полос,
параллельных вершине клина.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Отражение от
тонких пластинок
Выполняется при освещении клина лазером. При ограниченной
пространственной когерентности область локализации
ограничена. Если экран проходит через тт. Q’, Q” и др.,
аналогичные им, интерференция даже при малой
пространственной когерентности. При малых φ, Δ по (3) (b в
месте падения лучей). Интерференционная картина – полосы
равной толщины, т.к. каждая из полос – при отражении от
участков клина с одинаковой толщиной. При смещении экрана
сказывается пространственная когерентность 
интерференционная картина локализована в некоторой области
вблизи поверхности клина (тем уже, чем меньше степень
когерентности). Лучше наблюдать в тонкой части клина. В белом
свете – радужные полосы (различные пленки). Полосы равного
наклона b = const; 1 = 0  π локализованы в ; полосы равной
толщины b  const; 1 = const; локализованы вблизи пластинки.
Реально b  const; 1  const.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Кольца Ньютона
Классический пример полос равной толщины – кольца Ньютона
– наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с
другом плоско-параллельной толстой стеклянной пластинки и
плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис).
Роль тонкой пленки – воздушный зазор между линзой и
пластинкой. При нормальном падении полосы равной толщины
– концентрические окружности, при наклонном –
эллипсы. Нормальное падение  sin1 = 0;
Δ = 2b ( из (2), n = 1)  R2 = (R – b)2 + b2 
 R2 – 2Rb + r2 (b2 → 0)  b = r2/2R 
Δ = r2/R + λ0/2; max  Δ = m’λ0 = 2m’·λ0/2;
min  Δ = (m’ + ½)λ0 = (2m’ + 1)λ0/2  Δ = m·λ0/2
 четные m – max; нечетные m – min.
r  R  ( m  1) / 2 , (m = 1, 2, 3,…)  в центре – темное пятно
0
(обусловлено изменением фазы на π). Проходящий свет- наоборот.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Просветление
оптики
Основа – интерференция при отражении света от тонких пленок.
Прохождение света через каждую преломляющую поверхность
линзы сопровождается отражением ~ 4% падающего света.
Сложные объективы – многократно, потери велики. Кроме того,
отражение дает блики.
В просветленной оптике на каждую свободную поверхность
линзы – тонкая пленка с n, отличным от линзы, толщина пленки
такова, что волны, отраженные от обеих ее поверхностей, гасят
друг друга.
Наилучший результат n пленки 
интенсивность
n линзы 
обеих, отраженных от поверхности пленки волн, одинакова.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Схема прибора дана на рис. При соблюдении
условий временной и пространственной
когерентности пучки 1’ и 2’ будут
интерферировать. Результат интерференции
зависит от Δ от Р1 до М1 и М2 и обратно. Луч 2
проходит толщину пластинки трижды, луч 1 –
один раз  для компенсации – пластинка Р2
(уравнивает пути лучей в стекле).
Характер интерференционной картины зависит
от юстировки зеркал и расходимости пучка света:
• Пучок параллельный, а зеркала образуют угол –
прямолинейные полосы равной толщины; в
белом свете все полосы, кроме нулевой (черной),
окрашены;
• Расходящийся пучок, плоскости зеркал М1 II М’2
– полосы равного наклона в виде
концентрических колец.
Интерферометр
Майкельсона
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
В данную точку экрана приходит N лучей
одинаковой интенсивности 
δ = 2πm (Δ = mλ0) (1) I = I0N2 (2) (I ~ A2).
Места, в которых интенсивность по (2),
главные максимумы, условие которых (1) (m
= 0, 1, 2,…), m – порядок главного
максимума. Между двумя соседними max –
N -1 min интенсивности  δ = k’/N·2π,
(k’ = 1, 2,…N -1). В промежутках между N -1
min – N -2 вторичных max. Из рис1  N
растет, max – уже, вторичные max малы по
интенсивности. Если интерференция
большого числа лучей, интенсивность
которых убывает в геометрической
прогрессии, то интерференционная картина
– узкие резкие линии на темном фоне,
вторичные max отсутствуют (рис2).
Многолучевая
интерферометрия
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
СВЕТА
Многолучевая
интерферометрия
Практическая реализация – интерферометр
Фабри-Перо (рис1). Две стеклянные пластинки
разделены воздушным промежутком.
Неровности на внутренних сторонах – сотые
доли λ, металлические и диэлектрические слои.
Внешние слегка скошены относительно
внутренних, чтобы устранить блики. Ход луча –
на рис2. если собрать лучи 1, 2, 3… с помощью
линзы в т.Р фокальной плоскости, то
интенсивность колебаний определяется
I ( ) 
а разность фаз
I1
(1   )  4  sin ( / 2 )
2
 
2
2
2l
 cos 
,
.
Используется в спектроскопии для изучения
тонкой структуры спектральных линий, в
метрологии.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Принцип
Гюйгенса-Френеля
Дифракция – совокупность явлений, наблюдаемых при
распространении света в среде с резкими неоднородностями и
связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.
Проникновение световых волн в область
геометрической тени - с помощью принципа
Гюйгенса. Френель дополнил, учел амплитуды и
фазы вторичных волн  принцип ГюйгенсаФренеля. Каждый элемент волновой поверхности
S (рис) служит источником вторичной сферической
волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента
dS. Результирующие колебания в т.Р – суперпозиция колебаний,
взятых для всей волновой поверхности S.
где (ωt + α0) – фаза колебаний в
ao
E  расположения
 при
) dsφ, = 0, К
0
 K ( ) r cos(  tS, Кkrmax
месте
min = 0 при φ = π/2, r –
s
расстояние
от волновой поверхности до т.Р.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Зоны Френеля
Расчет (1) сложен, Френель – в симметричных случаях –
простое алгебраическое или геометрическое суммирование.
Сферическая волна в изотропной однородной среде от
точечного источника S (рис). Волновые поверхности такой
волны симметричны относительно прямой SР. Разобьем
волновую поверхность на зоны, построенные так, что
расстояние от краев каждой зоны до т.Р отличается на λ/2 
зоны Френеля 
bm = b + m·λ/2 (1)
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Зоны Френеля
Колебания, приходящие в т.Р от аналогичных точек двух
соседних зон – в противофазе  результирующие колебания,
создаваемые каждой из зон в целом, для соседних зон
отличается по фазе на π. Вычислим площадь зон (рис).
Площадь m-ой зоны ΔS = Sm = Sm-1; Sm-1 – площадь
сферического сегмента, выделяемого внешней границей
(m – 1) зоны. Из рис 
rm2 = a2 – (a – hm)2 = (b + m·λ/2)2 – (b + hm)2
(2) 
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Зоны Френеля
bm   m (  / 2 )
2
hm 
2
(3)
2(a  b)
При не очень больших m, т.к. λ мала, λ2 → 0 
hm 
bm 
2(a  b)
(4)
Площадь сферического сегмента S = 2πR·h (R – радиус сферы,
h – высота сегмента)  Sm = 2πahm = πab/(a+b)·mλ  площадь
m-ой зоны ΔSm = Sm - Sm-1 = πab/(a+b)·λ  площадь зон
Френеля при не очень больших m постоянна. Если m не велика,
hm << a  rm2 = 2ahm (из (2)). Подставим (4) 
rm 
ab
m
(5) - радиус внешней границы.
ab
Пример. а = b = 1м; λ = 0,5 мкм; r1 = 0,5мм. Таким образом,
Sзон = const, bm от зоны до т.Р медленно растет с m, φ между
нормально к элементам зоны и направлением на т.Р растет с m 
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Зоны Френеля
Am колебаний, возбуждаемых m-ой зоной в т.Р, монотонно
убывает с ростом m (справедливо даже для больших m), т.о.,
амплитуды образуют монотонно убывающую
последовательность А1>А2>А3>…> Am-1>Am>Am+1>… . Фазы
колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличается на π
 А = А1 - А2+А3 - А4+… (6) 
A
A   A
A 
A
  1  A  3    3  A4  5   ...
2
2   2
2 
 2
A1
Вследствие монотонного убывания Am 
Am  1  Am  1
2
(7)
 каждая
скобка равна 0. (7)  А = А1/2
(8)  амплитуда, создаваемая
сферической волновой поверхностью в т.Р равна ½ амплитуды,
создаваемой одной центральной зоной. Непрозрачный экран с
отверстием = S1  амплитуда в т.Р = А1, т.е. в 2 раза больше А,
соответственно, I в т.Р в 4 раза больше, чем при отсутствии
преграды между S и Р.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
половина 1-й зоны.
Зоны Френеля
Результат (8) можно получить
графически (рис1 и 2).
ОВ = 2 ОС, ОВ – внутренняя
Колебания от четных и нечетных зон Френеля – в противофазе
(говорили)  ослабляют друг друга. Если взять пластинку,
перекрывающую четные или нечетные зоны, интенсивность
резко возрастет – зонная пластинка  действует аналогично
собирающей линзе.
Еще больший эффект – изменять фазу колебаний на π
(например, толщину прозрачной пластинки)  фазовая зонная
пластинка. Дает дополнительное увеличение А в 2 раза, а I – в
4 раза (по сравнению с зонной пластинкой).
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
1. Дифракция от круглого отверстия.
Поставим на пути сферической
волны непрозрачный экран с
круглым отверстием r0 (рис1). При
r0 << a, b  a, b – расстояния от
источника и экрана до отверстия.
Если а и b удовлетворяют условию
r0 
ab
ab
m
(1)
(m – целое число), то открыто m первых зон
2
r
1 1
Френеля, построенных для т.Р  m  0   
 a b
(2) 
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
 А(т.Р) = А1 – А2 + А3 - … (3)  А = А1/2 + Am/2
 (m – нечетное), А = А1/2 + Am-1/2 – Am (m – четное) 
Am-1/2 – Am  -Am/2  A = A1/2  Am/2 (4) 
для малых m Am  A1  нечетные m – A  A1, четные m –
A = 0. Без преграды А (т.Р) = А1/2, т.е. преграда с небольшим
нечетным m увеличивает А в 2 раза, I – в 4 раза. Характер
дифракционной картины – на рис2.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
2. Дифракция от круглого диска.
Если диск закрывает m первых зон
Френеля, амплитуда колебаний в
т.Р А = Аm+1 – Аm+2 + Аm+3 - … =

Am  1
2
Am  3 
 Am  1

 Am  2 
  ... 
2 
 2
скобки положим равными 0 
A
Am  1
2
.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
Характер картины – на рис; при малом m Am+1  A1 
интенсивность в т.Р, как при отсутствии преграды. В центре –
светлое пятно. Если диск закрывает часть центральной зоны,
тени нет, много зон – кольца в области на границе
геометрической тени, Am+1 << A1, так что светлое пятно в центре
отсутствует, освещенность в области геометрической тени
практически всюду равна 0.
В 1818 Френель победил в конкурсе Парижской Академии наук.
Волновая теория света признана.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
3. Дифракция от
прямолинейного края
полуплоскости. Плоская
световая волна, не
прозрачная полуплоскость
с прямолинейным краем, совпадающим с одной из волновых
поверхностей, на расстоянии b – экран, параллельный
плоскости (рис1). Разобьем открытую часть волновой
поверхности на зоны (рис1), ширина которых выбрана так,
чтобы расстояние от краев соседних полосок до т.Р отличалось
на одинаковую величину Δ  колебания, создаваемые в т.Р,
будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зоны m и m’
симметричны относительно т.Р и имеют одинаковую ширину 
колебания совпадают по А и δ.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
Оценим площадь зон
(рис2). Суммарная
ширина 
d 1  d 2  ...  d m 
(b  m  )  b 
2
2
2 bm   m  ,
Δ << b  при не очень больших m - d1 + d2 +…+ dm =
2
2
2 bm  .
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
m =1  d1 = 2 b   d1 + d2 +…+ dm = d1 m 
d m = d1 ( m  m  1 ) 
d1:d2:d3: …= 1:0,41:0,32: …  аналогично и
площади зон  амплитуда в т.Р убывает
вначале быстро, затем медленнее. Графически
– на рис1. Если ширина зон → 0, плавная кривая
– спираль Корню. Уравнение спирали в
параметрической форме:
v
 
 cos
0
u
2
v
2
du ;
 
 sin
0
u
2
du 
2
интегралы Френеля не берутся в элементарных
функциях, но существуют таблицы.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
IvI – длина дуги кривой Корню,
измеренной он начала координат.
Числа, отмеченные вдоль кривой
на рис, дают значения параметра
v.
Дифракция Френеля
от простейших преград
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
Точки F1 и F2 – фокусы (полюсы) спирали Корню. Спираль дает
возможность найти амплитуду световых колебаний в любой
точке экрана. Зависимость интенсивности света от координаты
х приведена на рис1. В области геометрической тени
интенсивность плавно спадает до 0. Справа от границы
геометрической тени – чередующиеся min и max
интенсивности. На рис2 – фотография дифракционной картины
от края полуплоскости.
ДИФРАКЦИЯ
СВЕТА
Дифракция Френеля
от простейших преград
4. Дифракция от щели. Бесконечно длинная щель – две, обращенные
в разные стороны, полуплоскости  задача может быть решена с
помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света,
плоскость щели и экран будем считать параллельными друг другу
(рис1). Дифракционная картина представляет либо светлую, либо
относительно темную центральную полосу, по обе стороны которой
располагаются симметричные относительно нее, чередующиеся
темные и светлые полосы. При большой ширине щели, начало и конец
результирующего вектора для т.Р лежит на внутренних витках спирали
около полюсов F1 и F2 (рис2). Интенсивность света в точках против
щели  const, на границе
геометрической тени – система
густо расположенных полос
(ρкогер >> размеров преграды).
ДИФРАКЦИЯ
Дифракция
Фраунгофера от щели
Пусть на бесконечно длинную щель (l >> d) падает плоская
световая волна. За щелью – собирающая линза, в фокусе –
экран (рис). Волновая поверхность, плоскость щели, экран –
параллельны. Разобьем открытую часть поверхности на
параллельные краям щели элементарные зоны шириной dx.
Вторичные волны, посылаемые зонами под φ, соберутся в т.Р.
Каждая зона – колебания dE. Линза
собирает плоские волны (1/r отсутствует)
 dE 
A0
b
cos(  t 
2

x sin  ) dx .
При φ = 0, колебания от всех
элементарных зон приходят в т.Р в
одинаковой фазе  амплитуда равна алгебраической сумме
амплитуд, складываемых колебаний. При φ  πb sinφ/λ =  kπ,
т.е. bsinφ = kλ (k = 1, 2, 3,…) амплитуда обращается в 0 –
условие min (b – ширина щели).
ДИФРАКЦИЯ
Дифракция
Фраунгофера от щели
Если разность хода от краев щели Δ = kλ, то открытую часть
волновой поверхности разобьем на 2k зоны, причем, разность
хода от краев каждой зоны λ/2. Колебания от каждой пары
соседних зон взаимно погашают друг друга, если для т.Р
Δ =  (k + ½)λ – число зон нечетное, действие одной из них не
компенсировано – max интенсивности.
График функции интенсивности – на
рис. Количество min определяется 
sinφ =  kλ/b  l sinφ I  1  kλ/b  1
 k  b/λ  b < λ – min нет –
интенсивность света монотонно
убывает от середины к краям картины.
Угловая ширина центрального max  δφ = 2arcsinλ/b; b >> λ 
δφ = 2λ/b. I0: I1: I2: I3… = 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008…
ДИФРАКЦИЯ
Рассмотрим критерий, позволяющий
определить, какой вид дифракции имеет место
в каждом конкретном случае (рис).
(r + Δ)2 = r2 + b2 – 2rb cos(π/2 + φ) 
2rΔ + Δ2 = b2 + 2rb sinφ  интересует случай,
когда лучи, идущие от краев щели в т.Р почти
параллельны  Δ2 << rΔ  Δ = b2/2r + bsinφ (1); в пределе
r →   Δ = b sinφ – дифракция Фраунгофера.
При конечных r характер дифракционной картины определяется
Δ - Δ и λ.
Δ - Δ << λ (2) – практически дифракция Фраунгофера.
(Δ - Δ) ~ λ (3) – дифракция Френеля.
Из (1)  (Δ - Δ) = b2/2r ~ b2/l
экрана).
(4) (I – расстояние от щели до
ДИФРАКЦИЯ
Подставим (4) в (2) и (3)  b2/l << λ  b2/lλ << 1 – дифракция
Фраунгофера. Т.о., характер дифракции зависит от
безразмерного параметра b2/lλ 
 << 1 – дифракция Фраунгофера
b2/lλ  ~ 1 – дифракция Френеля
 >> 1 – геометрическая оптика
Смысл b2/lλ  возьмем точку, лежащую против
середины щели. Число открываемых щелью
Зон Френеля  (l + mλ/2)2 = l2 + (b/2)2 
m = b2/4lλ ~ b2/lλ  параметр непосредственно связан с числом
открытых зон Френеля.
Т.о., применимость геометрической оптики - не малость λ по
сравнению с характерным размером препятствия, а значение
параметра b2/lλ  b/λ и l/b = 100  λ << b, но b2/lλ = 1 –
дифракция Френеля
ДИФРАКЦИЯ
Дифракционная
решетка
Дифракционная решетка – совокупность большого числа
одинаковых, отстоящих на одно и то же расстояние щелей.
Расстояние между серединами соседних щелей – период
решетки. Возьмем решетку, параллельно - собирающую линзу,
в фокальной плоскости – экран (рис).
Волна плоская, падает на решетку
нормально. Каждая из щелей – картину,
рассмотренную в предыдущем разделе.
Картины от всех щелей – на одно и то
же место экрана (центральный max – против
центра линзы). Если колебания некогерентные –
результирующая картина как от одной щели, а Iреш = IφN (1).
Однако колебания в большей или меньшей степени
когерентные, результирующая интенсивность будет отличаться
от (1). В дальнейшем ρкогер >> ℓреш  колебания от всех щелей
решетки когерентны друг относительно друга.
ДИФРАКЦИЯ
Дифракционная
решетка
Тогда результирующее колебание в т.Р – сумма N колебаний с
одинаковой Аφ, сдвинутых друг относительно друга по фазе на
δ
sin ( N  / 2 )
2
I реш  I 
(2)
sin ( / 2 )
2
Из рис Δ от двух соседних щелей  Δ = dsinφ 
δ = 2π۰Δ/λ = 2π/λ۰dsinφ
в (2)  I
реш
(3) 
sin ( b sin  /  ) sin ( N  d sin  /  )
 I0

2
2
( b sin  /  )
sin ( d sin  /  )
2
2
(4)
где I0 – интенсивность, создаваемая одной щелью против
центра линзы. Первый множитель в (4) равен 0 в точках
b sinφ =  kλ (k = 1, 2,…)
(5)
В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в
отдельности, равна 0.
ДИФРАКЦИЯ
Дифракционная
решетка
Второй множитель в (4) равен N2 в точках
dsinφ = mλ (m = 0, 1, 2,…)
(6)
колебания отдельных щелей взаимно усиливают друг друга Аmax
= N۰Аφ. (6) – условие главного max, m - порядок главного max.
Imax = Amax2 = N2Iφ
(7)
Кроме min (5), в промежутках между соседними главными max
– (N-1) добавочных min 
dsinφ =  k’λ/N (k’ = 1, 2,… N-1, N+1…2N-1, 2N+1,…)
(8)
(все значения, кроме 0, N, 2N,…). Наблюдаются в тех
направлениях, для которых колебания от отдельных щелей
взаимно погашают друг друга.
Количество наблюдаемых главных max из (6) 
I sinφ I  1  m  d/λ
(9)
Угловая ширина центрального max 
δφ0 = 2arcsin(λ/Nd) ≈ 2λ/Nd
(10)
ДИФРАКЦИЯ
Угловая ширина m-го max  m 
Дифракционная
решетка
1
1  m ( / d )
2
2

2
(11 )
Nd
(N велико). При m = 0, (11) переходит в (10). Положение
главного max зависит от λ  при пропускании через решетку
белого света, все max (кроме центрального), разложатся в
спектр (рис). Т.о., дифракционная решетка – спектральный
прибор. Основные характеристики – дисперсия и разрешающая
сила.
Дисперсия определяет угловое (или линейное) расстояние
между двумя спектральными линиями, отличающимися по λ на
единицу, например, 1Å.
Разрешающая сила определяет минимальную разность длин
волн, при которой две линии воспринимаются раздельно.
ДИФРАКЦИЯ
Дифракционная
решетка
Угловая дисперсия  D = δφ/δλ (12)
Для дифракционной решетки продифференцируем (6), слева
по φ, справа по λ; «минус» опустим  d cosφδφ = mδλ 
D = δφ/δλ = m/dcosφ, при небольших углах cosφ ≈ 1  D = m/d.
Линейная дисперсия  Dлин = δℓ/δλ, при малых φ δℓ = f’δφ (рис1)
 Dлин = f’D  Dлин = f’۰m/d.
Разрешающая сила  R = λ/δλ. Два max разрешены, если
интенсивность в промежутке  80% Imax.Рэлей - если середина
одного совпадает с краем другого (рис2б). Для дифракционной
решетки  dsinφmax = m(λ +δλ), края m-го max для λ под углами
dsinφmin = (m  1/N)λ  m(1+δλ) = (m +1/N)λ  mδλ = λ/N 
R = mN.
ДИФРАКЦИЯ
Если
две
решетки
расположить
перпендикулярно друг другу,
d1sinφ1 =  m1λ (m1 = 0, 1, 2,…);
d2sinφ2 =  m2λ (m2 = 0, 1, 2,…) 
Картина – двумерная периодическая структура
(рис). Если направления, в которых структура
периодична, образуют угол, отличный от π/2,
дифракционные
max
располагаются
в
вершинах параллелограммов.
Дифракция наблюдается и на трехмерных
структурах – кристаллах. Их период очень мал
~ 10-10м  дифракция рентгеновских лучей
(Лауэ, Фридрих, Книппинг, 1913) – эксперимент
(Германия); Ю.Вульф (Россия); У.Г. и У.Л. Брэгг
(Англия) – независимо друг от друга – расчет
простым способом.
Дифракция
рентгеновских
лучей
ДИФРАКЦИЯ
Из рис – разность хода двух волн,
образовавшихся от соседних слоев,
2dsin, d – период идентичности
кристалла в направлении,
перпендикулярном рассматриваемым
слоям,  - угол скольжения,
дополнительный к углу падения.
Направления, в которых наблюдаются
дифракционные максимумы, 2dsin = mλ
(m = 1, 2,…)  формула Брэгга-Вульфа.
Расчет совпадает с расчетом по формуле
Лауэ. Дифракция рентгеновских лучей от
кристаллов применяется в рентгеновской
спектроскопии и рентгеноструктурном
анализе.
Дифракция
рентгеновских
лучей
ГОЛОГРАФИЯ
Голография – «полная запись», особый
способ фиксирования на фотопластинке
структуры световой волны, отраженной
предметом. 1947, Габор; 1963, Лейт и
Упатниекс (США) – лазерные голограммы;
1962, Денисюк – цветное изображение на
толстослойной эмульсии.
Схема получения (записи и
воспроизведения) голограмм на
тонкослойной эмульсии приведена на рис.
1 – опорный пучок; 2 – предметный пучок
(должны быть когерентны).
Применение – голографические
микроскопы, контроль качества обработки
изделий, видео и т.д.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА
ОБЪЕКТИВА
δ - минимальное угловое расстояние между двумя точками,
при котором они разрешаются оптическим прибором.
R = 1/δ - разрешающая сила прибора. Найдем R при
рассматривании удаленного предмета. Применим критерий
Рэлея. Из рис – две близкие точки разрешены, если угловое
расстояние между точками δ окажется
равным угловому радиусу
φmin = arcsin1,22۰λ/D  D >> λ 
δφ = 1,22۰λ/D  R = D/1,22λ 
разрешающая сила объектива тем больше, чем больше его
диаметр.
Пример. Глаз – диаметр зрачка при нормальном освещении
~2мм, λ = 0,5 ۰ 10-3мм  δφ ≈ 1’  расстояние между
соседними светочувствительными элементами сетчатки глаза
соответствует этому угловому расстоянию.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Естественный и
поляризованный
свет
Поляризованный свет – свет, в котором направления
колебаний светового вектора
упорядочены каким-либо образом. В
естественном свете колебания
различных направлений хаотично сменяют друг
друга.
Рассмотрим: Ех = А1cosωt; Ey = A2cos(ωt + δ)  E = Ex + Ey (рис) φ
 tgφ = Ey/Ex = A2cos(ωt + δ) / A1cosωt.
Естественный свет - наложение двух некогерентных э/м волн,
поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и
имеющих одинаковую интенсивность. Когерентные волны – в
общем случае сложение двух взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний одинаковой частоты дает движение Е
по эллипсу. При δ = 0, π – плоско поляризованный свет; δ = π/2;
А1 = А2 – свет, поляризованный по кругу.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Естественный и
поляризованный
свет
Эллиптическая и круговая поляризация – правая, если Е
вращается по часовой стрелке по отношению к направлению,
противоположному направлению луча; левая – наоборот.
Плоскость, в которой колеблется световой вектор в плоско
поляризованной волне – плоскость колебаний. Исторически –
плоскость поляризации перпендикулярна плоскости колебаний Е.
Плоско поляризованный свет можно получить с помощью
поляризаторов. Бывают совершенные – пропускают только
колебания, параллельные плоскости поляризатора и
несовершенные.
При прохождении частично поляризованного света через
поляризатор при вращении последнего вокруг направления луча,
интенсивность прошедшего света изменяется в пределах
Imin Imax; переход при φ = π/2.
Естественный и
поляризованный
свет
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Степень поляризации
P 
I max  I min
I max  I min
.
Плоско поляризованный свет Р = 1,
естественный Р = 0. К эллиптически
поляризованному свету понятие Р не применимо,
т.к. колебания упорядочены и Р = 1 всегда.
Колебания, совершающиеся в плоскости, образующей с
плоскостью поляризатора угол φ, можно разложить на
составляющие AII и A(рис)  АII = Acosφ; A = Asinφ.
AII пройдет, A будет задержано. Интенсивность прошедшей
волны ~АII2 = A2cos2φ. В естественном свете <cos2φ > = ½  при
вращении поляризатора интенсивность остается постоянной,
меняется ориентация плоскости колебаний света, выходящего из
прибора.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Естественный и
поляризованный
свет
Пусть на поляризатор падает плоско поляризованный свет А0 и I0
(рис1). Через прибор пройдет составляющая с А = А0cosφ и
I = I0cos2φ – закон Малюса. На пути
естественного света – 2 поляризатора, плоскости
которых образуют угол φ  из первого –
поляризованный свет I0 = ½ Iестеств., из второго –
I0cos2φ  I = ½ Iестеств. ۰ cos2φ  Imax = ½ Iестеств. при φ = 0
(поляризаторы параллельны). φ = π/2  I = 0 – скрещенные
поляризаторы.
Для эллиптически поляризованного света (рис2) при
вращении поляризатора от Imax до Imin – Imax при
совпадении
с большой полуосью эллипса, Imin малой. Также - при частично поляризованном свете.
При круговой поляризации – как естественный свет.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Поляризация при
отражении и
преломлении
При   0 отраженный и преломленный лучи
частично поляризованы (проводящая
поверхность – эллиптическая поляризация). В
отраженном луче преобладают колебания,
перпендикулярные плоскости падения, в
преломленном – параллельные (рис)  Р = f() 
обозначим ΘБр  tgΘБр = n12
(1)  при 1 = ӨБр отраженный
луч полностью поляризован, Р преломленного луча достигает
max. (1) – закон Брюстера.
При Ө = ӨБр отраженный и преломленный лучи перпендикулярны
друг другу.
Степень поляризации отраженного и преломленного лучей
рассчитывается по формулам Френеля.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Поляризация
при двойном
лучепреломлении
При прохождении света через все прозрачные
кристаллы (кроме кубической системы)
наблюдается двойное лучепреломление (1669,
Э. Бартолин, исландский шпат, СаСО3) 
упавший на кристалл луч разделяется на два,
распространяющиеся в общем случае с разными скоростями и в
различных направлениях.
Одноосные и двуосные кристаллы.
У одноосных – один из преломленных лучей подчиняется
обычному закону преломления (о), необыкновенный (е) –
sin1/sin2  const при изменении 1, отклоняется даже при
нормальном падении (рис), не лежит в одной плоскости с
падающим лучом и нормалью (исландский шпат, турмалин,
кварц).
Двуосные кристаллы – оба луча необыкновенные (слюда, гипс), n
зависит от направления распространения.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Поляризация
при двойном
лучепреломлении
Оптическая ось кристалла – направление в кристалле, вдоль
которого обыкновенный и необыкновенный лучи не разделяются
и движутся с одинаковой скоростью. Одноосные – одно
направление, двуосные – два.
Любая плоскость, проходящая через оптическую ось – главное
сечение (главная плоскость) кристалла. Из опыта –
обыкновенный и необыкновенный лучи полностью поляризованы.
Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна
главному сечению кристалла, необыкновенного – совпадает.
Двойное лучепреломление – только внутри кристалла. Различное
поглощение лучей внутри кристалла – дихроизм  используется
при изготовлении поляроидов (на целлулоидную пленку наносят
одинаково ориентированные кристаллы).
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Двойное лучепреломление объясняется
анизотропией кристаллов. В кристаллах не
кубической системы ε = f(φ). Одноосные
кристаллы -εII, ε и промежуточные значения;
n    n  const  характеризуется n0 = c/v0 и
ne = c/ve ( оптической оси кристалла).
Положительные кристаллы: ve < v0 (ne > n0);
Отрицательные кристаллы: ve > v0 (ne < n0) 
Положительные кристаллы – эллипсоид
скоростей вытянут вдоль оптической оси
(«+»), отрицательные – перпендикулярно
оптической оси («-»). Ход обыкновенного и
необыкновенного лучей в кристалле можно
определить с помощью принципа Гюйгенса.
Пример: нормальное падение (рис).
Поляризация
при двойном
лучепреломлении
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Интерференция
поляризованных
лучей
Интерференция двух когерентных поляризованных во взаимно 
плоскостях лучей не наблюдается  необходимо свести в одну
плоскость. Возможно с помощью поляризатора непараллельного
ни одной плоскости колебаний. Рассмотрим на примере
обыкновенного и необыкновенного лучей, вышедших из
кристалла. Пластинка вырезана параллельно оптической оси
(рис). За время прохождения пластинки (падение нормальное)
 Δ = (n0 – ne)d;  
(n0  ne )d
0
2 
поставим поляризатор 
Колебания в одной плоскости. Если естественный свет,
интерференции нет (колебания различных цугов),
плоско поляризованный – есть.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Прохождение плоско
поляризованного света
через кристаллическую
пластину
Пластинка вырезана параллельно оптической оси. На входе
δ = 0, на выходе  

0
2 
(n0  ne )d
0
2  . Пластинка, для которой
(n0 – ne)d = mλ0 + λ0/4 – пластинка в четверть волны (о и е
приобретают δ = π/2 с точностью до 2πm); (n0 – nе)d = m0λ + λ0/2 –
в половину волны и т.д. Рассмотрим прохождение плоско
поляризованного света через пластинку в полволны. Колебания Е
в плоскости Р в падающем луче возбудит при входе в кристалл
Е0 обыкновенного и Ее необыкновенного лучей (рис). На выходе –
свет будет поляризован в плоскости
Р’ (δ - на π), плоскости Р и Р’ симметричны,
относительно оптической оси пластинки О 
пластинка в полволны поворачивает плоскость
колебаний прошедшего через нее света на 2φ.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Прохождение плоско
поляризованного света
через кристаллическую
пластину
Рассмотрим прохождение плоско поляризованного света через
пластину в четверть волны (рис). φ – угол между плоскостью
колебаний Р во входящем луче и осью
пластинки, φ = 450, амплитуды входящих лучей
одинаковы, дихроизма нет, δ = π/2  свет
поляризован по кругу. При ином φ амплитуды
различны, поляризация по эллипсу. Если
пластинка не совпадает с m + ¼ и m + ½ - две
когерентные волны, поляризованные во взаимно  плоскостях с
δ  π/2,  π  эллиптически поляризованный свет, причем ни
одна из осей эллипса не совпадает с осью пластинки. При φ = 0
или π/2 – только один луч (е или о, соответственно). На пути
эллиптически поляризованного света – пластинка ¼ волны,
оптическая ось вдоль одной из осей эллипса  на выходе плоско
поляризованный свет. Используется для исследования степени
поляризации.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Кристаллическая
пластинка между двумя
поляризаторами
Между Р и Р’ – пластинку из одноосного кристалла, вырезанную
параллельно оптической оси О (рис1). На выходе из Р’ – снова
плоско поляризованный свет с I’ = f (ориентации Р, Р’, O, δ0, δe).
Пусть φ = π/4  два частных случая: РIIP’; PP’ (рис2). Волны,
вышедшие из второго поляризатора когерентны и будут
интерферировать. Интенсивности  I’II = Icos2۰δ/2; I’ = Isin2δ/2 
I’II и I’ - «дополнительные», т.е. III + I = I; при δ = 2mπ (1) (m = 1,
2, 3…); I’II = I, I = 0; δ = (2m + 1)π, (2) (m = 0,1, 2,…), I’II = 0, I = I,
(n0 – ne) = f(λ)  пусть свет, падающий на Р из λ1 и λ2  δ (λ1)
удовлетворяет (1), δ(λ2) – (2)  РIIP’ пройдет λ1, РР’ – λ2 (рис) –
такие 2 волны и окраски света – дополнительные. При вращении
- меняются. Пластины переменной d - различные цвета.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Искусственное двойное
лучепреломление
Может возникать под внешним воздействием в прозрачных
аморфных телах и кристаллах кубической системы, например,
механических деформациях. Мера возникающей оптической
анизотропии - (n0 – ne). Из опыта n0 – ne = kσ, где σ = F/s –
напряжение в данной точке, k = f(свойств вещества) 
Метод оптического исследования напряжений – деталь между
PP’. 1875 – эффект Керра – двойное лучепреломление в
жидких и аморфных телах под воздействием электрического
поля. 1930 – в газах. Установка для исследования эффекта – на
рис. Жидкость приобретает свойства одноосных кристаллов с
оптической осью, ориентированной по полю 
n0 – ne = kE2  δ = Δ/λ0۰2π = 2π۰k/λ0۰ℓE2;
δ = 2πBℓE2, где В – постоянная Керра,
характеризует вещество. Ячейка Керра –
безинерционный световой затвор.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Вращение плоскости
поляризации
Естественное вращение  оптически активные вещества
обладают способностью вызывать вращение плоскости
поляризации плоско поляризованного света (кварц, киноварь,
скипидар, раствор сахара и т.д.). Кристаллические вещества 
φ = α ℓ, α – постоянная вращения. Растворы  φ = [α]cℓ,
[α] – удельная постоянная вращения, ℓ - путь, с – концентрация.
Направление вращения (относительно луча) не зависит от
направления луча. Все оптически активные вещества - в двух
разновидностях – левовращающей и правовращающей.
Молекулы или кристаллы одной разновидности – зеркальное
отражение другой.
Эффект Фарадея – магнитное вращение плоскости
поляризации  φ = VℓH, V – постоянная Верди, V = f(λ).
Направление – направлением Н.
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА
Дисперсия света – явления, обусловленные зависимостью
показателя преломления вещества от частоты  n = f(ω)
(1)
Для всех прозрачных бесцветных веществ функция (1) имеет
вид, приведенный на рис. С увеличением частоты n возрастает
 dn/dω > 0. В этом случае – дисперсия нормальная. Если
вещество поглощает часть лучей, то в области поглощения и
вблизи нее n при увеличении ω уменьшается  dn/dω < 0 
аномальная дисперсия.
Среды, обладающие дисперсией –
диспергирующие. В диспергирующих
средах скорость световых волн
зависит от частоты.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Строго монохроматическая волна Е = Acos(ωt – kx + α) (1) –
бесконечная во времени и пространстве последовательность
«горбов» и «впадин», перемещающихся вдоль оси х с фазовой
скоростью v = ω/k. Для передачи информации не подходит.
Проще – импульс (рис) – по теореме Фурье – наложение волн
вида (1) с частотами, заключенными в интервале Δω.
Суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте – волновой
пакет или группа волн 
 0   / 2
E ( x, t ) 
 A cos(  t  k  x    ) d 
(2)
 0   / 2
При фиксированном t график (2) имеет вид, приведенный на
рис. С уменьшением t смещается вдоль х. в пределах пакета
плоские волны в большей или меньшей степени усиливают друг
друга, вне – практически полностью гасят.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Расчет показывает, что чем меньше ширина пакета Δх, тем
больший интервал частот Δω или соответственно больший
интервал волновых чисел Δk требуется для того, чтобы описать
пакет с помощью (2)  Δk Δх ≈ 2π. Чтобы суперпозицию волн
считать группой волн – Δω << ω.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие
пакет, с одинаковой фазовой v  скорость пакета совпадает с v
и форма пакета не изменяется с t.
В диспергирующей среде с течением t ширина пакета
увеличивается. Если дисперсия не велика, расплывание пакета
не слишком быстро  пакету можно приписать скорость u, с
которой переносится центр пакета, т.е. точка max значения Е 
групповая скорость.
В диспергирующей среде u  v, где v – фазовая скорость
гармонической составляющей с Аmax.
dn/dω > 0 – u < v, dn/dω < 0 - u > v.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
На рис1 – волновой пакет для трех моментов t (u < v). Наряду с
перемещением пакета с u происходит движение «горбов» и
«впадин» внутри пакета с v. Если u > v, перемещение пакета и
движение «горбов» внутри противоположные  рассмотрим
суперпозицию двух плоских волн с А1 = А2 и λ1  λ2 (рис2).
Интенсивность max в т.А, где фазы обеих волн в данный момент
t совпадают. В точках В и С волны в противофазе, I
результирующей волны равна 0. Волны распространяются
слева направо, vспл > vштр  dn/dω > 0. Тогда место, где волны
усиливают друг друга, будет перемещаться
влево  u < vф.
Если vсил < vштр, dn/dω < 0, u > vф.
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
u = dω/dk  ω = vk  u = d(vk)/dk = v +k۰dv/dk 
dv/dk = (dv/dλ)۰(dλ/dk); λ = 2π/k  dλ/dk = -2π/k2 = -λ/k 
dv/dk = -(dv/dλ)۰(λ/k)  u = v – λdv/dλ  зависит от знака dv/dλ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ДИСПЕРСИИ
Дисперсия света может быть объяснена на основе э/м теории и
электронной теории вещества  рассмотреть взаимодействие
света с веществом. Движение электронов в атоме – квантовая
механика, но Лоренц показал, что для качественного
понимания многих оптических явлений достаточно принять, что
электроны в атоме квазиупруго связаны. При выведении из
положения равновесия такие электроны начинают колебаться,
теряя энергию на излучение э/м волн. В результате колебания
– затухающие; затухание учитывается «силой трения
излучения».
Для неполярных молекул имеем:
n 1
2
N
0

k
2
e /m
2
0k

2
(1)
При частотах ω, заметно отличающихся от всех собственных
ω0k сумма в (1) мала по сравнению с 1 и n2 ≈ 1.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ДИСПЕРСИИ
Вблизи каждой из собственных
частот функция (1) терпит разрыв:
ω → ω0k слева - обращается в +,
при стремлении справа – в - (рис1).
Такое поведение – пренебрегли трением излучения 
амплитуда вынужденных колебаний при резонансе равна .
Учет трения – зависимость n2 от ω – сплошной кривой. На рис2
– зависимость n от ω в области одной из резонансных частот,
штрихи – зависимость коэффициента поглощения от частоты.
Участки 1-2 и 3-4 – нормальная дисперсия (dn/dω > 0), 2-3 –
аномальная дисперсия (dn/dω < 0). В области 3-4 n < 1  vф > c
 не противоречит теории относительности, т.к. v передачи
сигнала ≤ с! Передать сигнал можно только с помощью не
вполне монохроматической волны. В области нормальной
дисперсии dv/dλ > 0 и, хотя v > c  u < c. В области аномальной
дисперсии – поглощение и формулы другие, но и они дают
скорость < c.
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
При прохождении световой волны через вещество, часть
энергии волны затрачивается на возбуждение колебаний
электронов. Частично эта энергия возвращается в виде
вторичных волн, испускаемых электронами, частично – в
энергию движения атомов (внутренняя энергия). Интенсивность
света уменьшается, свет поглощается.
Вынужденные колебания электронов, следовательно и
поглощение света, особенно интенсивны при резонансных
частотах (пред. рис).
Опыт  I = I0e-æℓ (1) – закон Бугера. Здесь æ – коэффициент
поглощения, ℓ - толщина слоя  dI = -æI0е-æℓdℓ = -æIdℓ
(2) 
убыль интенсивности ~dℓ и I, коэффициент
пропорциональности – коэффициент поглощения.
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
Из (1)  ℓ = 1/æ, I в е раз меньше, чем I0  коэффициент
поглощения – величина, обратная толщине слоя, при
прохождении которого интенсивность света убывает в е раз. æ
= f(ω). Для веществ, у которых атомы (молекулы) практически
не воздействуют друг на друга, æ для большинства ω(λ) близок
к 0 и лишь для очень узких спектральных областей (несколько
сотых Å) – резкий max (рис1).
ωмол << ωат, т.к. mат << mмол. Газы при высоком давлении,
жидкости, твердые тела – сплошной спектр поглощения (рис2).
Объясняется взаимодействием атомов и молекул. Металлы
практически на прозрачны для света (æ = 106м-1; æстекла ≈ 1м-1).
Объясняется наличием большого числа свободных электронов
 энергия волны переходит во внутреннюю энергию металла.
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
С классической точки зрения, свет, проходя через вещество,
вызывает колебания электронов – возбуждают вторичные
волны, распространяющиеся по всем направлениям 
рассеяние света. Однако вторичные волны когерентны –
взаимная интерференция. Расчет для однородной среды –
вторичные волны полностью гасят друг друга во всех
направлениях, кроме направления распространения первичной
волны  перераспределения света по всем направлениям, т.е.
рассеяния нет.
Вторичные волны не гасят друг друга при распространении
света в неоднородной среде. Световые волны дифрагируют на
неоднородностях среды, дают дифракционную картину,
характеризующуюся довольно равномерным распределением
интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию на
мелких неоднородностях называют рассеянием света.
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Среда с явно выраженной оптической неоднородностью –
мутные среды  дымы, туманы, взвеси (суспензии), эмульсии,
твердые тела. Свет, рассеянный на частицах, размеры
которых значительно меньше λ, частично
поляризован  колебания электронов,
вызванные рассеиваемым световым пучком,
происходят в плоскости, перпендикулярной
пучку (рис). Колебания Е во вторичной волне – в плоскости,
проходящей через направление колебаний зарядов  свет,
рассеиваемый частицами в направлениях  пучку, полностью
поляризован.
В направлениях, образующих с пучком   π/2 – частично. В
результате рассеяния света в боковых направлениях
интенсивность в направлении распространения убывает
быстрее, чем в случае одного поглощения 
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
I = I0e -(æ + æ’)ℓ, где æ’ – коэффициент экстинкции. При малых
размерах неоднородностей (~0,1λ)  I ~ ω4 ~ 1/λ4  закон
Рэлея. Неоднородности ~λ – электроны, находящиеся в
различных местах неоднородности колеблются со сдвигом по
фазе, картина сложнее  I ~ ω2 ~ 1/λ2.
Закон Рэлея хорошо наблюдать при прохождении белого света
через мутную жидкость – луч голубоватый (сбоку), прошедший
пучок – красноватый. Рэлей  диаграмма (индикатриса)
рассеяния.
Мандельштам, Смолуховский – рассеяние на флуктуациях
плотности (хаотическое движение молекул) – молекулярное
рассеяние  голубой цвет неба, красное солнце на восходе и
закате. Особенно благоприятные условия для возникновения
флуктуаций плотности – вблизи критического состояния
вещества – критическая опалесценция.
ЭФФЕКТ ВАВИЛОВАЧЕРЕНКОВА
1934 Черенков – свечение жидкости под действием γ-лучей
радия. Вавилов – источник излучения – быстрые электроны,
создаваемые γ-лучами – эффект Вавилова-Черенкова.
Полное теоретическое объяснение – Тамм и Франк в 1937
(1958 – Нобелевская премия).
Э/м теория – заряд, движущийся равномерно, не излучает э/м
волн  Тамм и Франк – справедливо, если v заряженной
частицы ≤vф = c/n э/м волн в той среде, в которой движется
частица. При условии vчаст > c/n даже при равномерном
движении частица излучает э/м волны. В действительности
частица теряет энергию на излучение, вследствие чего
движется с отрицательным ускорением. Но ускорение не
причина (как при v < c/n), а следствие излучения.
ЭФФЕКТ ВАВИЛОВАЧЕРЕНКОВА
Даже если восполнить каким-либо способом
энергию частицы, все равно частица, двигаясь
равномерно с v > c/n, будет излучать.
Эффект Вавилова-Черенкова наблюдался
экспериментально для е-, р, μ при движении их в жидких и
твердых средах. В излучении Вавилова-Черенкова
преобладают короткие волны – голубая окраска. Наиболее
характерное свойство – испускается не по всем направлениям,
а лишь вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с
направлением скорости частицы (рис)  cos = (c/n)/v = c/nv.
Применение – в экспериментальной технике  счетчики
Черенкова  регистрировать частицы, судить об их энергии,
определять угол , а, следовательно, и v и Wкин частицы.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Излучение тела сопровождается потерей энергии  либо
убыль энергии самого тела, либо за счет получаемой извне.
Виды свечения:
- Фотолюминесценция – тело, предварительно поглотившее
свет, само светится. Излучение за счет энергии возбуждения
(активации), которую оно приобрело.
- Хемилюминесценция – тело светится в результате
происходящих химических реакций. Энергия излучения
возникает за счет энергии, освобождающейся при химическом
процессе.
- Электролюминесценция (свечение разряженного газа): газ
светится при прохождении через него электрического тока.
Энергия передается атомам или молекулам газа электронами
при столкновениях.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
- Тепловое (температурное) осуществляется в результате
теплового движения атомов и молекул.
Тепловое излучение – э/м излучение, испускаемое веществом
и возникающее за счет его внутренней энергии.
Важное значение – понятия равновесного излучения.
Рассмотрим полость с неподвижными и не
прозрачными стенками, температура которых
поддерживается постоянной  в полости
равновесие между поглощенной и излученной энергией 
следствие принципа детального равновесия  каждому
микропроцессу, происходящему в системе с той же
вероятностью соответствует микропроцесс, идущий в обратном
направлении. Переход в равновесное состояние управляется
вероятными законами. В полости устанавливается хаотическое
состояние излучения – max вероятность – равновесное
излучение.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Свойства равновесного излучения:
1. Плотность лучистой энергии, ее распределение по спектру
частот и направлениям распространения, поляризация
излучения не зависит от формы и материала стенок полости, а
определяются только температурой стенок полости.
2. Равновесное излучение однородно, изотропно и не
поляризовано.
Т.к. стенки имеют некоторую Т, то излучение имеет ту же Т.
При недостатке получаемой извне энергии, излучение за счет
внутренней энергии  равновесие нарушается, но если
излучение настолько медленно, что распределение внутренней
энергии в теле успевает выравниваться и продолжает
оставаться равновесным, то излучение также будет носить
равновесный характер 
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Температура тела будет падать, но в каждый данный момент
времени состояние можно рассматривать как равновесное и
приписывать ему определенную температуру.
К равновесным состояниям и процессам применимы законы
термодинамики 
Тепловое излучение должно подчиняться некоторым общим
законам, вытекающим из принципов термодинамики.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон Кирхгофа
Введем величины, характеризующие состояние излучения в
пространстве.

1. Плотность энергии излучения u  u(T) =  u(ω,T)dω, u(ω) –
спектральная плотность лучистой энергии. 0
2. Энергетическая светимость тела R – поток энергии,

испускаемый единицей поверхности
излучающего тела по
всем направлениям (в пределах телесного угла 2π).
3. Испускательная способность тела rω  dRω = rωdω;

0

RT 
 dR 
T

 r
0
T
dT
Вместо dω можно dλ  λ = 2πc/ω 
dλ = -2πc/ω2۰dω = - λ2dω/2πc;
dRλ= rλdλ  rωdω = rλdλ  rω = rλ۰2πc/ω2 = rλ۰λ2/2πc.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон Кирхгофа
4. Поглощательная способность тела аωТ  аωТ = dФ’ω/dФω;
dФω и dФ’ω – падающий и поглощенный потоки. По
определению аωT ≤ 1; аωТ  1 – абсолютно черное тело (ачт),
аωТ  аТ = const < 1 – серое. Между испускательной и
излучательной способностями – связь. Эксперимент  внутри
замкнутой оболочки, поддерживаемой при Т = const –
несколько тел (рис). Полость эвакуирована - обмен
энергией – только путем испускания и поглощения
э/м волн. Опыт – через некоторое t все тела примут
Т
оболочки (состояние теплового равновесия)  тело,
обладающее большей rωТ теряет в 1t c 1S больше энергии,
чем тело с меньшей rωТ  т.к. Т = const (следовательно и
энергия), тело, испускающее больше энергии, должно и
больше поглощать (больше аωТ)  чем больше rωТ, тем
больше аωТ 
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон Кирхгофа
(rωТ/аωТ)1 = (rωТ/аωТ)2 = (rωТ/аωТ)3 = ….
(1)  (1) – закон
Кирхгофа: отношение испускательной и поглощательной
способностей не зависит от природы тела, оно является для
всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты
(данных волн) и температуры  rωT/аωТ = f(ω,T) (2) (f(ω,T)) –
универсальная функция Кирхгофа.
Следствия из закона Кирхгофа:
1. Для aчт аωТ  1  при одной и той же Т aчт обладает
наибольшей испускательной способностью.
2. Из (2) аωТ  1  f(ω,T) = rωT aчт.
3. Всякое тело при данной Т излучает преимущественно лучи
тех ω(λ), которые оно при той же Т сильнее всего поглощает.
4. Испускательная способность aчт подчиняется закону
Ламберта (одинакова по всем направлениям).
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон Кирхгофа
Теоретические исследования – функция f(ω,T),
экспериментальные – φ(λ,Т) 
f(ω,T) = 2πс/ω2۰φ(λ,Т) = λ2/2πс۰φ(λ,Т) 
φ(λ,Т) = 2πс/λ2۰f(2πc/λ,T); f(ω,T) = 2πc/ω2۰φ(2πc/ω,T).
Абсолютно черных тел в природе не существует.
Модель - на рис. При каждом отражении часть
энергии поглощается, в результате
– излучение любой ω практически поглощается полностью.
Если стенки при Т = const, то по (2) - из полости выходит
излучение, близкое к излучению aчт при данной Т.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон Кирхгофа
Разлагая это излучение в спектр
(например, дифракционной
решеткой), экспериментально вид
функции f(ω,Т) или φ(λ,Т) (рис).
Площадь, охватываемая кривой, R
aчт. Из рис R возрастает с Т, а max
rλT сдвигается в область меньших λ.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Закон СтефанаБольцмана
Теоретическое объяснение законов излучения aчт имело
огромное значение в истории физики - привело к понятию
кванта энергии. Долгое время попытки получить
теоретический вид функции f(ω,Т) не давали общего решения
задачи  Стефан, 1879: R ~ Т4 для любого тела (из анализа
экспериментальных данных). Более точные измерения –
некоторое нарушение его выводов (тела не aчт). Больцман,
1884: из термодинамических соображений
для энергетической светимости aчт (R*) 

R* =

f(ω,T)dω = σT4,
(1) где σ – постоянная величина, Т – термодинамическая
температура.
(1) – закон Стефана-Больцмана; σ – постоянная СтефанаБольцмана, σ = 5,7۰10-8Вт/(м2К4).
0
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формулы и
закон Вина
Первое теоретическое исследование спектра – Михельсон в
1887, сформулировал задачу, решение не найдено. 1893 – Вин
из термодинамических соображений и электромагнитной теории
показал, что f(ω,Т) должна иметь вид:
f(ω,T) = ω3F(ω/T), где F – некоторая функция 
φ(λ,Т) = 2πс/λ2۰(2πс/λ)3 ۰ F(2πc/λT) = 1/λ5ψ(λT)  max
лучеиспускательной способности при условии
(dφ/dλ)λ=λm = 1/λ6Ψ(λmT) = 0  Ψ(λmT) = 0  λmT = b – закон
смещения Вина, b = 2,90۰10-3мК. Из закона Вина – при
понижении Т aчт max энергии излучения смещается в область
больших длин волн  объясняет, почему при остывании в
спектре излучения светящихся тел преобладает длинноволновое
излучение. При хорошем подборе функции ψ(λТ) – хорошее
совпадение с экспериментом в области коротких длин волн, но
заниженные – в области больших λ.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула РэлеяДжинса
Рэлей и Джинс – равновесная плотность излучения u(ω,Т),
исходя из теоремы классической статистики о
равнораспределении энергии по степеням свободы. Они
рассмотрели систему стоячих э/м волн в замкнутой полости.
Определялось число независимых волн в данном интервале
dω(dλ), затем к этим волнам применялся классический закон о
равномерном распределении энергии по степеням свободы.
Каждой независимой волне приписывалась степень свободы и
средняя энергия, равная ½ kТ. В результате было получено
выражение
u(ω,T)dω = <ε>dnω = kT۰ω2/π2c3 ۰dω 
u(ω,T) = ω2/π2c3۰kT
(1) 
f(ω,T) = ω2/4π2c2۰kT
(2),
где f(ω,Т) = с/4۰u(ω,T), dnω – число стоячих волн
рассматриваемой полосы, <ε> = kT – энергия каждого колебания.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула РэлеяДжинса
Функция (2) удовлетворяет условию
Вина. Выражения (1), (2) – формула
Рэлея-Джинса  удовлетворительно
согласуются с экспериментом в
области больших длин волн и резко
расходятся в области малых λ (рис).
Интегрирование (1) по ω в пределах
от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии u(Т)
бесконечно большое значение – ультрафиолетовая катастрофа
– противоречие с опытом! Равновесие между излучением и
излучающим телом устанавливается при конечных u(Т).
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула РэлеяДжинса
Работы Рэлея и Джинса показали, что последовательное
применение классической физики к исследованию
спектрального состава излучения aчт дает абсурдные
результаты, находящиеся в противоречии с законом
сохранения энергии  указывает на наличие в теории
серьезных дефектов - э/м теория для области коротких λ
неприемлема, нужен пересмотр, кот. начат Планком в 1900.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
На докладе в немецком физическом обществе 14.12.1900
Планк объявил о решении задачи нахождения вида
спектрального распределения в излучении aчт, полностью
совпадающего с экспериментальными данными.
Предположение, чуждое классической физике, э/м излучение
испускается в виде отдельных порций энергии - квантов 
ε = h = Ћω, h(Ћ = h/2π) – постоянная Планка, h = 6,62۰10-34
Дж۰с  в механике величину с соответствующей
размерностью называют «действием»  h – квант действия.
Планк ставил формальную задачу – «подогнать» теорию под
эксперимент. При условии дискретности он не предполагал
затрагивать основы классического физического понимания,
считая, что можно будет найти причинный физический
механизм. Согласился с квантовой механикой и физикой
только в 20-е годы 20 века.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
Если излучение – порциями Ћω, то его энергия кратна этой
величине εn = nЋω (n = 0, 1, 2,…)
(1)
В состоянии равновесия распределение колебаний по
значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана.
exp(   n / kT )
Pn  N n / N 
 exp(   n / kT )
(2)
n
Зная вероятность различных значений энергии колебания 
 
P
Подставим (1) и (2) в (3) 
n
n
( 3)
n

 
 n   exp(
 n   / kT )
n0
(4)

 exp(
n0
 n   / kT )
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
Окончательно получим

 
(5)
exp(   / kT )  1
Ћω → 0; (5) → <ε> = kT, (exp(Ћω/kT) ≈ 1 + Ћω/kT). Подставим
(5) в (1) из предыдущего раздела 

u ( , T ) d  
u ( , T ) 
или
3
 c
3
f ( , T ) 
2
2
exp(   / kT )  1




 c
2
1
exp(   / kT )  1
3
4 c
2
 d
2

1
exp(   / kT )  1
Выражения (7) и (8) – формула Планка.
3
(6) 
(7)
(8 )
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
Формула Планка точно согласуется с экспериментальными
данными во всем интервале частот (0  ∞).
1. Малые частоты (большие λ)
Ћω/kT << 1  <ε> ≈ kT; (7), (8) → (1), (2) (формула РэлеяДжинса):
3
2
u ( , T ) 
f ( , T ) 

 c
2
3


1    / kT  1
3
4 c
2
1
2


1
1    / kT  1

 c
2

3

kT ;
2
4 c
2
2
kT .
Для φ(λ,Т) имеем:
4  c
2
 ( ,T ) 

5
2

1
exp[ 2   c /( kT  )]  1
(9)
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
На рис – графики функций (8) и (9) для Т = 5000К. Из рис ωmax
не совпадает с 2πс/ λmax.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Планка
2. Энергетическая светимость aчт 
R* 



f ( , T ) d   
0
0
 k
2
R* 
2

4  c exp(   / kT )  1
2
4
60 c 
3
T
4
3
 T 
4
2
d 
закон Стефана-Больцмана.
3. Закон смещения Вина
Продифференцируем (9) по λ и приравняем к 0.
dφ(λ,T)/dλ = 0  Tλm = 2πЋc/4,965k = b
Т.о., формула Планка дает исчерпывающее описание
равновесного теплового излучения.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Тепловые
источники света
Лампы: накаливания – Лодыгин, 1873
дуговые – Яблочков, 1876
Важнейшие характеристики – спектральный состав излучения
и светового потока к мощности, потребляемой источником
света.
aчт не лучший источник света, 550нм – 5200К. Вольфрам –
Т = 2450К – 40% энергии излучения aчт. КПД лампы
накаливания ~ 1%.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Тормозное
рентгеновское
излучение
Для объяснения свойств теплового излучения пришлось ввести
представление о квантовой природе света. Другие явления,
подтверждающие квантовую природу света:
-тормозное рентгеновское излучение;
-фотоэффект;
-эффект Комптона
Рассмотрим их подробнее.
Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми
электронами твердых мишеней  в электронных трубках –
ионных и электронных. Ионные трубки – поддерживается
тлеющий разряд при низком давлении (Р = 10-3 мм рт.ст.)
Электронные трубки – свободные электроны возникают
вследствие термоэлектронной эмиссии с нагреваемого током
катода (Р = 10-5 + 10-7 мм рт.ст.) 
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Тормозное
рентгеновское
излучение
Между К и А приложено U, электроны разгоняются до энергии
eU  попав в вещество антикатода (А), электроны
испытывают сильное торможение и становятся источником
э/м волн. Интенсивность излучения 0 e a
2
I 
2
(а – ускорение электрона)
 0 6 c
Пусть а = const в течение всего времени торможения , тогда
I = const и электрон излучит за  энергию
2
0 e a 
2
W  I 
2
 0 6 c
2
 0 e v0
2

2
 0 6 c 
2
2

v0


КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Тормозное
рентгеновское
излучение
Заметное излучение – при резком торможении быстрых
электронов   → 0, W → ∞. На рентгеновские трубки
подается U ~ 50кэВ, ve- ~ 0,4c.
В бетатронах We- ~ 50 МэВ (v ~ 0,99995c) – большая
проникающая способность (λ мала). При достаточно
большой v – положительное характеристическое излучение.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Тормозное
рентгеновское
излучение
По классической э/динамике, при торможении
электрона, волны всех длин (λ = 0 ∞). Длина
волны, на которой max интенсивность
излучения  λmax ~ 1/v ~1/U. На рис –
экспериментальные кривые распределения
мощности тормозного рентгеновского
излучения по длинам волн для различных U.
Выводы, в основном, подтверждаются, но имеется
существенное отличие – кривые обрываются на λmin. Из опыта
λmin = 12390/U; [λmin] = Å,[U] = B. Существование λmin – из
квантовой природы излучения , т.к. излучение за счет потери W
электроном
Ћω ≤ еU 
ω ≤ ωmax = eU/Ћ  λ ≥ λmin = 2πc/ωmax = (2πЋc/e)/U ≈ 12400/U.
Самый точный метод определения Ћ - по измерению
коротковолновой границы тормозного излучения.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Фотоэффект
Фотоэлектрический эффект (фотоэффект) – испускание
электронов веществом под действием света. Открыт Герцем в
1887 – проскакивание искры между цинковыми шариками
разрядника заметно отличается, если один из шариков осветить
УФ лучами. 1888-1889 Столетов установил:
1. Испускаемые под действием света заряды имеют
отрицательный знак.
2. Наибольшее действие оказывают УФ лучи.
3. Сила тока возрастает с увеличением освещенности
(пластины).
1898 Ленард и Томсон – удельный заряд испускаемых частиц –
электроны. Установка для исследований – на рис. Свет через
кварцевое окошко попадает на катод, электроны под действием
поля – на анод, фототок регистрируется гальванометром.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Фотоэффект
На рис – вольтамперная характеристика (зависимость фототока
от напряжения между электродами при неизменном световом
потоке), полученная на таком приборе. Из рис – при некотором U
фототок достигает насыщения  In определяется количеством
электронов, испускаемых катодом в единицу времени под
действием света. Пологий ход кривой – электроны вылетают из К
с различными v. Некоторая доля электронов обладает v,
достаточными для достижения А «самостоятельно» при U= 0.
Для того, чтобы I = 0, необходимо U3 (задерживающее
напряжение). При таком U3 ни один электрон не может
преодолеть U3 и достигнуть А. Тогда 1/2mvm2 = eU3 
измерив U3, можно определить максимальное
значение скорости электронов. Закон Столетова:
при неизменном спектральном составе падающего
на К света In ~ Ф.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Фотоэффект
К 1905 выяснено vm ≠ f(I), но = f(ω)  увеличение ω приводит к
возрастанию vm  не соответствует классическим
представлениям (vm ~ A). В 1905 Эйнштейн – все
закономерности фотоэффекта объясняются, если
предположить, что свет поглощается такими же квантами Ћω,
какими он, по предположению Планка, испускается  энергия,
полученная электроном, доставляется ему в виде кванта Ћω,
который усваивается им целиком. Часть этой энергии, равная
Авых, затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело.
Если электрон – на некоторой глубине, то часть энергии W’
может быть потеряна вследствие случайных столкновений в
веществе. Остаток энергии - Wk электрона, покинувшего
вещество. Wk – max, если W’ = 0  в этом случае должно
выполняться соотношение
Ћω = 1/2mvm2 + A (1) – формула Эйнштейна.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Фотоэффект
Фотоэффект и работа выхода в сильной степени зависит от
состояния поверхности металла  сложность проверки  в
1916 Милликен создал прибор, в котором исследуемые
поверхности подвергались очистке в вакууме, затем
измерялось Авых и исследовалась зависимость Wkmax от ω 
результаты в полном согласии с (1). Из (1) – если А > Ћω, то
электроны не могут покинуть металл  для возникновения
фотоэффекта необходимо выполнение условия
Ћω ≥ А или ω ≥ ω0 = А/Ћ  λ ≤ λ0 = 2πЋс/А,
где ω0, λ0 – красная граница фотоэффекта. Число
высвобождаемых электронов ~ числу падающих на
поверхность квантов света N. Ф определяется N в 1t  IH ~ Ф.
Большинство квантов – на нагревание вещества.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Фотоэффект
Типы фотоэффекта:
- Внешний (рассмотрен выше)
- Внутренний (в диэлектриках, полупроводниках)
Ћω > ширины запрещенной зоны – электрон, поглотивший
квант, переходит из валентной зоны в зону проводимости.
Если примеси - из валентной зоны на уровень примеси или
наоборот. Применение – фотосопротивления.
- Вентильный – на границе металл – полупроводник возникает
фото ЭДС. Применение – фотоэкспонометры.
- Многофотонный – электрон получает энергию от N фотонов.
Формула Эйнштейна имеет вид:
NЋω = 1/2mvm2 + A  красная граница смещается в сторону
более длинных λ (λ0 увеличивается в N раз), IN ~ ФN.
Наблюдается с помощью лазеров. N = 2, 3, 4, 5.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Опыт Боте.
Фотоны
Эйнштейн: свет не только поглощается и излучается, но и
распространяется в виде световых квантов – фотонов.
Непосредственное подтверждение – опыт Боте.
Тонкая металлическая фольга освещалась слабым пучком
рентгеновских лучей (рентгеновская флуоресценция) 
количество испускаемых квантов не велико, отметки на ленте
– случайным образом (противоречит волновой теории!) 
экспериментально доказано существование фотонов. Энергия
фотона определяется его частотой: Е = Ћω.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Опыт Боте.
Фотоны
Теория относительности – частица с энергией Е обладает
массой m = E/c2
(1)  m = Ћω/c2. Скорость движения
фотона с  подставим v = c  m  m 0 / 1  v 2 / c 2 т.е. m →
0 , ∞,
но из (1) – масса фотона конечна  возможно, если m0 = 0 
масса покоя фотона равна 0  отличие от р, n, e и т.д.: фотон
всегда движется с v = c и m0 = 0. Из СТО 
E c
2
2 2
p  m 0 c  m0 = 0  E = cp 
p = E/c = Ћω/с = 2πЋ/λ  т.е. фотон обладает импульсом  р
= 2πЋ/λ = kЋ  свет должен оказывать давление на то тело,
на которое он падает  давление равно импульсу,
сообщаемому фотонами 1S в 1t. Пусть плотность потока
фотонов N. Если все фотоны поглощаются телом, P = pN =
E/c۰N.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Опыт Боте.
Фотоны
При условии, что все фотоны отражаются, P = 2E/c۰N. При
отражении доли фотонов æ, поглощается (1 – æ) 
Р = 2Е/с۰ æN + Е/с۰(1 – æ)N = (1 + æ)N۰E/c.
Плотность потока фотонов N = nc (n - плотность фотонов)  Р
= (1 +æ)w
(2), где w – плотность энергии  (2) совпадает с
выражением для давления, вытекающим из э/м теории.
Опыты по исследованию давления света – Лебедев на
крутильных весах.
Т.о., свет обладает как волновыми (дифракция,
интерференция), так и корпускулярными (фотоэффект,
тормозное излучение) свойствами  корпускулярно-волновой
дуализм.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Опыт Боте.
Фотоны
Как соотносится волновая и корпускулярная картины? Рассмотрим
освещенность поверхности с обеих точек зрения. Волновые
представления – освещенность ~ А2, корпускулярные  ~ N 
между А2 и N – прямая пропорциональность. Носитель энергии и
импульса – фотон. Энергия выделяется в той точке поверхности, в
которую попадает фотон. Квадрат амплитуды определяет
вероятность того, что фотон попадает в данную точку
поверхности, точнее, фотон будет обнаружен в пределах
dV  dP = χA2dV  dP/dV = χA2 (плотность вероятности). Отсюда,
распределение фотонов по поверхности должно иметь
статистический характер. Равномерность – плотность потока
фотонов очень большая  освещенность 50 лк, λ = 0,555 мкм,
S = 1см2  N = 2۰1013 в 1с. Относительные флуктуации ~ (N)-1/2 
освещенность равномерная.
Флуктуация слабых потоков – Вавилов (~ 200 фотонов в с).
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Эффект
Комптона
Особенно четко корпускулярные свойства света проявляются в
эффекте Комптона (1923). При рассеянии рентгеновских лучей
различными веществами, в рассеянных лучах, кроме
первоначальной λ, лучи с большей λ’  Δλ = λ’ – λ  не
зависит от λ и природы рассеивающего вещества.
Эксперимент – Δλ = λ0(1- cos) = 2λ0sin2/2; где λ0 = 0,0242Å;
 - угол, образуемый направлением рассеянного излучения с
направлением первичного пучка. Схема опыта Комптона
приведена на рис1. Все особенности эффекта – рассеяние как
процесс упругого столкновения
рентгеновских фотонов с практически
свободными электронами. Свободные
электроны Есвязи << Ефотона. Пусть на
первоначально покоящийся электрон падает фотон с энергией
Ћω и импульсом Ћk (рис2). Энергия электрона до
столкновения равна mc2.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
СВЕТА
Эффект
Комптона
После столкновения - импульс р и энергия E  c p 2  m 2 c 2 .
Энергия и импульс фотона Ћω’, Ћk’  из законов сохранения
импульса и энергии:
   mc
2
   ' c
k  p  k '
Делим (1) на с 
p m c
2
2
2
(1 )
(2)
p  m c   ( k  k ' )  mc , ( / c  k ) 
2
2
2
p2 = Ћ2(k2 – k’2 – 2kk’) + 2Ћmc(k – k’)
(3)
Из (2) p2 = Ћ2(k – k’)2 = Ћ2(k2 + k’2 – 2kk’cos) (4)
Из сравнения (3) и (4) mc(k – k’) = Ћkk’(1- cos)  умножим на
2π и разделим на mckk’ 
2
2
2 


(1  cos  ), 2  k   
k'
k
mc
Δλ = λ’ – λ = λс(1- cos), где λс = 2πЋ/mc – комптоновская длина
волны. Для электрона λс = 0,0243 Å.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Закономерности в
атомных спектрах
Атомная теория строения вещества зародилась в древней
Греции и Риме. Исследования 19 в. вплотную подвели к
вопросу о строении атома. Наиболее продуктивным оказалось
изучение спектров атомов.
Изолированные атомы (разряженный газ, пары металлов) –
линейчатый спектр. Линии в спектрах атомов расположены не
беспорядочно, а объединяются в группы – серии линий.
Наиболее наглядно – спектр Н2. Расстояние между линиями
убывает по мере перехода от более
длинных волн к более коротким (рис).
Бальмер в 1885 – для Н2 
λ = λ0۰n2/(n2 – 4)
(1), где λ0 –
константа, n = 3, 4, 5,… 
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
  R(
1
2
2

1
n
2
)
Закономерности в
атомных спектрах
( 2 ), где R – постоянная Ридберга.
R = 2,07 ۰1016 с-1, (2) – формула Бальмера, серия линий-серия
Бальмера. Дальнейшие исследования – еще несколько серий:
1
1
Серия Лаймана
  R( 
), n  2 , 3, 4 ... (УФ )
1
Серия Пашена
2
1
  R(
3
Серия Брэкета

2
2
1
  R(
5
Можно объединить:   R (
2
1
n
1
  R(
4
Серия Пфунда
n

2
1
n

m
2
2
1
n
1
2
2

),
n  4 ,5 , 6 ... ( ИК )
),
n  5 , 6 , 7 ,... ( ИК )
),
n  6 , 7 ,8 ,... ( ИК )
1
n
2
)
( 3 ),
m  1, 2 , 3,... ; n  m  1.
(3) – обобщенная формула Бальмера. При n →∞, граница
серии  R/m2.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Закономерности в
атомных спектрах
Наличие спектральных серий объясняет комбинационный
принцип Ритца (1908) – основного закона спектроскопии. Суть
принципа – все многообразие спектральных линий
рассматриваемого атома может быть получено путем
попарных комбинаций спектральных термов 
T(n) = R/n2
(4)  ω = T1(m) – T2(n).
Выражение (4) – терм атома Н2, для других атомов может быть
сложнее.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Модель атома
Томсона
По классическим представлениям, атом испускает
монохроматическую волну (спектральную линию), если
электрон совершает гармонические колебания и удерживается
около положения равновесия квазиупругой силой вида f = - kr.
Томсон в 1903: атом, равномерно заполненная положительным
зарядом сфера, внутри которой – электрон (рис). Суммарный
положительный заряд
сферы равен заряду электрона. Электрон
взаимодействует с отдельными элементами сферы
по закону Кулона.
Один электрон – в центре сферы, несколько - в углах
определенной симметричной фигуры. При малых смещениях
электрон возвращается силой пропорциональной смещению.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Модель атома
Томсона
Т.о., объяснялось наличие квазиупругих сил, существование
которых предположил Лоренц в своей электронной теории.
Напряженность поля внутри равномерно заряженного шара в
гауссовой системе: E(r) = e/R3۰r (0 ≤ r ≤ R)  в атоме Н2 на
электрон в центре шара действует F = (-e)E = -e2/R3۰r = - kr.
При выведении из равновесия, электрон совершает колебания
1
 e  3
 
 

 R  
3
2 
15
-1
m  ωmR
m
λ = 6000Å
≈ 3۰10 с 
R ≈ 3۰10-8см
k
e
2
2
Полученное значение совпадает по порядку со значением R из
МКТ  подтверждение модели Томсона.
Недостатки: у +q и –q различная природа, почему +q не
разлетается под действием кулоновских сил?
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Опыты Резерфорда.
Ядерная модель атома
Для выяснения характера распределения +q и –q в атоме
необходимо непосредственное опытное «зондирование»
внутренних областей атома. Такое зондирование – Резерфорд
и его коллеги (Гейгер, Марсден). Наблюдали за прохождением
α-частиц через тонкие слои вещества. Схема установки - на
рис. Установили – подавляющее большинство
αчастиц рассеивалось на небольшие углы
(1о3о), но некоторые – на углы 135о150о 
при столкновении с большим +q,
сосредоточенным в малом объеме.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Опыты Резерфорда.
Ядерная модель атома
1911 – Резерфорд предложил ядерную модель атома  атомсистема зарядов, в центре которой тяжелое положительно
заряженное ядро с зарядом Ze и размерами не более 10-12см,
вокруг ядра – Z электронов по всему объему, занимаемому
атомом. Кулоновская сила взаимодействия: F = 2Ze2/r2
(гауссова система)  в опытах по рассеянию mv2/2 = 2Ze2/rmin,
v = 2۰109см/с, Z(Ag) = 49  rmin ≈ 6۰10-12см  опыты
подтвердили справедливость ядерной модели атома 
положительно заряженное ядро, вокруг по орбитам –
электроны  противоречит законам классической механики и
электродинамики  система неподвижных зарядов не может
быть устойчивой, но если электроны движутся, то они
непрерывно излучают, т.е. теряют энергию и должны упасть на
ядро, спектр должен быть сплошным. В действительности,
атом устойчив, не излучает непрерывно, спектр линейчатый.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Постулаты Бора
Выход из тупика – в 1913, Бор. В начале 20в. известны:
- Эмпирические закономерности спектров,
- Ядерная модель атома Резерфорда,
- Квантовый характер излучения и поглощения света.
Бор предложил:
1. Атом может находиться только в некоторых состояниях,
характеризующихся определенными значениями энергии Е1,
Е2,… Еn. В этих состояниях атом не излучает  состояния
стационарные, орбиты электронов соответственно, тоже
стационарны.
2. При переходе атома из одного стационарного состояния в
другое, испускается или поглощается один фотон (квант света)
с энергией Ћω = En – Em.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Постулаты Бора
3. В стационарном состоянии атома, электрон, двигаясь по
круговой орбите, должен иметь дискретное значение момента
импульса.
Ln = mevrn = nЋ (n = 1,2,3,…)
(1),
n – главное квантовое число.
Позднее – возможны многофотонные и безизлучательные
переходы.
Правило частот Бора (постулат 2) позволяет объяснить
комбинационный принцип Ритца:
ω = En/Ћ – Em/Ћ  T(n) = En/Ћ  Физический смысл терма –
энергия, соответствующая стационарному состоянию атома с
точностью до множителя.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Постулаты Бора
Рассмотрим спектр атома Н2 и сходных с ним ионов: электрон
движется в поле атомного ядра с зарядом Ze. Уравнение
движения электрона:
me۰v2/r = Ze2/r2
(2)
Исключив из (1) и (2) v, получим выражение для радиусов
допустимых орбит:
rn 

2
m e Ze
2
n
2
( n  1, 2 , 3,...)
( 3)
Радиус первой орбиты – Боровский радиус  ro 

2
m ee
2
 0 ,529 A .
Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии
электрона и энергии взаимодействия электрона с ядром 
Е = mev2/2 – Ze2/r.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Постулаты Бора
Из (2) mev2/2 = Ze2/2r  E 
4
En 
m ee Z
2
2
2
2
n
( n  1, 2 ,3,...)
Ze
2

2r
Ze
r
2

Ze
2
. Подставим (3):
2r
(4)
Схема энергетических уровней по (4) – на рис.
Атом Н2, Z = 1  при переходе из состояния n в
состояние m излучается фотон
4
  E n  E m
4
m e  1
1 
m e  1
1 
  e 2  2  2   e 3  2  2
2  n
m 
2  m
n 
обобщенная формула Бальмера, R = mee4/2Ћ3 согласуется с
экспериментом. Достоинство теории Бора – неприменимость
классических представлений к внутриатомным явлениям.
Недостаток – внутренняя противоречивость.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Опыты Франка и
Герца
Существование дискретных энергетических уровней атома
подтверждается опытами Франка и Герца (1914) – изучалось
прохождение через газы пучка электронов, ускоренных в
электрическом поле. Газ – пары Hg, Р ~ 1мм рт.ст. (рис1).
Между К и С – ускоряющее напряжение, между С и А – слабое
задерживающее напряжение. Исследовалась зависимость
силы тока I в цепи анода от напряжения U между К и С. Вместо
плавной кривой – зависимость с максимумами (рис2).
Объяснение – из-за дискретности энергетических уровней
атомы могут воспринимать энергии только порциями.
ΔЕ1 = Е2 – Е1, ΔЕ2 = Е3 – Е2 и т.д.
ТЕОРИЯ АТОМА БОРА
Опыты Франка и
Герца
До тех пор, пока энергия электрона меньше ΔЕ1, соударения
между электронами и атомами носят упругий характер
(me << mатома, энергия практически не меняется). Чем больше
энергия электрона, тем больше электронов достигает анода.
Как только Ее ≥ ΔЕ1, неупругие соударения  ve падает, на А
меньше электронов – min.
При возрастании U, электрон может претерпеть 2 неупругих
соударения и т.д. Максимумы кривой на рис 2 соответствуют
потенциалам возбуждения атома ртути. Т.о., в опытах Франка и
Герца непосредственно обнаруживается существование у
атомов дискретных энергетических уровней.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Гипотеза де
Бройля
Недостаточность теории Бора (неудача построения теории
атома Не) указывала на необходимость пересмотра квантовой
теории и представлений о природе микрочастиц (электронов,
протонов и т.д.). Насколько исчерпывающим является
представление электрона в виде малой механической
частицы, характеризующейся определенными координатами и
определенной скоростью? В результате исследований
выяснено, что свет обладает как волновыми, так и
корпускулярными свойствами. В 1924 де Бройль – дуализм
присущ не только оптическим явлениям, но имеет
универсальное значение. Допустив, что частицы вещества
обладают волновыми свойствами, де Бройль перенес на
случай частиц те же правила перехода от одной картины к
другой, какие справедливы и для света.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Гипотеза де
Бройля
Фотон обладает энергией Е = Ћω и импульсом р = 2πЋ/λ. По
идее де Бройля движение частицы связано с волновым
процессом, длина волны которого:
λ = 2πЋ/p = 2πЋ/mv; ω = E/Ћ
Гипотеза де Бройля была блестяще подтверждена
экспериментально. Дэвиссон и Джермер обнаружили
дифракцию электронов на кристаллической пластине (1927).
Томсон и Тартаковский (1927), независимо друг от друга
получили дифракционную картину при прохождении пучка
электронов через металлическую фольгу (рис). Ускоряющее
напряжение ~ 10кВ. Штерн – дифракционные явления присущи
атомным и молекулярным пучкам. 1948: Фабрикант, Биберман
– дифракция отдельных е-.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Дуализм
микрочастиц
Микрочастицы – элементарные частицы, атомы, молекулы и
т.д. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля
осложнило понимание природы микромира 
1. Волновая природа электрона не позволяет рассматривать
его как материальную точку.
2. Корпускулярная теория природы электрона проявляется в
том, что он всегда действует как единое целое, не дробясь на
части.
Доквантовая физика – «понять» - составить наглядный образ
объекта или процесса.
Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова.
Всякая наглядная модель – по классическим законам  не
пригодна для строгого представления квантовых процессов.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
В классической физике для точечного объекта характерны
следующие свойства:
- МТ обладает одновременно определенными значениями
координаты х и импульса рх;
- Совокупность последовательных положений точки образует
траекторию движения;
- Принцип причинности позволяет определить х и рх в любой
последующий момент времени t.
Принципиально иначе обстоит дело с локализацией волновых
объектов – волна занимает определенную область
пространства. Монохроматическая волна занимает все
пространство, т.е. интервал Δх, в котором заключена волна =
∞, а Δрх = 0  такой волновой объект имеет определенный
импульс и Δх = ∞. При Δх → 0 имеем Δрх = ∞ 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
Волновая природа таких квантовых объектов, как фотон и
электрон приводит к тому, что они не могут иметь
одновременно определенную координату х и импульс рх. В
1927 Гейзенберг проанализировал
соотношение между Δх и Δрх 
произведение неопределенностей
значений двух сопряженных
переменных не может быть по порядку
величины меньше постоянной Планка Ћ  принцип
неопределенности Гейзенберга: Δх ۰Δрх ≥ Ћ/2
(1)
Соотношение (1) было установлено из рассмотрения
следующего примера. Определим значение координаты
свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель
ширины Δх (рис) 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
До прохождения частицы через щель – точное значение рх 
рх = 0 (щель  р)  Δрх = 0, зато координата х совершенно
неопределенного значения. В момент прохождения через
щель, положение меняется  появляется неопределенность
Δх, но утрачивается определенность значения рх. Вследствие
дифракции – вероятность, что частица будет двигаться в
пределах угла 2φ  появляется неопределенность
Δрх = psinφ  sinφ = λ/Δx (было ранее)  Δрх ~ рλ/Δх 
Δх۰Δрх ~ рλ = 2πЋ согласуется с (1).
Соотношение неопределенностей Гейзенберга характеризует
не границы возможностей познания микромира, а отражает
объективные особенности природы микрочастиц,
обусловленные корпускулярно-волновым дуализмом.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
Принцип неопределенности – одно из фундаментальных
положений квантовой механики, объясняет, почему электрон не
падает на ядро, позволяет оценить размеры простейшего
атома. Если электрон падает на точечное ядро, его координаты
и импульс принимают определенное (нулевое) значение противоречит принципу неопределенности. Рассмотрим атом
Н2. Формально Еmin при p = 0, r = 0  производя оценку Emin - Δr
≈ r, Δр ≈ р  в (1)  rp = Ћ
(2) (1/2 опустили).
Е = р2/(2m) – e2/r. Подставим (2)  Е = Ћ2/(2mr2) – e2/r
(3)
Найдем значение r, при котором E = Emin 
продифференцируем (3) по r и приравняем к 0 
- Ћ2/(mr3) + e2/r2 = 0 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
r = Ћ2/(me2)
(4)  совпадает с радиусом первой боровской
орбиты атома Н2 (получали ранее). Подставим (4) в (3) 
энергия основного состояния:
E min
2
  me
 2

2m  
2
2
4

me
2 me
  e


2
2

2

совпадает с энергией первого боровского уровня для Z = 1.
Некоторые особенности соотношения неопределенностей для
энергии и времени
ΔE Δt ≥ Ћ
(5)
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Соотношение
неопределенностей
Гейзенберга
1. Если система в стационарном состоянии, то и тогда энергию
можно измерить с точностью до Ћ/Δt, Δt – длительность
процесса измерения, причина – взаимодействие системы с
измерительным прибором.
2. Соотношение (5) справедливо, если под ΔЕ понимать
неопределенность значения энергии нестационарного
состояния замкнутой системы, а Δt – характерное время, в
течение которого существенно меняются средние значения
физических величин этой системы.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Уравнение
Шредингера
1926, Шрейдингер в развитие идеи де Бройля о волновых
свойствах частиц получил свое уравнение. Он сопоставил
движению микрочастицы комплексную функцию координат и
времени, которую назвал волновой функцией (Ψ). Назовем ее
пси-функцией. Пси-функция характеризует состояние
микрочастицы. Вид функции – из решения уравнения
Шредингера 
2


   U   i
2
2m

t
(1)
m – масса частицы, i – мнимая единица, 2 – оператор Лапласа

2
2
2
  
2
 
x
2

 
y
2

 
z
2
(2)
Градиент U определяет силу, действующую на частицу, если
U ≠ f(t)  U имеет смысл потенциальной энергии частицы. Из
(1)  вид пси-функции определяется функцией U.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Уравнение
Шредингера
Уравнение Шредингера – основное уравнение
нерелятивистской квантовой механики; не выводится из других
соотношений  исходное основное предположение. Шредингер
установил свое уравнение, исходя из оптико-механической
аналогии (принцип Ферма, принцип меньшего действия). В
стационарном силовом поле, в котором движется частица,
решение уравнения Шредингера распадается на 2 множителя

Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)exp(-i۰E/Ћ۰t)
(3)
где Е – полная энергия частицы. В стационарном случае E =
const. Подставим (3) в (1) 


2
   U  E
2
(4)
2m
Это уравнение Шредингера для стационарных состояний.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Уравнение
Шредингера
Перепишем (4) в виде
2ψ + 2m/Ћ2۰(E – U)ψ = 0
(5)
В случае U = 0, (5) имеет вид:
2ψ + 2m/Ћ2۰Eψ = 0, где E = Ek
(6)
– уравнение Шредингера для свободной частицы.
Смысл пси-функции. 1926, Борн – квадрат модуля пси-функции
определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена
в пределах объема dV:
dP = AIΨI2dV = AΨΨ*dV
(7)
Условие нормировки:
 dP  A  |  | dV  1
2
V
V
А – коэффициент пропорциональности.
(8 )
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Уравнение
Шредингера
Из смысла при-функции, квантовая механика имеет
статистический характер. С помощью пси-функции можно
предсказать, с какой вероятностью частица может быть
обнаружена в различных точках пространства.
Свойства волновой функции:
1. Пси-функция должна быть конечной, непрерывной и
однозначной;
2. Производные ∂Ψ/∂r и ∂Ψ/∂t должны быть непрерывны.
3∞Функция |Ψ|2 должна быть интегрируема, т.е. интеграл
2
|  | dr должен быть конечным.


Уравнения вида (5), (6) имеют решения не при всех значениях
параметра Е, а только при избранных, собственных,
соответствующие решения – собственные функции.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Квантование
энергии
Совокупность собственных значений величины – спектр. Если
дискретная последовательность – дискретный спектр, если
непрерывная последовательность – сплошной. Квантование
энергии следует из основных положений квантовой механики
без дополнительных предположений. Найдем собственные
значения энергии и соответствующие им собственные функции
для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме.
Пусть частица может двигаться только вдоль оси х; движение
ограничено непроницаемыми для частицы стенками х = 0 и
х = ℓ. Потенциальная энергия U имеет вид, приведенный на рис.
U = 0 при 0 ≤ х ≤ ℓ; U = ∞ при x < 0; x > ℓ.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Квантование
энергии
Возьмем уравнение Шредингера в виде (5):

2
x
2

2m

2
( E  U )  0
(9)
Т.к. частица не может покинуть пределы ямы, то при х < 0 и
x > ℓ, ψ = 0. Из условия непрерывности – ψ(0) = ψ(ℓ) =0
(10) 
условие, которому должны удовлетворять решения (9),
имеющие физический смысл. В области, где ψ ≠ тождественно
0, (9):
2

2m
 2 E   0 (11 )
2
x

Введем k2 = 2m/Ћ2۰E
(12)  ψ“ + k2ψ = 0 - известно из
теории колебаний. Решение имеет вид:
ψ(х) = asin(kx +α)
(12)
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Квантование
энергии
Наложим граничные условия  ψ(0) = asinα = 0  α = 0;
ψ(ℓ) = asinkℓ = 0  kℓ = ±πn (n = 1,2,3,…)
(14),
n = 0 отпадает, т.к. ψ ≡ 0 – частица нигде не находится.
Исключив k из (12) и (14) - собственные значения энергии
2 2
частицы:
 
En 
2
n
2
( n  1, 2 , 3,...)
(15 )
2m
Спектр энергии – дискретный
(рис). Разность энергий
двух соседних уровней:
2 2
2 2
 
 
 E n  E n 1  E n 
( 2 n  1) 
n
2
2
m
m
Для больших масс (молекула)2«густые»
уровни
(ΔЕ ≈ 10-32۰n
эрг), спектр сплошной. Электрон в атоме ΔЕ ≈ 102۰n эВ –
дискретность весьма заметна.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Квантование
энергии
Собственные функции ψ из (14) и условия нормировки имеют
вид
2
nx
n ( x ) 

sin

,
( n  1, 2 , 3 ...)
(16 )
Графики функций Ψn – на рис. На рис б плотность вероятности
обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок
ямы, равна ψψ*. Из рис – в состоянии с n = 2, частица не может
быть обнаружена в середине ямы  такое поведение частицы
несовместимо с представлением о траектории. Согласно
классическим представлениям, все положения частицы
равновероятны.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Прохождение частиц
через потенциальный
барьер
Представим, что внутри области, где движется частица –
потенциальный барьер (рис) высоты U0. По классическим
представлениям, E > U0 – частица беспрепятственно проходит над
барьером, при 0 ≤ х ≤ ℓ лишь уменьшается скорость частицы, при
х > ℓ - принимает первоначальное значение. Если Е < U0, частица
отражается от барьера, проникнуть сквозь барьер она не может.
Согласно квантовой механике, поведение частицы – иначе:
1. Даже при Е > U0, есть вероятность отражения частицы.
2. При Е < U0, имеется отличная от 0 вероятность прохождения
частицы «сквозь» барьер и попадание в область x > ℓ.
Такое невозможное, с классической точки зрения,
поведение частицы, можно объяснить либо с позиции
принципа неопределенности Гейзенберга, либо
рассматривая решение уравнения Шредингера.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Прохождение частиц
через потенциальный
барьер
Рассмотрим с позиции принципа неопределенности 
одновременно невозможно приписать микрочастицам точные
значения скорости и координаты и, следовательно, Ек и U,
поэтому частица с энергией Е может пройти через барьер 
Δх۰Δрх ≈ Ћ, неоднозначность в импульсе однозначно связана с
неоднозначностью Ек, т.к. Ек = р2/2m. Если ΔЕк имеет порядок
U – E, то частица в I области имеет неопределенность в
координате 
 x   /  p   / 2 m (U  E ) .
Если ширина барьера ℓ меньше Δх, частица может
быть обнаружена по другую сторону барьера.
Частица как бы проходит по туннелю, проложенному сквозь
барьер на уровне полной энергии Е (рис)  туннельный
эффект.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Прохождение частиц
через потенциальный
барьер
Условие туннельного перехода:
 2 m (U  E )  
Прозрачность барьера:
  exp[  2  2 m (U  E ) /  ]
Если барьер не прямоугольной формы, коэффициент
пропускания имеет вид:
x
  exp[ 
2
2
 
x1
2 m (U  E ) dx ]
Туннельным прохождением через барьер объясняется αраспад, холодная эмиссия электронов из металлов, контактная
разность потенциалов и т.д.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Гармонический
осциллятор
Гармоническим осциллятором называют частицу,
совершающую одномерное движение под действием
квазиупругой силы F = -kx. Потенциальная энергия
U = kх2/2
(1)
Собственная частота классического гармонического
осциллятора   k / m . Выразим в (1) k через m и ω 
m x
2
U 
2
(2)
2
Одномерный случай 2ψ = d2ψ/dx2, уравнение Шредингера 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
d 
2
dx
2
2 2
2m 
m x
 2  E 
 
2
Гармонический
осциллятор

  0

( 3)
Из теории дифференциальных уравнений, уравнение (3) имеет
конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях
параметра Е 
Еn = (n +1/2)Ћω, (n = 0,1,2,…)
(4)
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Гармонический
осциллятор
Схема энергетических уровней гармонического осциллятора
дана на рис. Уровни вписаны в кривую потенциальной энергии.
Уровни энергии гармонического осциллятора эквидистантные.
Минимально возможное значение энергии Е0 = Ћω/2 
нулевая энергия  подтверждается
экспериментами по рассеянию света
кристаллами. При понижении температуры,
интенсивность рассеянного света стремится к
некоторому конечному пределу  колебания
атомов в кристаллической решетки при абсолютном нуле не
прекращаются. В гармонических осцилляторах возможны
переходы только между соседними уровнями  Δn = ±1 –
правило отбора  энергия может изменяться только на Ћω!
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с
зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона. При Z > 1
водородоподобный ион, Z = 1 – атом водорода. Потенциальная
энергия электрона равна U = -Ze2/r  уравнение Шредингера
имеет вид:
2

2
m
Ze
2
   2 e  E 
 
r

  0

(1)
Поле – центрально-симметричное  решение в сферической
системе координат. Уравнение имеет требуемые решения в
следующих случаях:
- При любых положительных значениях Е,
- При дискретных отрицательных значениях энергии, равных
4
En  
mee Z
2
2
2
2
n
(n  1,2,3,...)
(2)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
Первый случай (Е > 0) – электрон пролетает вблизи ядра и
удаляется на бесконечность.
Второй случай (Е < 0) – электрон в атоме, значение Еn – как у
Бора, но здесь без дополнительных предположений, из
решения уравнения Шредингера. Собственные функции
уравнения в сферических координатах содержат 3
целочисленных параметра:
- n – главное квантовое число, определяет энергию электрона в
атоме;
- ℓ - орбитальное (азимутальное) квантовое число, определяет
момент импульса L    (   1 ) , ℓ = 0,1,2,…n-1;
- m – магнитное квантовое число, определяет дозволенные
L    (   1) ,
ориентации орбитального момента L в пространстве,
например, проекции на направления внешнего магнитного
поля, m = 0, ±1, ±2,…±ℓ.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
Кроме того, существует спиновое квантовое число ms = ±1/2.
Т.о., каждому Еn (кроме Е1) соответствует несколько волновых
функций, отличающихся значениями квантовых чисел, т.е. атом
водорода может иметь одно и то же значение энергии,
находясь в нескольких различных состояниях. Состояния с
одинаковой энергией – вырожденные, число состояний –
кратность вырождения.
Кратность вырождений уровней Н2 вычисляется из возможных
значений ℓ и m  каждому из n значений ℓ соответствует 2ℓ +1
значений m  число различных состояний, соответствующих
данному n будет равно n 1
2
(
2


1
)

n


0
каждый уровень энергии атома водорода имеет вырождение
кратности n2.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
В таблице приведены состояния, соответствующие первым 3 уровням:
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
Состояния с различными значениями азимутного квантового
числа ℓ различаются значениями момента импульса. В атомной
физике – обозначения из спектроскопии  электрон в состоянии
ℓ = 0 – s-электрон, соответствующее состояние - s-состояние;
ℓ = 1 – р-электрон; ℓ = 2 – d-электрон; ℓ = 3 – f-электрон; затем g,
h и т.д. по алфавиту. Значение главного квантового числа –
перед условным обозначением ℓ  электрон в состоянии с n = 3
и ℓ = 1 обозначается 3р и т.д. Т.к. ℓ всегда меньше n, возможны
следующие состояния:
1s
2s, 2p
3s, 3p, 3d
4s, 4p, 4d, 4f и т.д.
В квантовой механике доказывается, что для ℓ имеется правило
отбора Δℓ = ±1
(3)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Атом водорода
Существование правила (3) обусловлено тем, что фотон
обладает собственным моментом импульса (спином), ≈Ћ. При
испускании фотон уносит из атома этот момент, а при
поглощении - привносит  (3) – следствие закона сохранения
момента импульса. Пользуясь условными обозначениями,
можно записать:
np → 1s (n = 1,2,3,4,…) – серия Лаймана;
np → 2s, ns → 2p, nd → 2p (n = 3,4,…) – серия Бальмера и т.д.
Состояние 1s – основное состояние атома водорода. В этом
состоянии атом обладает минимальной энергией.
Поглощающий атом обычно находится в основном состоянии 
спектр поглощения атома водорода:
1s → nр (n = 2,3,4,…)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Многоэлектронные
атомы
Спектры испускания атомов щелочных металлов, аналогично
спектру Н2, состоят из нескольких серий линий. Наиболее
интенсивные – главная, резкая, диффузная и основная
(Бергмана). Главная наблюдается и при поглощении, резкая и
диффузная – из резких и размытых линий, Бергмана – схожа с
сериями водорода. В конце 19в Ридберг установил
эмпирические формулы для расчета частот серий щелочных
металлов:
   
R
(n   )
2
,   граница серии, α – дробное число, n –
целое число, R – постоянная Ридберга.
Т.о., частоты могут быть представлены разностью 2 термов,
имеющих вид: Т(n) = R/(n + α)2
(1)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Многоэлектронные
атомы
Терм (1) отличается от терма Н2 наличием поправки α.
Постоянные ω∞ и α для различных серий имеют разное
значение. Для F-термов α = 0  основная серия –
водородноподобна. Формулы для частот спектральных линий
Na:
R
R


3
P

nS


( n  4 ,5 ,...);
Резкая серия
2
2
(3  p )
Главная серия
  3 S  nP 
Диффузная серия 
Основная серия
 3 P  nD 
  3 D  nF 
(n  s)
R
(3  s )

2
R
(3  p )
2
R
(3  d )
2
R
(n  p )


( n  3, 4 ,...);
2
R
(n  d )
2
R
(n  f )
2
( n  3, 4 ,...);
( n  4 ,5 ,...).
Поправки имеют значения: s = -1,35; p = -0,87; d = -0,01; f = 0,00.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Многоэлектронные
атомы
Из сходства спектров Н2 и щелочных металлов – спектры
щелочных металлов испускаются при переходе самого внешнего
(валентного или оптического) электрона с одного уровня на
другой. Решение уравнения Шредингера дает результат,
аналогичный Н2, но с тем отличием, что энергетические уровни
зависят не только от n, но и ℓ  снимается вырождение по ℓ.
Момент импульса атома складывается из моментов всех
электронов, входящих в состав атома.
Из опыта – момент импульса атомного остатка равен 0 
момент атома щелочного металла равен моменту его
оптического электрона  схема уровней атома можно считать
тождественна схеме уровней оптического электрона.
Сохраняется и правило отбора Δℓ = ±1.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Нормальный
эффект Зеемана
1896, Зееман – при помещении излучающих атомов в
магнитное поле, спектральные линии расщепляются на
несколько компонентов. Расщепление не велико
Н = (13)۰104эрстед, Δλ ~ 10-1Å. Можно предположить –
расщепление вызвано расщеплением энергетических уровней
под действием магнитного поля  вращающийся по орбите
электрон обладает и механическим, и магнитным моментом:
 
e
L
2me c
Вычислим величину орбитального магнитного момента
электрона и величину проекции момента на направление поля:
 
e
2me c
Б 
e
2me c
L
e
2me c
 9 , 27  10
  (   1)    Б
 20
эрг / Гс 
 (   1) ,
где
магнетон Бора
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Нормальный
эффект Зеемана
Проекция на направление поля 
H  
e
2m ec
LH  
e
2m ec
m  Б  m,
здесь m – магнитное квантовое число, L    (   1) , LH = mЋ.
Т.к. атом обладает магнитным моментом, то он приобретает в
магнитном поле дополнительную энергию.
ΔЕ = μБНm, m = 0, ±1,…±ℓ 
энергетический уровень Enℓ расщепляется на
(2ℓ +1) равностоящих друг от друга
подуровней  магнитное поле снимает
вырождение по m. Расщепляются и
спектральные линии (рис). Правило отбора
для m: m = 0, ±1. Однако в большинстве случаев расщепление
носит более сложный характер  для объяснения необходимы
дополнительные соображения.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Спин электрон. Опыты
Штерна и Герлаха
Исследования спектров щелочных металлов при помощи
приборов с большой разрешающей способностью показало,
что каждая линия этих спектров является двойной (дублет) 
Na (3P→3S), λ1 = 5890Å, λ2 = 5896Å. Для различных групп линий
расщепление различно  связано с расщеплением
энергетических уровней, но не описывается уравнением
Шредингера. С ростом атомного номера Δλ увеличивается.
1925, Гаудсмит и Уленбек - объясняется, если принять, что
электроны обладают собственным магнитным и механическим
моментами  вращающийся заряженный шарик  круговые
токи  spin  реально сложнее, spin – неотъемлемое свойство
электрона, как m и q. Предположение о спине электрона
подтверждено экспериментально (опыты Штерна и Герлаха,
1921) и вытекает из уравнения Дирака, отвечающего
требованиям теории относительности s = ±1/2; L s   s ( s  1)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Принцип Паули
Принцип неопределенности – траектория не имеет смысла 
следить и различать частицы невозможно  частицы теряют
индивидуальность  принцип неразличимости (принцип
тождественности) одинаковых частиц.
Следствие – пси-функция системы ψ(ζ1, ζ2), т.к. частицы не
различимы, перестановка ζ1 и ζ2 не должна приводить к
изменению физических свойств системы 
|ψ(ζ1, ζ2)|2 = |ψ(ζ2, ζ1)|2. Возможны 2 случая ψ(ζ1, ζ2) = ψ(ζ2, ζ1) и
ψ(ζ1ζ2) = -ψ(ζ2, ζ1). В первом случае ψ симметричная, во втором
– антисимметричная.
Частицы с нулевым или целым спином описываются
симметричными, а частицы с полуцелым спином –
антисимметричными пси-функциями.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Принцип Паули
Частицы с целым или нулевым спином могут находиться в
пределах данной системы в одинаковом состоянии в
неограниченном количестве; подчиняются статистике БозеЭйнштейна – бозоны. Частицы с полуцелым спином – только
поодиночке в квантовом состоянии; подчиняются статистике
Ферми-Дирака – фермионы.
1925, Паули – в одном и том же атоме (или какой-либо другой
квантовой системе) не может быть двух электронов (либо
других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковой
совокупностью квантовых чисел – принцип Паули.
Состояние электрона характеризуется 3 квантовыми числами n,
ℓ, m (в дальнейшем mℓ), к которым добавляется ms = ±1/2 
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Принцип Паули
- Главное n (n = 1,2,3,..)
- Азимутальное ℓ (ℓ = 0,1,2,…,n -1)
- Магнитное mℓ (mℓ = - ℓ,…,-1,0,+1,…,+ℓ)
- Спиновое ms (+1/2,-1/2)
Энергия зависит от n и ℓ, в меньшей степени от mℓ и ms. В
основном состоянии атома электроны должны располагаться
на самых низких доступных для них энергетических уровнях 
казалось бы в 1s (n = 1, ℓ = 0), основные термы - s-термы
(L = 0)  опыт не так! Объяснение – принцип Паули.
Данному n соответствует n2 состояний, различающихся ℓ и mℓ,
ms – два значения  в состояниях с данным n не более 2n2
электронов. n =1 – 2 электрона, n = 2 – 8 электронов, n = 3 – 18
электронов и т.д.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Принцип Паули
Совокупность электронов с одинаковым n – оболочка.
Оболочки на подоболочки, различающиеся ℓ.
Обозначения:
Значение n
1 2 3 4 5 6 7
Обозначение оболочкиK L M N O P Q…
Для полностью заполненной оболочки  L = 0, S= 0,
следовательно, момент такой подоболочки равен 0.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Периодическая система
элементов Менделеева
1869, Менделеев – периодический закон изменения
химических и физических свойств элементов в зависимости от
их атомных весов. Объяснение – принцип Паули. Вся химия –
следствие квантовой теории электрона со спином ½, но
расчеты сложные.
Основные положения теории периодической системы:
- Порядковый номер химического элемента равен общему
числу электронов в атоме данного элемента;
- Состояние электронов в атоме определяется набором их
квантовых чисел n, ℓ, mℓ, ms;
- Заполнение электронами энергетических состояний в атоме
должно происходить в соответствии с принципом Паули.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Периодическая система
элементов Менделеева
Многоэлектронный атом, ядро заряда Ze, вокруг ядра Z
электронов. Разобьем их по слоям в соответствии с главным
квантовым числом n, состояния с различными ℓ имеют
принятые ранее обозначения:
n
1K
2L
3M
4N
5O
ℓ01 2
s p d
2
2 6
2 6 10
2 6 10
2 6 10
максимальное число
электронов
2
8
18
14
32
14 18
50
3 4
f g
Рассмотрим объяснение открытых Менделеевым
закономерностей – исследуем изменение свойств атомов при
увеличении их атомного номера.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Периодическая система
элементов Менделеева
Z = 1, Н2, 1 электрон в 1s состоянии.
Z = 2, Не, 2 электрона в 1s состоянии  в атоме Не
единственной К-слой заполнен полностью. Атомы Не очень
устойчивы, не вступают в соединения с другими атомами.
Z = 3, Li, K-слой заполнен полностью, третий электрон
невозбужденного атома Li – в L-слое, движется в поле ядра,
экранированном полем двух электронов и сравнительно слабо
связан с атомом. Z = 4 10, от Ве до Ne заполняется L-слой,
т.е. 2s и 2р состояния. Ne, как и Не инертен.
Z = 11, Na, один электрон в М-слое (3s). Химически сходен с Н
и Li и т.д.  химические свойства атомов определяются
количеством внешних электронов, входящих в состав наиболее
удаленного от ядра слоя.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
Силы, удерживающие атомы в молекуле, вызваны
взаимодействием внешних электронов. Электроны внутренних
оболочек при объединении атомов в молекулу остаются в
прежних состояниях (рентгеновские спектры тяжелых
элементов).
2 вида связи:
- Гомеополярная (ковалентная, атомная)
- Гетерополярная (ионная)
В первом случае часть электронов движется около обоих ядер
(двухатомная молекула). Связь образуется парами электронов
с противоположно направленными спинами (Н2, N2, О2, СN). В
молекулах с одинаковыми ядрами электроны распределены
симметрично, с различными – некоторая асимметрия –
молекула приобретает электрический дипольный момент.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
Во втором случае электроны можно разделить на 2 группы,
каждая из которых находится около одного из ядер  избыток
около одного и недостаток около другого. Молекула как бы
состоит из 2 ионов противоположных знаков, притягивающихся
друг к другу (NaCl, KBr, HCl). Простейший пример
гомеополярной связи – Н2. 1927, Гайтлер и Лондон решили
уравнение Шредингера для системы из 2 протонов и 2
электронов (рис):
2
2
2
2
2
2
U 
e
r1 a

e
r2 a

e
r1b

e
r2 b

e
r12

e
.
R
В первом приближении ядра неподвижны,
т.к. mядра >> me-  21ψ +22ψ +

2me 
1
1
1
1
1
1 
2
E

e
(





)   0
2 
 
r12
R r1 a
r2 a
r1 b r2 b 
(1)
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
Собственные значения энергии из (1) зависят от расстояния
между ядрами R  E = E(R). Характер зависимости
существенно различен при ↑↑ и ↑↓ спинов электронов (рис1);
образование молекулы возможно лишь при сближении атомов с
↑↓ спинами. Е0 (R → ∞) равна сумме энергий изолированных
атомов в обоих случаях. Аналогично для других двухатомных
молекул (рис2). Изменение электронной конфигурации
молекулы приводит к
изменению кривой
зависимости электронной
энергии от расстояния между
ядрами R; E02 – сумма энергий
изолированных атомов в новом квантовом состоянии (кривая 2
рис2). В основном изменение энергетического запаса молекулы
происходит как и в атоме, в результате изменений в электронной
конфигурации периферийной части молекулы.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
При заданной электронной конфигурации ядра молекулы могут
различным образом колебаться и вращаться относительно
общего центра инерции  запасы колебательной и
вращательной энергии (учитываются в общем балансе): Е = Ее
+ Еv + Еr, где Ее обусловлена электронной конфигурацией, Ev –
колебательным движением, Er – вращательным движением
ядер молекулы. Энергия гармонического осциллятора:
Ev = (v+1/2)Ћωv
(2),
v = 0,1,2,… - колебательное квантовое число, ωv –
классическая частота осциллятора (было - n, ω), правило
отбора Δv = ±1.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
Кривая потенциальной энергии молекулы совпадает с
параболой только при малых колебаниях. Ангармоничность
приводит к сгущению уровней при увеличении v, предел Е0 –
энергия диссоциации молекулы (рис), но при небольших v Ev
достаточно точно определяется формулой (2).
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Энергия молекулы
Энергия системы, имеющей момент инерции I и вращающейся
с угловой скоростью ωr равна
2
M
2
2
E r  I r / 2  ( I r ) / 2 I 
, где М – момент импульса
2I
системы.
M   J ( J  1) ( J  0 ,1, 2 ,...), J  квантовое число
момента импульса. Еr – только квантованные значения:
 J ( J  1)
2
Er 
( 3 ),
J  вращательное квантовое число.
2I
Правило отбора ΔJ = ±1 (4)
В соответствии с (2) и (3) полная энергия
2
молекулы:
 J ( J  1)
E  E e  (v  1 / 2 ) v 
Из опыта ΔEr << ΔEv << ΔEe. Схема
энергетических уровней – на рис.
2I
.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Молекулярные
спектры
Атомные спектры – линейчатые, молекулярные – «полосатые»,
полоса – резкая с одного края и размытая с другого. Резкий
край – кант. Высокое разрешение – большое число близко
расположенных линий. Существуют серии полос (системы,
группы). Полосы и серии могут налагаться друг на друга 
значительно сложнее, чем атомные спектры, но квантовая
механика объясняет характер молекулярных спектров Е = Ее +
Ev + Er. В основном состоянии все 3 вида энергии имеют
минимальное значение. При сообщении достаточного
количества энергии – в возбужденное состояние, а затем – в
одно из более низких согласно правилам отбора и излучает
фотон: Ћω = ΔЕе + ΔEv + ΔEr. В зависимости от типа
возбуждения изменяются ΔЕr, ΔЕv, ΔEe.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Молекулярные
спектры
Наименьшее возбуждение – вращательные полосы,
электронная конфигурация и энергия колебания не
изменяются.
Ћω = ΔEr, ΔJ = ±1.
ω = ΔEr/Ћ = B[(J + 1)(J + 2) – J(J + 1)] = 2B(J + 1) = ω1(J + 1);
J = 0,1,2,…; B = Ћ/2I.
На рис – схема возникновения вращательной полосы. Спектр –
система равноотстоящих полос в дальней ИК области.
Колебательно-вращательное полосы – при переходе
между колебательными уровнями, принадлежащими
одной и той же электронной конфигурации
Ћω = ΔЕv + ΔЕr; Δv = ±1; ΔJ = ±1.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Молекулярные
спектры
Два случая (т.к. ΔЕv >> ΔЕr):
J’> J”  ω = ωv + 2Bk; k = 1,2,3,…
J’< J”  ω = ωv – 2Bk; k = 1,2,3,… 
ω = ωv ± 2Bk = ωv ± ω1k; k = 1,2,3,… (1)
Совокупность линий с частотами,
определяемыми (1) – колебательновращательная полоса, ωv определяет
спектральную область полосы, ±ω1k – тонкую
структуру (рис). Из рис – совокупность
симметричных относительно ωv линий, отстоящих на
Δω = ω1 друг от друга, в середине полосы расстояние в 2 раза
больше, т.к. линии с ωv нет. Вращательные и колебательновращательные спектры – только для несимметричных
двухатомных молекул. Область – 8000  50000Å. Электронноколебательные спектры – для всех типов молекул.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Комбинационное
рассеяние света
1928, Ландсберг и Мандельштам и одновременно Раман и
Кришнан – в спектре рассеяния, при прохождении света через
газы, жидкости или прозрачные кристаллические тела
наблюдаются новые линии, частоты которых комбинация
частоты падающего света ω0 и частот ωi колебательных или
вращательных переходов рассеивающих молекул.
ω = ω0 ± ωi
Каждому «красному» (ω0 – ωi) спутнику в спектре соответствует
«фиолетовый» (ω0 + ωi) спутник. «Красный» спутник –
стоксовый, «фиолетовый» - антистоксовый (закон Стокса для
флуоресценции ωфл  ω0). Интенсивность «фиолетовых»
спутников возрастает с ростом Т.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Комбинационное
рассеяние света
Явления КРС – простое квантово-механическое объяснение 
рассеяние – неупругие соударения фотонов с молекулами.
Если при соударении из Е1 в Е2 > E1, энергия фотона
Ћω0 – ΔЕ – «красный» спутник; если из Е2 в Е1 < E2, Ћω0 + ΔE
– «фиолетовый» спутник.
Переходы могут быть между различными вращательными или
колебательными уровнями  в спектре ряд симметрично
расположенных спутников.
Явление КРС используется при исследовании сложных
молекулярных смесей, органических молекул, химический
анализ которых затруднен или невозможен.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Вынужденное
излучение
Рассмотрели 2 вида переходов между энергетическими
уровнями:
- спонтанные, с более высоких на более низкие, спонтанное
испускание фотонов
- вынужденные, с более низких на более высокие, поглощение
излучения веществом
1918, Эйнштейн – этих двух видов недостаточно 
вероятность переходов 1-го типа определяется только
внутренними свойствами атомов, вероятность переходов 2-го
типа зависит от свойств атома и интенсивности излучения. Для
установления равновесия необходимо существование
«испускательных» переходов, вероятность которых возрастала
бы с увеличением интенсивности излучения. Возникающее
излучение – вынужденное или индуцированное излучение.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Вынужденное
излучение
Из термодинамических соображений  вероятность
вынужденных переходов, сопровождающихся излучением
должна быть равна вероятности вынужденных переходов,
сопровождающихся поглощением света. Важные свойства
вынужденного излучения – направление распространения
совпадает с направлением распространения вынуждающего
(внешнего) излучения, совпадают частота, фаза и поляризация
вынужденного и вынуждающего излучения  вынужденное и
вынуждающее излучения – когерентны  лежит в основе
действия усилителей и генераторов света (лазеров).
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Лазеры
1953, Басов, Прохоров и независимо Таунс и Вебер – первые
молекулярные генераторы сантиметрового диапазона –
мазеры (Microwave Amplification by Stimulated Emission of
Radiation).
1960, Мейман – первый аналогичный прибор в оптическом
диапазоне – лазер (Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation), ОКГ.
Для усиления падающей э/м волны необходимо обратить
населенность энергетических уровней  в состоянии с
большей энергией больше атомов, чем в состоянии с меньшей
– инверсная населенность.
В веществе с инверсной населенностью вынужденное
излучение может превысить поглощение света  падающий
пучок усиливается.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Лазеры
Создание лазеров – нашли способы осуществления инверсной
населенности. Первый лазер – рабочее тело рубин (Al2O3,
некоторые из атомов Al заменили атомами хрома Cr3+).
Конструкция лазера – на рис1. На рис2 – схема уровней иона
Cr3+. Уровень 2 – метастабильный. Большинство ионов – на
уровне 2. При достаточной мощности накачки, число ионов
хрома на уровне 2 становится больше, чем на уровне 1 
инверсная населенность. Спонтанно излученный фотон
(переход А21) может вызвать испускание дополнительных
фотонов, которые в свою очередь вызовут вынужденное
излучение и т.д.  образуется каскад фотонов.
ФИЗИКА АТОМОВ И
МОЛЕКУЛ
Лазеры
1961, Джаван – первый газовый лазер, Не-Ne;
1963 – первые полупроводниковые лазеры.
Особенности излучения лазеров:
1. Строгая монохроматичность (Δλ ~ 0,1Å)
2. Высокая временная и пространственная когерентность
3. Большая интенсивность
4. Узость пучка – используя телескопическую фокусировку, на
лунной поверхности - пятно диаметром всего 3 км!
Используются в промышленности – механическая обработка и
сварка, химические реакции; радиосвязи; научных
исследованиях; голографии и т.д.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теплоемкость
кристаллов
Согласно классическим представлениям, кристаллы – система
с 3N колебательными степенями свободы, на каждую из
которых приходится энергия, равная kT (Ek = 1/2kT;
Ep = 1/2kT)  закон Дюлонга и Пти: атомная теплоемкость всех
химически простых тел в кристаллическом состоянии
одинакова и равна 3R. Хорошо выполняется при сравнительно
высоких Т, при низких Т Скр→ 0. Теория теплоемкости
кристаллических тел, учитывающая квантование Ev, создана
Эйнштейном в 1907, усовершенствована Дебаем в 1912.
Теория Эйнштейна – кристаллическая решетка из N атомов
тождественна системе из 3N независимых гармонических
осцилляторов с одинаковой собственной частотой ω, энергия
которого квантуется εn = (n+1/2)Ћω (n = 0,1,2,…)
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теплоемкость
кристаллов
Далее – распределение осцилляторов по состояниям εn
подчиняется закону Больцмана  можно найти среднее
значение энергии осцилляторов <ε>:
   1 2   

(1)
exp(   / kT )  1
Однако Эйнштейн исходил из планковского значения энергии
гармонического осциллятора εn = nЋω (1 слагаемое в (1)
установлено позднее)  внутренняя энергия
U  3 N   
C 
U
T

3N
exp(   / kT )  1
3N
(2) 
   
exp


2
2
[exp(   / kT )  1]
kT

 kT
( 3)
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теплоемкость
кристаллов
Предельные случаи:
1. Высокие температуры , kT >>Ћω  exp(Ћω/kT)  1 +Ћω/kT в
знаменателе и exp(Ћω/kT)  1 в числителе (3).
В результате С = 3Nk – закон Дюлонга и Пти.
2. Низкие температуры, kT << Ћω  единицей в знаменателе
(3) можно пренебречь 
C 
3N ( )
kT )
2
2
  
exp  

kT


(4)
Экспоненциальный множитель в (4) изменяется значительно
быстрее, чем Т2  при приближении к абсолютному 0, (4)
будет стремиться к 0 по экспоненциальному закону. Из опыта
С ~ Т3 (при стремлении к ОК)  недостаток, только
качественный ход теплоемкости при низких Т.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теплоемкость
кристаллов
Теория Дебая. Дебай учел, что колебания атомов в решетке
не являются независимыми. Смещение одного влечет за собой
смещение других атомов соседних с ним  система N упруго
связанных друг с другом материальных точек, обладающих 3N
степенями свободы.
T 
C  9 nk  

3 xm
exp x  x dx
 (exp
0
4
x  1)
2
(5)
Здесь xm = Ћωm/kT = Θ/T, Θ = Ћωm/k – характеристическая
температура Дебая  указывает для каждого вещества ту
область, где становится существенным квантование энергии
колебаний, ωm – максимальная частота колебаний.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теплоемкость
кристаллов
1. Т << Θ; хm  ∞; С ~ Т3 (интеграл – некоторое число) 
получили закон Дебая.
2. Т >> Θ, т.е. Ћωm/kT << 1  exp(Ћω/kT)  1 + Ћω/kT 
U  U0 
9n

3
m
m
kT
 
 d   U 0  3 nkT ;
3
C  3 nk 
0
закон Дюлонга и Пти.
При достаточно низких Т выражение (5) выполняется во многих
случаях очень хорошо для тел с простыми кристаллическими
решетками. При сложной структуре – не применима, т.к. спектр
колебаний очень сложный.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Фононы
По аналогии с э/м волнами, колебания кристаллической
решетки – как совокупность квантов колебательной энергии –
фононов. Фонон – квазичастица, т.к. требуется среда. Энергия
ε = Ћω, где ω – собственная частота колебаний решетки.
Квазиимпульс р = Ћk  р = Ћk = Ћω/v, где v – скорость
упругих волн в кристалле 
Колебания кристаллической решетки – как фононный газ в
пределах кристалла (э/м излучение – фотонный газ,
заполняющий полость). Формально схожи, но фотоны –
истинные частицы.
КРС – как взаимодействие фотона с фононом – фотон
возбуждает фонон, расходуя часть энергии – красный спутник,
если имеется возбужденный фонон – фиолетовый.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Распределения
Ферми-Дирака и
Бозе-Эйнштейна
Одна из основных задач статистической физики – нахождение
распределения частиц по квантовым состояниям  система не
взаимодействующих частиц в состояниях с энергиями ε1, ε2,…
Состояния невырожденные. Если система находится в
равновесии, то распределение частиц по энергиям
характеризуется средними числами заполнения <n1>, <n2>..,
Т.к. средние числа - могут быть и дробными.
Говорили – фермионы (полуцелый спин) и бозоны (целый или
нулевой спин). При больших числах заполнения закон
распределения для фермионов и бозонов различен.
Введем воображаемое шестимерное пространство со взаимно
перпендикулярными осями x, y, z, px, py, pz 
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Распределения
Ферми-Дирака и
Бозе-Эйнштейна
Фазовое μ-пространство. Разобьем на ячейки ~ Ћ3. Состояние
частицы определяется указанием ячейки μ-пространства, в
которую «попадает» данная частица. Задача – найти наиболее
вероятное распределение частиц по ячейкам μ-пространства.
При размещении по ячейкам фермионы и бозоны ведут себя
различно: фермионы подчиняются принципу Паули, бозоны –
нет (Р ~n), «любят» накапливаться в одном состоянии.
Рассмотрим идеальный ферми-газ (система из N фермионов,
например, электронов), заключенный в сосуд V = const.
Найдем Ω способов, которыми эти N фермионов могут быть
размещены по Z ячейкам (Z ≥ N). Каждый способ размещения
– микросостояния системы, Ω-статистический вес
микросостояния.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Распределения
Ферми-Дирака и
Бозе-Эйнштейна
При данных предположениях распределение Ферми-Дирака
имеет вид:
 n i 
1
exp[(  i   ) / kT ]  1
(1)
где μ – химический потенциал, функция макроскопических
параметров состояния ферми-газа, в частности температуры.
Энергия частицы определяется с точностью до произвольной
аддитивной постоянной. С точностью до этой же постоянной
определяется и μ. Обычно выбирают так, чтобы εmin = 0 
μ – однозначен. При T = OK μ > 0 (всегда), иначе, согласно (1),
при T = 0 exp = ∞, а <ni> = 0.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Распределения
Ферми-Дирака и
Бозе-Эйнштейна
Перейдем к бозе-газу. Среднее число бозонов в состоянии с
энергией εi 
 n i 
1
(2)
exp[(  i   ) / kT ]  1
- распределение Бозе-Эйнштейна. Формула (2) отличается от
(1) только знаком перед единицей в знаменателе. При малых,
по сравнению с 1, числах заполнения в (1) и (2), exp >> 1 
<ni> = exp[-(εi – μ)/kT] = Aexp(-εi/kT)
где A = exp(μ/kT)
(3),
(4)
при малых числах заполнения распределения Ферми-Дирака и
Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Больцмана (4). В
случае переменного числа частиц μ = 0 и (3) имеет вид
 n i 
1
exp(  i / kT )  1
(5)
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Фотонный и
фононный газы
Фотонный газ. При обычных интенсивностях световые волны
не возмущают друг друга  фотоны не взаимодействуют
между собой  излучение – идеальный фотонный газ. Спин
фотона равен 1  бозоны. Стенки полости непрерывно
излучают и поглощают фотоны N = f(V,T)  (5) имеет вид:
 n i 
1
exp(   i / kT )  1
(6)
где Ћωi = εi . При вычислении энергии излучения, отнесенной к
единице объема полости и к единичному интервалу частот
приходим к формуле, совпадающей с формулой Планка:
u ( , T ) 

3
1
 c exp(   / kT )  1
2
3
(7)
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Фотонный и
фононный газы
Фононный газ. Колебания кристаллической решетки – как
фононный газ в пределах образца кристалла. Аналогично
фотонному газу, но фотоны – истинные частицы, фононы –
квазичастицы. Применив к фононному газу распределение
Бозе-Эйнштейна, можно получить выражение для энергии
колебаний кристаллической решетки и теплоемкости
кристалла. Число фононов непостоянно, поэтому можно
воспользоваться (6). Выражение для энергии имеет вид:
E  E0  V
m
3
2 v
2
2
 exp(
0
 d
3
  / kT )  1
(8 )
ωm – наибольшая частота нормальных колебаний.
Продифференцировав (8) по Т, придем к полученной ранее
формуле для теплоемкости (5) из предыдущего раздела.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Сверхтекучесть
При атмосферном давлении Не снижается при Т = 4,2 К. При
понижении давления Т кипения уменьшается. При Т = 2,17К
Не претерпевает фазовое превращение второго рода (без
поглощения или выделения Q и без изменения ρ). Жидкая
фаза, существующая при T > 2,17K – HeI, ниже 2,17К – HeII.
1938, Капица – сверхтекучесть  способен протекать по узким
каналам, образовывать пленки, покрывающие выступающие
части предмета, частично погруженного в НеII толщиной ~ 100
атомных слоев. Наличие пленки приводит к тому, что пустая
пробирка начинает наполняться (рис а), а из приподнятой HeII
начинает вытекать (б).
Отсутствие вязкости доказано экспериментально.
Теория – Ландау, 1941.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электронный газ
Согласно модели свободных электронов, валентные
электроны могут свободно перемещаться в пределах образца.
Валентные электроны обусловливают электропроводность
металла – электроны проводимости. При Т = 0К, эти
электроны расположатся по одному в каждом состоянии
(принцип Паули) на самых низких энергетических уровнях  ε
< εF(0) – все состояния заполнены, ε > εF(0) – вакантны, εF(0) –
уровень Ферми при абсолютном 0 играет роль параметра в
распределении электронов по состояниям с различной
энергией.
Изоэнергетическая поверхность в k-пространстве,
соответствующая εF – поверхность Ферми  для свободных
электронов р2/2m = Ћ2k2/2m = εF  имеет форму сферы. При Т
= ОК, поверхность Ферми отделяет заполненные состояния от
незаполненных.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электронный газ
Электроны – фермионы, подчиняются статистике ФермиДирака. При выводе (1) считали уровни энергии
невырожденными. Электроны обладают одной и той же
энергией в двух состояниях ↑↓, ms =  ½ 
 n i 
2
exp[(  i   F ) / kT )]  1
(9 )
εF – уровень (энергия) Ферми, εF > 0. При Т = ОК зависимость
<ni> εi имеет вид (рис). Горизонтальный участок из точек, но
уровни густо расположены – непрерывная линия. Из (9) 
<ni> = 2; εi < εF (при Т = ОК)
<ni> = 0; εi > εF . Независимо от Т, при εi = εF <ni> = 1.
 F (0) 

2
2m
( 3 n )
2
2/3
(10 )
n – концентрация свободных электронов. Для металлов
εF(0)  5эВ.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электронный газ
TF = εF(0)/k – температура Ферми, εF = 5 эВ  TF = 60000K – в
200 раз больше комнатной Т. Средняя энергия свободных
электронов при Т = ОК:
<ε> = 3/5 εF(0)
(11), <ε>  3эВ (Т = ОК)
Классический электрон было бы необходимо нагреть до
Т = 25000К. Уровень Ферми слабо зависит от Т. При Т ≠ 0
график зависимости (2) имеет вид, приведенный на рис.
Заметное отличие от предыдущего рис – в области порядка kТ.
Поведение электронного газа в сильной степени зависит от
соотношения между Ткр и ТF 
1. T << TF; kT << εF – электронный газ вырожденный;
2. Т >> TF; kT >> εF – электронный газ невырожденный.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электронный газ
Даже при Т плавления электронный газ вырожденный .
Электронный газ вносит вклад в теплоемкость металлов, т.к.
Сэл  СклТ/TF.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Зонная теория
Зонная теория объясняет ряд свойств и явлений в кристалле,
в частности, различный характер электропроводности твердых
тел. Основа – 1928 Блох, 1930 Бриллюэн. В основе –
одноэлектронное приближение:
- Атомные ядра в узлах идеальной кристаллической решетки
неподвижны (mядра >> me);
- Электрон движется в поле периодического потенциала U(r);
- Это поле обладает трансляционной инвариантностью
U(r + an) = U(r); an – вектор n-го узла решетки.
Зонная структура энергетических уровней (рис) получается
непосредственно из решения уравнения Шредингера.


2
2m
   U  E
2
(1)
Блох доказал, что решение (1) с периодическим
потенциалом имеет вид 
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Зонная теория
ψk = Uk(r) exp(ikr)
(2), Uk(r) – функция, имеющая
периодичность потенциала, т.е. решетки. (2) – функции Блоха.
Зависимость энергии частицы ε от модуля волнового вектора k
для свободных электронов и случая периодического поля
приведены на рис 1 и 2. Из рис 2 – разрешенные зоны
чередуются с запрещенными зонами. Область k –
пространства, внутри которой энергия электрона изменяется
квазинепрерывно – зона Бриллюэна. На границах зон энергия
терпит разрыв. На рис 2 – для одномерного кристалла.
Трехмерный кристалл – границы зон Бриллюэна – замкнутые
многогранные поверхности, заключенные одна внутри другой.
Поверхность Ферми определяет
характер движения электронов с εi,
близкой к εF, а это определяет
физику различных явлений.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Зонная теория
Спектр возможных значений энергии валентных электронов
распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон, ширина
которых не зависит от размеров кристалла. Чем больше
атомов, тем гуще уровни. Ширина запрещенных зон
~ эВ  1023 атомов Δε ~ 10-23эВ; ms =  ½  на каждом уровне
могут находиться 2 электрона с ↑↓. Существование
энергетических зон позволяет объяснить с единой точки
зрения существование металлов, полупроводников,
диэлектриков.
Разрешенная зона, возникшая из того уровня, на котором
находятся валентные электроны – валентная зона. Т = ОК 
валентные электроны заполняют попарно нижние уровни
валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны от
электронов свободны.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Зонная теория
В зависимости от степени заполнения валентной зоны
возможны 3 случая (рис): а) – валентная зона заполнена не
полностью, достаточно Δε ~ 10-23 – 10-22эВ, чтобы перевести
электроны на более высокие уровни. Т = 1К, εт.д.  10-4эВ;
дополнительной энергии электрического поля также
достаточно для перевода электронов на верхние уровни.
Частичное заполнение валентной зоны – если на последнем
занятом уровне 1 электрон или имеет место перекрывание
зон. б) и в) – уровни валентной зоны полностью заняты, зона
заполнения. Для увеличения энергии электрона, ему
необходимо сообщить Δε ≥ ширине
запрещенной зоны. Электрическое поле
(без пробоя) – сообщить не может 
электрические свойства кристалла
определяются шириной запрещенной зоны.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Сверхпроводимость
1911, Камерлинг-Оннес  Т = 4,15К - RНg = 0 (скачкообразно).
Явление – сверхпроводимость, температура – критическая Тк.
Экспериментально наблюдается двумя способами:
1. В общую электрическую цепь – звено из сверхпроводника. В
момент перехода в сверхпроводящее состояние U = 0 на
концах этого звена.
2. Кольцо из сверхпроводника – в перпендикулярное ему
магнитное поле. Охладив до Т < Tk выключают поле  в
кольце индуцируется незатухающий электрический ток. 1959,
Коллинз – 2,5 года.
Наблюдается эффект Мейснера – магнитное поле не
проникает в толщу сверхпроводника.
Формально – у сверхпроводника μ = 0 (при переходе в
сверхпроводящее состояние В выталкивается) – идеальный
диамагнетик. Сильное внешнее В разрушает сверхпроводник.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электропроводность
полупроводников
Полупроводники – кристаллические вещества, у которых при Т
= ОК валентная зона полностью заполнена электронами.
Характерно – проводимость растет с ростом Т. Различают
собственные и примесные полупроводники
(п/п). Собственные - химически чистые п/п.
Электрические свойства примесных п/п
определяется искусственно введенными
примесями. При Т = ОК, собственные полупроводники ведут
себя как диэлектрики, при T > OK часть электронов в
результате теплового движения - на нижние уровни зоны
проводимости. Е получает возможность изменять состояние
электронов в зоне проводимости, в результате электропроводность, отличная от 0. При наличии вакантных
уровней, поведение электронов валентной зоны – движение
положительно заряженных квазичастиц – дырок.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электропроводность
полупроводников
Собственная проводимость п/п – в результате перехода
электронов с верхних уровней валентной зоны в зону
проводимости. В зоне проводимости – некоторое число
носителей тока – электронов, в валентной – освободившиеся
места – дырки (рис). Электропроводность собственных
полупроводников изменяется по закону σ = σ0exp(-Δε/2kT), где
Δε – ширина запрещенной зоны, σ0 – константа. Типичные п/п
– элементы IV группы периодической системы Менделеева –
Ge, Si. Решетка - типа алмаза, каждый атом связан
ковалентными (парно-электронными)связями с четырьмя
равноостоящими от него соседними
атомами. При достаточно высокой Т, тепловое
движение может разорвать отдельные пары
– 2 процесса: рождение и рекомбинация
электронов и дырок.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Электропроводность
полупроводников
Примесная проводимость п/п – если некоторые атомы данного п/п
заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность
которых отличается на единицу, например, Ge с примесью Р.
Образование свободного электрона не сопровождается нарушением
ковалентных связей, т.е. образованием дырки  один вид носителей
тока – электроны, проводимость электронная. П/п – n-типа. Атомы
примеси – доноры. Валентность примесного атома может быть на
единицу меньше. В этом случае проводимость – дырочная. П/п р-типа.
Примеси – акцепторные. Характер проводимости подтверждается
экспериментально при исследованиях эффекта Холла. Примеси
искажают поле решетки,
приводят к возникновению примесных
уровней, расположенных в запрещенной
зоне (донорные а) и акцепторные б)) (рис).
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Контактная разность
потенциалов
Контактная разность потенциалов возникает при
соприкосновении двух разных металлов  в окружающем
пространстве – электрическое поле. Статистическая физика –
условие равновесия между соприкасающимися металлами,
полупроводниками и металлом и полупроводником –
равенство полных энергий, соответствующих уровням Ферми.
В этом случае (рис):
U 12 
e 2  e 1
e
  2 - 1
(1)
- разность потенциалов между первым и вторым металлами.
(1) – внешняя контактная разность потенциалов. Внутренняя
контактная разность потенциалов (рис) 
U
'
12

F  F
1
e
2
(2)
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Состав ядра атома
Ядро Н2 – протон (р), ядра остальных элементов – из протонов
и нейтронов (n). 1932, Иваненко, Гейзенберг – протоннонейтронная модель ядра. Протон – заряд +е,
mp = 938,28 МэВ = 1836 me (me = 0,511 МэВ), s = ½,
μp = + 2,70μя, где
я 
e
 5 , 05  10
 24
эрг/Гc - ядерный магнетон.
2m pc
μя < μБ в 1836 раз  μр < μе  660 раз.
Нейтрон открыт в 1932 Чедвиком, qn = 0; mn = 939,57 МэВ  mn
– mp = 1,3 МэВ = 2,5 me; s = ½; μn = -1,91 μя  направления
собственных магнитного и механического моментов
противоположны.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Состав ядра атома
В свободном состоянии n нестабилен  n → p + e + ~, где ~ антинейтрино, период полураспада ~ 12 мин. Масса покоя
~ = 0  mn > суммы масс частиц на 1,5 me  0,77 МэВ  энергия
выделяется при распаде n в виде Ек образующихся частиц.
Характеристика атомного ядра. Зарядовое число Z равно числу
протонов, входящих в состав ядра и определяет его заряд +Ze.
Z – атомный номер или зарядовое число ядра.
А – массовое число ядра – суммарное число n и р.
Число нейтронов N = A – Z.
Обозначение ядер AZX, где Х – химический символ элемента.
Ядра с одинаковыми Z, но разными А – изотопы.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Состав ядра атома
Пример:
- 11Н – обычный (протий), Z = 1, N = 0;
- 21H – тяжелый (дейтерий), Z = 1, N = 1;
- 31H – тритий, Z = 1, N = 2.
Ядра с одинаковыми массовыми числами А – изобары.
Пример: 4018Ar и 4020Ca.
Ядра с одинаковым числом нейтронов N = A – Z – изотоны.
Пример: 136C 147N.
Радиоактивные ядра с одинаковыми А и Z, но отличающиеся
периодом полураспада – изомеры.
Пример: 2 изомера ядра 8035Вr  t1 = 18 мин, t2 = 4,4 час.
Известно ~ 1500 ядер, отличающихся либо Z, либо А, либо тем и
другим; ~ 1/5 устойчивы, остальные радиоактивны. В природе
 Z = 192, исключая Тс( Z = 43) и Рm (Z = 61).
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Состав ядра атома
Радиус ядра r = 1,3 · 10-13А1/3см = 1,3 А1/3 ферми. Объем ядра ~
числу нуклонов в ядре. Спин ядра равен сумме спинов
нуклонов  спин нуклона = ½  нечетное А – I – полуцелое,
четное A – I – целое или 0.
I – несколько единиц, т.к. спины нуклонов компенсируют друг
друга (↑↓). У всех четно-четных ядер I = 0. Механический момент
ядра MI складывается с моментом электронной оболочки MJ в
полный момент импульса MF. Взаимодействие магнитных
моментов и ядра приводят к тому, что состояния атома имеют
немного различающуюся энергию.
Взаимодействие μL и μS – тонкая структура спектров;
взаимодействие μI и μJ – сверхтонкая структура атомных
спектров.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Масса и энергия
ядра
Масса ядра mя всегда меньше суммы масс частиц, входящих в
него  при объединении нуклонов в ядро, выделяется энергия
связи нуклонов друг с другом. Энергия связи Есв равна той
работе, которую нужно совершить, чтобы разделить
образующие ядро нуклоны и удалить их друг от друга на такие
расстояния, при которых они практически не взаимодействуют
 E0 = mc2  Ecв = c2{ [Zmp + (A – Z)mn] – mя}
(1),
т.е. на эту величину энергия покоящегося ядра меньше
суммарной энергии не взаимодействующих покоящихся
нуклонов. (1) практически не нарушается, если mp заменить mH,
mя – ma (добавляем Zme без учета энергии связи электронов с
ядрами) 
Eсв = c2{[ZmH + (A – Z)mn] – ma}
(2)
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Масса и энергия
ядра
Есв/А – удельная энергия связи.
Δ = [ Zmр + (A – Z)mn] – mя
(3) – дефект массы ядра. На рис –
зависимость удельной энергии связи от массового числа А.
Сильнее всего связаны ядра с А = 50  60 (от Cr до Zn) 
отсюда энергетически возможны 2 процесса:
- Деление тяжелых ядер на несколько более легких 
А = 240 → 2 х А = 120, Е = 240 МэВ;
- Слияние (синтез) легких ядер в одно ядро 
221Н → 42Не; ~ 24МэВ.
Сгорание угля С + 202 ~ 5эВ. Для деления
тяжелых ядер необходима энергия активации.
Синтез ядер – термоядерная реакция.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Модели
атомного ядра
Затруднения при построении модели ядра;
- Недостаток знаний о силах взаимодействия между нуклонами;
- Громоздкость квантовой задачи многих тел (система из А тел)
 поэтому модели описывают определенную совокупность
свойств ядра. В каждой модели – произвольные параметры.
Капельная модель. Френкель, 1939 – дальнейшее развитие (Бор
и др.). Сходство атомного ядра с капелькой жидкости; силы,
действующие между частицами – короткодействующие.
Практически одинаковая плотность вещества в разных ядрах –
малая сжимаемость. Модель позволила вывести
полуэмпирическую формулу Есв, объяснить процесс деления
тяжелых ядер и ряд других явлений.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Модели
атомного ядра
Оболочечная модель Гёпперт-Маер и др. Нуклоны движутся
независимо друг от друга в усредненном центральносимметричном поле. Имеются дискретные энергетические
уровни (как у атома), заполненные нуклонами по принципу
Паули. Уровни группируются в оболочки (в каждой –
определенное число нуклонов). Полностью заполненная
оболочка – особо устойчивое образование. Из опыта – особо
устойчивы ядра с числом р или n или обоих, равным 2, 8, 20, 28,
50, 82, 126  магические числа, соответственно, и ядра
магические. Дважды магических ядер 5:
4 He (Z = 2, N = 2); 16 O (Z = 8, N = 8); 40 Ca (Z = 20, N = 20);
2
8
20
48 Ca(Z = 20, N = 28); 208 Pb(Z = 82, N = 126).
20
82
Ядра 42Не – α – частицы испускаются при радиоактивном
распаде.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Ядерные силы
Огромная Есв нуклонов – интенсивное взаимодействие
(притяжение) на r ~ 10-13см  сильное взаимодействие.
Отличительные особенности:
- Ядерные силы короткодействующие (r ≤ 2·10-13см); при
r << 10-13см притяжение сменяется отталкиванием;
- Зарядовая независимость ядерных сил (не зависят от заряда);
- Зависимость от взаимной ориентации спинов
взаимодействующих нуклонов  n и р удерживаются вместе,
образуя дейтрон, если спины ↑↑;
- Обладают свойством насыщения (каждый нуклон
взаимодействует с ограниченным числом нуклонов в ядре,
Есв  const начиная с 42Не, Vядра ~ Nнуклонов);
- Ядерные силы – не центральные.
Сильное взаимодействие обусловлено виртуальным обменом
мезонами между нуклонами (не могут быть обнаружены за время
их существования).
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Радиоактивность
Радиоактивность – самопроизвольное превращение
неустойчивых изотопов одного химического элемента в
изотопы другого элемента, сопровождающиеся испусканием
элементарных частиц.
Основные: α-распад, β-распад (в том числе, электронный
захват), протонная радиоактивность, спонтанное деление
тяжелых ядер.
Закон радиоактивного превращения: dN = -λNdt
(1),
где λ – постоянная распада; минус, чтобы dN – приращение
числа нераспавшихся ядер N. Интегрирование (1) приводит:
N = N0exp(-λt)
(2),
где N0 - число нераспавшихся ядер в начальный момент
времени. За время t распадается
N0 – N = N0[1- exp(-λt)]
(3)
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Радиоактивность
Время, за которое распадается половина первоначального
количества атомов – период полураспада Т 
(1/2)N0 = N0 exp(-λТ)  Т = ln2/λ = 0,693/λ
(4)
T = 3·10-7c  5·1015лет.
В результате распада могут появиться радиоактивные ядра и
т.д.
Существуют три радиоактивных ряда:
Ряд урана (238U), ряд тория (232Th), ряд актиноурана (235U).
Конечные продукты – изотопы свинца 206Pb, 208Pb, 207Pb.
Естественная радиоактивность, 1896, Беккерель. Большой
вклад – Кюри, Складовская-Кюри – радиоактивное вещество –
источник 3 видов излучения: α-лучей (+), β-лучей (-), γ-лучей
(не реагируют на магнитное поле), э/м излучение λ = 10-3  1Å.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Радиоактивность
α-распад. α-лучи - поток ядер 42Не, схема распада 
A X → A-4
4
Z
Z-2Y + 2He. Обычно сопровождается испусканием
дочерним ядром γ-лучей.
Пример: 23892U → 23490Th + 42He. Скорость α-частиц ~ 109см/с; Ек
~ МэВ. α-частица образует ~ 105 пар ионов, пробег
~ 100  10-3 см. Лист бумаги полностью удерживает.
Кинетическая энергия – за счет избытка энергии покоя
материнского ядра над суммой энергий покоя α-частицы и
дочернего ядра.
β-распад - испускание е-, е+ и захват электронов из К-слоя,
реже – из L или M.
Первый вид: AZX → AZ+1Y + 0-1e + ~ .
Весь процесс протекает как если бы n → p. Может
сопровождаться испусканием γ-лучей.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Радиоактивность
Пример: 23490Th → 23491Ра + 0-1e + ~ . В отличие от α-частиц,
обладающих в пределах каждой группы строго определенной
энергией, электроны имеют энергию от 0 до Еmax (рис).
Второй вид: AZX → AZ-1Y + 0+1е + . Возможно
испускание γ-лучей. Аналог - p → n.
13 N → 13 C + 0 e + .
7
6
+1
Третий вид: р + е- → n +  - ядро поглощает один из электронов
К-слоя (иногда L или M) и один из р превращается в n. Ядро
может быть в возбужденном состоянии  переходит в более
низкое с испусканием γ-лучей  AZX + 0-1е → AZ-1Y + .
Пример: 4019К + 0-1е → 4018Аr + .
Протонная радиоактивность, Флеров (1963) – ядро испускает 1
или 2 протона.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Радиоактивность
Спонтанное деление тяжелых ядер. Флеров, Петржак (1940) –
самопроизвольное деление ядер урана на 2 примерно равные
части. Впоследствии – для других тяжелых ядер – близко к
вынужденному делению.
Активность радиоактивного вещества – число распадов,
происходящих в веществе за единицу времени 
За dt – dNрасп.ядер, активность - dNрасп/dt  dNрасп = IdNI = λNdt
 активность равна λN.
Система СИ – единица активности – беккерель (Бк) – один
распад в секунду.
Внесистемные единицы – распад/мин, кюри (Кu)  активность
такого препарата, в котором происходит 3,700 ·1010 актов
распада в секунду.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Ядерные реакции
Ядерная реакция – процесс интенсивного взаимодействия
атомного ядра с элементарной частицей или другим ядром,
приводящий к преобразованию ядра или ядер.
Взаимодействует на r ~ 10-13 cм. Наиболее распространенный
вид – взаимодействие легкой частицы a с ядром Х, в
результате - легкая частица b и ядро Y  X + a → Y + b 
X(a,b)Y.
Могут сопровождаться как выделением, так и поглощением
энергии. При выделении – тепловой эффект  определяется
разностью масс покоя исходных и конечных ядер. Если сумма
масс образующихся ядер больше суммы масс исходных ядер,
реакция идет с поглощением энергии – отрицательный
тепловой эффект.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Ядерные реакции
1936, Бор – реакции, вызываемые не очень быстрыми
частицами, протекают в 2 этапа:
- захват частицы и образование промежуточного ядра П
(компаунд-ядра). Энергия частицы перераспределяется между
нуклонами и возбуждает ядро;
- компаунд-ядро испускает частицу (n, p, α, γ) 
X + a → П → Y + b. Если b ≡ а – рассеяние; Еа = Еb – упругое,
иначе – неупругое.
Реакции, вызываемые быстрыми нуклонами и дейтронами без
промежуточного ядра – прямые ядерные взаимодействия.
Пример: реакция срыва – при нецентральных соударениях
дейтрона с ядром.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Деление ядер
1938, Ган, Штрассман – при облучении урана нейтронами
образуются элементы из середины периодической системы –
Ва и La. Объяснение – Фриш и Мейтнер: захватывающее n
ядро U делится на 2 примерно равные части – осколки
деления. В дальнейшем – деление может идти разными
путями, всего – около 80 осколков. Наиболее вероятное
деление 2:3. Кривая на рис – выход осколков разной массы,
возникающих при делении 235U медленными (тепловыми) n. Из
рис А1 = А2  117 – 10-2 %; А1 = 95; А2 = 140( 2:3) – 7%. Eсв
тяжелых ядер << Есв ядер средней массы  деление тяжелых
ядер сопровождается выделением
большого количества энергии. Особенно
важно – высвобождается несколько n.
Относительное количество n в тяжелых
ядрах заметно больше, чем в средних 
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Деление ядер
Осколки перегружены n, в результате выделяют n.
Большинство n испускается за t < 10-14c; ~ 0,75% запаздывающие - t ~ 0,05  60c. В среднем на каждый акт 2,5 n.
Выделение n не устраняет полностью перегрузку n осколков
деления  осколки радиоактивности (обычно) и претерпевают
цепочку β- -превращений с испусканием γ-лучей.
Пример: 23595U + n → 14055Сs + 9437Rb + 2n.
Осколки претерпевают превращения:
140 Сs → 140 Ba → 140 La → 140 Ce
55
56
57
58
94 Rb → 94 Sr → 94 Y→ 94 Zr; Ce и Zr стабильны.
37
38
39
40
При облучении n делятся 23290Th, 23191Pa, 23994Pu.
Возникновение нейтронов при делении ядер 235U, 239Pu и 238U
делает возможным существование цепной ядерной реакции 
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Деление ядер
При делении 1 ядра испускается Z нейтронов, которые могут
вызвать деление Z ядер  Z2 новых n  деление Z2 ядер и т.д.
Практически, не все n вызовут деление. В природе цепная
реакция не идет, т.к. на каждое делящееся ядро 235U – 140 ядер
238U, который захватывает не слишком быстрые n без деления.
Цепную реакцию можно осуществить 2 путями:
1.Выделить 235U, при m > mкp (Гейзенберг ~ 9
кг) реакция идет на быстрых нейтронах.
Пример: атомная бомба (рис1).
2.Ядерные реакторы (атомные котлы).
Топливо – природный либо обогащенный
изотопом 235U уран. Сравнительно небольшие блоки
размещаются на некотором расстоянии друг от друга, в
промежутках – замедлитель (D, C, Be) (рис2). Первый реактор
– Ферми, 1942; первая атомная э/станция – СССР, Курчатов,
1954.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Термоядерные
реакции
Ядерный синтез сопровождается выделением большого
количества энергии  чтобы преодолеть потенциальный
барьер (кулоновское отталкивание) ядра должны обладать
2
энергией
Z Z e
E 
1
2
rя
, Z 1  Z 2  1  E  0 , 7 МэВ .
При тепловом движении такая энергия соответствует
Т = 2·109К. Могут протекать и при более низких Т из-за
распределения частиц по скоростям и туннельного эффекта (Т
~ 107К). Благоприятные условия для синтеза ядер D и Т –
реакция носит резонансный характер  21Н + 31Н → 42Н + 10n 
сопровождается выделением Е = 17,6 МэВ, примерно 3,5 МэВ
на нуклон; при делении ядра U – 0,85 МэВ на нуклон.
Используется в водородной (термоядерной) бомбе, запал –
атомная бомба, Т = 107К.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Термоядерные
реакции
Синтез ядер водорода в ядра гелия – источник энергии Солнца
и звезд (Т = 107  108К). Два пути:
1. При более низких Т - протон – протонный цикл
1 Н + 1 Н → 2 Не → 2 Н + е+ + , далее 1
1
2
1
2 Н + 1 Н → 3 Не + γ, затем 3 Не + 3 Не → 4 Не + 1 Н + 1 Н.
1
1
2
2
2
2
1
1
2. При более высоких Т – углеродный (углеродно-азотный)
цикл 126С + 11Н → 137N + γ; 137N → 136C + e+ + ;
13 C + 1 H → 14 N + γ; 14 N + 1 H → 15 O + γ; 15 O → 15 N + e+ + ;
6
1
7
7
1
8
8
7
15 N + 1 H → 16 O → 12 C + 4 He (16 O – составное ядро).
7
1
8
6
2
8
Итог – исчезновение 4-х р и образование 1 α-частицы.
Количество ядер С неизменно (катализатор)  преобладает в
звездах с Т > Tсолнца. Бомба – неконтролируемая реакция,
управляемая – ТОКОМАК (Сахаров, Тамм). Проблема –
соприкосновение плазмы со стенками сосуда.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Виды
взаимодействия
Строгое определение элементарной частицы –
затруднительно. В первом приближении, такие микрочастицы,
внутреннюю структуру которых нельзя представить как
объединение других частиц. Элементарные частицы могут
превращаться одна в другую. Известно 4 вида взаимодействия
между элементарными частицами (таблица).
Сильное
взаимодействие
обеспечивает связь
нуклонов в ядре,
r  10-13см. Электромагнитное взаимодействие – радиус действия не
ограничен, связь электронов с ядрами атомов, атомов в молекулах.
Слабое взаимодействие – распад элементарных частиц,
взаимодействие нейтрино с веществом, r  10-13см. Гравитационное
взаимодействие - универсально, r = , ощутимой роли не играет.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Классификация
частиц
Все частицы,
наблюдаемые в настоящее
время, можно разбить на 3
группы (рис).
1. Лептоны – участвуют в электромагнитных и слабых
взаимодействиях. Нейтрино – только в слабых.
2. Андроны – участвуют в сильных, электромагнитных и слабых
взаимодействиях. Известно более 100 андронов.
Барионы – андроны, состоящие из 3 кварков (qqq) и имеющие
барионное число В = 1.
Мезоны – андроны, состоящие из кварка и антикварка ( q q~), барионное
число В = 0.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Классификация
частиц
3. Калибровочные бозоны – переносят взаимодействие
между фундаментальными фермионами (кварками и
лептонами). Каждая частица описывается набором
физических величин – квантовых чисел, определяющих их
свойства. Основные характеристики: масса частицы, время
жизни, спин, электрический заряд, внутренняя четность,
странность, Charm (c), Bottomness (b), Topness (t), изоспин,
четность.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Классификация
частиц
В таблице указаны все
обнаруженные до 1977
элементарные частицы.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Методы
регистрации
Наблюдают по следам, которые они оставляют при
прохождении через вещество. Характер следов позволяет
судить о знаке заряда, энергии, импульсе и т.п. Приборы,
применяемые для регистрации, делятся на 2 группы:
- регистрируют факт пролета частицы (иногда можно судить
об энергии);
-трековые приборы (следы, треки частиц в веществе).
1 группа – ионизационные камеры и газоразрядные
счетчики, черенковские счетчики, сцинтилляционные и
полупроводниковые счетчики.
2 группа – камеры Вильсона, диффузионные камеры,
пузырьковые камеры, искровые камеры, эмульсионные
камеры.