Лекция 3. Обратная матрица. Понятие ранга.

Обратная матрица и
ранг матрицы
Лекция 3
Лектор Кабанова Л.И.
Обратная матрица
Решение матричных уравнений и
систем линейных алгебраических
уравнений

Теорема о существовании обратной
матрицы
A
*
Определение 2. Присоединенной или союзной матрицей
к матрице А вида называется матрица



*
A 




A11
A 21
A31

A12
A 22
A32

A13
A 23
A33





A1 n
A2 n
A3 n

A n1 

An 2 
An 3 

 

A nn 
A
1
 A11

|A|
 A12
1
*

A |A|
|A|



A1 n


|A|
A 21
A 31
|A|
A 22
|A|
A 32
|A|

A2 n
|A|

A3 n
|A|
|A|




A n1 

|A|
An 2 
|A|



A nn


|A|
Решение матричных уравнений
(
Рассмотрим матричные уравнения вида:
X A B
AX  B
A X B C
,
,
Определение.
Решением
матричного
уравнения
называется всякая матрица соответствующего
порядка, которая, будучи подставлена в матричное
уравнение вместо матрицы Х, обращает уравнение
в тождество.
A
1
A X  A
X  A
1
1
B
B
Аналогично находим решение следующих
матричных уравнений
X BA
X  A
1
1
C  B
1
Пример 5. Решить матричное уравнение
A2  2
5

9
2
3
  X  
4
5
1

3
1
 
3
2

4
X 2 2
B2 2
 x11
 
 x 21
3
 
5
x12 

x 22 
5

9
Решение этого уравнения находим по формуле
X  A
| A |
1
2
3
4
1
 2  0
B
то есть существует
A
A
1
1  A11



| A | | A |  A12
A
*
1
A 21 

A 22 
A11  (  1)
A 21  (  1)
11
2 1
 4
A  
 3
*
4  4
 2  2
 2

1
A12  (  1)
1 2
A 22  (  1)
A
1
 3  3
22
 2
 3

 2
1  1
1
1
 
2
 2
X  3

 2
1  3
1
  5
2 
5   1
  
9  2
 1

3
Таким образом, решение матричного уравнения
имеет вид:
1
X  
 2
 1

3
Сделаем проверку
1

3
2  1
  
4  2
 1  3
  
3  5
5

9
Вычисление ранга матрицы
 Линейено-зависимые
линейнонезависимые строки столбцы
Базисные строки и базисный
минор
СПАСИБО
ВНИМАНИЕ
за