найдите значение

Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №12
Курчатовского района
муниципальная экспериментальная площадка
города Челябинска
Алгебра и начала анализа
10 класс.
Автор: Симатова Марина
Юрьевна

- повторить тригонометрические
формулы;
 - повторить преобразования
тригонометрических выражений с
помощью формул;
 - проверить усвоение материала с
помощью самостоятельной работы.
2
27 
2
27 
1) Вычислите sin 49 +cos 49 ;
2) Найдите значение sin α, если cos α =
0,8 и 3    2  ;
2
3) Найдите значение cos α, если sin α =
3
0,6 и    
;
2
1
4) Найдите значение tg α, если sin α = 3 ;
1
5) Найдите значение сtg α, если cos α = 5 ;
6) Упростите выражение tg 7∙ctg 7;
7) Найдите tg α, если ctg α = -125;
1
8) Найдите сtg α, если tg α =  7 5 ;
9) Найдите cos α, если tg α = 
3
;
4
10) Найдите sin α, если ctg α =
12
5
.
Формула
1)
sin   cos   1,    R 
2
2
Примеры
В ы числит е : sin
27 
 cos
49
sin
2
27 
 cos
2
49
а) sin    1  cos 2 
2
27 
2
27 
;
49
 1.
49
а) Найдите значение sin α,
3
если cos α = 0,8 и
   2 ,
2
т.к. синус IV четверти имеет
отрицательное значение
sin    1  0, 8   1  0, 64   0, 6
2
Формула
б) cos 
  1  sin 
Примеры
б) Найдите значение cos α,
3
если sin α = 0,6,    
2
cos    1  0, 36   0, 64   0.8
2)
tg  
sin 
cos 
(косинус во II четверти имеет
отрицательное значение)
2) Найдите значение tg α, если
sin  
1
3
2 2
1 2 2
1
2
cos   
, tg    :


3
3 3
4
2 2
Формула
3)
ctg  
cos 
sin 
Примеры
3) Найдите ctgα, если cos   1 ,
sin   
2 6
5
.
1  2 6
ctg   :  
5 
5
4) tgα∙ctg α = 1



n, n  Z 
 
2


5

1
6

  
12
2 6

4)Упростите выражение tg 7 ∙ ctg7.

7  n , n  Z следовательно,
2
значения tg 7 и ctg 7 существуют,
поэтому tg 7 ∙ ctg 7 = 1.
Формула
а) tg  
б) ctg  
1
ctg 
1
tg 
Примеры
а) Найдите tg α, если ctg α = -125.
18
tg   
  0, 008 .
125  8
б) Найдите ctg α, если tg α =
ctg α = 1 : (
1
75

1
75
) = -75.
.
Формула
5) 1  tg  
1
2
cos   
cos 
2
Примеры
5) Найдите значение cos α, если tg α
3
3
= ;    .
4
2
Так как синус в третьей четверти
1
1  tg 
2
отрицателен, то cos α=-
1
1

144
25
5
13
Формула
6)1  ctg  
1
2
sin   
Примеры
sin 
2
6) Найдите значение sin α, если
3
tg α = 12 ;    
.
2
5
1
1  ctg 
2
Так как синус в третьей
четверти отрицателен, то
sin   
1
1

144
25
5
13
Найдите значение всех
тригонометрических функций, если
sin x = 0,8, -
sin x+cos x=1  cos x=1- sin x  cos x=1- (0,8)
2
2
2
2
2
2
 cos x=1-0,64  cos x=0,36  cos x= 0,36  cos x=0,6
2
tgx 
2
sin x
cos x
ctgx 
1
tgx
 tgx 
0, 8
0, 6
 ctgx 

8

6
4
3
1
1
3
3
4
3
1
4
3
Ответ: cos x=0,6; ctg x= ; tg x= 1
.
Выполните задания в
таблице:
Формула
sin (α+β)=sin α cos
β+cos α sin β
следствие:
sin 2α=2 sin α cos α
Примеры

sin
13
cos
3

12 
12 
+cos
3
sin 13
Найдите значение sin 2α,
если cos α=0,2.
Выполните задания в таблице:
Формула
sin (α-β)=
=sin α cos β - cos α sin β
cos (α+β)=
=cos α cos β- sin α sin β
Следствие: cos2α=
=cos2α - sin2α=1-2 sin2
α=2 cos2 α-1
Примеры
sin
19 
34
7
cos
cos 15 cos

17
8
15
- cos
19 
34
7
- sin
15
sin
sin

17
8
15
Найдите cos 2α, если sin
α=0,25.
Выполните задания в
таблице:
Формула
cos (α-β)=
=cos α cos β+sin α sin β
Примеры
cos
23 
cos
34
tg (α+β)=
tg   tg 
1  tg  tg 
tg
3
17
9
+ sin
 tg
52
1  tg
23 
34

13
9
52
tg

13
sin
3
17
Выполните задания в
таблице:
Формула
tg   tg 
tg (α-β)= 1  tg  tg 
Примеры
tg
10 
 tg

21
7
10 

1  tg
tg
21
7
Используя тригонометрические формулы
выполнить из учебника №481(1,2), 484,
457.
I вариант
Базовый уровень:
0
0
1) sin 170 cos 280 +
0
0
+cos 170 sin 280
1) -
2
; 2)
2
3)
2 ;
2
3
;
1) -1;
2
4) -
1
2
II вариант
Базовый уровень:
0
0
1) - cos 570 cos 330 +
0
0
+sin 570 sin 330
.
4) 0.
2)
2
2
; 3) -
3
2
;
I вариант
1  tg 67 tg 7
0
2)
tg 67
1)
1
3
3) 0;
;
0
 tg 7
2) 4)
II вариант
0
;
0
1
;
3
3
2)
1)
.
3) cos(α+β) cos (α-β)+
sin(α+β) sin(α-β)
1) cos 2α; 2) cos 2β;
3) sin 2α; 4)sin2β.
tg 35
0
 tg 25
1  tg 35 tg 25
0
1
3
3) 0;
;
2) 4)
0
;
0
1
;
3
3
.
tg (   )  tg 
3) 1  tg (   ) tg 
1) tg (α-β); 2) tg (α+β);
3) tg β; 4) tgα.
Повышенный уровень :
I вариант
2
3
1)
II вариант
1  tg 
2
2
2
cos 
2
2
2) (1-cos α)tg α+1-tg α;
3) cos 2  sin 2  (cos 2  sin 2 ) 2
4
4
cos 4
2
1) sin α (1+tg α);
 3 sin  ;
2
2) sin   1 ;
3)
6 sin
2
2  6 sin
2 cos 2
2
4
2
.
I вариант
II вариант
Базовый уровень:
Базовый уровень:
1) 3;
2) 4;
3) 1.
1) 1; 2) 1;
3) 4.
Повышенный уровень: Повышенный уровень:
2
1) 3;
1) tg α ;
2) 1-tg α∙sin α;
2)1 – sin α;
2
3)1+sin 4a.
3) 3 sin 2 α.
Критерии оценивания
Базовый уровень – каждое задание 1б,
повышенный уровень – каждое задание
2б. Всего 9б. Оценка «2» ставится, если
учащиеся набрали менее 5б;

«3» - 5б – 6б;

«4» - 7б – 8б;

«5» - 9б.

Упростите выражение, используя
формулы понижения степени:
2
а) sin
2
б) sin
 9

 

 8

 3

 

 8

2
- sin
2
- cos
 5

 

 8

;
 11 

 

 8

;
2
в) sin 2α + sin β + cos(2α+β)cos(2α-β);
2
2
2
г) sin (α+β) + cos (α-β) – sin 2α sin 2β.
Оцените значения выражений,
используя метод введения
вспомогательного угла:
а) 3 sin α – cos α;
б) 5cos 2α + 12sin 2α;
в) sin 2α + cos 2α;
г) 7sin α – 24 cos α.

№ 486,

№ 489,

№ 490.
Алгебра и начала анализа. 11 класс: Учеб.
для общеобразоват. учреждений/[Ю.М.
Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е.
Фёдорова и М.И. Шабунин]. – М.:
Мнемозина, 2002.- 240c.
2. Ершова А.П. Самостоятельные и
контрольные работы по алгебре и началам
анализа для 10-11 классов.[А.П.Ершова,
В.В. Голобородько]. – М.: Илекса, 2005.
3. Ивлев Б.М. и др. Дидактические материалы
по алгебре и началам анализа для 11
класса./ [Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И.
Шварцбурд]. – М.: Просвещение, 2003. – 192
c.
1.