Готовимся к ЕГЭ,В7

ЗАДАНИЯ В7
Готовимся к ЕГЭ
РАССМОТРЕННЫЕ ТЕМЫ
1.
2.
3.
Тригонометрические выражения
Действия с корнями.
Действия со степенями.
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения
2 sin 11   cos 11 
sin 22 
Решение.
2 sin 11   cos 11 
sin 22 

sin 22 
sin 22 
.
 1.
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
2. Найдите значение выражения

22 sin
2
9   cos
2
9
cos 18 
.
Решение.
22 sin
2
9   cos
cos 18 

 22 cos 18 
cos 18 
2
9

 22 cos
2
9   sin
cos 18 
2
9

 22 cos 2  9 
cos 18 
  22 .
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t

Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения
33 cos 63 
sin 27 
Решение.
33 cos 63 
sin 27 

33 cos 90   27  
sin 27 

33 sin 27 
sin 27 
.
 33 .
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
4. Найдите значение выражения
6 3 tg
π
6
sin
π
6
.
Решение.
6 3 tg
π
6
sin
π
6
 6 3
1
3

1
2

6 3
2 3
 3.
Использована таблица значений тригонометрических
функций.
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ УГЛОВ.
Функция
/ угол
0
π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6
π
3π/2 2π
или или или или или или или или или или или
0°
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
sin α
0
1/2
√2/2 √3/2
1
√3/2 √2/2
cos α
1
√3/2 √2/2
tg α
0
√3/3
ctg α
–
√3
0
–1
0
1/2
0
-1/2 -√2/2 -√3/2
–1
0
1
1
√3
–
-√3
-1
-√3/3
0
–
0
1
√3/3
0
-√3/3
-1
-√3
–
0
–
1/2
5. Найдите значение выражения
Решение.
60
 19 π 
 31 π 
sin  
 cos 

3
6




60

 sin
π
3
cos
5π
6


3
 19 π 
sin  
 cos
3 

60
π 

cos  π  
2
6

60


3 
π 
  cos

2 
6

 31 π 


6


.

π 
5π 


 sin  3  2π   cos  3  2π 

3
6




60

60
60
3
2

3
2

60
3
4
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.
 80 .
Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения
24
3 cos   750  .
Решение.
24
 24
3 cos   750    24
3
3
2

24
3 
2
3 cos 2  360   30    24
3
3 cos 30  
 12  3  36 .
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения
Решение.
34 sin 100 
sin 260 

34 sin 90   10  
sin 270   10  

34 sin 100 
sin 260 
34 cos 10 
 cos 10 
.
  34 .
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
8. Найдите значение выражения
Решение.
5 tg 154   tg 244  .
5 tg 154   tg 244   5 tg 90  64    tg 180  64  
  5 ctg 64   tg 64    5 .
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.
Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения
37
2
sin 173   sin
2
263 
Решение.
37
2
sin 173   sin

2
263 
37
cos
2
83   sin
2
83 


37
sin
37
1
2
90   83    sin 180   83  
2
 37 .
Использованы:
а) формулы приведения:
sin (90º + t) = cost и sin (180º + t) = − sin t
sin2 (180º + t) = (− sin t) 2 = sin2 t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

.
Задания открытого банка задач
10. Найдите tg t, если
cos t 
5 29
29
 3π

, t
; 2π .
 2

Решение.
cos t 
5 29
29
5

29

2
2
sin t  1  cos t  1  

sin t  
tgt 
sin t
cos t
4
29
 


2
29
2
25
29
25
4




 1
29
29
29
29
29 
5
, где
 3π

t
; 2π   sin t  0
 2

2
2
29
 
  0 ,4 .
5
5
29
Использованы тождества:
sin2
t+
cos2
sin t
t = 1 и tg t =
.
cos t
Задания открытого банка задач
11. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
 20 cos 2 t   20 1  2 sin
2

t    20 1  2    0 ,8 
2

  20 1  2  0 ,64    20 1  1,28    20    0 ,28   5 ,6 .
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
12. Найдите
Решение.
2 sin 4 t
5 cos 2t

2 sin 4 t
5 cos 2 t
, если sin 2t = −0,7.
4 sin 2t  cos 2t
5 cos 2t

4 sin 2t
5

4    0 ,7 
5

Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t
 2 ,8
5
  0 ,56 .
Задания открытого банка задач
13. Найдите значение выражения
 3π

cos 3 π  t   sin  
t
2


.
5 cos t  π 
Решение.
 3π

 3π

cos 3 π  t   sin  
t
 cos t  sin 
t
2


 2



5 cos t  π 
5 cos π  t 

 cos t  cos t
 5 cos t

 2 cos t
 5 cos t

2
5
 0 ,4 .
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.
Задания открытого банка задач
14. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4 tg   3 π  t   3 tgt   4 tg 3 π  t   3 tgt   4 tgt  3 tgt   7 tgt 
 7 1  7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.
Задания открытого банка задач
15. Найдите
 3π

 4 sin 
 t ,
 2

если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
Решение.
2
2
cos t  1  sin
cos t 
49
625
2

t  1  0 ,96 
7
25

28
100
2
625
576
49
 24 
1




25
625
625
625


 0 ,28 , где
t  0 ; 0 ,5 π

 3π

 4 sin 
 t   4 cos t  4  0 ,28  1,12 .
 2

Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.
 cos t  0
Задания открытого банка задач
16. Найдите
5π 

tg  t 
,
2 

если tg t = 0,1.
Решение.
5π 
π
1
1



π

tg  t 
 t   tg   t    ctgt  
 
  10 .
  tg  2π 
2 
2
tgt
0 ,1



2

Использованы:
а) формула приведения: tg (5π/2 + t) = − ctg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.
Задания открытого банка задач
17. Найдите tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.
Решение.
5 sin
2
t  12 cos t  6
5 sin
2
t
2
cos t
2
2

12 cos t
2
cos t
6
2
cos t
1
2
5 tg t  12  6 

2
: cos t
2
cos t
5 tg t  12  6 tg t  1 
2
2
2
2
5 tg t  6 tg t  6  12
2
 tg t   6
2
tg t  6 .
Использовано тождество:
tg2
1
t+1=
.
2
cos t
Задания открытого банка задач
18. Найдите
7 cos t  6 sin t
3 sin t  5 cos t
,
если tg t = 1.
Решение.
Поделим
числитель
и знаменател
ь дроби на cos t ,
где cos t  0 :
7 cos t
6 sin t

cos
t
cos t  7  6 tgt  7  6  1  1   0 ,5 .

3 sin t
5 cos t
3 sin t  5 cos t
3 tgt  5
3 1  5
2

cos t
cos t
7 cos t  6 sin t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
19. Найдите
10 cos t  2 sin t  10
sin t  5 cos t  5
,
если tg t = 5.
Решение.
Поделим
числитель
и знаменател
ь дроби на cos t ,
где cos t  0 :
10 cos t
10 cos t  2 sin t  10
sin t  5 cos t  5

cos t
sin t
cos t
10  2  5 

55
10


2 sin t
cos t
5 cos t
cos t


10
cos t 
5
cos t
10
cos t  cos t  2 .
5
5
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
10  2 tgt 
tgt  5 
10
cos t 
5
cos t
Задания открытого банка задач
20. Найдите tg t, если
7 sin t  2 cos t
4 sin t  9 cos t
 2.
Решение.
7 sin t  2 cos t
4 sin t  9 cos t

2
1
7 sin t  2 cos t  2 4 sin t  9 cos t 
16 cos t  10 sin t
16 cos t
cos t

: cos t
10 sin t
cos t
16  10 tgt
tgt 
16
10
tgt  1,6 .
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
21. Найдите tg t, если
3 sin t  5 cos t  1
2 sin t  cos t  4

1
4
.
Решение.
3 sin t  5 cos t  1
2 sin t  cos t  4

1
4
4 3 sin t  5 cos t  1   2 sin t  cos t  4
12 sin t  20 cos t  4  2 sin t  cos t  4
12 sin t  2 sin t  cos t  20 cos t
10 sin t   19 cos t
10 sin t
cos t

: cos t
 19 cos t
cos t
10 tgt   19
tgt  
19
10
tgt   1,9 .
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
Задания открытого банка задач
22. Найдите значение выражения
если
cos t  
Решение.
2
3
 π

2 cos 2π  t   5 sin  
 t ,
 2

.
 π

π

2 cos 2π  t   5 sin  
 t   2 cos t  5 sin   t   2 cos t  5 cos t 
 2

2

 2
  3 cos t   3      2 .
 3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.
Задания открытого банка задач
23. Найдите значение выражения
 6 sin 142 
sin 71   sin 19 
.
Решение.
 6 sin 142 
sin 71   sin 19 

 6  2 sin 71   cos 71 
sin 71   sin 90   71  

 12 cos 71 
cos 71 
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) формула приведения sin (90º – t) = cos t.
  12 .
Задания открытого банка задач
24. Найдите значение выражения
Решение.
2 2 sin

13 π
8
cos
13 π
8
3π 

2 sin  4 π 
 
4 


13 π 

2 sin  2 
 
8 

2 2 sin
2 sin
13 π
4
13 π
8
cos
13 π
8
.

3π
2
 3π 
2 sin  
  2
 1.
   2 sin
4 
4
2

Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) свойство периодичности функции sin t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, где n ∈ Z
в) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
г) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
25. Найдите значение выражения
27 cos
2
13 π
12

27 sin
2
13 π
12
.
Решение.
27 cos

2
13 π
12

27 sin
13 π 

27 cos  2 
 
12


 3 3 
3
2

9
2
2
13 π
12


2 13 π
27  cos
 sin
12

 13 π 
27 cos 
 
6


2
13 π 
 
12 
π 

27 cos  2π   
6

27 cos
 4 ,5 .
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
π
6

Задания открытого банка задач
26. Найдите значение выражения
72 cos
2
15 π
Решение.
72 cos

2
15 π
8

18 
 15 π 
18 cos 
 
4




2 15 π
18  2 cos
 1 
8


π 

18 cos  4 π   
4

18 cos
8

18 .
15 π 

18 cos  2 
 
8


π
4
 3 2
2
2
 3.
Использованы:
а) формула cos 2t = 2cos2 t – 1.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
27. Найдите значение выражения
8
32 sin
2
Решение.
8

32 sin
2
11 π
8
 11 π 
8 cos 
 
 4 


8  1  2 sin

2
11 π 
 
8 
3π 

8 cos  2π 
 
4 

11 π
8
.
11 π 

8 cos  2 
 
8



2

  2.
8 cos
 2 2 

4
2 

3π
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения
65
2
 56
2
.
Решение.
65
2
 56
2

( 65  56 )( 65  56 ) 
9  121  3  11  33 .
 
2. Найдите значение выражения 2 7 .
2
14
Решение.
2 7 
2
14

4 7
14

28
14
 2.
3. Найдите значение выражения
Решение.

13 
7 
13 
7
13
2

7
2

13 
 13  7  6 .
7

13 
7
.
Задания открытого банка задач
4. Найдите значение выражения
5
0 , 36
0 , 32
 25
.
Решение.
5
0 , 36
 25
0 , 32
5
 
0 , 36
 5
2 0 , 32
5
0 , 36
5
0 , 64
5
5. Найдите значение выражения
Решение.
3
9
6 ,5
2 , 25

3
6 ,5
3 
2 2 , 25

3
6 ,5
3
4 ,5
 3
6 ,5  4 ,5
 3
2
0 , 36  0 , 64
3
9
6 ,5
2 , 25
1
 5  5.
.
 9.
6. Найдите значение выражения
4
5
7 9  49 18 .
Решение.
4
5
4
 
7 9  49 18  7 9  7
2
5
18
4
5
4
 79 79  79

5
9
9
1
 7 9  7  7.
Задания открытого банка задач
2
7. Найдите значение выражения
Решение.
2
3 ,5
6
3
5 ,5

4 ,5
2
3 ,5
3
2  3 
5 ,5
4 ,5

2
3 ,5
2
4 ,5
3
5 ,5
3
4 ,5
 2
3 ,5  4 ,5
6
3
8. Найдите значение выражения
Решение.
35
 4 ,7
5
7
5 ,7
 4 ,7  3 ,7
:5
7
 3 ,7
 5  7 
 4 ,7  5 ,7
5
1
 4 ,7
1
7
7 
5 ,7
7
5
5
3 ,7
5
4 ,2
0 ,24

2 ,8  4 ,2
0 ,24

3
5 ,5
5 ,5  4 ,5
35
 4 ,7
.
4 ,5
 4 ,7
7
 2
7
 4 ,7
1
5 ,7
7
28  42
24

2 ,8 
:5
5 ,7
49  7 .
4 ,2
0 ,24
3
1
3 
 1,4 .
9. Найдите значение выражения
Решение.
2 ,8 
3 ,5
.
 3 ,7
5
2
.
3 ,7

 1,5 .
Задания открытого банка задач
10. Найдите значение выражения
Решение.

6
5 
 3
 1 :


7
7



27
7
28

3
12


 

28

3
28

7
3

27
7

27  28
7 3
12 
:
7 

7  18 7
6
7
18

7
2
18
 18 7



28

12  28
7 3
7
3
2

18
7 7
7
3

18
3
3

11. Найдите значение выражения
Решение.
9




7
3
7
3

18
27
7
6
7

12 

7 

94 
9
5 
1 :
7 
1  1.
7
28
28
3
.

4  4  6  4  2.
7  18 7
6
3
.
Задания открытого банка задач
12. Найдите значение выражения
5
5
Решение.
5
10  5 16
5
5

5
10  16
5

5
1

 23  24
 12
2


2
1
1



 23  24
  
1

 2 12


5
.
32  2 .
13. Найдите значение выражения
Решение.
1
10  5 16
1
 1
 23  24
 12
2


2


.


2

 11 1

3 4 12
   2



2


  2




4  3 1
12
2
1


  22




2

  2.


Задания открытого банка задач
3
14. Найдите значение выражения
Решение.
3
2

25  5 3


9
10




15
3


25


15




9
2
2

 5 3


9
5




2

 25  5 3

9
10


15


.


15
9

2 5
9
10
2 5
9
 5.
15. Найдите значение выражения
1
2
0 ,8 7  5 7  20
6
7
.
Решение.
1
0 ,8
7
2
5
7
6
 20
7
1
1
2
2
6
6
6
47 57  47 57
 4 7
7
    5  4  5  7 
 4  5  20 .
1
5
57
Задания открытого банка задач
16. Найдите значение выражения
Решение.

13 
10 

7

2
91
20  2 91
10 
91
13


2
 2 13
10 

2 10 
10 
91
91
7 
7
91
2


13 
10 
7
91
2
91
13  2 91  7
10 

.

  2.
17. Найдите значение выражения
5  3 9  6 9.
Решение.
53 9 6 9  5
6
2
9 6 9  5
6
2
9 9  5 
6
9
3
 5
9  5  3  15 .
Задания открытого банка задач
49
18. Найдите значение выражения
Решение.
49
7
8 ,4
7 
2 5 ,2
5 ,2

7

8 ,4
7
7
7
 7
8 ,4
10 , 4  8 , 4
 7
2
3
2
2
3

.
 49 .
5a   6b 
.
30 a b 
2 3
5 a
30
2
6
2
 6 b
a
6
b
2
2

3
6
 6 b
2
2
2
2
6
2
5 a
5  6 a
b
2
3
Решение.
2 3
8 ,4
10 , 4
19. Найдите значение выражения
5a   6b 
30 a b 
5 ,2
 5.
2
Задания открытого банка задач
20. Найдите значение выражения
Решение.

7m
  11 m 
3m 
5 6
3 10
15
2

7m
30
 11 m
9m
30

30
18 m
9m

7m
x
10
x
9
 2x
4
3

3 x
x
10
3
x
 2x
9
4

27 x
2x
6
6

27
2
3 10
15
2
30
30
 2.
21. Найдите значение выражения
Решение.
3 x 3
  11 m 
.
3m 
5 6
 13 ,5 .
3 x 3
x
10
x
9
 2x
4
.
Задания открытого банка задач
2
a b
22. Найдите значение выражения
Решение.
6
2
a b
 4a 
3
b
2

2
16
1
a b
4

a b
3
64 a b
6
2
 16
1
a b
4

4a 
2
6
2
6
16 a b
64 a b

3
1
4
23. Найдите значение выражения 2 x 
Решение.
6
b
2 x

 
 x
2 6
: 3x
12

16 x
12
3x
x
12
12
  15 x
3x
12
12
 5.
16
1
a b
4
.
.
3 4
3 4
2

 
 x
2 6
: 3x
12
.
Задания открытого банка задач
24. Найдите значение выражения
при х  2.
x 
x
2
 4x  4
Решение.
x 
x
2
 4x  4  x 
x
 2   x  x  2  x  x  2  2,
2
Т.к. при х  2
x  2  x  2.
25. Найдите значение выражения
11a
6

3
2
 b  3a b

3
 : 4a b
6
6
 при b = 2.
Решение.
11a
6
b
3

2
 3a b

3
 : 4a b
6
6

6
11 a b
Т.к. b = 2, то
3
6
 27 a b
6
4a b
4
2
3
6
  0 ,5 .
3
6

 16 a b
6
4a b
6
3

4
b
3
,