;doc

Государственное казенное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра таможенной статистики
ПРОГРАММА
вступительного испытания по дисциплине
«Математика»
Направления подготовки: 38.03.02 «Менеджмент»
38.03.01 «Экономика»
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Москва
2014
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИСПЫТАНИЯ
Цель вступительного испытания - установить уровень знаний абиту¬
риентов по математике.
Задачи вступительного испытания:
—выявление контингента абитуриентов, имеющих уровень подготов­
ки, позволяющий успешно осваивать образовательные программы высшего
профессионального образования;
- отбор контингента абитуриентов, способных успешно обучаться по
программам высшего профессионального образования.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Программа вступительного испытания по математике сформирована на
основе федерального государственного образовательного стандарта средне¬
го общего образования и федерального государственного образовательного
стандарта основного общего образования.
Абитуриент должен:
знать:
- свойства степенных, показательных, логарифмических и тригономе¬
трических выражений;
- свойства и графики линейных, квадратичных, степенных, показатель¬
ных, логарифмических и тригонометрических функций;
- методы решения уравнений, неравенств,
систем уравнений и нера¬
венств;
- методы алгебры и тригонометрии при решении геометрических задач;
- свойства плоских фигур, теоремы планиметрии;
- свойства пространственных фигур, теоремы стереометрии;
уметь:
- производить арифметические действия над числами, заданными в виде
десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять дан¬
ные числа и результаты вычислений;
- проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содер­
жащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции;
- строить графики линейных, квадратичных, степенных, показательных,
логарифмических и тригонометрических функций;
- решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения
и неравенства, приводящиеся к ним; системы уравнений и неравенств пер¬
вой и второй степени и приводящиеся к ним; алгебраические уравнения
и неравенства высших степеней, иррациональные уравнения и неравенства,
простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показатель¬
ные, логарифмические и тригонометрические функции;
- решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;
- изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простей¬
шие построения на плоскости;
- использовать геометрические представления при решении алгебраиче¬
ских задач, методы алгебры и тригонометрии при решении геометрических
задач;
- анализировать взаимное расположение объектов в пространстве;
- решать планиметрические и стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
- использовать при решении стереометрических задач планиметрические
свойства, теоремы и методы;
- проводить операции над векторами (сложение и вычитание векторов,
умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций для
решения геометрических задач;
- пользоваться понятием производной при исследовании функции на воз¬
растание (убывание), на экстремум функции;
-
решать комбинаторные задачи методом перебора, а также с ис¬
пользованием формул;
- вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе под¬
счета числа исходов.
СОДЕРЖАНИЕ ИСПЫТАНИЯ
Раздел 1. Основные математические понятия и факты
арифметики и алгебры
Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Целые числа (Z). Рациональные числа
их сложение, вычитание, ум­
ножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его гео¬
метрический смысл.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращен¬
ного умножения.
Степень с натуральным и рациональным показателями. Арифметический
корень.
Логарифмы, их свойства. Логарифм произведения, степени, частного.
Одночлен и многочлен.
Многочлен с одной переменной. Корень многочлена. Формула корней
квадратного трехчлена. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Понятие функции. Способы задания функции. Область определения.
Множество значений функции.
График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, чет¬
ность, нечетность.
Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежут¬
ке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функ­
ции. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке.
Определения, основные свойства и графики элементарных функ¬
2
ций: линейной y = kx + b, квадратичной у = ах + Ьх = с, степенной
k
n
x
y = ax (n G N), y = — показательной у = a , а > 0, логарифмической, триx
гонометрических функций (y = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx), арифме­
тического корня y = \[x .
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Неравенства. Свойства числовых неравенств. Решения неравенства. По¬
нятие о равносильных неравенствах.
Система уравнений и неравенств. Решения системы.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена
и суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена
и суммы первых п членов геометрической прогрессии.
Раздел 2. Основные математические понятия и факты
алгебры и начала анализа
Основное тригонометрическое тождество, зависимость между тригоно¬
метрическими функциями одного аргумента, синус и косинус суммы и раз¬
ности двух аргументов (формулы). Тригонометрические функции двойно­
го аргумента. Преобразование в произведение сумм sina ± ship, cosa ± cosp.
Формулы приведения.
Производная. Ее физический и геометрический смысл. Производные ос­
x
n
новных элементарных функций: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y =e , y = ax
(n G Z), y = lnx, у=^Ъс+Ь). Правила вычисления производной. Уравнение ка¬
сательной к графику функции. Промежутки возрастания и убывания функ¬
ции, точки экстремума.
Неопределенный интеграл. Интегралы основных элементарных функ¬
ций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Раздел 3. Планиметрия
Точка, прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина уг¬
ла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные и пер¬
пендикулярные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства точек,
равноудаленных от концов отрезка.
Векторы. Операции над векторами.
Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
Треугольник. Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпук­
лого многоугольника. Медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников.
Свойства равнобедренного треугольника. Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника.
Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, тра­
пеция. Их признаки и свойства.
Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма,
ромба, квадрата, трапеции.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окруж­
ности и ее свойства. Дуга окружности. Сектор. Центральные и вписанные
углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная
в треугольник.
Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Пло¬
щадь круга и площадь сектора.
Виды симметрий. Преобразования подобия и его свойства. Подобные фи¬
гуры. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треуголь¬
ника.
Раздел 4. Стереометрия
Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Параллельность
прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак
параллельности плоскостей. Перпендикулярность двух плоскостей. Тео¬
рема о параллельности и перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех
перпендикулярах.
Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикуляр¬
ность двух плоскостей.
Многогранники, их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная
призмы, пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллеле¬
пипеды, их виды.
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус
сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
Формулы площади поверхности и объема призмы.
Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
Формулы площади поверхности и объема конуса.
Формулы объема шара.
Формулы поверхности сферы.
Раздел 5. Элементы комбинаторики, теории вероятностей
и математической статистики
Случайные события. Элементарные исходы испытаний. Вероятность слу¬
чайного события. Сочетания. Перестановки. Размещения.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс: в 2 ч. Ч. 1, 2 / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева и др. 6-е изд. М.: Мнемозина, 2013.
2. Балаян Э.Н. 800 лучших олимпиадных задач по математике для подготовки
к ЕГЭ. 9-11 классы. Ростов н/Д: Феникс, 2013.
3. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ-2014. Математика /
под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: АСТ, 2014.
Дополнительная
1. Нейман Ю.М., Королева Т.М., Маркарян Е.Г. Математика. ЕГЭ: учебно-спра­
вочные материалы. М.: Просвещение, 2012.
2. Панферов B.C., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных
задач / ФИПИ. 2-е изд., доп. и расшир. М.: Интеллект-Центр, 2013.
3. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю. Математика. Решебник. Подготока к ЕГЭ-2014.
Ростов н/Д: Феникс, 2013.
4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / под ред. М.И. Сканави. М.: АСТ: ОНИКС, 2012.
5. Семенов А.Л. и др. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания
группы В. М.: Экзамен, 2014.
6. ЕГЭ-2014. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов /
под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко и др. М.: Национальное образование,
2014.
Интернет-ресурсы
http://www.fipi.ru/ - Федеральный институт педагогических измерений.
ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИЙ
В соответствии с требованиями Федерального института педагогических
измерений предлагаются примерные варианты тестовых заданий по дисци¬
плине «Математика».
Вариант 1
Задания части В
Задание В 1
Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая
спасательная шлюпка может вместить 80 человек. Какое наименьшее чис¬
ло шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них
можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
Задание В 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении
трех суток. По горизонтали указываются дата и время суток, по вертикали значения температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наиболь¬
шую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
0:00
6:00
12:00 1S:00
0:00
6:00
22 января
12:00 18:00
23 января
0:00
6:00
12:00 18:00
0:00
6:00
24 января
Задание В 3
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ч
\
\
\
N
1м
Задание В 4
Семья из трех человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Мож­
но ехать поездом, а можно - на своей машине. Билет на поезд на одного
человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100
км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 ру-
бля за литр. Сколько рублей придется затратить за наиболее дешевую поезд¬
ку на троих?
Задание В 5
Найдите корень уравнения log5(5 - x) = log53.
Задание В 6
В ромбе ABCD угол CAD равен 80°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в гра¬
дусах.
Задание В 7
3+log2
Найдите значение выражения 5
.
Задание В 8
Прямая
y = 7x - 5
параллельна
касательной
к
графику
функции
2
y = x + 6x - 8. Найдите абсциссу точки касания.
Задание В 9
Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D. прямоугольного
параллелепипеда ABCDAB CD
для которого AB = 4, AD = 6, AA
= 5.
Задание В 10
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите веро¬
ятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
Задание В 11
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основа¬
ния и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.
Задание В 12
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону
2
h(t) = 1,6 + 13t - 5t , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошед¬
шее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не
менее 4 метров?
Задание В 13
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую полови¬
ну пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на
28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В од¬
новременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Ответ дайте в км/ч.
Задание В 14
x - 12
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 13)e
на отрезке [11; 13].
Задания части С
Задание С 1
2
Решите уравнение 6cos2x - 14cos x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принад­
лежащие отрезку
п
——; —
1 2 2 _
Задание С 2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой рав­
ны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD.
Задание С 3
Решите систему неравенств
2
|log(x_1)2(x - 4x + 4) < 0,
2
log2(x - 3x + 3) > 1.
Вариант 2
Задания части В
Задание В 1
Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить на 1 000 рублей во время распродажи, когда скидка составля¬
ет 15%?
Задание В 2
На графике показан процесс разогрева двигателя автомобиля. На оси аб¬
сцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на
оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по
графику, за сколько минут двигатель нагреется с 40°С до 60°С.
Задание В 3
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с разме-
J
11111
1
м
\
1<х
Задание В 4
Для остекления музейных витрин требуется заказать 40 одинаковых сте­
2
кол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла - 0,15 м . В таблице при­
ведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить са­
мый дешевый заказ?
Фирма
Цена стекла
Резка стекла
2
(руб. за 1 м ) (руб. за одно стекло)
А
320
15
В
310
20
С
380
10
Дополнительные условия
При заказе на сумму более
2 000 руб. резка стекла бесплатна
Задание В 5
4-х
Решите уравнение 2
4-х
= 0,4 • 5
.
Задание В 6
В ромбе ABCD угол DBC равен 12°. Найдите угол DAB. Ответ дайте в гра¬
дусах.
Задание В 7
2log3
Найдите значение выражения 8
.
Задание В 8
На рисунке изображен график y = f(x) - производной функции f x ) , опре­
деленной на интервале (-6; 6). Найдите точку экстремума функции f x ) на
интервале (-4; 5).
У
iк
У =
1
-6
0
1V.
1
6
X
Задание В 9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1 =
16, CD = 8, BC = 11. Найдите длину диагонали DB
Задание В 10
В чемпионате по гимнастике участвуют 72 спортсменки: 27 - из Испа¬
нии, 27 - из Португалии, остальные - из Италии. Порядок, в котором вы¬
ступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что
спортсменка, выступающая первой, окажется из Италии.
Задание В 11
3
В цилиндрический сосуд налили 1 200 см воды. Уровень жидкости ока­
зался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ вы­
3
разите в см .
Задание В 12
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет со¬
бой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление
1,4
связаны соотношением pV
= const, где р (атм.) - давление в газе, V- объ¬
ем газа в литрах. Изначально объем газа равен 16 литров, а его давление рав¬
но одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками пор¬
шень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до
какого минимального объема можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Задание В 13
Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый про¬
бег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипе­
диста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Задание В 14
x - 12
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 13)e
на отрезке [11;
13].
Задания части С
Задание С 1
Решите уравнение
2 cos x +
sin x +
2 = 0. Укажите корни,
принадлежащие отрезку [-3п; -2п].
Задание С 2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра
которой равны 2, найдите расстояние от точки В до прямой A1F1.
Задание С 3
x
Решите неравенство logx(log9(3 - 9))<1.
ОТВЕТЫ К П Р И М Е Р Н Ы М ВАРИАНТАМ ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Вариант 1
Номер задания
Ответ
Номер задания
В1
8
С1
В2
-10
С2
В3
15
С3
В4
1 424,5
В5
2
В6
20
В7
250
Ответ
4
+пп; — arctg— + пк;
&
4
3
п
4
[о;
3
2
Ц
3
+>
/У
2
—5п
4
Номер задания
Ответ
В8
0,5
В9
77
В10
0,11
В11
4
В12
2,2
В13
56
В14
-1
Номер задания
Ответ
Вариант 2
Номер задания
Ответ
В1
5
В2
2
В3
26
В4
2 280
В5
3
В6
156
В7
9
В8
2
В9
21
В10
0,25
В11
960
В12
0,5
В13
10
В14
12
С1
п
~
/ 1 ч к + 1к п 1
.
11п
—9п
- + 2 пи; (—1) + - + пк; ——; ——
2
4
4
4
С2
С3
(log310; + ^)