Теория вероятностей

Теория вероятностей
Классическое определение вероятности. Пусть производится некоторое испытание, которое
может иметь ровно n различных исходов. Будем считать, что все эти исходы несовместны (не
могут произойти одновременно) и равновероятны (данное понятие лежит за рамками
математической теории и понимается в интуитивном смысле). Каждому событию A, являющемуся
подмножеством пространства элементарных событий проводимого испытания, поставим в
соответствие число
p(A)=mn,
где m — число исходов испытания, благоприятствующих событию A. Число p(A) называют
вероятностью события A при данном испытании.
Анализ и решение задач. Анализ и решение задач могут быть выполнены по следующей схеме:
1. Уясните, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.
2. Установите, являются ли исходы испытания несовместными и равновероятными.
3. Подсчитайте число n всех возможных исходов испытания.
4. Сформулируйте событие, вероятность наступления которого необходимо найти.
5. Подсчитайте число m исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию.
6. Вычислите по предложенной формуле вероятность появления рассматриваемого события.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Элементарные события опыта — простейшие события, которыми может окончиться случайный
опыт.
Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вероятность события A (обозначается P(A)) равна сумме вероятностей элементарных событий,
благоприятствующих этому событию.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Объединение событий A∪B — событие, состоящее из элементарных исходов,
благоприятствующих хотя бы одному из событий A или B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пересечение событий A∩B — событие, состоящее из элементарных исходов,
благоприятствующих обоим событиям A и B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Событие A¯, состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в A,
называется противоположным событию A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
События A и B называются независимыми, если P(A∪B)=P(A)⋅P(B).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Несовместными называются события, которые не наступают одновременно ни в одном опыте.
Например, противоположные события несовместны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Условная вероятность P(B|A) — это вероятность наступления события B при условии, что
событиеA наступило.
Формула противоположного события:
P(A¯)=1−P(A).
Формула сложения вероятностей:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Формула сложения вероятностей для несовместных событий:
P(A∪B)=P(A)+P(B).
Формула умножения вероятностей:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B|A).
Проценты
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процент (от лат. pro centum — на сотню) — это одна сотая доля числа. Обозначается знаком
«%». n%от числа a — это n100 часть числа a, что равно a⋅n100.
Например, 2 % от 500 — это 2100 от 500, т. е. 2100⋅500=10.
ПРИМЕР
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных
земель одну сторону участка увеличили на 20 %, а другую уменьшили на 20 %. Как
изменится площадь участка?
РЕШЕНИЕ
Пусть a и b — стороны исходного прямоугольника. Тогда новые стороны будут
соответственно a+20100a=65a и b−20100b=45b. Поэтому новая площадь будет равна
65a⋅45b=2425ab=96100ab=ab−4100ab.
Ответ. Площадь уменьшилась на 4 %.
Простейшие текстовые задачи
ПРИМЕР
Известно, что рост Джона составляет 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1
фут равен 0,305 метрам, а 1 дюйм равен 2,54 сантиметрам. Результат округлите до целого числа
сантиметров.
РЕШЕНИЕ
Так как в 1 метре — 100 сантиметров, то в 1 футе — 100⋅0,305=30,5 сантиметров. А значит, в 6
футах — 6⋅30,5=183 сантиметра. Тогда рост Джона, выраженный в сантиметрах,
равен 183+2,54=185,52 сантиметра. Из того, что у числа 185,52 первая цифра после запятой равна
5, после округления до целого получаем число 186.
ПРИМЕР
В квартире, где проживает Алексей, установлен счётчик для измерения расходов холодной воды.
Известно, что 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб.метра воды, а 1 октября счётчик
показывал расход 114 куб. метра воды. Сколько рублей Алексею нужно заплатить за расход воды
в сентябре, если цена 1 куб метра воды — 19 рублей 20 копеек?
РЕШЕНИЕ
Найдём количество воды, которое потратил Алексей в сентябре: 114 - 103 = 11 куб. метров. За
такое количество воды Алексею нужно заплатить: 11⋅19,2=10⋅19,2+19,2=192+19,2=211,2 рублей.
Треугольник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками,
которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Эти точки
называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Углы между лучами,
содержащими две стороны и выходящими из одной вершины треугольника,
называются углами треугольника
Сумма углов треугольника
ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Сумма внутренних углов треугольника равна 180∘.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим треугольник через ABC. Проведем через B прямую l, параллельную AC. Выберем на
этой прямой точки X и Y справа и слева от точки B. Тогда ∠XBA=∠BAC как накрест лежащие при
параллельных прямых l и AC и секущей BA. Аналогично получаем, что ∠CBY=∠BCA как накрест
лежащие при параллельных прямых l и AC и секущей BC. Тогда
∠BAC+∠ABC+∠BCA=
Доказано.
=∠XBA+∠ABC+∠CBY=∠XBY=180∘.
Средняя линия треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника, а длина средней линии
треугольника равна половине этой стороны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Проведём через точку N, середину BC, прямую, параллельную стороне AC. Пусть она
пересекает AB в точке M. Докажем, что MN — средняя линия треугольника, то есть, что M —
середина AB и что MN=12AC.
Проведём через точку N прямую, параллельную AB. Пусть K — её точка пересечения со
стороной AC. Заметим, что треугольники KNC и MBN равны по стороне и двум углам.
Действительно, NC=BN, а ∠KNC=∠MBN и ∠MNB=∠KCN из того, что KN||AB и KC||MN.
Значит MN=KC и MB=KN. Но четырёхугольник AMNK — параллелограмм по определению,
тогда MN=AK=KC=12AC и AM=NK=MB.
Медиана, высота и биссектриса треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на
прямую, содержащую противолежащую сторону.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий
вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Четырехугольники
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Четырехугольником называется геометрическая фигура, образованная четырьмя отрезками,
которые соединяют четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Эти точки
называются вершинами четырехугольника, а отрезки — сторонами четырехугольника. Из каждой
вершины выходит ровно две стороны; стороны, не имеющие общих вершин, не пересекаются.
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ:
•
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны равны и лежат на
параллельных прямых;
•
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
•
Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
•
Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
•
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
Параллелограмм
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны.
Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180∘, а противоположные углы равны.
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
3. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
1. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
4. Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то это
параллелограмм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА:
1. Диагонали прямоугольника равны.
ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА:
1. Если в параллелограмме есть один прямой угол, то этот параллелограмм является
прямоугольником.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелограмм, в котором все стороны равны, называется ромбом.
СВОЙСТВА РОМБА:
1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
ПРИЗНАКИ РОМБА:
1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является
ромбом.
2. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является
ромбом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
ПРИЗНАКИ КВАДРАТА:
1. Если у ромба все углы прямые, то этот ромб является квадратом.
2. Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Трапеция
ТРАПЕЦИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны,
а две другие — нет.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а не параллельные —
боковымисторонами.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Сумма углов при каждой из боковых сторон равна 180∘.
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИ
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
РАВНОБЕДРЕННАЯ (РАВНОБОКАЯ) ТРАПЕЦИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Трапеция называется равнобокой, если ее боковые стороны равны.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Трапеция равнобокая тогда и только тогда, когда углы при ее основании равны.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Трапеция называется прямоугольной, если два ее угла, примыкающие к одной из боковых сторон
равны 90∘.
Окружность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (называемой центром окружности).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Отрезок,
соединяющий любую точку окружности с центром, также называют радиусом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Диаметр окружности больше, чем хорда окружности, отличная от диаметра.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Диаметр d окружности равен двум радиусам r окружности. Хорда AB окружности, отличная от
диаметра является основанием равнобедренного треугольника AOB с вершиной в центре
окружности O и боковыми сторонами — радиусами окружности. По неравенству
треугольника AO+OB=2r=d>AB
Вписанный и центральный углы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вписанным называется угол с вершиной на окружности, лучи которого вторично ее пересекают.
На рисунке вписанным углом является угол ABC.
Центральным называется угол с вершиной в центре окружности.
На рисунке центральным углом является угол AOC.
Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального угла.
На рисунке градусная мера дуги AC равна величине углом является градусной величине угла AOC.
Теперь перечислим возможные взаимосвязи между углами и высекаемыми ими хордами.
ЛЕММА 1
Пусть ∠BAC — вписанный угол окружности с центром в точке O, причем O лежит на отрезке AB.
Тогда ∠BOC=2∠BAC.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Поскольку O — центр окружности, то OA=OB=OC. Следовательно, треугольник AOC —
равнобедренный. Внешний угол треугольника AOC равен сумме двух внутренних, не смежных с
ним, поэтому
что и требовалось доказать.
∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC=2∠BAC,
ТЕОРЕМА
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, высекаемой на окружности сторонами угла
и заключенной внутри угла. Или, что то же самое, вписанный угол равен половине
соответствующего центрального угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть ∠BAC — данный вписанный угол. Докажем, что ∠BOC=2∠BAC, где O — центр окружности.
Возможны три случая: точка O лежит либо на одной из сторон угла BAC (этот случай рассмотрен в
Лемме 1), либо внутри угла, либо снаружи.
Пусть точка O лежит внутри угла и пусть луч AO пересекает дугу BC в точке D. Для каждого из
вписанных углов BAD и CAD выполняется Лемма 1, поскольку O лежит на отрезке BD. Поэтому
∠BOD=2∠BAD,∠COD=2∠CAD
Если сложить эти два равенства, то мы получаем, что
∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠СAD=2∠BAC.
Если же точка O лежит вне угла BAC, то можно считать, что луч AO пересекает окружность в
точке D так, что точка C лежит внутри угла BAD. Аналогично, используя Лемму 1 для
углов BADи CAD, мы получаем, что
∠BOC=∠BOD−∠COD=2∠BAD−2∠CAD=2(∠BAD−∠CAD)=2∠BAC.
Теорема доказана.
ЛЕММА 2
Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из
которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями (или, как еще
говорят, полусуммой дуг, высекаемых этих углом на окружности).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Нам нужно доказать, что ∠APD=AD˘+BC˘2 (см. рисунок).
Соединим точки A и B хордой. Заметим, что в треугольнике ABP известно,
что ∠PAB=BC˘2,∠PBA=AD˘2, причем ∠APD является внешним углом для этого треугольника. По
теореме о внешнем угле треугольника мы получаем
∠APD=∠PAB+∠PBA=AD˘+BC˘2.
ЛЕММА 3
Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он
измеряется полуразностью дуг, высекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Будем доказывать, что ∠APB=BD˘−AC˘2 (см. рисунок).
Соединим точки A и B хордой. Известно, что ∠DAB=BD˘2,∠PBA=AС˘2, причем ∠DAB — является
внешним углом для треугольника ABP. По теореме о внешнем угле треугольника получаем
∠APB=∠DAB−∠PBA=BD˘−AC˘2.
ЛЕММА 4
Угол с вершиной P на окружности между ее хордой PA и касательной PB измеряется половиной
дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Данная лемма является частным случаем Лемм 2 и 3, поскольку в данном случае есть вторая дуга,
которая равна нулю. Подставляя в любую из указанных лемм, получаем требуемое.
Также можно доказать эту лемму, проведя диаметр через точку касания P. Пусть C — точка,
диаметрально противоположная точке P. Тогда
∠ACP=AP˘2,PAC=90∘,∠APC+∠ACP=90∘,
откуда
∠APB=∠CPB−∠APC=90∘−∠APC=∠ACP=AP˘2,
что и требовалось доказать.
ЛЕММА 5
Если же секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой
окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой
касания дуга, заключенная внутри этого угла. То есть угол с вершиной вне окружности между
касательной и прямой, содержащей хорду окружности, равен полуразности дуг, на которые
делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Эта лемма является частным случаем леммы 3, а именно, это тот случай, когда одна из сторон
угла проходит не через две точки окружности, а через одну.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Говорят, что точка B лежит на окружности, построенной отрезке AC как на диаметре, если
угол ABC прямой. Это понятие достаточно естественное. Действительно, если рассмотреть
окружность, с центром в середине отрезка AC (т.е. AC будет диаметром этой окружности), то
точка B будет лежать на этой окружности, т.к. центр описанной окружности около прямоугольного
треугольника ABC — середина гипотенузы AC.
Вписанная окружность треугольника
ТЕОРЕМА
В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в
треугольник, совпадает с точкой пересечения его биссектрис.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Докажем, вписанная окружность существует и её центр совпадает с точкой пересечения
биссектрис. Действительно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон (заметим,
что любая точка на биссектрисе угла B равноудалена от прямых AB и BC, аналогичное
утверждение верно и для других биссектрис, значит, что точка пересечения биссектрис будет
равноудалена от всех сторон). Если мы рассмотрим теперь в качестве окружности окружность с
центром в точке I радиуса, равного расстоянию от I до AC (на рисунке IB1), то мы получим
вписанную окружность в треугольник ABC.
Докажем теперь, что существует единственная вписанная окружность. Действительно, центр этой
окружности должен находиться внутри треугольника ABC, а также он должен быть равноудален от
сторон. А как мы знаем, что если точка лежит внутри угла ABC и равноудалена относительно двух
его сторон AB и BC, то она лежит на биссектрисе, а т.к. центр вписанной окружности равноудален
относительно всех трех сторон, то он должен лежать на биссектрисах углов ABC, BCA и CAB, т.е.
он должен совпадать с точкой пересечения биссектрис. Очевидно, что в таком случае радиус
вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения биссектрис до любой из сторон
треугольника. Таким образом, получаем, что центр вписанной окружности и её радиус определены
однозначно. Теорема доказана.
Описанная окружность треугольника
ТЕОРЕМА
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности,
описанной около треугольника, совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров его
сторон.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, что серединные перпендикуляры к его сторонам
пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Проведем
серединные перпендикуляры к двум сторонам (AB и BC) треугольника ABC. Рассмотрим
точку O пересечения серединных перпендикуляров. Заметим, что тогда OA=OB и OB=OC, а
значит, OA=OC, то есть точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC (см. лемму в
разделе "Серединный перпендикуляр").
Поскольку OA=OB=OC, то вершины треугольника лежат на окружности с центром в O и
радиусом OA. Этим доказано существование окружности.
Единственность вытекает из того, что центр описанной окружности равноудален от вершин,
следовательно, лежит на соответствующих серединных перпендикулярах (снова по лемме в
разделе "Серединный перпендикуляр").
Прямоугольная система координат
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямоугольная система координат образуется пересечением на плоскости под прямым углом
двух числовых осей. Положительная полуось одной из них направлена вправо (ось абсцисс), а
второй — вверх (ось ординат). Точка пересечения осей совпадает с точкой 0 каждой из них и
называетсяначалом координат.
Если не оговорено противное, длины единичных отрезков на каждой из осей предполагаются
равными. Каждой точке плоскости соответствует пара чисел, названная координатами этой точки
на плоскости. И наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости,
для которой эти числа являются координатами. Первая координата точки
называется абсциссой этой точки, а вторая координата — ординатой. Чтобы определить
координаты точки, нужно из точки опустить два перпендикуляра на оси. Точки пересечения
перпендикуляров с осями называются проекциями точки на оси координат. Координата проекции
на ось абсцисс будет абсциссой точки, на ось ординат — ординатой. Для построения точки по ее
заданным координатам нужно сделать обратную процедуру.
Вся плоскость делится осями координат на четыре четверти (квадранта). Первый квадрант
ограничен положительными полуосями абсцисс и ординат. Дальше нумерация идет против
часовой стрелки.
Уравнение прямой
Прямую на плоскости можно задать уравнением Ax+By+C=0, где A, B и C действительные числа,
причем из чисел A и B хотя бы одно должно быть отлично от нуля.
Если коэффициент A равен нулю, то прямая горизонтальна, а если B=0 — вертикальна.
Любую невертикальную прямую можно задать уравнением y=kx+b. Число k называется
коэффициентом наклона и равно тангенсу угла между положительным направлением оси x и той
частью прямой, что расположена в верхней полуплоскости.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки (x0;y0) до прямой Ax+By+C=0 равно
ϱ=|Ax0+By0+C|A2+B2−−−−−−−√.
Уравнение окружности
Окружность с центром в точке (x0;y0) радиуса R задается уравнением
(x−x0)2+(y−y0)2=R2.
Векторы на плоскости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть a⃗ и b⃗ — два неколлинеарных вектора. Представление вектора c⃗ в виде c⃗
где x и y — некоторые числа, называется разложением по базису {a⃗ ;b⃗ }.
Числа x и y называют координатамивектора c⃗ в этом базисе.
=xa⃗ +yb⃗ ,
УТВЕРЖДЕНИЕ
Для каждого вектора разложение по базису существует и единственно.
Для координат векторов справедливы следующие свойства:
1. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат.
2. Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
4. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если векторы a⃗ и b⃗ имеют единичную длину, а угол между ними равен 90∘, то
базис {a⃗ ;b⃗ }называется ортонормированным.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат два единичных
вектора, направление которых совпадает с направлениями координатных осей. Эти векторы
обозначаются ı⃗ и ȷ⃗ и называются координатными векторами, или ортами. Так как координатные
векторы неколлинеарны, то любой вектор a⃗ можно представить в виде a⃗
Тогда x и yбудут координатами вектора a⃗ в этой системе координат.
=xı⃗ +yȷ⃗ .
УТВЕРЖДЕНИЕ
Скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗ в прямоугольной системе координат выражается
формулой (a⃗ ,b⃗
)=x1x2+y1y2, где (x1;y1) и (x2;y2) — координаты
векторов a⃗ и b⃗ соответственно.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Длина вектора равняется корню квадратному из суммы квадратов координат.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Ненулевые векторы a⃗ и b⃗ перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2+y1y2=0,
где (x1;y1)и (x2;y2) — координаты векторов a⃗ и b⃗ соответственно.
Рациональные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде частного от деления
целого числа на натуральное:
23,−72,−1510,2023,…
ПРАВИЛО СОКРАЩЕНИЯ ДРОБИ
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий целый делитель, то на него можно сократить:
pnqn=pq.
Таким образом, каждое рациональное число не единственным образом представляется в виде
отношения двух натуральных чисел:
СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
3521=5⋅73⋅7=53;
4436=11⋅49⋅4=119;
3485=2⋅175⋅17=25.
Про любые два рациональных числа можно сказать ровно одно из следующих
утверждений: a<b (a меньше, чем b), a=b (a равно b) или a>b (a больше, чем b). При этом:
•
любое положительное число больше нуля;
•
любое положительное число больше любого отрицательного;
•
нуль больше любого отрицательного.
Для сравнения двух рациональных чисел нужно привести их к общему знаменателю и сравнить
числители: чем больше числитель, тем больше число.
Конечная десятичная дробь
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если знаменатель дроби — степень десятки, то дробь называется конечной десятичной.
Конечная десятичная дробь может быть записана в десятичном виде, то есть «с запятой»:
131000=0,013;
1253100=12,53;
3710000=0,0037.
Если знаменатель дроби — произведение 2n⋅5m (например, 2320), то дробь можно свести к
конечной десятичной.
Способ I — разделить в
столбик:
Способ II — домножить числитель и знаменатель на недостающую
степень 2 или 5:
2320=23⋅520⋅5=115100=1,15.
ПРИМЕР
Двумя способами представить дробь 73400 в виде конечной десятичной дроби.
РЕШЕНИЕ
Способ I:
Способ II:
73400=73⋅25400⋅25=182510000=0,1825.
Ответ. 73400=0,1825.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
Рассмотрим следующую задачу. Представить конечную десятичную дробь в виде рационального
числа.
Для этого нужно записать соответствующий знаменатель в виде степени 10 и, если можно,
сократить:
1,344=13441000=168125;
0,2135=213510000=4272000.
Иррациональные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Иррациональными называются все действительные числа, не являющиеся рациональными.
В десятичной записи иррациональные числа имеют вид бесконечной непериодический дроби.
ПРИМЕР
Следующие числа иррациональны:
2√,π=3,141592…,e=2,718281….
ЗАДАЧА
Докажите, что 2√ — иррациональное число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предположим противное, пусть 2√ — рациональное число, тогда его можно представить в виде
несократимой дроби mn, где m — целое, а n — натуральное.
2√=mn.
Возведем равенство в квадрат, тогда получим 2=m2n2. Это выражение можно записать в виде
m2=2n2.
То есть в представлении числа m2 в виде произведения простых сомножителей на одну двойку
больше, чем в представлении числа n2. Поэтому либо в представлении m2 в виде произведения
простых степень вхождения двойки — нечетное число, либо в представлении n2 в виде
произведения простых чисел степень вхождения двойки — нечетное число (т.к. степень
вхождения двойки в m2 на один больше, чем степень вхождения в n2, т.е. степени вхождения
двойки в n2 и m2 — последовательные числа, а про любые два последовательных числа как
известно это числа разной четности). Но степень вхождения каждого простого числа в квадрат
целого числа — четна, т.е. степень вхождения двойки в n2 и m2 должна быть четной (а в
предыдущем предложении мы сделали вывод о том, что степень вхождения у одного из
чисел n2или m2 должна быть нечетной). Получили противоречие с предположением о том, что
число 2√можно представить в виде mn, т.е. его нельзя представить в таком виде.
Итак, мы доказали, что 2√ — иррациональное число.
Показательная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=ax, где a>0, a≠1, называется показательной.
Ее область определения — вся числовая ось, а множеством значений является множество
положительных чисел.
График показательной функции
Если a>1, то функция y=ax является строго
возрастающей.
Если же 0<a<1, то функция y=ax является
строго убывающей.
Логарифмическая функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=logax, где a>0, a≠1 называется логарифмической. Она определена при x>0, а
множество ее значений — вся числовая ось.
Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными, то есть
logaax=x при a>0, a≠1,
alogax=x при a>0, a≠1, x>0.
График логарифмической функции
Если a>1, то функция y=logax является строго
возрастающей.
Если же 0<a<1, то функция y=logaxявляется
строго убывающей.
Рациональные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде частного от деления
целого числа на натуральное:
23,−72,−1510,2023,…
ПРАВИЛО СОКРАЩЕНИЯ ДРОБИ
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий целый делитель, то на него можно сократить:
pnqn=pq.
Таким образом, каждое рациональное число не единственным образом представляется в виде
отношения двух натуральных чисел:
СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
3521=5⋅73⋅7=53;
4436=11⋅49⋅4=119;
3485=2⋅175⋅17=25.
Про любые два рациональных числа можно сказать ровно одно из следующих
утверждений: a<b (a меньше, чем b), a=b (a равно b) или a>b (a больше, чем b). При этом:
•
любое положительное число больше нуля;
•
любое положительное число больше любого отрицательного;
•
нуль больше любого отрицательного.
Для сравнения двух рациональных чисел нужно привести их к общему знаменателю и сравнить
числители: чем больше числитель, тем больше число.
Иррациональные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Иррациональными называются все действительные числа, не являющиеся рациональными.
В десятичной записи иррациональные числа имеют вид бесконечной непериодический дроби.
ПРИМЕР
Следующие числа иррациональны:
2√,π=3,141592…,e=2,718281….
ЗАДАЧА
Докажите, что 2√ — иррациональное число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предположим противное, пусть 2√ — рациональное число, тогда его можно представить в виде
несократимой дроби mn, где m — целое, а n — натуральное.
2√=mn.
Возведем равенство в квадрат, тогда получим 2=m2n2. Это выражение можно записать в виде
m2=2n2.
То есть в представлении числа m2 в виде произведения простых сомножителей на одну двойку
больше, чем в представлении числа n2. Поэтому либо в представлении m2 в виде произведения
простых степень вхождения двойки — нечетное число, либо в представлении n2 в виде
произведения простых чисел степень вхождения двойки — нечетное число (т.к. степень
вхождения двойки в m2 на один больше, чем степень вхождения в n2, т.е. степени вхождения
двойки в n2 и m2 — последовательные числа, а про любые два последовательных числа как
известно это числа разной четности). Но степень вхождения каждого простого числа в квадрат
целого числа — четна, т.е. степень вхождения двойки в n2 и m2 должна быть четной (а в
предыдущем предложении мы сделали вывод о том, что степень вхождения у одного из
чисел n2или m2 должна быть нечетной). Получили противоречие с предположением о том, что
число 2√можно представить в виде mn, т.е. его нельзя представить в таком виде.
Итак, мы доказали, что 2√ — иррациональное число.
Тригонометрические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус угла α (обозначается cosα) — это абсцисса точки P, полученной поворотом точки (1;0) на
угол α вокруг начала координат против часовой стрелки.
Синус угла α (обозначается sinα) — ордината той же точки P.
Тангенс угла α (обозначается tgα) — отношение синуса угла α к его косинусу:
tgα=sinαcosα.
Котангенс угла α (обозначается ctgα) — отношение косинуса угла α к его синусу:
ctgα=cosαsinα.
Тригонометрические функции основных углов
α, градусы
0∘
30∘
45∘
60∘
90∘
α, радианы
0
π6
π4
π3
π2
sinα
0
12
12√
3√2
1
cosα
1
3√2
12√
12
0
tgα
0
13√
1
3√
--
ctgα
--
3√
1
13√
0
ЧЕТНОСТЬ-НЕЧЕТНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
Косинус — четная функция, а синус, тангенс и котангенс — нечетные:
cos(−α)=cosα,
sin(−α)=−sinα,
tg(−α)=−tgα,
ctg(−α)=−ctgα.
ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
Синус и косинус — периодические функции с периодом 2π, а тангенс и котангенс — с периодом π:
sin(α+2π)=sinα,
cos(α+2π)=cosα,
tg(α+π)=tgα,
ctg(α+π)=ctgα.
Показательная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=ax, где a>0, a≠1, называется показательной.
Ее область определения — вся числовая ось, а множеством значений является множество
положительных чисел.
График показательной функции
Если a>1, то функция y=ax является строго
возрастающей.
Если же 0<a<1, то функция y=ax является
строго убывающей.
Логарифмическая функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=logax, где a>0, a≠1 называется логарифмической. Она определена при x>0, а
множество ее значений — вся числовая ось.
Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными, то есть
logaax=x при a>0, a≠1,
alogax=x при a>0, a≠1, x>0.
График логарифмической функции
Если a>1, то функция y=logax является
строго возрастающей.
Если же 0<a<1, то функция y=logaxявляется
строго убывающей.
Линейные уравнения с одной неизвестной
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение kx+b=0, где k и b — любые известные числа, называется линейным.
УТВЕРЖДЕНИЕ
При k≠0 это уравнение имеет единственный корень x=−bk.
В случае k=0 ypaвнение имеет вид: 0⋅x+b=0. В этом случае если b≠0, то уравнение не имеет
корней, а если b=0, то любое число является корнем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является
корнем втopoгo, а любой корень втоpoгo является корнем первого.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ.
1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то
получим уравнение, равносильное исходному.
2. Если перенести член уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую,
то получим уравнение, равносильное исходному.
3. Если в левой или правой части линейного уравнения привести подобные члены, то получим
уравнение, равносильное исходному.
Квадратные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где a≠0. Корнем (или нулем)
квадратного трехчлена называется такое значение переменной x, при котором значение трехчлена
равно нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным уравнением называется уравнение ax2+bx+c=0, где a≠0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дискриминантом квадратного трёхчлена ax2+bx+c называется величина
D=b2−4ac.
Если рассматривается квадратное уравнение ax2+bx+c=0, то величину D=b2−4ac называют
дискриминантом квадратного уравнения.
ТЕОРЕМА
Пусть ax2+bx+c=0 — квадратное уравнение, а D=b2−4ac — его дискриминант. Тогда:
•
если D<0, то квадратное уравнение не имеет решений;
•
если D=0 , то квадратное уравнение имеет одно решение, которое находится на формуле x=−b2a;
•
если D>0, то квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два решения, которые находятся по
формуле x1,2=−b±D−−√2a.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Выделим полный квадрат из трехчлена ax2+bx+c и перепишем квадратное уравнение ax2+bx+c=0:
a⋅(x+b2a)2+c−b22a=0⇔a⋅(x+b2a)2=b2−4ac4a⇔
⇔4a2⋅(x+b2a)2=b2−4ac.
Заметим, что выражение правой части — это дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c, а
выражение в левой части неотрицательно при любых значениях a,b,x. Поэтому, если D<0, то
решений нет.
Если D≥0, то справедливо
∣∣∣x+b2a∣∣∣=b2−4ac4a2−−−−−−−√⇔x+b2a=±b2−4ac−−−−−−−√2a⇔
⇔x=−b2a±b2−4ac−−−−−−−√2a.
Если D=0, то решение единственно и находится из соотношения
x+b2a=0илиx=−b2a.
Если D>0, то решения два и они находятся по формуле
x1,2=−b±D−−√2a.
ПРИМЕР
Сколько решений имеет уравнение 2x2+2x+1=0?
РЕШЕНИЕ
Вычислив значение дискриминанта:
D=22−4⋅2=−4<0,
имеем, что уравнение 2x2+2x+1=0 не имеет решений.
ФОРМУЛА ЧЁТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
В случае, когда второй коэффициент четен (то есть b=2b1), корни удобнее находить по формуле
x1,2=−b1±b21−ac−−−−−−√a.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Заменив в формуле для нахождения корней квадратного уравнения b на 2b1, получим:
x1,2=2b1±(2b1)2−4ac−−−−−−−−−−√2a=2b1±2b21−ac−−−−−−√2a
Сокращая числитель и знаменатель на 2, получаем нужную формулу.
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение проще решать разложением
на множители.
Например,
4x2−9=0⇔4(x2−94)=0⇔
⇔4(x−32)(x+32)=0⇔x1,2=±32;
2x2+5x=0⇔2x(x+52)=0⇔x1=0, x2=−52.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Приведенным называется квадратное уравнение с единичным старшим
коэффициентом: x2+px+q=0.
Приведённое квадратное уравнение можно получить из уравнения ax2+bx+c=0, поделив на
коэффициент a. Его корни находятся по формуле
x1,2=−p±p2−4q−−−−−−√2.
Рациональные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рациональным называется уравнение вида
P(x)Q(x)=0,
где P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x)≢0. Его корнями являются все нули многочлена P(x), за
исключением тех, которые являются нулями многочлена Q(x). Другими словами, это уравнение
эквивалентно системе
{P(x)=0,Q(x)≠0.
Иррациональные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение, в котором алгебраическое выражение, содержащее неизвестную, находится под
знаком радикала ( −−√), называется иррациональным.
УРАВНЕНИЯ ВИДА f(x)−−−−√=g(x)
Если уравнение имеет вид f(x)−−−−√=g(x), то оно равносильно системе
{f(x)=g(x)2;g(x)⩾0.
При этом нет необходимости выписывать ОДЗ и проверять условие f(x)⩾0. Оно выполнится
автоматически, так как f(x)=g(x)2⩾0.
УРАВНЕНИЯ ВИДА f(x)−−−−√=g(x)−−−−√
Если уравнение имеет вид f(x)−−−−√=g(x)−−−−√, то оно равносильно каждой из систем
{f(x)=g(x);f(x)⩾0;{f(x)=g(x);g(x)⩾0.
При этом выбор системы, к которой нужно свести уравнение, зависит от того, какое из
неравенств f(x)⩾0 или g(x)⩾0 проще.
Простейшие тригонометрические уравнения
УРАВНЕНИЕ sinx=a:
•
если a∈(−1;1), то множеством решений уравнения является
x=(−1)narcsina+πn,n∈Z;
•
•
•
если a=1, то корнями уравнения будут
x=π2+2πn,n∈Z;
а если a=−1, то корни
x=−π2+2πn,n∈Z:
если же |a|>1, то уравнение sinx=a решений не имеет.
УРАВНЕНИЕ cosx=a:
•
•
•
•
если a∈(−1;1), то множеством решений уравнения является
если a=1, то корнями уравнения будут
а если a=−1, то корни
x=±arccosa+2πn,n∈Z;
x=2πn,n∈Z;
x=π+2πn,n∈Z;
если же |a|>1, то уравнение cosx=a решений не имеет.
УРАВНЕНИЕ tgx=a:
При любом действительном a множеством решений уравнения tgx=a является
x=arctga+πn,n∈Z.
Простейшие показательные уравнения
•
Из монотонности показательной функции следует, что равенство ax=ay при a>0, a≠1равносильно
равенству x=y.
•
Уравнение ax=b, где a>0, a≠1 имеет единственное решение x=logab при любом
действительном b>0 и не имеет решений при b⩽0.
ПРИМЕРЫ
1. Решите уравнение 2x=82x−3.
РЕШЕНИЕ
2x=82x−3⇔2x=23(2x−3)⇔x=6x−9⇔x=1,8.
2. При каких значениях b уравнение 2015x=b2−2b+4 имеет ровно одно решение?
РЕШЕНИЕ
Показательное уравнение 2015x=b2−2b+4 имеет ровно одно решение, если b2−2b+4>0. Но т.к.
b2−2b+4=b2−2b+1+3=(b−1)2+3>0,
то уравнение имеет ровно одно решение при всех действительных b.
Простейшие логарифмические уравнения
•
Уравнение logax=b, где a>0, a≠1, имеет единственное решение x=ab при любом действительном b.
•
Уравнение logaf(x)=logag(x), где a>0, a≠1, равносильно каждой из следующих систем
{f(x)=g(x),f(x)>0;{f(x)=g(x),g(x)>0.
Проценты
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процент (от лат. pro centum — на сотню) — это одна сотая доля числа. Обозначается знаком
«%». n%от числа a — это n100 часть числа a, что равно a⋅n100.
Например, 2 % от 500 — это 2100 от 500, т. е. 2100⋅500=10.
ПРИМЕР
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных
земель одну сторону участка увеличили на 20 %, а другую уменьшили на 20 %. Как
изменится площадь участка?
РЕШЕНИЕ
Пусть a и b — стороны исходного прямоугольника. Тогда новые стороны будут
соответственно a+20100a=65a и b−20100b=45b. Поэтому новая площадь будет равна
65a⋅45b=2425ab=96100ab=ab−4100ab.
Ответ. Площадь уменьшилась на 4 %.
Простейшие текстовые задачи
ПРИМЕР
Известно, что рост Джона составляет 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1
фут равен 0,305 метрам, а 1 дюйм равен 2,54 сантиметрам. Результат округлите до целого числа
сантиметров.
РЕШЕНИЕ
Так как в 1 метре — 100 сантиметров, то в 1 футе — 100⋅0,305=30,5 сантиметров. А значит, в 6
футах — 6⋅30,5=183 сантиметра. Тогда рост Джона, выраженный в сантиметрах,
равен 183+2,54=185,52 сантиметра. Из того, что у числа 185,52 первая цифра после запятой равна
5, после округления до целого получаем число 186.
ПРИМЕР
В квартире, где проживает Алексей, установлен счётчик для измерения расходов холодной воды.
Известно, что 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб.метра воды, а 1 октября счётчик
показывал расход 114 куб. метра воды. Сколько рублей Алексею нужно заплатить за расход воды
в сентябре, если цена 1 куб метра воды — 19 рублей 20 копеек?
РЕШЕНИЕ
Найдём количество воды, которое потратил Алексей в сентябре: 114 - 103 = 11 куб. метров. За
такое количество воды Алексею нужно заплатить: 11⋅19,2=10⋅19,2+19,2=192+19,2=211,2 рублей.
Задачи на оптимальный выбор из нескольких
возможных вариантов
ПРИМЕР 1
Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя
загружает файл размером 28 Мб за 25 секунд, а Миша загружает файл размером 32 Мб за 29
секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 420 Мб на компьютер с наибольшей
скоростью загрузки?
РЕШЕНИЕ:
Найдем скорость загрузки компьютера каждого из мальчиков.
Вася: 30 Мб :28с = 1514 Мб/с
Петя: 28 Мб :25с = 2825 Мб/с
Миша: 32 Мб :29с = 3229 Мб/с
Если мы хотим выяснить, у кого компьютер с наибольшей скоростью загрузки, то
придется сравнить дроби 1514,2825,3229. Для того, чтобы сравнить эти дроби, их нужно привести к
общему знаменателю и сравнить числители.
Можно поступить и другим способом: найти время скачивания файла объемом 420 Мб каждым
компьютером и выбрать наименьшее. Будем действовать так.
Чтобы найти время скачивания файла объемом 420 Мб с определенной скоростью скачивания,
следует объем поделить на скорость.
Вася: 420 Мб :1514 Мб/с = 420⋅1415 с =28⋅14 c =392 с
Петя: 420 Мб :2825 Мб/с = 420⋅2528 с =15⋅25 c =375 с
Миша: 420 Мб :3229 Мб/с = 420⋅2932 с =13,125⋅29 c =380,625 с
Тогда файл размером 420 Мб будет загружаться на компьютер с наибольшей скоростью загрузки
за 375 секунд.
Ответ: 375
ПРИМЕР 2
Для остекления музейных витрин требуется заказать 30 одинаковых стекол в одной из трех фирм.
Площадь каждого стекла 0,3 м^2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько
рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Фирма
Цена стекла (руб
за 1м2)
A
310
Резка стекла (руб. за
одно стекло)
12
Дополнительные условия
-
B
300
16
-
C
340
8
При заказе на сумму больше 3000 руб
резка бесплатно
РЕШЕНИЕ:
Для остекления витрин требуется 30⋅0,3=9м2 стекла. Посчитаем сколько будет стоить стекло у
каждой из фирм.
Фирма А: Надо заплатить 9⋅310=2790 рублей за стекло и 12⋅30=360 рублей за резку.
Итого 2790+360=3150 рублей.
Фирма В: Надо заплатить 9⋅300=2700 рублей за стекло и 16⋅30=480 рублей за резку.
Итого 2700+480=3180 рублей.
Фирма С: Надо заплатить 9⋅340=3060 рублей за стекло и 0 рублей за резку, т.к. согласно
дополнительным условиям при заказе на сумму более 3000 рублей резка осуществляется
бесплатно. Итого 3060 рублей.
Соответственно, самый дешевый заказ будет стоить 3060 рублей у фирмы C.
Ответ: 3060 рублей.
Многогранники
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Многогранник — это тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Эти плоскости,
пересекаясь, образуют грани многогранника — многоугольники. Стороны этих многоугольников
называютсярёбрами многогранника, а концы рёбер — его вершинами.
Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие в одной грани,
называются диагоналямимногогранника. Многогранник выпуклый, если все его диагонали
расположены внутри него.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Призма — это многогранник, две грани которого (основания призмы) — равные многоугольники,
лежащие в параллельных плоскостях, с соответственно параллельными сторонами, а остальные
грани (боковые грани) — параллелограммы.
Высота призмы — это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость
другого основания.
В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, призма может быть,
соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то такая призма
называетсяпрямой.
Остальные призмы называются наклонными.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма
называетсяправильной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелепипед — это призма, основания которой — параллелограммы.
Свойства параллелепипеда:
1. Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.
2. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
3. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней
пополам.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Длина диагонали прямоугольного
параллелепипеда d и длины его попарно перпендикулярных ребер a, b, c связаны
соотношением: d2=a2+b2+c2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — квадраты, называется кубом.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Все ребра куба равны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) — это
произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — треугольники с общей
вершиной, называемойвершиной пирамиды.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание,
называется высотой пирамиды.
В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть,
соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее
высота падает в центр основания.
Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани — равнобедренные
треугольники.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между плоскостью основания и
плоскостью, параллельной основанию и пересекающей все боковые ребра пирамиды.
Параллельные грани усеченной пирамиды называются основаниями; расстояние между ними —
высотой усеченной пирамиды.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена,
правильная.
Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тетраэдром называется треугольная пирамида.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Правильным называется тетраэдр, у которого все грани — равные правильные треугольники.
Объем многогранника
•
Объем куба равен кубу своего ребра.
•
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин трех его взаимно
перпендикулярных ребер.
•
Объем призмы равен произведению площади основания на ее высоту.
•
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на ее высоту.
•
Площадь поверхности многогранника
•
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
•
Площадью поверхности многогранника называется сумма площадей всех его граней.
•
Например, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с длинами
измерений a, b и c равна 2(ab+bc+ac).
Круглые тела
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Круглыми телами (или телами вращения) называются тела, получающиеся вращением плоской
фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Цилиндр — это тело, получающееся при вращении прямоугольника вокруг одной из своих сторон.
Элементы цилиндра:
Сечения цилиндра:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Конус — это тело, получающееся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из
своих катетов.
Элементы конуса:
Сечения конуса:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Шар — это тело, получающееся при вращении полукруга вокруг своего диаметра.
Объемы круглых тел:
1. Объем цилиндра равен πR2h, где R — радиус основания, а h — высота.
2. Объем конуса равен πR2h3, где R — радиус основания, а h — высота.
3. Объем шара равен 4πR33, где R — радиус шара.
Линейные уравнения с одной неизвестной
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение kx+b=0, где k и b — любые известные числа, называется линейным.
УТВЕРЖДЕНИЕ
При k≠0 это уравнение имеет единственный корень x=−bk.
В случае k=0 ypaвнение имеет вид: 0⋅x+b=0. В этом случае если b≠0, то уравнение не имеет
корней, а если b=0, то любое число является корнем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является
корнем втopoгo, а любой корень втоpoгo является корнем первого.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ.
1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то
получим уравнение, равносильное исходному.
2. Если перенести член уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую,
то получим уравнение, равносильное исходному.
3. Если в левой или правой части линейного уравнения привести подобные члены, то получим
уравнение, равносильное исходному.
4.Линейные неравенства с одним
неизвестным
5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
6. Линейным неравенством с одним неизвестным x называется неравенство, которое
может быть представлено одним из четырех видов:
7. kx+b>0;kx+b<0;kx+b⩾0;kx+b⩽0.
8. Если k=0, то неравенство превращается в числовое неравенство, которое либо
справедливо, либо нет. В первом случае множеством решений неравенства является вся
числовая прямая; во втором случае множество решений пусто.
9. Если же k≠0, то множеством решений неравенства является промежуток вида
10. (a;+∞);[a;+∞);(−∞;a);(−∞;a].
11. Например, неравенству 3x+1⩾0 удовлетворяют те и только те значения x, для
которых x⩾−13, то есть множеством решений является луч [−13;+∞).
Квадратные неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратными называются неравенства вида:
ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,
ax2+bx+c⩾0,ax2+bx+c⩽0.
ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Разберем подробно два случая.
1. a>0 и квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два корня x1<x2.
Изобразим схематично график функции y=ax2+bx+c.
Из графика видно, что y>0 (часть графика, лежащая выше оси x), когда x либо меньше меньшего
корня уравнения ax2+bx+c=0, либо больше большего. Значит, решением
неравенства ax2+bx+c>0 будет объединение лучей (−∞;x1)∪(x2;+∞).
Далее, y<0 (часть графика, лежащая ниже оси x), когда x лежит между корнями
уравнения ax2+bx+c=0. Значит, решением неравенства ax2+bx+c<0 будет интервал (x1;x2).
Для нестрогих неравенств имеем соответственно:
ax2+bx+c⩾0⇒x∈(−∞;x1]∪[x2;+∞);
ax2+bx+c⩽0⇒x∈[x1;x2].
2. a<0 и квадратное уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней.
Изобразим схематично график функции y=ax2+bx+c.
Из графика видно, что неравенство y<0 (часть графика, лежащая ниже оси x) достигается при
всех действительных x, а у неравенства y>0 (часть графика, лежащая выше оси x) решений нет.
Т.к. квадратное уравнение не имеет корней и график не пересекает ось x, то для нестрогих
неравенств имеем аналогичные результаты:
ПРИМЕР
Решите неравенство
ax2+bx+c⩾0⇒решений нет;
ax2+bx+c⩽0⇒x — любое действительное.
2x2−62√x+9⩾0.
РЕШЕНИЕ
Найдём количество решений уравнения 2x2−62√x+9=0. Сосчитаем дискриминант: D=36⋅2−4⋅2⋅9=0.
Поэтому уравнение имеет одно решение. Так как коэффициент a=2>0, то ветви параболы
квадратичной функции y=2x2−62√x+9 направлены вверх. Откуда мы можем сделать вывод,
что y>0, когда x меньше и больше корня. Но в корне значение y равно 0. Значит
неравенство 2x2−62√x+9⩾0 выполнено для всех действительных x.
ЗАМЕЧАНИЕ
Схематичный график функции y=2x2−62√x+9 выглядит следующим образом
ПРИМЕР
Решите неравенство
−x2−3x+10<0.
РЕШЕНИЕ
Найдём количество решений уравнения −x2−3x+10=0. Сосчитаем дискриминант: D=92+4⋅10=49>0.
Поэтому уравнение имеет два решения. Найдём их:
x1=3+49−−√−2=10−2=−5;
x2=3−49−−√−2=−4−2=2.
Так как коэффициент a=−1<0, то ветви параболы квадратичной функции y=−x2−3x+10направлены
вниз. Откуда мы можем сделать вывод, что y<0, когда x меньше меньшего из корней и больше
большего. Т.е. при x∈(−∞;−5)∪(2;+∞).
ЗАМЕЧАНИЕ
Схематичный график функции y=−x2−3x+10=0 выглядит следующим образом
Рациональные неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рациональными называются неравенства вида
P(x)Q(x)>0,P(x)Q(x)<0,P(x)Q(x)⩾0,P(x)Q(x)⩽0,
где P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x)≢0.
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
Наиболее применимый способ решения рациональных неравенств заключается в следующем. На
числовой прямой отмечают все нули числителя и знаменателя, для этого необходимо решить
уравнения P(x)=0 и Q(x)=0 (например, разложив соответствующие многочлены на множители). В
результате числовая ось разобьется на конечное число интервалов, на каждом из которых
выражение P(x)Q(x) не меняет знак (определить, каков знак на каждом конкретном интервале,
можно, либо подставив в выражение какое-нибудь промежуточное значение, либо аккуратно
отследив, в каких точках выражение меняет знак, а в каких нет).
При этом надо не забывать, что если решается нестрогое неравенство, то к ответу надо
присоединить решение уравнения P(x)Q(x)=0 (то есть все нули многочлена P(x), которые не
являются нулями многочлена Q(x)).
Тригонометрические неравенства
НЕРАВЕНСТВА С СИНУСОМ
Пусть α=arcsina, тогда
sinx⩾a
sinx>a
a>1
x∈∅
x∈∅
a=1
x=π2+2πn, n∈Z
x∈∅
−1<a<1
x∈[α+2πn;π−α+2πn], n∈Z
x∈(α+2πn;π−α+2πn), n∈Z
a=−1
x∈R
x≠−π2+2πn, n∈Z
a<−1
x∈R
x∈R
sinx⩽a
sinx<a
a>1
x∈R
x∈R
a=1
x∈R
x≠π2+2πn, n∈Z
−1<a<1
x∈[−π−α+2πn;α+2πn], n∈Z
x∈(−π−α+2πn;α+2πn), n∈Z
a=−1
x=−π2+2πn, n∈Z
x∈∅
a<−1
x∈∅
x∈∅
НЕРАВЕНСТВА С КОСИНУСОМ
Пусть α=arccosa, тогда
cosx⩾a
cosx>a
a>1
x∈∅
x∈∅
a=1
x=2πn, n∈Z
x∈∅
−1<a<1
x∈[−α+2πn;α+2πn], n∈Z
x∈(−α+2πn;α+2πn), n∈Z
a=−1
x∈R
x≠π+2πn, n∈Z
a<−1
x∈R
x∈R
cosx⩽a
cosx<a
a>1
x∈R
x∈R
a=1
x∈R
x≠2πn, n∈Z
−1<a<1
x∈[α+2πn;2π−α+2πn], n∈Z
x∈(α+2πn;2π−α+2πn), n∈Z
a=−1
x=π+2πn, n∈Z
x∈∅
a<−1
x∈∅
x∈∅
НЕРАВЕНСТВА С ТАНГЕНСОМ
tgx⩾a
x∈[arctga+πn;π2+πn), n∈Z
tgx>a
x∈(arctga+πn;π2+πn), n∈Z
tgx⩽a
x∈(−π2+πn;arctga+πn], n∈Z
tgx<a
x∈(−π2+πn;arctga+πn), n∈Z
Простейшие логарифмические уравнения
•
Уравнение logax=b, где a>0, a≠1, имеет единственное решение x=ab при любом действительном b.
•
Уравнение logaf(x)=logag(x), где a>0, a≠1, равносильно каждой из следующих систем
{f(x)=g(x),f(x)>0;{f(x)=g(x),g(x)>0.
Показательные неравенства
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если a>1, то неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)>g(x).
Если 0<a<1, то неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству f(x)<g(x).
Логарифмические неравенства
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если a>1, то неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству f(x)>g(x)>0;
если 0<a<1, то неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству 0<f(x)<g(x).
УТВЕРЖДЕНИЕ
Неравенство вида logh(x)f(x)>logh(x)g(x) с учетом ОДЗ равносильно
неравенству (h(x)−1)(f(x)−g(x))>0.
Производная
Правила вычисления производных. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x,
а C — произвольная постоянная, тогда:
•
C′=0;
•
(Cf(x))′=Cf′(x);
•
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x);
•
(f(x)−g(x))′=f′(x)−g′(x);
•
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
•
•
•
( )
( )
f(x)g(x)
1g(x)
′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2,
′=−g′(x)g(x)2,
если g(x)≠0;
если g(x)≠0;
(f(g(x)))′=f′g(g(x))g′(x).
Производные основных элементарных функций:
•
(xn)′=nxn−1, n∈N, x∈R;
•
(xα)′=αxα−1, α∈Q, x>0;
•
(sinx)′=cosx, x∈R;
•
(cosx)′=−sinx, x∈R;
•
(tgx)′=1cos2x, x≠π2+πn, n∈Z;
•
(ctgx)′=−1sin2x, x≠πn, n∈Z ;
•
(arcsinx)′=1 1−x2, |x|<1;
•
√
(arccosx)′=−1√1−x2, |x|<1;
•
(arctgx)′=11+x2, x∈R;
•
(arcctgx)′=−11+x2, x∈R.
Исследование функции с помощью
производной
Теорема (о нахождении интервалов монотонности функции). Если f′(x)>0 во всех точках
некоторого интервала, то функция возрастает на нем, а если f′(x)<0 во всех точках интервала, то
функция на нем убывает.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) имеет экстремум в точке x0, то
либо f′(x0)=0, либо f′(x0) не существует.
Определение. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует,
называютсякритическими точками этой функции.
Утверждение. Все точки экстремума являются ее критическими точками, но не всякая критическая
точка является точкой экстремума.
Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции. Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения непрерывной на отрезке [a;b] функции достаточно вычислить значение этой
функции в концевых точках и всех критических точках интервала (a;b), и из полученного набора
значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Геометрический смысл производной
1. Значение производной в некоторой точке x0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику
этой функции в точке x0.
2. Пусть в некоторой точке x0 существует производная. Тогда уравнение касательной к графику
функции в этой точке можно записать так:
y=f(x0)+(x−x0)f′(x0).
Первообразная
Определение. Первообразной функции f на промежутке I называется такая функция F, что для
всех x∈I справедливо равенство F′(x)=f(x).
Пусть F — первообразная для f на промежутке I. Тогда F+C, где C — постоянная, также является
первообразной для f на I. В самом деле, (F(x)+C)′=F′(x)=f(x).
Верно и обратное утверждение: если F и Φ — две первообразные для функции f на промежутке I,
то Φ(x)=F(x)+C, где C — постоянная.
Проценты
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процент (от лат. pro centum — на сотню) — это одна сотая доля числа. Обозначается знаком
«%». n%от числа a — это n100 часть числа a, что равно a⋅n100.
Например, 2 % от 500 — это 2100 от 500, т. е. 2100⋅500=10.
ПРИМЕР
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных
земель одну сторону участка увеличили на 20 %, а другую уменьшили на 20 %. Как
изменится площадь участка?
РЕШЕНИЕ
Пусть a и b — стороны исходного прямоугольника. Тогда новые стороны будут
соответственно a+20100a=65a и b−20100b=45b. Поэтому новая площадь будет равна
65a⋅45b=2425ab=96100ab=ab−4100ab.
Ответ. Площадь уменьшилась на 4 %.
Текстовые задачи про смеси
В задачах про концентрацию и процентное содержание растворов, смесей и сплавов
предполагается, что все имеющиеся и получившиеся растворы, смеси и сплавы однородны. Также
(если не оговорено противное) считается, что при слиянии нескольких растворов получается
смесь, объем (и масса) которой равен сумме объемов (и масс) исходных растворов.
Текстовые задачи на движение
При решении задач на движение принято считать (если в условии не оговорено противное),
что движение на отдельных участках равномерное (то есть скорости пешехода, велосипеда,
автомобиля, лодки, течения реки и проч. не зависят от времени). Путь S, пройденный объектом,
определяется по формуле S=vt, где v — скорость объекта, а t — затраченное время; любое
изменение скорости движущегося объекта (в том числе повороты и развороты) считается
мгновенными, то есть происходит без затраты времени.
ДВИЖЕНИЕ ПО РЕКЕ
Скорость движения по течению реки равна v+u, а против течения она равна v−u, где v — скорость
в стоячей воде (собственная скорость) плавательного средства, а u — скорость течения реки.
Собственная скорость плота считается равной нулю.
СОВМЕСТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ
Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S и начинают двигаться
навстречу друг другу с постоянными скоростями u и v, то они встретятся через время, равное Su+v.
Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S, и второй со
скоростью u начинает догонять первого, двигающегося со скоростью v<u, то они встретятся через
время, равное Su−v.
Текстовые задачи про работу
Это задачи, в которых рассматривается производительность человеческого труда (рытье канавы,
печатание рукописи, покраска забора) или производительность различных механизмов (труб,
насосов и проч.). При решении таких задач используется формула
A=Pt,
где A — выполняемая работа, P — производительность труда, т. е. доля работы, выполняемая в
единицу времени, t — время, необходимое на выполнение работы.
Совместная работа. Основная идея в задачах на совместную работу (рытье канавы, покраска
забора, наполнение бассейна и проч.), которую выполняют несколько работников, работающих с
постоянной для каждого из них производительностью, заключается в следующем. Пусть есть
некоторый объем работы, которую первый работник может выполнить за время t1, второй —
за t2, …, n-ный работник — заtn. Тогда если они будут выполнять эту работу вместе, то им
понадобится время:
T=(1t1+1t2+…+1tn)−1.
Монотонные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f называется неубывающей на промежутке I, если для любых x1<x2 из I верно
неравенство f(x1)⩽f(x2).
Функция f называется возрастающей на промежутке I, если для любых x1<x2 из I верно
неравенство f(x1)<f(x2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f называется невозрастающей на промежутке I, если для любых x1<x2 из I верно
неравенство f(x1)⩾f(x2).
Функция f называется убывающей на промежутке I, если для любых x1<x2 из I верно
неравенство f(x1)>f(x2).
Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными. А возрастающие и
убывающие —строго монотонными.
ПРИМЕРЫ
1. Функция f(x)=1 является невозрастающей и неубывающей при x∈R.
2. Функция f(x)=x2 убывает при x∈[−∞;0] и возрастает при x∈[0;∞].
Исследование функции с помощью
производной
Теорема (о нахождении интервалов монотонности функции). Если f′(x)>0 во всех точках
некоторого интервала, то функция возрастает на нем, а если f′(x)<0 во всех точках интервала, то
функция на нем убывает.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) имеет экстремум в точке x0, то
либо f′(x0)=0, либо f′(x0) не существует.
Определение. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует,
называютсякритическими точками этой функции.
Утверждение. Все точки экстремума являются ее критическими точками, но не всякая критическая
точка является точкой экстремума.
Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции. Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения непрерывной на отрезке [a;b] функции достаточно вычислить значение этой
функции в концевых точках и всех критических точках интервала (a;b), и из полученного набора
значений выбрать наибольшее и наименьшее.