Введение. Лектор — Крылов Игорь Ратмирович, комната Б101

Введение.
Лектор — Крылов Игорь Ратмирович, комната Б101 физического
факультета СПбГУ.
Интернет страница: igor-krylov.ru
Электронная почта: [email protected]
Литература.
1. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. М:. Мир. 1984.
Источник напряжения, внутреннее сопротивление, источник тока.
Пусть в нашем распоряжении есть произвольная схема из ЭДС и
резисторов. Пусть из этой схемы торчат два провода. Обозначим их цифрами 1
и 2. Можно доказать, что при подключении к выводам 1 и 2 любого резистора
сопротивлением R0 через него пойдет ток, как будто он включен в так
называемую эквивалентную схему
.
Eэ
, где эквивалентная ЭДС Eэ и
R0 + r
внутреннее сопротивление r не зависят от величины нагрузки R0 .
Пусть, например, нужно найти ток I 0 через сопротивление R0 в
следующей схеме:
Ток можно найти по формуле I 0 =
Величина эквивалентной ЭДС Eэ равна напряжению на нагрузке R0 ,
если нагрузка имеет бесконечное сопротивление. Внутреннее сопротивление
схемы r можно найти, как сопротивление между контактами 1 и 2, если
каждую ЭДС схемы заменить коротким замыканием, а вместо нагрузки
оставить разрыв.
Найдем напряжение на бесконечной нагрузке в первой схеме (величину
эквивалентной ЭДС), как разность потенциалов в точках 1 и 2. Будем
отсчитывать потенциалы относительно нижнего провода схемы. Тогда
R3

ϕ
E
=
1

R1 + R3
 R3
R4 

U
=>
E
=
=
ϕ
−
ϕ
=
E
⋅
−



1
2
э
 R1 + R3 R2 + R4 
ϕ = E R4
 2
R2 + R4
Сопротивление между контактами 1 и 2 первой схемы, если каждую ЭДС
первой схемы заменить коротким замыканием, а вместо нагрузки оставить
разрыв:
RR
R R
r= 1 3 + 2 4 .
R1 + R3 R2 + R4
Таким образом, можно найти величину внутреннего сопротивления
любой схемы из ЭДС и резисторов.
Ток I 0 через нагрузку R0 находим через полученные величины Eэ и r по
формуле:
Eэ
I0 =
.
R0 + r
Отвлечемся теперь от рассмотрения данной конкретной схемы, и для
какой-то другой схемы предположим, что величины Eэ и r одновременно
стремятся к бесконечности, так что их отношение стремится к некоторой
величине I 0 . Тогда сила тока через нагрузку R0 будет стремиться к I 0 и не
будет зависеть от величины нагрузки R0 . В этом случае говорят об источнике
тока. На схемах источник тока обозначается следующим образом
.
Связь тока и напряжения для линейных элементов цепи переменного тока.
Для резистора:
U = RI
Для конденсатора:
q

C
≡

U
=>

dq
I ≡

dt
q 1
U= = ⋅
C C
t
∫ I ( t ') ⋅ dt '
−∞
Для катушки индуктивности в системе СИ:
dΦB

i
•
dI
 Eинд = −
=>
Eинд = − L I ,
где I ≡ .
dt

dt
Φ B = LI
Рассмотрим реальную катушку индуктивности, как последовательно
включенные идеальная катушка L и резистор R .
По закону Ома для участка цепи получаем
U + Eинд = RI .
Пусть теперь катушка индуктивности почти идеальная R → 0 , тогда
U = −Eинд .
Согласно принятым правилам знаков напряжение, падающее на катушке
индуктивности, отличается знаком от ЭДС индукции.
Аналогично для ЭДС любой другой природы, напряжение и ЭДС
отличаются знаком.
Тогда связь тока и напряжения для линейных элементов цепи имеет вид:

U R = RI

t
1
1

U C = q = ∫ I ( t ') dt '
C
C

−∞

i
U = L I
 L
Реакция RC-цепочки на ступеньку напряжения.
Пусть резистор и конденсатор включены последовательно. На эту схему в
нулевой момент времени подают ступеньку напряжения величиной U 0 . Нужно
найти напряжение на конденсаторе, как функцию времени.
Напомним уравнения Кирхгофа.
1). ∑ Ei = ∑U i — для любого контура.
i
2).
i
∑ Ii = 0 — для любого узла.
i
Рассмотрим
уравнение
∑ Ei = ∑U i
i
для
единственного
i
Напряжение на входе можно рассматривать, как внешнюю ЭДС.
контура.
После включения ступеньки напряжения выполнено условие:
q
U 0 = RI + , которое можно переписать в виде дифференциального уравнения
C
i
относительно заряда q на конденсаторе с учетом того, что I = q :
i
q
=>
c
i
1
U
q+
q= 0
RC
R
Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме частного
решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения в виде константы.
i
1
U
q = const =>
q=0
=>
q= 0
=>
q = CU 0
—
RC
R
частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Найдем теперь общее решение однородного уравнения
i
1
q+
q =0.
RC
Подставим q = Aeλt и получим
d
1
1
1
Aeλt +
Aeλt = 0
=>
λ+
=0
=>
λ=−
.
dt
RC
RC
RC
i
1
q = 0 имеет вид
Тогда общее решение однородного уравнения q +
RC
U0 = R q+
(
)
q = Ae
−
t
RC
(
)
.
i
1
U
q = 0 имеет вид
RC
R
суммы частного решения неоднородного уравнения q = CU 0 и общего решения
Общее решение неоднородного уравнения q +
q = Ae
−
t
RC
однородного уравнения:
−
t
RC
q = CU 0 + A ⋅ e
, здесь A — произвольная константа интегрирования.
=>
q ( 0) = 0
=>
Найдем константу A из условия U C ( 0 ) = 0
0 = CU 0 + Ae
−
0
RC
t

−
q = CU 0 ⋅ 1 − e RC


=>




A = −CU 0
=>
=>
t

−
q
U вых = = U 0 1 − e RC

C

времени RC -цепочки.
Если на
импульсов, то
вход

 , где произведение RC = τ называют постоянной


схемы
подать
последовательность
прямоугольных
Здесь T — период прямоугольников, τ = RC — постоянная времени RC цепочки.
Реакция RL-цепочки на ступеньку напряжения.
U вых = U 0
R
− t
e L .
Если на
импульсов, то
вход
схемы
подать
последовательность
Здесь T — период прямоугольников, τ =
прямоугольных
L
— постоянная времени RL R
цепочки.
Комплексные токи и напряжения.
Комплексные токи и напряжения вводят для рассмотрения гармонически
изменяющихся токов и напряжений. Комплексные токи и напряжения
позволяют заменить дифференциальные уравнения Кирхгофа для токов
комплексными уравнениями Кирхгофа.
Рассмотрим вещественное напряжение:
U ( t ) = U 0 cos (ω t + ϕ0 ) , где U 0 — вещественная амплитуда, ω —
циклическая частота, ϕ0 — начальная фаза.
Будем называть соответствующим комплексным напряжением величину:
( t ) = U ei (ω t +ϕ0 ) , где волной сверху U
будем обозначать, что величина
U
0
комплексная.
Тогда
(
(t )
U ( t ) = Re U
)
= U ei (ω t +ϕ0 ) = U eiϕ0 eiω t = U
0 eiω t , где
U
0
0
0 ≡ U eiϕ0 — комплексная амплитуда напряжения, U — вещественная
U
0
0
амплитуда, ϕ0 — начальная фаза или фаза в нулевой момент времени.
(t ) = U
0 eiω t
U
Гармонически изменяющееся
комплексной плоскости напряжений.
напряжение
можно
изобразить
на
Напряжение, которое есть на самом деле, — это вещественное
напряжение равное проекции комплексного напряжения на вещественную ось
(t ) = U (t ) .
Re U
(
)
Комплексная амплитуда напряжения тоже может быть изображена на
комплексной плоскости — комплексной плоскости амплитуд. В отличие от
комплексного напряжения комплексная амплитуда не изменяется во времени и
не вращается на комплексной плоскости.
Аналогично комплексным напряжениям вводятся комплексные токи.
I ( t ) = I 0 cos (ω t + ψ 0 ) — вещественный ток.
i ω t +ψ 0 )
Iɶ ( t ) = I 0 e (
— соответствующий ему комплексный ток.
I ( t ) = Re Iɶ ( t )
(
)
i ω t +ψ 0 )
Iɶ ( t ) = I 0 e (
= I 0 eiψ 0 eiω t = Iɶ 0eiω t
=>
Iɶ 0 ≡ I 0 eiψ 0 — комплексная амплитуда тока, I 0 — вещественная
амплитуда тока, ψ 0 — начальная фаза тока или фаза в нулевой момент
времени.
Iɶ ( t ) = Iɶ 0 eiω t
Комплексное сопротивление — импеданс.
Импеданс или комплексное сопротивление по определению равно
отношению комплексного напряжения к комплексному току:
≡U .
Z
Iɶ
Заметим, что импеданс также равен отношению комплексных амплитуд
напряжения и тока:
U
0 eiωt U
0
U
Z≡ ɶ =
=
I
Iɶ 0
Iɶ 0 eiωt
Найдем импеданс для каждого элемента линейной схемы: для резистора,
конденсатора и катушки индуктивности.
Для резистора:
R = R
= RIɶ
U = RI
=> U
=>
Z
Для конденсатора:
q = CU
=>
i
(
i
i
q = I = CU
)
=>
( )
=C d U
0 eiωt = CU
0 d eiωt = iωCU
0 eiωt = iωCU
Iɶ = CU
dt
dt
= 1 Iɶ
C = 1
U
=>
Z
iωC
iωC
Для катушки индуктивности:
i
U = LI
=>
i
(
)
=>
( )
= L Iɶ = L d Iɶ 0 eiωt = LIɶ 0 d eiωt = iω LIɶ 0 eiωt = iω LIɶ
U
=>
dt
dt
L = iω L
Z
Соберем вместе все три выражения для импедансов и получим:
R = R
Z

1

.
Z C =
i
ω
C

L = iω L
 Z
Комплексные сопротивления вместе с комплексными напряжениями и
комплексными токами позволяют вместо дифференциальных уравнений
Кирхгофа составлять комплексные уравнения Кирхгофа для токов.
Полупроводниковый диод. Дифференциальное сопротивление.
Рассмотрим, что происходит при соприкосновении полупроводника nтипа и полупроводника p-типа.
Электроны диффундируют через контакт двух полупроводников из
полупроводника n-типа в полупроводник p-типа. Дырки диффундируют во
встречном направлении из p в n полупроводник.
Электроны в чужом для них полупроводнике p-типа называют
неосновными носителями тока, как и дырки в полупроводнике n-типа.
Неосновные носители тока в чужом для них полупроводнике встречаются с
основными носителями и рекомбинируют. При рекомбинации пропадает один
электрон и одна дырка. Освободившаяся энергия излучается в виде кванта
света, поэтому каждый диод одновременно является светодиодом только
обычно в инфракрасной области.
При диффузии в чужой полупроводник носители тока переносят через
границу заряд. Электроны и дырки диффундируют навстречу друг другу, но
силы тока при этом направлены в одну сторону и складываются.
В результате рекомбинации в области контакта уменьшается
концентрация носителей тока и появляется слой, обедненный носителями.
Рекомбинируя в чужом полупроводнике, неосновные носители оставляют
перенесенный через контакт заряд. В области контакта появляется двойной
электрический слой, похожий на заряженный конденсатор. Как и на
конденсаторе, на двойном слое происходит падение напряжения. Это
напряжение возрастает до тех пор, пока оно не останавливает диффузию
оставшихся носителей тока через контакт.
Если к контакту приложить внешнее электрическое поле, которое
уменьшает контактное напряжение, то диффузия носителей тока
возобновляется. Через контакт течет ток.
Если к контакту приложить внешнее электрическое поле, которое
увеличивает запирающее контактное напряжение, то тока нет.
То есть контакт двух полупроводников представляет собой диод. Он
пропускает электрический ток в одну сторону и не пропускает в другую.
Отпирающее напряжение U > 0 называют напряжением в прямом
направлении, оно вызывает ток, который хорошо подчиняется формуле:
 eU

kT
I (U ) = I 0 ⋅  e − 1 ,
(1)




где I 0 зависит от температуры T , коэффициент e в показателе
экспоненты — модуль заряда электрона, k — постоянная Больцмана.
kT
≈ 25 мВ.
e
При увеличении отпирающего напряжения на 25 мВ ток через диод
возрастает в e раз.
Для анализа работы схем с транзисторами нам понадобится понятие
dU
динамического сопротивления Rдифф =
. Если пренебречь единицей в
dI
правой части формулы (1), то дифференциальное сопротивление в Омах диода
в прямом направлении равно отношению 25 мВ и силы тока через диод в
миллиамперах. Например, если ток через диод равен 1 мА, то
25 мВ
= 25 Ом . Если ток через
дифференциальное сопротивление диода равно
1мА
25 мВ
диод равен 5 мА, то дифференциальное сопротивление
= 5 Ом . Эта
5 мА
простая формула для величины дифференциального сопротивления диода в
прямом направлении нам понадобится в дальнейшем для анализа работы
транзисторных схем.
Заметим, что при постоянном токе через диод I = const величина I 0
1
зависит от температуры так, что U (T ) ~ .
T
Характерное напряжение отпирания для кремниевых диодов 0.6 Вольт,
для германиевых диодов (0.2 — 0.3) Вольта.
При большом запирающем напряжении происходит электрический
пробой диода и, как правило, его тепловое разрушение.