Вариант 5 с решениями

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП –НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В
БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ
«ФИЗИКА»
ВАРИАНТ № 5
З АД АЧА 1
Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести . В начальный момент
частицы находились в одной точке и имели скорости v1 = 5,0 м/с и v2 = 4,0 м/с , направленные
горизонтально и в противоположные стороны. Найдите расстояние между частицами в момент, когда
векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.
З А Д А Ч А 2.
На находящуюся в воздухе стеклянную пластинку, показатель преломления которой n = 1,5,
падает луч света. Найдите угол падения луча , если угол между отражённым и преломлённым
лучами равен 90 0.
З АД АЧА 3
Сосуд с водой имеет форму, изображённую на рисунке.
Площадь поршня
S1  200 см . Площадь дна сосуда, S 2  100 см Сила, с которой вода действует на h
поршень, F1 = 100 H. Найдите силу давления воды на дно сосуда, если h = 50 см.
2
2
З АД АЧА 4
R/ 2
В однородном цилиндре радиуса R и массы m , на расстоянии R/2 от
центра цилиндра, параллельно его оси просверлено сквозное отверстие радиуса
R/2 . Цилиндр находится на горизонтальной поверхности в положении, показанном
на рисунке.
Определите величину минимальной работы, необходимой для
перекатывания без скольжения цилиндра на расстояние L   R .
З АД АЧА 5
Сосуд вместимостью V = 30 дм3
разделен на три равные части неподвижными
полупроницаемыми тонкими перегородками. В левую часть сосуда впускают водород массы mВ = 30 г,
в среднюю кислород mК = 128 г и в правую азот массы mА = 112 г. Через левую перегородку может
диффундировать только водород. Через правую – водород и азот. Чему будет равно давление в
средней части сосуда после установления равновесия, если температура
H2
О2
N2
газа в сосуде поддерживается постоянной и равной Т = 300К ?
З АД АЧА 6
Один моль гелия и три моля аргона находятся в левой половине цилиндра,
показанного на рисунке. Справа от поршня вакуум. В отсутствие газов
Q
поршень расположен вплотную к левому торцу цилиндра и пружина в этом
положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень
адиабатные (нетеплопроводные). Газ нагревают через левый торец цилиндра. Пренебрегая трением,
найдите теплоёмкость газовой смеси.
З АД АЧА 7
Циклическая частота свободных малых колебаний материальной точки равна  . Найдите
наименьшее время, через которое её кинетическая энергия уменьшится вдвое по сравнению с её
наибольшим значением.
З А Д А Ч А 8.
Фотокатод с работой выхода А освещается монохроматическим
светом с длиной волны  . Вылетевшие из катода электроны попадают
в однородное магнитное поле c индукцией В. Определите наибольший
радиус окружности, по которой могут двигаться электроны.
З АД АЧА 9
R
2R
C
Е
Е
Определите заряд на конденсаторе С. Параметры элементов
схемы, указанные на рисунке, считать известными. Внутренними
сопротивлениями источников тока пренебречь.
З А Д А Ч А 10
2Е
2q
m
На горизонтальной поверхности расположены три маленьких одноименно
2
заряженных шарика, заряды которых равны q , 2q, q, а массы 2m, m, 2m
2m
соответственно, соединенных невесомыми, нерастяжимыми и непроводящими 2m 1
3
нитями длины L каждая так, что нити образуют равносторонний треугольник.
q
q
Нить между шариками 1 и 3 пережигают. Пренебрегая гравитационным
взаимодействием между шариками и силами трения, найдите максимальную скорость шарика 2 .
5-1
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ
«ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ФИЗИКА
РЕШЕНИЕ
ВАРИАНТА № 5
З А Д А Ч А 1. (4 балла)
Ответ: L 
(v 1  v 2 ) v1 v 2
g
 2 ,5 м .
Падая, обе частицы, находятся в одной горизонтальной плоскости, на одной высоте, определяемой
составляющей v y  gt . Расстояние между частицами L
vo1
vo1
vo2
vo2
C
C
определяется
горизонтальными
составляющими


скоростей,
т.е.
начальными
скоростями
vo1 и vo2,
и
v1
v2
2
временем падения частиц t до момента, когда скорость


A
v 1 станет перпендикулярной скорости v 2 . Время падения
vo2 B
vo1
частиц находим из треугольников скоростей.
vy=gt
Треугольник ABC - прямоугольный
v 01  v o 2
v o1  v o 2  ( gt ) 2 , отсюда t 
(1)
L  ( v 0 1  v 0 2 ) t (2) Подставив (1) в (2), получим
g
L
(v 01  v 02 ) v 01  v 02
g

(3  4 ) 3  4
 2 ,5 м .
9 ,8
З А Д А Ч А 2. (4 балла)
Ответ:   arctg1,5 .
Из рисунка видно, что        , откуда         
По закону преломления света,


2


(1)
sin 
 n . (2)
sin 





Учитывая, что     , находим sin   sin      cos  . Тогда
2
2

sin 
 tg  n . Откуда   arctg n  arctg1,5 .
выражение (2) можно привести к виду
cos 
З А Д А Ч А 3. (5 баллов)
F

Ответ: F2   1  gh  S 2  100 H .
 S1

h
F
:Давление воды на поршень P1  1 .
S1
Давление воды на дно сосуда P2  P1  gh .
Сила давления на дно сосуда
F

S
1,0
3
2
F2  P2  S 2   1  gh  S 2  F1 2  ghS 2  100
 10  10  0,5  1,0  10  100 H
S1
2,0
 S1

З А Д А Ч А 4. (5 баллов)
Ответ: A 
mgR
.
4
3
m . (Массы
4
пропорциональны соответствующим площадям сечения цилиндра). Для перекатывания цилиндра на
Масса
цилиндра
с
отверстием
равна
m1 
5-2
расстояние L 
3
4
 R , необходимо совершить минимальную работу A  mg  y C ,
 yC -
где
перемещение центра масс цилиндра вдоль вертикальной оси y . Представляя цилиндр с отверстием как
m
m
сумму двух симметричных тел с массами m 2 
и m3 
и, взяв начало координат в центре
2
4
m R
R

4
2 R
2
 .
цилиндра ( в точке О ) , получим: y C 
; то есть y C 
3
6
m 2  m3
m
4
R
Следовательно,  y C  2 y C 
3
3
R mgR
mgR
A
и работа A  mg  
.
.
4
3
4
4
m3 
m2
О
yC
m3
y
З А Д А Ч А 5. (5 баллов)
Ответ: P 
RT
3
( B  3 K   A )  2,7  10 6 Па .
V
2
H2
О2
N2
RT
3RT
3RT RT
3
P  PB  PK  PA   B
 K
 A

( B  3 K   A )
V
V
2V
V
2
P  8,31  10 4 (15  3  4 
3
 4)  2,7  10 6 Па.
2
З А Д А Ч А 6. (5 баллов)
Ответ: C  2R  8 R .
1). Подводимая к газу теплота Q идет на изменение внутренней энергии газа
и изменение
потенциальной энергии сжатой пружины :
3
k
2
2
 Q   R  T  ( x 2  x 1 ) (1), где x величина деформации пружины;   число молей
2
2
газовой смеси; k коэффициент жёсткости пружины.
2) Состояние идеального газа описывается уравнением: pV   RT
(2)
F kx
Из условия равновесия поршня следует, что
p 
(3), где F сила упругости,
S
S
S
площадь поршня. Кроме того V  xS (4) . Подставив (3) и (4) в левую часть уравнения (2),
kx
получим :
xS   RT . То есть kx 2   RT (5).
S
2
2
И для двух положений поршня имеем : kx 2  kx 1   R  T (6).
3
1
Подставляя (6) в (1), получим
 Q   R  T   R  T  2 R  T .
2
2
Q
И теплоёмкость системы С 
 2 R
T
По условию задачи в левой половине цилиндра находятся один моль гелия и три моля аргона, то
есть 
 4 . Тогда С  2  4  R  8 R .

З А Д А Ч А 7. (5 баллов)
Ответ: t 

.
4
m 2
Кинетическая энергия материальной точки , совершающей малые колебания W 
2
,
5-3
2
где   m cos(  t ) . (1)
Подставляя
По условию задачи
это выражение
в
(1), получим
W (t   )

1
 2 
Wm (t  0)  m 2
m
2
2
;
2
  t  arccos
 t 

;
4
t
1
и, следовательно,  
2
  m cos(  t ) ,
откуда cos(  t ) 
1
m .

2
2
2

.
4
З А Д А Ч А 8. (5 баллов)
Ответ: R 
c
m
h  A

2
1 2  hc

  A
qB m  

2
2
m
 qB ,
R
R
откуда
2  hc 
  A
m 


, откуда
.
(1)
m m 2  hc
 1
 hc 

2m  A .
  A 
qB qB m  
 qB


A
З А Д А Ч А 9. (6 баллов)
R
7
Ответ: q  CE .
3
I
C
D
Е
Е
2Е
1. Ток в контуре ( направление тока- против часовой стрелки )
E
B
I
(1)
3R
2. Для контура АBDА ( Направление обхода контура показано на рисунке стрелочкой )
U  I  2 R  E  2 E (2), где U  напряжение на конденсаторе.
E
7
Из (2) следует U  3E  2 IR  3E  2
R E.
3R
3
7
3. Заряд конденсатора
q  CU  CE .
3
З А Д А Ч А 10. (6 баллов)
V1
q
Ответ:  2 
5 mL 
V1
2q m
1
.
3
q
o
2m
Из соображений симметрии
импульса и энергии имеем::
1) 2  2 mv 1  mv 2
(1)
и с учетом
законов сохранения
2
q 2m
V2
2
2) 2
2m 1
m 22

  W эл . , (2)
2
2
W нач .  W12  W13  W 23 
W K OH .  W12  W13  W 23 
 W эл . 
2
2m
1
q2

2 4  o L
v2
mv 2

16
2
2

2q 2
2q 2
q2
q2


 5
4  o L 4  o L 4  o L
4  o L
2q 2
q2
2q 2
9
q2


 
4  o L 4  o 2 L 4  o L 2 4  o L
Из (1) следует: v 1 
5
2
mv 2
8
v2
4
Подставим в (2) , получим
5
1
q2
1 q2
2
mv 2  
 
, откуда v 2 
8
2 4  o L 8  o L
q
.
5 mL  o
2R