Вариант 15 с решениями - Центр довузовской подготовки МГТУ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП АКАДЕМИЧЕСКОГО СОРЕВНОВАНИЯ «ПРОФЕССОР ЖУКОВСКИЙ»
ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ»
ВАРИАНТ № 15
1
З А Д А Ч А 1.
В планетарной зубчатой передаче колесо 1 приводится в движение кривошипом 3,
ось вращения которого совпадает с осью неподвижного колеса 2. Число зубьев колеса 1
3
Z1 = 18, а колеса 2 – Z2 = 90. Найдите число оборотов колеса 1 за время одного оборота
2
кривошипа.

g
З А Д А Ч А 2.
Однородный стержень опирается о вертикальную плоскость,
образуя с горизонтальной плоскостью угол  = 30о. Коэффициент трения между стержнем и

горизонтальной плоскостью  1 = 0,5. Чему равна минимальная величина коэффициента
трения 2 между стержнем и вертикальной плоскостью, при которой стержень будет находиться в равновесии ?
З А Д А Ч А 3.
По трубопроводу, расположенному в горизонтальной плоскости и изогнутому под прямым углом,
подаётся топливо, расход которого Q = 10 дм 3/ с. Площадь сечения трубы S = 50 cм2. Плотность топлива
  0,9  10 3 кг / м 3 . Определите величину минимальной горизонтальной составляющей силы, которую
необходимо приложить к трубе, чтобы она была неподвижна.
4m
2m
З А Д А Ч А 4.
k
Два бруска, массы которых 2m и 4m, соединены пружиной жёсткости k.
Левый брусок упирается в стенку. Пружина сжата на величину  x при помощи
двух нитей, которые в некоторый момент
пережигают.
P
3
2
Определите скорость центра масс брусков при их дальнейшем движении после пережигания
P2
нитей. Силами трения и массой пружины пренебречь.
З А Д А Ч А 5.
В треугольном цикле 1-2-3-1 процесс 1-2 – изохорный, а 2-3 – изобарный. Найдите
P1 1
отношение максимального и минимального давлений p max / p m i n в цикле, если работа цикла
V 1 V 2 V является максимально возможной для заданных значений максимальной и минимальной
температур цикла T m a x и T.mi n .
З А Д А Ч А 6.
d
Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми пластинами
d
2
заряжены одинаковыми зарядами. Расстояние между пластинами у первого
конденсатора вдвое больше, чем у второго. Разность потенциалов между
пластинами первого конденсатора Uo = 10 В. Чему станет равна разность потенциалов U1 между пластинами
этого конденсатора, если второй конденсатор вставить в первый, как показано на рисунке
З А Д А Ч А 7.
R
L
Катушку индуктивности L, соединенную последовательно с
резисторами,
подключили к источнику переменного напряжения с амплитудным значением U0
и круговой частотой  . При каком значении сопротивления R резистора в цепи будет
2R
выделяться максимальная тепловая мощность ?
КАТОД
U
СВЕТ
З А Д А Ч А 8.
Излучение лазера с длиной
волны  = 0,4 мкм регистрируется
с помощью
фотоэлектронного умножителя (ФЭУ), в котором на катоде под воздействием света возникает
Д1
фотоэлектронная эмиссия, и электроны, ускоренные электрическим полем, направляются на
Д2
вторичные катоды- диноды (Д1, …Дn ), из которых выбивают вторичные
Д3
электроны. Определите величину анодного тока ФЭУ с числом динодов
n = 5, если мощность излучения лазера Р = 1,0 мВт , квантовый выход (т.е.
отношение числа выбиваемых из катода электронов к числу фотонов,
Дn
L
падающих на катод, К1 = 0,1), а коэффициент вторичной эмиссии
(увеличения количества вторичных электронов) каждого динода К2 = 5.
m
АНОД
З А Д А Ч А 9.
Система, состоящая из пружины, поршня и столба жидкости длины L, выведена из
состояния покоя и затем совершает свободные малые колебания. Пренебрегая трением,
определите период этих колебаний, если масса поршня равна m, площадь поперечного сечения трубы S,
плотность жидкости , жесткость пружины равна k.
З А Д А Ч А 10.
В камеру сгорания реактивного двигателя поступает в секунду масса m водорода и необходимое для
полного сгорания количество кислорода. Площадь сечения выходного отверстия сопла двигателя S ,
давление в этом сечении р , абсолютная температура Т . Определите силу тяги двигателя .
151
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП АКАДЕМИЧЕСКОГО СОРЕВНОВАНИЯ «ПРОФЕССОР Н.Е. ЖУКОВСКИЙ»
ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ»
ФИЗИКА
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 15
1
З А Д А Ч А 1. (8 баллов)
 z

Ответ: n   2  1   k  6 .
 z1

3
2
 R

Угол поворота  колеса 1 за время t   
 1    t , где  - угловая
 r

R
z2
скорость кривошипа. Отношение
. Так как  t  k  2  , где k –

r
z1
число оборотов кривошипа. По условию k = 1 , тогда  t  1  2  , следовательно, число оборота
колеса 1
n 
 z


 R

 90

 
 1   k   2  1   k  
 1 1  6 .
2
 r

 18

 z1

З А Д А Ч А 2. (8 баллов)
 2  0,85 .
Ответ:
Пусть масса стержня равна m , а его длина равна  .

Условия равновесия стержня:  Fi  0;
x : N 2  FTP 1
(2)
2
FTP 1  1  N 1
FTP
2
i
F TP 2
0.

g
N2
A
(1)
y : N 1  mg  FTP
M
y
, где
N1
mg
(3)
  2 N 2   2 FTP
1

F TP 1 B
x
( 4)
Подставляя выражение для N1 в (3) и (4), получим :
1
 
FTP 1 
mg ;
FTP 2  1 2 mg
1  1  2
1  1  2
Условие равенства нулю суммы моментов сил относительно точки B:
mg
cos   FTP 2  cos   N 2  sin  Подставляя в последнее равенство выражения для FTP 2
и
2
cos   2 1 sin 
N 2  FTP 1 , после преобразований получим:  2 
Подставляя   30 o и 1  0,5 ,
1 cos 
получим  2  0,85 .
З А Д А Ч А 3. (10 баллов)
Ответ:
F 
Q
2
S
2

1
 25 Н .

p 
m  
По второму закону Ньютона
F;
  F (1) ,
t
t
где  m   S  t - масса жидкости, протекающей через сечение трубы за время
t .
F 
Из рисунка
 S  t  2
t

2
видно, что     2 . Подставляя полученное выражение в (1),
  2 S
2.


получим
Зная расход жидкости Q, можно найти скорость течения жидкости в трубе  
Q
.
S
15-2
Окончательно получим
F  
Q
S
3
F 
0 , 9  10  10  10

50  10
3



2
2
S
Q
2  
S
2
2 .
Подставляя числовые значения, получим
2
2  25 H .
4
З А Д А Ч А 4. (10 баллов)
2m
x k
Ответ:  с 
.
3 m
После пережигания нитей максимальная скорость бруска 4m :
k
x k
  x    x

.
4m
2 m
Скорость центра масс брусков  с 
4m 
4m  x k
x k
 

2m  4m
2m  4m 2 m
3 m
З А Д А Ч А 5. (10 баллов)
4m
k
.
p
p
T
Ответ: MAX  MAX .
pMIN
TMIN
2
p2
Работа цикла:
1
1
A   p 2  p1 V 2  V1    p 2V 2  p 2V1  p1V 2  p1V1 
2
2
 RTMAX
Т.к. p2V2   RTMAX , p1V1   RTMIN , то p2 
и
V2
3
p1
1
V

 RT MAX
1
V1
V2
 RT MAX 
.
V

p
V


RT
1
1
2
MIN


2
V2

dA
dA  RTMAX
 RTMAX
Поиск экстремума
 0 приводит к соотношению

V1  p1  0 . С учетом p2 
2
dV2
dV2
V2
V2
dA
V
p V
p
p
получаем равенство
 p2 1  p1  0 , т.е. 2  2 или 2  1 . Т.о. точки 1 и 3 лежат на одной
dV2
V2
p1 V1
V2 V1
A
прямой p  V , т.е.
p1  V1 , p2  V2 .
Из
p12
 RTMIN

p22
и
 RTMAX

получаем
pMAX
T
 MAX .
pMIN
TMIN
З А Д А Ч А 6. (10 баллов)
Ответ : U1 = 15 В.
.
В силу принципа
суперпозиции
поле
внутри малого
конденсатора
удвоится, а в оставшейся части большого
конденсатора не изменится.
Разность потенциалов между пластинами первого конденсатора
возрастет в 1,5 раза и станет равной U1 = 15 В.
d
2
d
15-3
З А Д А Ч А 7. (10 баллов)
Ответ: R 
R
L
3
 L .
2
2R
U
1) Тепловая мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока P  I
действующее значение тока , а R
U
Следовательно, P 
2
o
R

2
D
R

,
где I D 
Io
2
-
 активное сопротивление цепи.

.
2 R 2   2L
Исследуя последнее выражение на экстремум, находим, что максимальная
2
3
выделяется при R
   L . Так как R

R , то
R   L .


3
2


мощность в
З А Д А Ч А 8. (10 баллов)
СВЕТ
n
цепи
КАТОД
Ответ:. I  N  k1  (k 2 )  e  0,1 А
1) Число фотонов, излучаемых лазером в 1 секунду
P
P
N

;
h
hc
n
2) Величина анодного тока
I  N  k1  (k 2 )  e 
Д1
Д2
e  P    k1  ( k 2 )
hc
Д3
n
.
Дn
Подставив числовые значения, получим
I
1,6  10
19
3
7
 10  4  10  10
6,625  10
34
 3  10
1
8
5
5  0,322  10
4
3
АНОД
 3,125  10  0,1 А
З А Д А Ч А 9. (12 баллов)
m   SL
k   gS
Ответ: T  2 
Масса колебательной
.
системы
(поршень и водяной
столб) равна m  SL .
«Жесткость» колебательной системы k cист = k + k1. Где k 1 
gSx
 изменение
x
усилия на поршень, отнесенное к единице перемещения столба жидкости,
являющееся следствием изменения силы давления при колебаниях.
xсмещение уровня жидкости в трубе от положения равновесия, равное
смещению поршня.
m   SL
Период колебаний поршня равен T  2 
.
k   gS
L
m
З А Д А Ч А 10. (12 баллов)
2
81m RT
Ответ: F 
.
pSM П
Из уравнения реакции горения водорода 2 H 2  O 2  2 H 2 O
видно, что две молекулы водяного пара
получаются при соединении двух молекул водорода и одной молекулы кислорода. Следовательно, для сгорания
одного киломоля водорода необходима половина киломоля кислорода и в результате реакции получается
один киломоль воды.
15-4
При сгорании
m
 
B
молей водорода получится столько же молей
водяного
пара ( где
 B  2  10 3 кг / моль ). Поэтому при сгорании массы m водорода получается масса
18
3
m  9 m водяного пара ( где  П  18  10 кг / моль ), вылетающая из сопла двигателя за 1
2

с. Так как площадь выходного сопла двигателя известна, можно найти скорость  газа, выходящего из
сопла. Объём пара, выбрасываемого из сопла двигателя за 1 с равен V    S . Масса этого объёма пара
m
9m
равна m1   S , где  -плотность пара. Отсюда   1 
.
S S
m
m
m
m
Из уравнения Клапейрона-Менделеева
pV  1 RT
или p S  1 RT ;
p 1 S  1 RT ;
П
П
S
П
p П
p П  RT ; откуда  
.
За время  t из сопла ракеты выбрасывается масса пара m i  t с
RT
 m i t  


импульсом m i t   , тогда на газ действует сила Fi 
 m1   . Такая же по модулю сила, но
t
m1   П 
направленная в противоположную сторону, действует на двигатель. Полная сила, действующая на двигатель

(сила тяги двигателя), равна сумме реактивной силы -  Fi
и силы статического давления
F2  pS , т.е.
2
2
F  m1  p  S   S 
81m RT
.
pS  П
Так как давление газа, выходящего из сопла, мало, то второй член в
2
выражении для силы тяги мал и при расчётах им можно пренебречь. F 
81m RT
.
pS  П