Вариант 1 с решениями

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП – НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В
БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ
«ФИЗИКА»
ВАРИАНТ № 1
З АД АЧА 1
A
На рисунке показаны предмет АВ и его изображение А1В1,
полученное с помощью линзы. Определите построением положение
линзы и её главной оптической оси.
В1
А1
З АД АЧА 2
Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы равно B
10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчёта, где её время жизни
равно 20 нс?
З АД АЧА 3
o
Упругий шарик бросают со скоростью   5 м / c под углом   15 к горизонту. Коэффициент
восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с
которой производился бросок, R = 0, 95. Найдите расстояние S от точки бросания , на котором шарик перестанет
подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется. (Коэффициентом восстановления
K   2 1 называется отношение скорости после удара  2 к скорости до удара 1 )
З АД АЧА 4
F

Небольшой кубик массы m = 1 кг покоится на шероховатой плоскости,
наклоненной к горизонту под углом  = 30о. Коэффициент трения кубика о
плоскость  = 0,7. Определите минимальную горизонтальную силу F , с которой
нужно толкать кубик, чтобы он начал двигаться . Сила лежит в плоскости склона, как показано на
рисунке.
З АД АЧА 5
Небольшой шарик массы m =50 г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой k = 63 Н/м.
Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нити, и осторожно отпустили. Когда нить
проходила вертикальное положение, её длина L оказалась равной 1,5 м, а скорость шарика   3 м / c .
Найдите силу натяжения нити в этом положении.
З АД АЧА 6
Пирамида SABCD высотой H равномерно заряжена по объёму. Потенциал в
S
точке S равен  o . От этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию,
отрезают пирамиду SABCD высотой h = 2/3 H и удаляют её на
бесконечность. Найдите потенциал  в той точке, где
Е
R
C
D
находилась вершина S исходной пирамиды.
С
K
H
A
З АД АЧА 7
R
B
Определите заряд q, протекающий через ключ К
D
C
при его замыкании в схеме, изображённой на рисунке.
2С
3R
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
2R
З
А
Д
А
Ч
А
8
A
B
Сверхпроводящее кольцо радиуса R, имеющее индуктивность L,
расположено в однородном магнитном поле. Первоначально плоскость кольца параллельна вектору магнитной
индукции, и ток в кольце равен нулю. Определите величину индукции магнитной В, если известно, что для
поворота кольца на угол  = 90о вокруг оси, проходящей через его диаметр, надо затратить работу, равную А.
З АД АЧА 9
В сосуде укреплена неподвижная перегородка, по обе стороны от
Po
Po
которой помещают подвижные поршни. Левая часть сосуда (между
перегородкой и левым поршнем) содержит по 0,5 моль водорода и азота , правая (между перегородкой и
правым поршнем) часть - один моль воды. Температура системы t = 100 oC . Перегородка проницаема для
водорода и непроницаема
для остальных газов. Определите объём V , левой части сосуда после
установления равновесия. Атмосферное давление Pо = 105 Па. Силами трения пренебречь.
З А Д А Ч А 10
Два одинаковых шарика, имеющих массы 3m, соединены между собой недеформированной пружиной
жесткости k, как показано на рисунке. Вся система движется со скоростью  по горизонтальной плоскости и
налетает на
вертикальную стену.
В
момент
времени
t = 0 правый шарик находился на расстоянии S от стены.

S
3m
3m
Определите интервал времени Δt, через который правый шарик опять
окажется на расстоянии S от стены после удара. Удар считать
абсолютно упругим. Силами трения и массой пружины пренебречь.
h
1-1
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ
«ШАГ В БУДУЩЕЕ-2015» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ФИЗИКА
РЕШЕНИЕ
ВАРИАНТА № 1
З А Д А Ч А 1. (4 балла)
А
В1
O
А1
З А Д А Ч А 2. (4 баллов)
В
Ответ: L  5,2 м .
L    t в лабораторной системе отсчета.
2
t o
 t o 
2
t 
 Следовательно,
Откуда 1    
1  2
 t 
 t
L  ct 1   o
 t
2
2

 10 
8
9
  3  10  20  10  1     5,2 , м
 20 

З А Д А Ч А 3. (5 баллов)
Ответ:
S
 2 sin 2
 25 м .
g (1  R )

Между моментом броска шарика и его первым ударом о плоскость пройдёт время t 
2 sin 
.
g
После удара горизонтальная составляющая скорости шарика не изменится, а вертикальная станет равна
R. Значит, между первым и вторым ударами шарика о плоскость пройдёт время t1 
Рассуждая аналогично,
tn 
получим,
что между
n-ым
и
(n+1)-ым
2 R  sin 
.
g
ударами пройдёт время
2 sin  n
R . Полное время T , в течение которого шарик будет продолжать прыгать может быть
g

найдено, как сумма промежутков времени tn : T   tn 
n 0
2 sin 
g

R
n0
n

2 sin 
1

. Здесь мы
g
1 R
использовали формулу для суммы геометрической прогрессии. Так как горизонтальная составляющая
скорости шарика во время процесса не изменяется, то для расстояния, которое пропрыгает шарик,
получим
 2 sin 2
5 2 1
25


 25 м
. S   cos  T 
g (1  R ) 10  2  (1  0,95) 20  0,05
З А Д А Ч А 4. (4 балла)
Ответ: Fmin  mg ( cos ) 2  sin 2   3,4 H .
Рассмотрим проекции на наклонную плоскость сил, действующих
на кубик. Т.к. мы ищем предельное условие равновесия, сила трения
покоя достигает максимальное значение :
FTPEH  N  mg cos 
Эта сила уравновешивает равнодействующую двух взаимноперпендикулярных сил:
F
и проекции силы тяжести
2
2
2
F TPEH  F  ( mg sin  ) .
Следовательно,
Fmin  mg (  cos  ) 2  sin 2   3, 4 H .
FTPEH
F

mgsin
на
плоскость-
mgsin
1-2
З А Д А Ч А 5. (5 баллов)
Ответ: T  km(2gL - v 2 )  8 H
Используя закон сохранения механической энергии, запишем
m
2
mgL 
2
2
mv
kL

, откуда
2
2
L 
2mgL - mv
/
k
g
2
Сила натяжения нити равна T  kL  km(2gL - v )  8 H .
T
V
З А Д А Ч А 6. (5 баллов)
2

h


Ответ:    1  2
H


5
 0   0 .

9

S
h
Пусть V, V, Q, Q, - объёмы и заряды пирамид SABCD и
SABCD соответственно. Так как пирамиды подобны и их заряды
пропорциональны объёмам, а объёмы  кубу сходственных высот,
V
то
V

Q
Q

H
A
3
h3
C
D
H
B
D
C
. До того, как часть исходной пирамиды
A
отрезали, потенциал  0 в точке S складывался из потенциала  
пирамиды SABCD и потенциала   оставшейся части
B
ABCDABCD , то есть
 0       . Потенциал, создаваемый в точке S каждой из пирамид, прямо пропорционален их
Q
2
0
H
заряду и обратно пропорционален их характерному линейному размеру. Поэтому
 H  2 .
h
  Q
h
2

h



Из двух последних уравнений получаем:    0     1 
2
H

2
2


h 
4H 
5


   0
   1  2  0   1 
При h =2/3 H,
2  0
9
H 
9H 



 0 .


Е
З А Д А Ч А 7. (5 баллов)
R
K
R
Ответ: q  q1  q 2 
11
CE .
6
I (3R  2 R  R)  E . Отсюда следует I 
E
6R
1
и
q 2 , соответственно.
Е
.
При переключении ключа изменятся заряды на
конденсаторах. Найдём эти изменения.
Обозначим заряды на конденсаторах C и 2C до
замыкания ключа q1 и q 2 , а после замыкания ключа
q
2С
3R
Сила тока при любом положении ключа остаётся
неизменной, и её можно определить по второму правилу
Кирхгофа при обходе по внешнему контуру:
R
2R
R
K
a
e
U2
I
С
+ 
+ 
U1
+
2С
 +
II
3R
С
d
2R
b
1-3
До замыкания ключа:
В разомкнутом положении ключа оба конденсатора соединены последовательно и к ним приложено
напряжение, равное падению напряжения на сопротивлении 2R, т.е. U bd  I  2 R 
Полярность обкладок конденсаторов указана на рисунке.
Заряды на конденсаторах С и 2С
одинаковы
и
E
3
равны
.
q1  q 2  q БАТ .
2
2
2
E
2
q БАТ  С БАТ  U bd  СU bd  С  I  2 R  C 
 2 R  CE .
3
3
3 6R
9
После замыкания ключа К
Расставим знаки зарядов на конденсаторах, исходя из падений напряжения на сопротивлениях 3R и
2R. По второму правилу Кирхгофа
для I контура adea:
I  3R  U 2  I  3R 
q 2
E
E
1
1
5
 0 . откуда q 2  I  3R  2C 
3 R  2C  C  CE  CE  CE .
2C
6R
3
2
3
6
abda:
q
q
 I  2R  1  2  0 ;
C
2C
для II контура

q 
5E 
 E
 E 5E 
q 2    I  2 R  1   2C   
2R 
 2C  2C   

  CE .


С
6
R
6
3
6






5
Заряды на конденсаторах стали q1  CE ; q 2  CE .
6
Изменения зарядов на конденсаторах (знаки зарядов поменялись на противоположные):
5
2
11
q1  q1  q1  CE  CE  CE .
6
9
18
2
11
q 2  q 2  q 2  CE  CE  CE .
9
9
Заряд, который потечёт через ключ, q  q1  q 2 
11
11
11
CE  CE  CE .
18
9
6
З А Д А Ч А 8. (5 баллов)
2AL
 R2
Т.к. сопротивление кольца равно нулю, то суммарная электродвижущая сила в нем должна быть
равна нулю. Иначе сила тока , согласно закону Ома, станет бесконечно большой. Следовательно,
изменение магнитного потока внешнего магнитного поля равно по модулю и противоположно по знаку
изменению магнитного потока, созданного индукционным током:  Ф  L  I . Учитывая, что поток
меняется от 0 до R 2 B , а индукционный ток меняется при этом от 0 до I, получим R 2B  L  I .
R 2B
L  I 2 2 R 4 B2
Отсюда I 
. Кольцо с таким током обладает энергией W 

. Эта энергия равна
L
2
2L
2 R 4 B2
работе, совершенной при повороте кольца, A = W, т.е. A 
. Из последнего равенства
2L
2AL
найдем B 
.
 R2
Ответ: B 
1-4
З А Д А Ч А 9. (6 баллов)
Ответ:
V
2 RT
 20,6  10 3 м 3
3 po
Из условия равенства давлений слева и справа от перегородки, и равенства парциальных давлений
водорода, следует, что объёмы, занимаемые азотом и водяным
паром, будут пропорциональны их количествам. Количества
Po
Po
водорода, находящиеся в разных частях сосуда, пропорциональны
1
их объёмам . Итак, слева от перегородки находятся
моль азота
2
1 1 1
2
и   моль водорода, всего
моль при температуре T = 373K и давлении Po = 105 Па. Искомый
3 2 6
3
2 RT
объём левой части сосуда V 
 20,6 10 3 м 3
3 po
З А Д А Ч А 10. (6 баллов)
Ответ: T 
T 2S
3m 2S



2 
2k 
.
С момента первого удара шарика о стенку в течение
полупериода происходит сжатие и возвращение пружины в
недеформированное состояние. Затем происходит второй
удар, после чего шарики начинают двигаться в обратном
направлении с постоянной скоростью  .
Период T  2
T 
3m  3m
3m
 2
;
(3m  3m)k
2k
T 2S
3m 2S



.
2 
2k 
3m

3m
S