ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ
ИНТЕГРАЛОВ С МЕДЛЕННО
УБЫВАЮЩИМ ЯДРОМ
А. И. Тихонов и А. А . Самарский
§1
Рассмотрим интеграл вида
о
а
ядро которого
< жо < &.
В работе
Щ » h - > 0 имеет характер й-фуикции, если а <
[1] было
получено разложение
интеграла
J
по целым
степеням h :
п
j = ^2
+ hnp(h)>
рШ ^
0
при
°т
h
^
к -О
а предположении, что ф ункция й?(ф абсолютно интегрируема на беско
нечной прямой и имеет при | —►±оо следующее разложение:
w(t) = р + р + *‘ + ft + ^
^
В настоящей статье изучается асимптотика при h —► 0 интеграла (1)
^утя того случая, когда ядро Ш (|) медленно убы вает на бесконечности и его
разложение при £ —►io o содержит член порядка
Вт
И-оо
= 4i
Научные доклады высиюй школы. С е р ж
11
*—00
причем пределы
— (h >
физико-математических наук, - 1959. — № 1.
С . 62-70. Министерство высшего и среднего специального образования С С С Р . — М .: Издатель
ство Высшая школа.
418
Об асимптотическом разложении интегралов
вообще говоря, различны. Иными словами, функция и>(£) при £ *т ±по
допускает представлен ие
**(£) =
^ Ю
= °( ^ Т г )
при
£
+оо.
Ai—X
п
("
-
< ( 0 = о ( ~ :т )
при
^ —* —оо.
О ба эти разложения полезно заменить единой формулой:
п
Ш
ш - ХХр +
(П
J& K I = О [
)
|фи
£ -V ± 0 0 ,
где
Як = Q M % + Щ-).
Чк = Щ в к - % )■
Нетрудно заметить, что к интегралу J с ядром, имеющим разложо
ние (4 '), нельзя применить теорему 1 работы [1], так как интеграл
оо
/ш
<%
—оо
ПР И Щ Ф Ч\ не сущ ествует даже в смысле глав лого значения. Поэтом^
в дальнейшем конечность пределов интегрирования а и Ь играет еутцеет
вепную роль.
Простейш им примером может сл уж и ть интеграл
о
j{x )d x
Jа
у/(х ~ Х0) 2 +~№
с ядром
и (0 \Д+?‘
(?1 - h Qi = - 1).
Об асимптотическом разложении интегралов .
419
|2
В дальнейшем мы пользуемся следующими обозначениями:
f ^ \ x о)
значение производной функции f ( x ) порядка к в точке х = Xq,
fk(x) = f ( x ) - f ( x о) - (x - Xo)f'(xo) - ... - — f p ^ - f (k,(xo),
fle{x) — остаточный член в формуле Тейлора,
Fk( x ) ~ F k(x о)
Fa;+i(.t) = -------------,
Х
. .
т .
F 0 (x) = f{x),
- Xq
Ш ) = Ш ) - ^
= i k" k + № ,
так что
£h+i(£) — £ % ( £)■
11етрудно заметить, что
Ы .1-
М
,
{х — жо)
«!
Функция Г4(£) при £ —* ±оо имеет второй порядок малости:
Ш 0 = 0( ^ ) ,
i.e. Пд>(£) — абсолютно интегрируема по любому бесконечному промежутку
(с, оо) или (—оо, —с), где с > 0 .
Т е о р е м а . Д ля интеграла (1) имеет место асимптотическое при
I). —►0 разложение
п
J s ь h + Js)hs + hnp(h)
J=
s=0
{p(h) —>0
при
h —> 0),
(5)
Об асимптотическом разложении интегралов ...
420
еде
ч
t \j
т-
I +
-
fM
\t
U*
_
Л = [Q +
f^)(xn)
4ft++i ln(b - жо) --<fs+i ь|% - а)] — -О J*
Ь
+
хо
+ <з.£и J F *+i (a;) da; +-й +1 J ^ + 1 И ^
-
Sfcfl
(k -
Xo)5-^
^fc-И
(& -
,
^o)s
(7)
A:
oo
C7S,= / ; П,(0
-1
М
+
]
Щ
(«)
О+ П. (-0 ] <%
1
если ёъсШШШэш условие:
1)
/ (# )
б ( а , 6 ), | / (я Ц < М ? ы г ш с е т о # г о ч № х =
а?о
(а < Хо < Ь) дифференциал (п + 1)-го порядка,
2) функция w(£) абсолютно интегрируема на любом конечном проли
жутке и допускает при £ —>± о о представления (4).
§3
Представим J[h, хо; /] в виде суммы
о
г?
X
J = / (х 0) ■i J y ( i l dx + ^ J
a
dx
o,
где
/о(а^) = /(as) — /(^o)Прибавляя и вы читая интегралы
й
“V
"
1У
а
й
1* - #0|
=
"
X(1 \
h
P
421
06 асимптотическом разложении интегралов
получим
(9)
где
О
Ко = /(жо) ■^
/ <4£) d.x,
а
a
О,
=
O i(a:) = ^ +
« !« }
Ц+
■••+
ы м =
+ ^ - 2 j^|
€ t e - f - §
+ £w*(£ )
ПР И
f - ' i 00-
Отсюда видно, что разложение J no h сводится к разложению интеграла
Л\ того ж е типа, а такж е интеграла K q.
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно убедиться в справед
ливости реккурентной формулы
Дз = К* +
+ kA #+1
( 10 )
где принять] следующие обозначения:
о
(И)
Кэ - -Ря(жо) • J- I fi.fe ) <Ц
о
■fife) “
я, = <?s+]
/
я
X' — х'о
FsQ r) - jU g p )
cia- + <7s4_i
х - a?p|
I
а
или
dx
( 12)
&о
Н $ — Qg+ i J Fs+i( x ) dx +■g4+| I
F H ,i(x ) dx,
(12'),
fl
XQ
A„ = ^ j Qs(£)Fs(3;)dx,
a
A 0 — J.
(13)
422
Об асимптотнч ееком разл ож« шш и н ге! рало в
П ользуясь формулами (9) и (10), находим
п
j
= Y. м
+ И д , - к п).
м
s=0
(и )
з =О
Чтобы вы числить коэффициенты при степенях h, надо найти разложение
K s по h .
Предыдущ ее изложение носило чисто ф ормальный характер, посколь
ку не вы яснились требования, которым д олж ны при этом удовлетворят!,
ф ункция f ( x ) и ядро Ц £ ).
§4
Перейдем теперь к разложению интеграла
ь
К . = F 3(x о) ■1 1
= F ^ o 'j-W s ,
а
При этом будем учи ты ва ть асимптотику для
QJ£) = q*+l . ?£±I
^
I
f
1^1
Перепишем выражение для
Ч?
I
' •" !
4F
s\4 cR f +
—1
п~х<1
ц
,
^+1
-1
& (§ .d £ +
I
j
ttJ O d d =
и—т
.а
1
-jr-
fijp
—1
ОО
=]ящт+J m ^ J
-1
^Ц н4®'
I<s в виде сум м ы
X
J
,
1
/
* ОО
Ь-я:о
а- £11
л
/
ш )(1 ц
6~з?г>
П Г
+
_йс‘
J
I
J
- 1
J
+ Си
а —in
—
(h > 0 !),
7Г^
J
(15)
423
Об асимптотическом разложении интегралов
где
= ало -
i»+ i
ris + i
4
'
К \
У чи ты вая соотношения
п -s +
(,ри
? ^ +00’
А“ 1 *
n.(0 = £ ^ f t + *4 Vi (0 при ^
А;—X
находим
а—дгп
оо
[
h
Щ О Щ +
Ш Ю <% =
j
—oo
Ь—go
.+
%h#i
% + a+i
| Ъ —щ ) к
(a -x o )k
??*?
fc=l
/г
+ Q ( h n- S+1).
(16)
Если подставить (16) в (15), то подучим для К $ следующее асимптоти
ческое разложение
Жк = f t + a £ k ы (ь - щ ) - ?7+1 К %
_ °) -
k \(b — x q)*
где
- йм- il1пЛ ~
qa+*+1Jb) + 0 ( f t " +1— ),
(а — Щ) '
(17)
ос
c s=
[ щ т<ш + j
^ ( e ) + п * (ч ) ] ч -
(8)
—i
n
В
формуле
(14)
фигурирует
сумма
K sh 3.
s—0
и нем (17), преобразуем ее к виду:
п
£ { - a s ln h + & ) h a + h np ( h ) ,
S=0
где a s и 0s
постоянные, не зависящие от h .
Пользуясь
вы раже-
424
Об асимптотическом разложении интегралов
Перепишем К 3 в форме:
Ks= I
ds
- («7++! - 9Л
Г+1) 1лА —
^s+k- 1-1
( h - x o)h
к=1
( a - x o)k
т ш +o(hn+i~s), (is)
где
Щ - Cs + q++l ln (6 -a?o) — qs+] to{^0 - a).
ЗДгда будем иметь
n
я
=E
n
(qZ+1 - qJ+ l )Fs(xo) - M a i - % + 0(/)"+1).
D sFJx(j)hr: -
s=0
s= 0
После изменения в двойной сумме Vn порядка еуммирования
п—$ hk+s
Т1
к , - ,з=0
-Е ^ ы Е
Л
(ls + k + l
к
fc=l
(Ь - .т0) Д:
(а - х 0)*
и.
j —1
1=1
<5= 0
- Е hj Е ът-р&,
получим
п
п
Е K shs = Е
я-0
п
0Hf - Е
1в Л + 0 (/гг,+1),
3—0
где
з —1
&
=
Д , Fs( х0)
-
Щ Ш 1 -к
Е
( и
S с
п),
0О - D o f ( x Q),
к= 0
Р$
^s—k
1
s—к
gf+i
(■Ь —xo)s~k
9,5+1
(а — хо)^_/г
(19)
Об асимптотическом разложении интегралов . . . ___________ 425
Подставляя выражение (19) для £
K sh‘ в Ф о р мУ-"У ( 14)> приходим к
следую ще й формул с:
J = £ (.Д . ь А + J,)h* + hn{A n - Н „ - К п) + 0 ( h n+1).
(20)
&
гт
J &— На + Дч,
Js — —
Лемма,
Если функция f ( x ) имеет в точке х = xq дифференциал
порядка 5 + 1 , (I функция iu(£) удовлетворяет условиям теоремы из § 2,
то существует предел
Н 3)(хп)
]п h) — Da--- --- + H s
h m (A s +
о
для любого 0 < s ^ п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле
ь
Д, — i
( 21)
I n s{O F s(x )d x = K s + A s ,
a
где
О
(22)
~ f n s( O [ F s( x ) ~ F s( x0)}dx.
-4Г = ^
а
Интеграл A s представим в виде суммы трех интегралов:
Ж
с пределами интегрирования хо - г} м хо -\- ц,
Л^2; с пределами от жо + V Д ° &
__V Ч)
4,9
В
с пределами от а до а?р —%
силу
непрерывности
F s(x)
в
точке
х
=
хо
буДем
если \х — а?о| < Щ тй
F e(а:) - F*(je<>}I < i
причем е'(щ) - * 0 при ц -> 0 .
иметь:
426
Об асимптотическом разложении интегралов ,
Поэтому
яо+>?
I
/
З Д Д О Ё Ц - Fs(xa)}dx < е ' j
\ns(0\d4-
XQ — rf
т?
Из условий для функции и;(£) следует, что ф ункция Qs(£)
-
абсолютно интегрируема на любом конечном интервале (ср. [1 [).
Полагая для определенности ц = Щ с > 0 , получим
Г Ш )
с
И .5 I < s>j
l^ s (O I Щ — f>{h) —►0
при
h —> 0.
-с
Интеграл Л*
—(2)
I
* — h
преобразуем следующим образом:
f
I
-
j
-( -'s(0'J's(->‘) - Fs(xo)\dx + <^++1
Х^ Г-Н
j
Fs+i(x )d x .
xn+ch
I IepBpe слагаемое в правой части, в силу ограниченности в (в, Ь) и непре
рывности в точке х = хо ф ункции F J x ), а такж е абсолютной интегрируе
мости на бесконечном интервале (с,о о ) ядра П ,(£ ), имеет оценку
Р
I
j
n a{ O m x ) ~ F s(x0)}dx =
и
= 1
J
t t s ( £ ) l F s { x ) - F x(xQ+ cJl)]djt: +
+ Щв&О + Ф ) “
/
П3Ы)
= />(Л)
0
при
В самом деле, в силу непрерывности i% (# ) в точке х — xq имеем
h
0.
427
Об асимптотическом разложении интегралов
Интеграл
ь
i
Ша( f ) W M - Щ з ® + < * )]dx
I
xo+ch
следует разбить на сум м у дву^х интегралов I и I I с пределами от Хц — ch до
Xq + S{h) и от х0 + 6(h) до Ь, причем 5(h)
0.
->
ос при h
- > 0.
Инте
грал I стремится к нулю при h —»■0 в силу непрерывности Л-'Цх) rip 11 .х = Xq
и интегрируемости П Д £| на (# р р ), интеграл I I — в силу ограниченности
£*(&'), интегрируемости $18Щ) и условия lim
= СО*
г!■
Рассмотрим разроеть
Ь
b
I F s+i ( x ) d x - J
xo+ch
F s+i ( x ) d x =
j
F , + i ( z ) dx =
XQ+ f'hj
./
aro
u * ) dx=
Щ
+ A d t,
( x - z 0)s+1
./
t 3+1
0
(23)
Нетрудно заметить, что она стремится к нулю при h - * 0, если, например,
(7 > 0)т
M x o + t ) = t sO ( n
Если ж е сущ ествует дифференциал порядка з 4- 1, то f (x o + -f) = 0 ( t s+1) и
выражение: ( 2 1 ) имеет порядок
O(h) = hp(h ),
p{h)
0
при
h -+ 0
V
Таким образом, если выполнены условия леммы, го
?>
В т Я ® = gf+ l J Fs+i(x )d x .
XQ
Аналогично находим
э;о-ch
lim i f
= I'm
/
a
В Д
№
) - ^ (а - о )]^ = q~+ i
Fs+l(x)dx.
a
_______ ______ Об асимптотическом разложении интегралов ...
Форм ула ( 2 1 ) принимает вид:
As
= Ks + H s + p(h ),
(24)
где f)(h) —f 0 npti h —'* 0 .
Принимая во внимание разложение (17):
К э = - a s 111h + D sFs(x о) ф p(h),
будем иметь
A s + a iSIn h = H s -f~ D BFs(x 0) + p(k).
( )тоюда. и следует- утверждение леммы.
3 d м е ч а н и о, Если з = 0 , то в условиях леммы требуется, чтч>
6 ы ф ункция f ( x ) была дифференцируема в точке х0. Тогда утверждение
леммы означает существование предела
где
Q o — (<7j
) f ( x о ),
-
Do
1
=
C q + ln(/) —хц) —
oo
C q = J ц (£ ) d f + I [ щ (£) + Wl (- £ )]
i
-I
Xq
f Mx)dz
J X — Xty
Б
[M x)d x+
J X
a
Нетрудно, впрочем, заметить, что требование дифференцируемости f ( x )
сильно завышено: ф актически достаточно потребовать существование
интегралов
Ь
J
хо
/ы -1Ы
х—
хо
ta и ТгцгыЫьг
J
а
X —Хо
д л я -этого, например, достаточно, чтобы j ( x ) удовлетворяла в некоторой
заданной окрестности точки а: = х 0 условию Гельдера порядаа 7 > 0 .
429
Об асимптотическом разложении интегралов.
П ользуясь выражением (20), а такж е только что доказанной леммой,
которая позволяет оценить член
hn (A ,, - К п - Н п) - hnp (h ),
легко убеждаемся в справедливости теоремы, сформулированной в § 2:
s==о
где p{h) —>0 при k —* (X
§6
Отметим, что члены, содержащие h s Ln /i, появляются только в том
случае, когда
qJ+\ Ф Яа+1*
Бщ ш ж е все g j Ж q~ = qs, т.е, все Js = 0 , то разложение J идет по
целым степеням h и коэффициент Js может бы ть записан в виде:
/ 5 (а;0) ,
АЛ? —
-
SI■
/' Л - i (ж) dx
9s+1 ' (ж - ®o) s+1
a
i£ /№,ы
- ^ + 1 2 ^ fe!(s - fc)
(5 = 1 , 2 ,.-.) =
AM)
где
a,
-oo
-QC
Черта сверху означает, что интеграл понимается в смысле главного значе
Ш . В частности, при s = 0 имеем
ж
,70 = А0 /(я.’о) + 41j
а
d:c $
«о = /
И й
430
___________ О б асимптотическом разложении интегралов
Если же, кроме то ю , § = 0 { qf = щ = 0 ), то
*Щ—йоДхо),
и мы приходим к случаю , рассмотренному и работе [1 ].
М осковский государственный университет
им. М . В . Ломоносова.
Д ата поступления 14/Г-1959 г.
Список литературы
1. Тихонов А, М., Самарский А. А. О разложении по параметру интегралов е
ядром типа ^-функции // Научи, докл. высшей школы. Сер. физ.-мат. наук 1959. — № 1 . — С. 54 -61
© Copyright 2022 DropDoc
