Как из 5 квадратов сделать 3 убрав 3 спички;pdf

Вопросы ко 2-му экзамену по курсу «Алгебра и геометрия»
в группах ФТ-101 и ПИ-101 (летняя сессия 2013-2014 уч. года)
1. Умножение матриц и его свойства. Ослабленный закон сокращения для матриц.
Полураспавшаяся матрица и ее определитель. Определитель произведения матриц.
Присоединенная матрица.
2. Значение многочлена от квадратной матрицы. Характеристический многочлен матрицы.
Теорема Гамильтона-Кэли.
3. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричное уравнение вида АХ=В.
Редукция матричного уравнения вида ХА=В к уравнению вида АХ=В.
4. Обратная матрица: критерий обратимости, формула для вычисления, свойства, применение
обратной матрицы к решению систем линейных уравнений и матричных уравнений видов
АХ=В, ХА=В и АХВ=С. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
5. Ранг матрицы по строкам, по столбцам и по минорам. Теорема о ранге матрицы, способ
нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Ранг произведения
матриц. Теорема Кронекера-Капелли.
6. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Векторная
запись общего решения произвольной системы линейных уравнений.
7. Линейный оператор. Теорема существования и единственности линейного оператора.
Матрица линейного оператора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому.
Изменение координат вектора и матрицы оператора при замене базиса.
8. Образ и ядро линейного оператора. Теорема о размерности образа и ядра. Алгоритмы
нахождения базисов образа и ядра. Алгоритм Чуркина их одновременного нахождения.
9. Действия над линейными операторами. Изоморфизм векторных пространств линейных
операторов и матриц. Умножение линейных операторов. Характеристический многочлен
линейного оператора и теорема Гамильтона-Кэли для линейных операторов.
10. Инвариантные подпространства. Теорема о прямой сумме инвариантных подпространств.
Перестановочные операторы и инвариантные подпространства. Инвариантность
подпространств и многочлены от линейных операторов.
11. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теоремы о
собственных векторах, относящихся к одному и тому же собственному значению и к
разным собственным значениям. Собственные значения и корни характеристического
уравнения оператора. Линейные операторы, приводимые к диагональному виду.
12. Нильпотентные операторы. Теорема о жордановом базисе для нильпотентного оператора.
Основная теорема о нильпотентных операторах. Число нильслоев данной длины в
жордановом базисе. Характеристический многочлен и собственное значение
нильпотентного оператора.
13. Цепочки ядер и образов степеней линейного оператора. Разложение Фитинга. Корневые
подпространства. Теорема о корневом разложении.
14. Жорданов базис. Теорема о приведении матрицы оператора к жордановой нормальной
форме.
15. Скалярное произведение в векторном пространстве. Ослабленный закон сокращения в
пространствах со скалярным произведением. Неравенство Коши-Буняковского. Угол
между векторами. Неравенство Минковского. Расстояние между векторами.
16. Матрица Грама. Вычисление скалярного произведения с помощью матрицы Грама.
Критерий линейной независимости системы векторов на языке матрицы Грама.
17. Ортогональность. Ортогональные и ортонормированные наборы векторов. Линейная
независимость ортогонального набора ненулевых векторов. Вычисление скалярного
произведения в ортонормированном базисе. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
18. Дополнение ортогональной системы ненулевых векторов до ортогонального базиса.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное разложение векторного
пространства.
19. Сопряженный оператор: определение, существование, единственность, линейность.
Свойства сопряженных операторов. Матрица сопряженного оператора.
20. Самосопряженный оператор. Ортогональность собственных векторов самосопряженного
оператора в евклидовом пространстве, относящихся к различным собственным значениям.
Основная теорема о самосопряженном операторе.
21. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, Закон инерции квадратичных
форм.
22. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий положительной
определенности формы в терминах ее канонического вида. Критерий Сильвестра.
23. Эллипс: определение, параметры, расположение на плоскости. Вычисление фокальных
радиусов. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса.
24. Гипербола: определение, параметры, расположение на плоскости. Вычисление фокальных
радиусов. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы. «Школьное»
уравнение гиперболы.
25. Парабола: определение, параметры, расположение на плоскости. Теорема о параболе.
Оптическое свойство параболы. «Школьное» уравнение параболы.
26. Классификация квадрик на плоскости.
27. Определение цилиндрической поверхности. Эллиптический, гиперболический и
параболический цилиндры. Определение конической поверхности. Конус второго порядка
как коническая поверхность.
28. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
29. Классификация квадрик в пространстве.
30. Прямолинейные образующие квадрик в пространстве.