close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Управление образования администрации Ершовского муниципального района
МНЛ на базе МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 г. Ершова
Саратовской области»
Конкурс проектных и исследовательских работ
«От гипотезы – к открытию!»
Методы решения иррациональных неравенств
Вид работы – исследовательская работа
Секция – Математика и информатика
Автор
Мулдагалиева Виктория,
ученица 10 класса
МОУ «СОШ №2 г. Ершова».
Руководитель
Ирина Сергеевна Захарова,
учитель математики
МОУ «СОШ № 2 г.Ершова»
г.Ершов
2015г.
Аннотация
Тема иррациональных неравенств привлекла меня своим разнообразием, неординарным
подходом к решению, интересными выводами. Целью моей работой является
рассмотрение способов решения иррациональных неравенств и выявление более
простого. В работе я выделила основные методы решения неравенств. Также
продемонстрировала примеры, которые помогут разобраться с затруднениями у
учащихся 10-х классов.
Содержание
1. Введение
2. Понятие иррационального неравенства
3. Методы решения иррациональных неравенств
4. Вывод
5. Литература
6. Приложение
Введение
Достаточно сложно решать иррациональные неравенства, и это вызвало у меня
затруднения. Поэтому я выбрала данную тему исследовательской работы. Мне бы
очень хотелось разобраться в решении, а также помочь тем, у кого есть затруднения по
данной теме. Ведь решение любых неравенств требует системных знаний в математике.
А также мне, ученице 10 класса, в будущем предстоит столкнуться с разными видами
неравенств, в том числе и иррациональными, при решении задания 17 (С3) ЕГЭ.
Цель работы: рассмотреть способы решения иррациональных неравенств и выявить
наиболее простой.
Задачи: выяснить методы решения иррациональных неравенств.
Понятие иррационального неравенства
Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные
величины (или некоторые функции неизвестных величин) находятся под знаком
радикала. Иррациональное выражение имеет смысл только в том случае, если оно
положительно или равно нулю.
При решении иррациональных неравенств используются те же методы, что и при
решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту
же натуральную степень, введение новых (вспомогательных) переменных и т. д.
Однако есть принципиальное отличие в решении иррациональных неравенств и
рациональных уравнений.
Дело в том, что проверка подстановкой, как правило, неосуществима, так как обычное
решение неравенства – бесконечное множество (конечный или бесконечный
промежуток). Поэтому при решении неравенств (и не только иррациональных)
необходимо следить за тем, чтобы выполняемые преобразования приводили к
равносильному неравенству.
Методы решения иррациональных неравенств
Одним из способов решения неравенств вида
интервалов.
√ () < () является метод
Решение неравенств выполняется по следующему алгоритму:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Рассмотрим иррациональную функцию.
Находим область допустимых значений неравенства.
Находим нули функции.
На координатной прямой отмечаем нули функции.
Определим знак функции на каждом промежутке.
Запишем ответ, учитывая ОДЗ и знак неравенства.
Пример:
Метод интервалов - универсальный метод решения всех типов неравенств. Но он не
всегда приводит к цели коротким и простым путем. Во время решений неравенств
могут возникнуть затруднения, поэтому мне бы хотелось рассмотреть еще несколько
методов решений.
При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при
решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений
невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые
промежутки), то необходимо использовать равносильность.
Иррациональные неравенства по теоремам равносильных преобразований заменяют
системой или совокупностью систем неравенств, и решение сводится к решению
системы неравенств.
Ниже я привожу схемы
решений
иррациональных неравенств
равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.
методом
1. Неравенство вида: √() < ()
Решение:
если g(x) 0 - решения нет.
если g(x)
0 - решением неравенства √() < ()будет решение равносильной
()≥0
системы { ()>0 .
()<2 ()
Пример: √x+2< x
>0
 ≥ −2
x+2≥0

{ >0 ↔{
↔ { < −1 ↔  > 2
>0
[
2
2
x+2<
 −−2>0
>2
Ответ: (-∞;2).
2. Неравенство вида: √() ≤()
Решение:
если g(x) 0 - решения нет.
если g(x)> 0 - решением неравенства √() ≤() будет решение равносильной
()≥0
системы { ()>0
()≤2 ()
Пример:
Ответ: x ∈ [−1,5; 0,5]
3. Неравенство вида: √() >()
Решение: Решением неравенства √() >()будет решение равносильной
() ≥ 0
() > 2 ()
совокупности систем
.
() ≥ 0
{
[ () < 0
{
Пример:
4. Неравенство вида: √() ≥()
Решение: Решением неравенства √() ≥() будет решение
равносильной
() ≥ 0
() ≥ 2 ()
совокупности систем
.
() ≥ 0
{
[ () < 0
{
Пример:
√ −  ≥ −x
≤
− ≥ 
{ 
{

 ≤ −
 −  ≥ 
[
↔[ 
↔ { −  ≥  ↔  ≥ 

>
{ −  ≥ 
{ −  ≥ 

>

− < 
Ответ:[4; +∞).
5. Неравенство вида: √() ∗() ≥ 0
неравенства √() ∗() ≥ 0
() ≥ 0
{
() > 0
равносильной совокупности систем
.
() = 0
{
[ () > 0
Решение: Решением
Пример:
√ −  ∗ ( − ) ≥ 
>
−≥
{ [<−2
{ 
 −>
>2
[ 
↔
=2 ↔  ≥ 3
[=−2
{ −  = 
{
−>
[ >3
Ответ: [3;+∞).
6. Неравенство вида: √() ∗() > 0
будет
решение
неравенства √() ∗() > 0 будет
() > 0
равносильной системы {
.
() > 0
Решение: Решением
решение
Пример: √ −  ∗ ( − ) > 
 < −4
 < −4
{

>2

−

>

[
{
↔{ >4 ↔[ >4 ↔>2
−>
{
>2
>2
Ответ: (2; +∞).
7. Неравенство вида: √() ∗() ≤ 0
неравенства √() ∗() ≤ 0 будет
() ≤ 0
{
() > 0
равносильной совокупности систем
.
() = 0
{
[ () < 0
Решение: Решением
решение
Пример: √5 −  ∗(2 + 3) ≤ 0
 ≤ −1,5
2 + 3 ≤ 0
{
>5
[ 5− >0 ↔[
↔  ≤ −1,5
=5
5− =0
{
{
 < −1,5
2 + 3 < 0
{
Ответ: (-∞;-1,5].
8. Неравенство вида: √() ∗() < 0
неравенства √() ∗() < 0 будет
() > 0
равносильной системы {
.
() < 0
Решение: Решением
решение
Пример: √2 + 1 ∗( − 5) < 0
<5
−5<0
{
↔{
↔ −0,5 <  < 5

> −0,5
2 + 1 > 0
Ответ: (-0,5; 5).
И существует еще третий метод, часто помогающий решать сложные иррациональные
неравенства. Это метод замены функций (рационализации). Суть метода замены
заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить
разностью значений их аргументов.
1. Рассмотрим иррациональное неравенство вида √() < √()
то есть √() −√() < 0.
По
теореме,
если p(x) возрастает
на
некотором
промежутке,
которому
принадлежат a и b, причем a>b, то неравенства p(a) – p(b) > 0 и a – b > 0 равносильны
на D(p), то есть
Пример:
Значит, данное неравенство равносильно системе
Для выявления наиболее удобного и простого метода решения иррациональных
неравенств, я решила два из них представленными выше методами.
Пример 1.
Метод интервалов
√1 + 2 2 − √6 − 2 ≥ 0
√1 + 2 2 ≥ √6 − 2
≥0
2
2
1
1 <=>  ≥
ОДЗ: {1 + 2 ≥ 0 <=> {2 ≥ 1 <=> {
≥
3
6 − 2 ≥ 0
6 ≥ 2
3
Нули функции:
√1 + 2 2 − √6 − 2 = 0
√1 + 2 2 = √6 − 2
1 + 2 2 = 6 − 2
2 2 − 6 + 3 = 0
 = 12
=
3 ± √3
2
+
-
+
3 − √3 3 − √33 + √3
2
1
2
3 − √3 3 − √33 + √3
3
2
1 3−√3
Ответ: [3 ;
2
2
]∪[
2
3+√3
2
2
; +∞).
Метод равносильных переходов.
√1 + 2 2 − √6 − 2 ≥ 0
√1 + 2 2 ≥ √6 − 2
x
x
1
≥
−
2
≥
0
√6
3−√3
3
1
{
1≤≤
2
2
≥
1 + 2 ≥ 6 − 2
<=>
<=>  ≤ 3−√3 <=> [
3
3+√3
1 + 2 2 ≥ 0
2
≥ 2
{
2 2 − 6 + 3 ≥ 0 (1)
[
3+√3
√6 − 2 < 0
[
{
{ ≥ 2
2 −6+3=0
1)[2
2 2 −6+3>0
3−√3
2
3+√3
≥ 2
≤
<=> [
2 2 − 6 + 3 = 0
 = 12
=
3 ± √3
2
( −
3 − √3
3 + √3
) ∙ ( +
)>0
2
2
+
-
+
x
3 − √3 3 − √33 + √3
2
2
2
2)
1
x
3 − √3 3 − √33 + √3
3
2
1 3−√3
Ответ: [3 ;
2
]∪[
2
3+√3
2
2
; +∞).
Метод рационализации.
√1 +
2 2
− √6 − 2 ≥ 0 <=> √1 +
1
≥3
2 2 − 6 + 3 ≥ 0
1 3−√3
Ответ: [3 ;
2
1 + 2 2 − 6 + 2 ≥ 0
≥ √6 − 2 <=> {
<=>
6 − 2 ≥ 0
2
1 + 2 ≥ 0
≥3
1
{
2 2
]∪[
<=>
3+√3
2
3−√3
 ≤ 2 <=> [
[
3+√3
{ ≥ 2
; +∞).
3−√3
2
3+√3
≥ 2
1≤≤
Пример 2.
Метод интервалов.
√2 2 − 3 − 5
< √ + 1
√ − 2
√2 2 − 3 − 5
√ − 2
 =
− √ + 1 < 0
√2 2 − 3 − 5
√ − 2
− √ + 1 =
√2 2 − 3 − 5 − √( − 2)( + 1)
√ − 2
≤−1
[ ≥5
2 2 − 3 − 5 ≥ 0
2
ОДЗ: {( − 2)( + 1) ≥ 0 <=> { ≥2 <=>  ≥ 2,5
[≤−1
−2>0
>2
Нули функции.
√2 2 − 3 − 5
√ − 2
√2 2 − 3 − 5
√ − 2
− √ + 1 = 0
= √ + 1
2 2 − 3 − 5
=+1
−2
2 2 − 3 − 5 −  2 + 2 −  + 2
=0
−2
 2 − 2 − 3
=0
−2
( − 3)( + 1)
=0
−2
-
-
+
-1
2
+
3
x
2 2,5
-1
3
X
Ответ: [2,5; 3).
Метод равносильных переходов.
√2 2 − 3 − 5
√ − 2
{
+1≥0
2 2 −3−5≥0 (1)
−2>0
< √ + 1
22 −3−5
<+1 (2)
−2
-1
Ответ: [2,5; 3).
<=> {
≥−1
≤−1
[≥2,5
>2
<=> 2,5 ≤  < 3
<−1
[2<<3
2 2,5
3
X
Вывод
Таким образом, в данной исследовательской работе я рассмотрела основные методы
решения неравенств: метод интервалов, метод равносильных переходов, метод
замены функций (рационализации). В ходе исследовательской работы я выяснила, что
каждый из методов имеет свои положительные и отрицательные стороны. Например,
метод интервалов универсален для решения любого неравенства, но он достаточно
объёмен. А метод замены функций более простой в решении, но может быть применен
не ко всем иррациональным неравенствам, могут возникнуть проблемы при разборе
данного метода. Наиболее простым и понятным методом является метод равносильных
переходов. Работа над данной работой помогла мне преодолеть трудности в решении
иррациональных неравенств. Надеюсь, что данная работа поможет тем, у кого есть
затруднения в решении неравенств и при выполнении заданий ЕГЭ.
Использованная литература
1. Учебник «Алгебра 9 класс» А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев
2. http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-ner.html
3.http://festival.1september.ru/articles/590871/
4. http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=868854
5. Учебник «Алгебра и начала математического анализа.10 класс» С.М.Никольский
Приложение
Дополнительные примеры решений иррациональных неравенств.
Пример 1:
Исходное неравенство равносильно совокупности систем.
Пример 2:
√ −  −  < 
Исходное неравенство равносильно системе неравенств
( − )( + ) ≥ 
 −  −  > 
{
↔
{
>
>
 > −
 −  −  < 
Ответ: [4; +∞).
Пример 3:
√ +  −  >  + 
Исходное неравенство равносильно совокупности систем.

{ +  −  ≥ 
 ≤ −
 +  < 
[
↔
[
↔  ≤ −
 ≥ −
 +  ≥ 
{

{ 
 +  −  < 
 +  −  > ( + )
Ответ: [-6; +∞).
Пример 4:
Решите неравенство
Решение.
Если
то
ние
венства.
Если
или
При
имеет смысл, поэтому
то
этих
и
при этом
значениях
выраже-
являются решениями нераТогда
С помощью метода интервалов получаем:
Учитывая
условие
находим:
Добавляя точки
и
находим все решения заданного неравенства.
Ответ:
Пример 5:
Решите неравенство
Решение.
Данное неравенство эквивалентно системе неравенств:
Решим второе неравенство методом интервалов:
Отметим на прямой точки как показано на рисунке:
Учитывая неравенство
Ответ:
Пример 6:
Решить неравенство
получаем решение:
.
Решение. Возведение данного неравенства в квадрат приведет к громоздким
вычислениям. Поэтому найдем сначала ОДЗ:
.
Получим, что ОДЗ данного неравенства состоит из единственной точки х=-1.
Подставим х=-1 в неравенство и получим
неравенство решений не имеет.
Ответ:
, что неверно, поэтому исходное
.
Пример 7: Решить неравенство
Решение. Возведение данного неравенства в степень приведет к громоздким
вычислениям. Поэтому найдем сначала ОДЗ: 2-x2≥0 <=>
Все х из промежутка
являются решениями исходного неравенства, так как
для каждого такого х имеем, что функция
функция g(x)=x3+x-1 отрицательна.
неотрицательна, а
Рассмотрим данное неравенство на промежутке
Поскольку
функция g(x) непрерывна и возрастает на этом промежутке, а функция f(x)непрерывна и
убывает, то, если уравнение f(x)=g(x) имеет корень на этом промежутке, то он
единственный. Легко видеть, что таким корнем является число х=1. Для каждого х из
промежутка (0; 1) имеем, что f(x)>1, а g(x)<1. Поэтому все х из этого промежутка
являются решениями исходного неравенства.
Для каждого х из промежутка
имеем: f(x)<1, а g(x)>1. Поэтому такие х не
удовлетворяют данному неравенству.
Итак, решениями данного неравенства являются все х из промежутка
Ответ:
Пример 8: Найти наибольшее целое решение неравенства
Решение. Данное неравенство можно решать двумя способами.
.
1 способ:
Так как знаменатель всегда положителен, то дробь неотрицательна только в
следующем случае:
Наибольшее целое решение
.
2 способ: Введем «новую» переменную
исходное неравенство примет вид:
,
. Тогда x=11-y2 и
.
Решаем полученное неравенство методом интервалов. Корни числителя: 5 и -3, а
знаменателя – 0.
Получаем, что
имеем
, а учитывая, что
, окончательно
.
Так как
и
,
то
образом, наибольшее целое решение
Ответ: наибольшее целое решение
, то есть
.
.
. Таким
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа