close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...систем «Vosys - optima» при переломах плечевой кости;pdf

код для вставкиСкачать
Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников, Нестационарные
волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке,
Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997, том 37, номер 9, 1112–
1121
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает,
что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 93.180.53.241
27 сентября 2014 г., 15:45:12
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ, 1997, том 37, № 9, с. 1112-1121
УДК 517.958:53132
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
ЖИДКОСТИ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ИЗМЕНЕНИЕМ НОРМАЛЬНОЙ
КОМПОНЕНТЫ СКОРОСТИ Н А КРИВОЛИНЕЙНОМ ОТРЕЗКЕ
© 1997 Го М О . К и р п у с о в Ю. Д П д е т н е р А Г. С в е ш н и ж о в
(Москва)
е
5
а
9
а
Поступила в редакцию 25.12.96 г.
Переработанный вариант 05.03.97 г.
Изучается классическая разрешимость и единственность внешней начально-краевой задачи
для "небуссинесковского" уравнения внутренних вол, описывающей возбуждение двусторон­
ним криволинейным отрезком двумерных колебаний экспоненциально стратифицированной
жидкости в случае, когда на отрезке задано распределение поля нормальных скоростей.
Данная работа продолжает исследования [1]-[3], посвященные задачам о нестационарных
внутренних волнах в стратифицированных и вращающихся жидкостях, возбуждаемых криволи­
нейными отрезками. В [1] рассмотрение этих задач проводилось в рамках приближения Буссинеска [4]. В [2], [3] исследовались начально-краевые задачи для полного уравнения внутренних
волн в том случае, когда на криволинейных отрезках задано распределение давления. В данной
статье рассмотрена задача, когда на криволинейном отрезке Г задано распределение поля нор­
мальных к Г скоростей частиц жидкости. При этом в постановке задачи помимо граничных ус­
ловий для касательной производной функции тока возникает своеобразное соотношение на кри­
волинейном отрезке Г. Исходная начально-краевая задача с помощью задач, введенных в [2], [3],
сводится к интегральному уравнению с некоторым дополнительным условием. Для полученной
таким образом задачи доказательство разрешимости основано на результатах работы [1].
1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И
Отнесем рассмотрение малых движений покоящейся стратифицированной несжимаемой и
невязкой жидкости к декартовой системе координат (х х , х ). Предположим, что жидкость яв­
ляется стратифицированной вдоль оси Ох и, таким образом, ее плотность в невозмущенном со­
стоянии имеет вид р = р (х ).
Будем в дальнейшем изучать только двумерные движения рассматриваемой жидкости, т.е. та­
кие, которые описываются функциями, не зависящими от одной из пространственных перемен­
ных, х или х (для определенности - от х ).
Рассмотрение двумерных движений в рамках указанной модели жидкости приводит к следу­
ющей системе уравнений для функции тока (см., например, [1]):
1?
2
3
3
0
х
0
3
2
2
3
о W
л
,
ч
л
2
ар
,
п
ч
— о
г
ш
0 л
^
= 0,
(1.1)
где е - орт оси Ох , р (;с ) = Аехр(-2Рх ), А > 0, Р > 0, р = р(х, i) - динамическое давление жидкости,
v = ( v v , v ) - вектор скорости частиц жидкости, причем в силу предположения о двумерных
3
3
b
2
0
3
3
3
движениях v = 0, Щ = 2pg - квадрат частоты Вейсяля-Брента, \|/ = \|/(x х , i) - функция тока,
2
b
3
связанная с вектором скорости частиц жидкости v = {v v } выражениями { v v } = {\|/ ,
1?
3
b
3
Хз
}
(см. [1]).
Пусть в жидкости, динамика которой описывается уравнениями (1.1), находится непроницае­
мый бесконечно тонкий криволинейный отрезок Г, причем предположим, что Г е А
- простая
кривая ляпуновского типа, естественным образом параметризованная, т.е. в качестве параметра
выбрана длина дуги s шТ = {(х х ) е Ш : х - x {s), х - x (s), s е [0, /]}. Пусть х - вектор, касатель­
ный к Г в точке x(s) = (х (^), x (s)), указывающий направление возрастания параметра s, n - век( 2 Л )
2
ь
1
3
х
x
3
3
3
у
s
1112
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
1113
тор нормали к Г в точке x(s) е Г, причем направление u таково, что вектор T , будучи повернут
на угол к/2 против часовой стрелки, совпадает c i
s
v
r
Ориентируем отрезок Г, выделив его внешнюю Г~ и внутреннюю Р" стороны следующим об­
разом: стороной Г будем называть ту, которая видна, если смотреть навстречу вектору норма­
ли, стороной Г" - противоположную. Предположим что до момента времени t = 0 л ю б ы е движе­
ния отсутствовали, т.е. для функции тока \|/(х x , t) и динамического давленияр(х х , t) зададим
начальные условия
+
ь
3
ъ
3
\ | / ( х х 0 ) = \|/ (x х , 0) = 0,
1?
3?
r
l5
р(х х ,0)
ъ
(1.2а)
3
= 0,
3
(1.26)
а начиная с момента времени t = 0 на сторонах Г* заданы, вообще говоря, различные распреде­
ления нормальных к Г " и Г~ скоростей:
4
(v, n )|
= f (s
x
±
9
t).
(1.3а)
Учитывая связь функции тока \|/ и скорости частиц жидкости, а также выражение для нормали
ш в естественной параметризации на криволинейном отрезке Г, получаем
х
(1.36)
Эу/Эт,|
= / (м).
X
' = Х(Л)' € Г
г ±
±
Интегрируя соотношение (1.36) по s е [0, I], приходим к эквивалентным граничным условиям на
Г- для \|/(.х,, л',, f) (см. [1]):
VI
, ,,
.„
г ±
=
0 + С (0,
(1-Зв)
+
где C+(t) - некоторые функции времени, подлежащие определению, функции F (s, t) - первооб­
разные функции f (s, t) по переменной s е [0, / ] . Предположение об отсутствии источников на
бесконечности сформулируем в виде условий регулярности:
±
±
А(0
exp(-p.v,)^
При |x| =
j 2
2
л]Х + X
{
B (t)
k
ехр(-(3х )—fat
(1.4)
k = 0, 1,2,
3
• +oo.
2
Предположение об отсутствии сосредоточенных источников на концах Г приводит к следую­
щим условиям в окрестности концов отрезка Г:
3V
'
(1.5)
1,2
где r - расстояния до концов отрезка Г, A (t), B (t), D (t), H (t) - непрерывные функции, k = 0, 1, 2.
Введем некоторые необходимые для дальнейшего определения и обозначения. Множество
lf2
k
(0
функций {v(s): Js(l-s)v(s)
классы функций v(s, t):
2 )
Ц [ [ 0 , +оо); C
2)
( ( U )
k
k
k
/г)
в С ' [0, /]} обозначим через Cf/f
(2)
( ( U )
(2)
/ ? )
[ 0 , / ] ] = {v(j, 0 е С [ [ 0 , +оо); C
(
[0, /]. Введем также следующие
[ 0 , / ] ] : V(*, 0) = v,(s, 0) = 0 } ,
С|) [[0, + - ) ; С У ° [ 0 , / ] ] = {v(*, 0 е С [ [ 0 , +оо); С ^ [ 0 , / ] ] : v(s, 0) = v (s, 0) = 0 } .
1
t
Будем говорить, что функция w(x, t) удовлетворяет условиям гладкости А, если функции
k
k
k
D и(х, t), D D , и(х, t) и D D D
t
x
x
x
и(х, t) ,k = 0, 1, i = 1, 3, j = 1, 3, x = (x x ), непрерывны no (x x , t) в
h
каждой замкнутой области £2д х [0, J ] , Г > 0, е е (0, £ ], R>R ,
0
3
h
3
где 12^ - область, полученная уда­
0
лением из круга 5(0, R) радиуса R с центром в точке х = 0 дуги Г и двух кругов S радиуса г с цен­
E
трами на концах дуги Г.
Отметим, что по своему физическому смыслу динамическое давление р(х х , i) должно быть
однозначной функцией переменных (х х , t) е Ш \Т х [0, +<*>). С учетом начального условия
ь
3
2
ь
3
1)
(0)
2
(1.26) требование однозначностир(х x ,t)e
Cq [[0, +«>); С (1№ \Г)] эквивалентно условию од­
нозначности функции dp/dt в области Ш \Г.
ъ
3
2
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
1114
КОРПУСОВ и др.
Введем обозначения
е
, ( х , Г) = Р о ( * з ) ^ ,
6з(х, 0 . - р ( ^ ) ( | ^
0
+
Уравнения (1 Л) в этих обозначениях примут вид
е
(
)+
=0
e
r ) +
' ^ ж^ ' ^
(1
^ = °-
-
6)
Будем искать решение уравнений (1.6) в классах функций \|/(х, /) е С [[0, +оо); C^IR^M )], р(х, 0 е
е С [[0, +оо); С (К \Г)]. Тогда, исключая из системы (1.6) величину р(х, t), для функции \|/(х, О
получаем уравнение
-
(2)
(2)
(1)
2
+
р
ад
+
0
>0
;|;(^|) ^( » Ш] <К^) = ' ' ' '
sRV
(1 7)
' '
Рассмотрим криволинейный интеграл II рода
^Q\dx
с
+ Q dx ,
x
3
3
2
где С с О = 1R \F - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, причем не исключается и
тот случай, когда контур С содержит криволинейный отрезок Г внутри. Очевидно,
j * , ^ --щ|)
C l
+ e
Л 1 +
|.(|>,з =
-Я!) = о,
С
С
с
так как в силу однозначности dp/dt в Q ее полная вариация на любом замкнутом контуре С равна
нулю. Итак, для любого замкнутого кусочно-гладкого контура С с Ш \Т имеет место условие
2
fe dx
x
+ Q dx
x
3
3
= 0.
(1.8)
с
Заметим, что в случае, когда контур С можно стянуть в точку, оставаясь в области Q, формула
(1.8) является очевидным следствием формулы Грина и соотношений (1.6).
Взяв контур С, содержащий отрезок Г внутри, и стянув его к отрезку Г, из формул (1.8) полу­
чим дополнительное условие, являющееся следствием однозначности давления р в области Q:
i
^p (x (,))(N ,
0
3
(
¥ U x ( s ) e r +
-N
t t ¥ U
^
) e r
)
= 0,
(1.9)
о
где / - длина криволинейного отрезка Г, а граничный оператор N имеет вид
tx
N = D*r^~ + C0ocos(n , е^)^-,
оп
* ох
tx
(1.10)
x
х
х
где ш - нормаль в точке х = x(s) е Г, е - орт вдоль оси Ох .
х
х
х
Таким образом, верна
2
Задача D. Найти при t > 0 в области IR \T непрерывную функцию \|/(x х , t) и определить C+(t)
в граничных условиях (1.3) так, чтобы \|/(х х , i) удовлетворяла при t > 0 в классическом смысле
уравнению
b
ь
Ро(Хз)
+Ш
^( Ш ^з( Ш ^(
Ро(Хз)
+
3
3
Ро(Хз)
=
^°
2
в области 1R \F, начальным условиям (1.2а), краевым условиям (1.36), условиям регулярности
(1.4), условиям на ребре (1.5), причем таким образом, чтобы было выполнено соотношение на
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
криволинейном отрезке Г
J^p (x3(,))(N,
0
T ¥
|
-
I
=
V
W
E
R
. - N
U
V
|
V
=
I
W
E
)
R
N^DfA
= 0,
1115
-
+ ^eos^,,,)^.,
х
о
п - нормаль в точке х = x(s) е Г, е - орт вдоль оси Ох .
х
х
х
Известными методами, развитыми, например в [5], легко доказать эквивалентность задачи D
и исходной задачи (1 Л), (1.26), (1.36)—(1.5) с условием однозначности давления р(х, t) в области £2.
Нашей целью является доказательство однозначной разрешимости задачи D . При этом в дока­
зательстве последующей теоремы единственности существенную роль играет условие (1.9). До­
казательство разрешимости задачи D основано на сведении исходной начально-краевой задачи
при помощи динамических потенциалов, введенных в [2], [3], к интегральному уравнению с не­
которым дополнительным условием. Само интегральное уравнение было исследовано в [1].
2. Н Е К О Т О Р Ы Е В С П О М О Г А Т Е Л Ь Н Ы Е Р Е З У Л Ь Т А Т Ы
В [3] был построен угловой потенциал для уравнения внутренних гравитационных волн в без­
размерных переменных. Для уравнения (1.7) он примет вид
si
T[v](x,
t I
ф(х, s)
t) = ехр(рхз) JDS(P(X, s)v(s, t) - jjdsdxv(s,
j
t - Т)
d®%(B)$m[%%(Q)] +
00
t I
(2.1a)
s
+ ^dsdxv(s,
\
t- Х)р<Т
Э Ф
0 )
^
F (x,
О, T) ,
2
00
где
2 , 2 ,
2
F (x,G,%)
=
2
J
px
dpe
1
% (<P) "
2
2,
P +1 (Ф)-
P|x-x(a)|
P l * - * « i ) | \i±&&K
x
2
2
P +®0
ч
Л
1
2
2
p +m
Q
J
%(ф) = A> SIN(P(jt, s), ф(х, s) - ядро гармонического углового потенциала, определенного в [6] (см.
также [1]), причем
0
ч
cos(p(x, s) = *^_*^»
sin(p(x,s)
=
x(s) = (x (s),x (s))eT,
l
\х\ - ^х] + х]. (2.16)
3
Для однозначности углового потенциала T[V](jc, 0 потребуем выполнения условия
jdsv(s,
t) = 0
(2.2)
Vr>0.
При конструировании потенциала T[v](x, t) в [3] использовался динамический потенциал
У[р](х, i) (см. [2]), имеющий в нашем случае вид
V[p](X, t) = е х р ( р х К J ^ p ( 5 , 0 1 n [ p | X - X ( S O | ] +
3
^0
/ /
(2.3)
t l
+ jjdsdt\l(s
9
t-T)^{cos(ш т)
0
Л
- COS[%((p)x]} - JJRFJdi\l(s, t-T)F (s,
{
00
X, Т ) L
00
где
F (s,x,t)
x
= ~
J Ф<
PI*
+ In
H P +(o
Х(Ф) =
pi*(2±25Т
p +0)
0
0
(® sm(p(x,$).
0
И з результатов [1] с учетом [3] вытекает
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
т о м 37
№9
1997
1116
КОРПУСОВ и др.
(2)
0
л)
Теорема 1. Если \(s, t) и \l(S, t) е С ([0, +оо); О ' [0, /]), Г с А
ловие (2.2), тогда
lim
X - »
x(s)
T [ v ] ( J C , f) = 7 [ v ] ( J , 0
, и для v(s t) выполнено
9
exp[px (^)] ±Tc(I-co J
=
±
G
(2Л)
0
3
0 ) ( ) r
ус­
*)p(^ / ) -
Г*
/
ti
00
r/
-^dcd%p(o,t-T)F (s,
Э
a, т )
2
ф
а
^
)
-/
lim
У [ р ] ( М ) = V[\l](S
-> x(s) € Г
r)ln(p|x(s) - x ( o ) | ) +
exp[px (s)] J d a p ( a ,
t) =
9
X
3
-o
(2.46)
t I
+ jjdadx\x(a,
^-
[ c o s ( c o x ) - cos[x((p)x]] - J J d a d T p ( A , г - т ) / ^ , a , т )
0
00
Hm
^T[v](s,
0=
t) = | T [ v ] ( J ,
+
exp[px (41 ± 7 l ( I - C O J ^ ) v ( y , 0 +
0
3
(O(
l
г/
r ,
J
,
ч
c o s 8 ( a , л)
|х( у)-х(0)|
ГГj j
JJ
*
tI
00
1
0
- jjdcdxp(G,
t-
/
.
ч c o s 9 ( a , s)
| x ( ^ ) - x ( 0 ) |X(<P)SIN[Tx(<P)L-
(2.4B)
T
x)|H + p.v;,(.v)r[v](.v, 0
T ) ^ [ F ( , a,
2
±
5
00
lim
= ^ - F [ p ] ( M ) = e x p [ p x ( s ) ] jdc\i(a
JLv[\i](x,t)
sin0(a, 5")
0
9
3
X(S)-X(g)\
ti
(D [\dodxiL(o,
C
t-T)s'm<p{s,
Q
S
o)cos(p(s, a ) , ^ ^
JJ
00
a ?
sin[T%((p)]
|X (^)-X (5)|
1
- ^dadx\i(a,t-x)^F (s,
3
a , т ) + P x ( s ) V [ p ] ( s , o,
l
3
о0
1
lim
sin9(a, 5 )
N , T [ v ] ( x , r) = e x p [ p x ( s ) ] J D O V „ ( A , t)
x
3
]
X -> x(„v) € Г*
x(s) -x(a)|
X ( F ) s i n [ T x ( 9 ) ] c o s 9 ( a , s) -
• JpGflfTV„(G, R - т ) ,
|x ( y)-x (a)|
1
о0
4
1
tI
- N , J J<IO<FTP(O, t - т )
Э ф
<^
A )
F ( ^ , a, x) - ^x\(s)ex [^x (s)]D^T [v](s
2
V
3
±
9
t)
о0
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
1117
/
л.
lim
fi V[\i](x
X-^X(S) 6 Г
xt
т
ч
3
0
t)
fj
/
ч cos9(G,
+ JdaMc
^)
^_
[jc(
)
s)
х ( с т ) [
о
T
S
r /
9
N
X((p)Sin[ТХ(Ф)]
t- )i^ ) ix(a)l
tt
ч
tt
_
-^dGd%\i (c,
/
t) = e x p [ p x ( s ) ] ± 7 i ( I - (o J^)\i (s,
9
t l
о
/ж
~
ф)-х(0)|
x / J p ^ ^ ( ^ '"
о
о
<*>
-
(2.4e)
0
2
-Px;(^)exp[px (.)]D V[p](^0,
3
где 0 (a, 5) - угол .между нормалью n a вектором х(5")х(о) = x(o) - x(s), причем \x(s) - x(a)|sin0 (0, 5) =
v
= -(т,,х(ф;(а)),
p(a,0 = jds\(s,
t),
J
W()?
*ф(0 = pTj (o) T)9(r-T),
1
о
0
0
J (0 - функция Бесселя первого порядка, F (x, о, т) w F (x, а, т) определены
(2.1), символом N обозначен, как обычно,
оператор:
}
{
2
в формулах
(2.3) м
tx
Непосредственной проверкой можно убедиться, что справедлива
2)
(0)
Теорема 2. Пусть \l(s, 0, v(s, 0 g Cq ([0, +°о); С [0, /]) м v(.s,1) удовлетворяет
Тогда верно следующее:
а) ее/оду вне кривой Г потенциалы
нению (1.7);
I
9
(2.1а) м (2.3) удовлетворяют
условию
(2.2).
смысле
урав­
в классическом
2
б)гс/ш|х| = ^х\ + х — • +°о потенциалы (2.1а) и (2.3) удовлетворяют
условиям
регулярнос­
ти (1.4), а в окрестности концевых точек отрезка Т-условиям
(1.5);
в) функции v = V [|l](x, t) ии = Т [v](x, 0 удовлетворяют
начальным условиям (1.2а).
Перейдем теперь к вопросу о существовании и единственности решения задачи D.
3
3. Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь З А Д А Ч И D
2
Изучим прежде всего вопрос о единственности решения задачи D. Пусть Q# е [ R \ T - о б л а с т ь ,
полученная удалением из круга S радиуса R>R >0c
центром в точке х = 0 дуги Г и двух кругов
R
0
-1 2
SV радиусов £ с центрами на концах дуги Г. Умножив обе части уравнения (1.7) на производную
функции тока по времени \|/ и проинтегрировав получившееся соотношение по частям с учетом
начальных условий (1.2а) в цилиндре [0, t]x Cf в пределах при г — - +0 и R —
с помощью
условий регулярности (1.5) в окрестности концевых точек отрезка Г и условий регулярности на
бесконечности (1.4), получим (см., например, [1])
г
R
Я (0
¥
-
^l|V¥,||
2
L 2 ( P o ( J C 3 ) !
,
+^
V )
о
Ц
^
Л
^
р
^
,
^
]
=
(3.1а)
= jjdT dzp (x )(\|/ N \|/1
x
0
3
T
TX
^
х
г +
- \|/ N \|/1
T
TX
х £ г
_).
о г
Предположим, что \|/i(x, i) и \|/ (х, i) - различные решения задачи D, удовлетворяющие условию
2
х
гладкости А, а C {t) = С + (t) и C (t) = С+ (t) - отвечающие им функции C+{t) в граничных условиях
(1.36). Рассмотрим разность и(х, i) = щ(х, t) - \|/ (х, г). Функция и(х, t) является решением однород­
ной задачи D, в которой вместо граничных условий (1.36) стоят условия и(х, 0| ± =
C {i)-C (f).
x
2
2
г
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
x
1997
2
1118
КОРПУСОВ и др.
Энергетическое равенство для функции и(х, t) имеет вид
*.(0 - ( 1 1 ? <
+ *1Ы\1 ^гУг
( р Л ) ! | Л г )
=
ш
'
= р х ^ С ( т ) - ±C (T)jld p (x (s))(N, u\
2
0
s
о
3
x
(3.16)
xe
r +
- N «|
T X
x e г
_).
г
2
Из соотношений (1.9) и (3.16) вытекает, что и(х, 1) = 0 ¥ г > 0 и х е М ХГ. Таким образом, справед­
лива
Теорема 3. -Решение задачи D единственно в классе функций, удовлетворяющих
условиям
гладкости А, при условии C (t) = C_(t).
+
Перейдем к доказательству существования решения задачи D.
Будем искать решение задачи D в виде суммы динамических потенциалов
V[p](x, t)
t) =
2)
(
А)
О e C|> ([0, оо); С ,°д [0,/j),
+ T[v](x, t)
(3.2)
9
v(.v, f) g C ^ ( [ 0 , oo); C
(Ofc)
[0, / ] ) ,
jdsv(s,
t) = 0,
(3.3)
0
где потенциалы V [p](x f) и Г [v](x, t) определены формулами (2.3) и (2.1a) соответственно. Под­
ставив функцию (3.2) в выражение (1.9), с учетом предельных соотношений (2.4д) и (2.4е) полу­
чим
9
/
I
jds[L(s,
s
l ) e x p [ - P x ( s ) ] = $jdsx(s)exp[-$x (s)]jdov(o,
3
t)
3
о
о
Vr > 0.
(3.4)
0
Согласно результатам теоремы 2, функция (3.2) удовлетворяет всем условиям задачи D при вы­
полнении соотношения (3.4), кроме граничных условий (1.3). И з граничных условий (1.3) и ре­
зультатов теоремы 1 получим
V[p](s, t) + T [v](s,
+
f) = F (s, t) 4- C (tl
+
V[\i](s, t) 4- T_[v](s, t) = F_(s, 0 + C_(f).
+
2)
(l
X)
( 2
Предположим, что F (s, t) e Cq ([0, <»); C ' ([0, /])) и на концах дуги Г е А вия согласования
Х )
±
F (0,
+
0
= F_(0,
0,
F (Z,
+
0
(3.5)
выполнены усло­
(3.6)
= F_(/, t).
Почти дословно повторяя рассуждения, изложенные в [1] (см. также [7]), с учетом предельных
соотношений теоремы 1 получаем явное выражение для функции v ( g , t):
v ( a , t) = ^ ( 1 - a ) 5 ( c o 0 * ) ^ [ e x p [ - p X 3 ( G ) ] F ( G , t) - exp[-Px (G)]F_(G, *)],
(3.7)
C (f) = C_(0,
(3.8)
0
0
+
3
+
где
^
*m
= $S((0 (t-T)MT)d%,
S((O t)
Q
0
= I Jo(^)^,
0
V(*,
0 € C? ([0
}
(
?
Л)
с о ) ; С ° ' [ 0 , /])
0
при A < X, а относительно функции p(G, 0 убеждаемся, что она удовлетворяет интегральному
уравнению
V[\i](s, t) = F(s, t) + C (t),
(3.9)
0
где
0 = [F (s, t) + F_(s, t)}/2 + Af [ p ] ( j , 0 ,
+
с (0 = с (0 = с_(0,
0
+
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
M[p](s,
= -exp[PxCs)]$dop(o,
t)
t)
3
1119
cos8(,s, 0 )
x($)~x(o)\
^ ) | ^ Г % Й | Х ( Ф ( ^ o))sin[x(<p(j, 0 ) ) ( f - x ) ] +
jjdodTpio,
\x(s)-x(G)\
or
+ \\dodxp{<5,
t)F (s,
0,
2
r
-
x
)
^
^
o r
где
p(0,
r) = j°dsv(s,
t),
0(j,
0 )
([0, +«>); С
- угол между n и х(о)х($У Причем F(s, t) e Cf
}
a
(1Д)
[0, /]),
ф = фС?, 0 ) определена в (2Л6). Следовательно, наша задача заключается в том, ч т о б ы доказать
разрешимость уравнения (3.9) в классе функций \i(s, t) е Cq ([0, +<*>); С щ
тельном условии (3.4).
2)
/ г )
[О, Д) при дополни­
Рассмотрим вспомогательное уравнение
0= Ж
. ПРК*,
t),
}
t) € C ? ( [ 0 , +oo ) ;
f( ,
S
С
ОД)
[ 0 /]).
(3.10)
5
В [2] была доказана разрешимость (ЗЛО) в классе функций \i(s, i) е Cq ([0, +«>); С щ
А = min(l/2, А,). Причем
2)
Л )
[0,1]) при
+«х>
к= 1
а слагаемые этого ряда определяются из рекуррентных формул
,
fexp[-Px (s)]/(5,0,
= 0,
3
(3.11)
J < / a n , ( о , /)AT (PU(.v) - х ( с ) | ) = <
t+
0
-|J<ioJxjx (a, f - i)w (s,
a, x),
2
fe
A: > 1,
0 0
где
exp[-Px
(s)]
2ж
w (s, 0 , 1 ) =
P k , ) - x 0 ) i / е -2± 1 Й2й
3
2
(
p
+<B
AT (pU(.v)-x(a)|) ,
0
0
Х(ф) = co sin[<p(.s, о ) ] , <p(s, a) определена в (2.16).
0
Пусть Дя, ?) =f (t) е Cq ([0, +<*>)) в правой части уравнения (3.10). Из (3.11) и результатов [6]
с учетом [2] вытекает, что
2)
0
M o v ) = Цо(о)/ (0,
0
ц ( а , г ) = (ц (о-)1 + г(о-,0*)/о(0,
/о
(
л,
щ,(а) е С ^ ( [ 0 , / ] ) ,
где символом
р
/ О
( 0 , t)
(3-12)
0
(2)
(
С ([0, +«,); С ,Г([0, / ] ) ) ,
z(o, /) е
й<Х,
обозначено решение интегрального уравнения (ЗЛО) с правой частью,
равной/ (0,1 - единичный оператор,
0
z ( 0 , t)
*/ (0 = ^dizio,
0
t - x)f (x).
Q
К а к видно из (3Л1), функ­
ция р ( 0 ) удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
О
jdG\i (c)K ($\x(s)-x(o)\)
0
0
=
ехр[-Рх (5)].
(ЗЛЗ)
3
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
1120
КОРПУСОВ и др.
Введем ряд обозначений:
М =
о
р0р (0)ехр[-(3х (0)]
о
3
Z(t) = jdcz(a
9
9
о
M (t)
(3.14)
( а Оехр[~Рх (а)],
(3.15)
3
о
= jda[i (G
F
Оехр[-(Зх (а)],
F
Оехр[-(Зх (а)],
9
М (0 = рар
3
/ о
/ ( )
?
= $jdGx\(G)exp[-$x (G)]jdsv(s,
M (t)
(3.16)
t),
3
v
3
о
о
где функции р ( а ) и z(c, 0 определены в (3.12), v(s 0 определена формулой (3.7), функция
р Д с , 0 - решение уравнения (3.10) с правой частью, равной функции F(s, t), взятой из формулы
(3.9). Для дальнейшего нам потребуется
0
9
Лемма 1. Справедливо
тождество
М = |^ар (а)ехр[-(3х (а)]
0
0
0.
3
Доказательство. Предположим, что выполнено противоположное условие: М = 0. Тогда
функция
0
exp($x )jdG\i (G)K ($\x-x(G)\)
\|/ (х) =
3
0
0
0
удовлетворяет всем условиям следующей краевой задачи.
Задача В. Найти в области Ш \Г такую непрерывную функцию и{х), чтобы были выполнены
следующие требования:
а) и{х) в классическом смысле удовлетворяет уравнению
2
Э (
, .Ъи\
Ро(*з)=
д (
,
ч
Ъи
2
в области х е Ш \Г, р (х ) = Aexp(-2p.v ), А > 0, Р > 0;
0
б) <>и
3
3
= 0;
X =
x(s)
€ Г*
в) в окрестности концевых точек выполнены неравенства
|l*(*)|<P,<+oo,
I
2
\VU(X)\<P /J^ ,
2
Р <+оо;
2
2
2
г) при |х| = л/Х! + х — + о о справедливы условия регулярности
3/2
е х р ( - р х ) м ( х ) | < Ljx] , | е х р ( - р х ) ¥ и ( х ) | < L |x| ,
3
1/2
3 / z
3
3
Д) |жр (* (*))
0
2
0 < L L < +«>;
1?
2
• 0, где n - вектор нормали в точке х е Г.
x
3
x = x(s) e Г
%х=
x(s)
б Г~"
Действительно, нетрудно убедиться, что функция щ(х) удовлетворяет условиям а), в), г), а в
силу соотношения (3.13) - и условию б). С другой стороны, для функции щ(х) можно получить
следующую формулу "скачка" нормальной производной при переходе через двусторонний кри­
волинейный отрезок Г (см., например, [8]):
Э\|/ (х)
_Э\|/ (х)
0
exp[Px ( s')]2ixp (5),
0
3
Э П
*
х = x(s)
е
Г
+
1
0
(3.17)
s е (0,/).
X(s) € Г
X =
Отсюда и из условия
jdap (c)exp[-px (a)] = 0
0
3
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
1121
сразу ж е получаем, что функция щ(х) удовлетворяет условию д). Используя стандартную мето­
дику, изложенную, например, в [1], можно получить энергетическое равенство для уравнения в
условии а), из которого в силу соотношения д) вытекает единственность решения задачи В. Сле­
довательно, решение задачи В тривиально, т.е. и(х) = 0. Однако, в силу (3.13), щ(х) фОио крайней
мере на криволинейном отрезке Г. Полученное противоречие доказывает лемму 1. Лемма дока­
зана.
%
Заметим, что из (3.12) с учетом введенных обозначений (3.14), (3.15) вытекает
M (t)
= (M I + Z(t)*)f (t),
fo
0
(ЗЛ8)
0
(2)
где М Ф0в силу леммы 1, Z(t) е С [0, +<»).
0
Сверточные операторы вида М 1 + Z(t)* (при М Ф 0) изучались в [9]-[11], где была доказана
их обратимость в классе так называемых "почти единичных" вольтерровских сверточных опе­
раторов. В этом классе обратный оператор к M I + Z(t)* (при М Ф 0) имеет вид Mq I + W(t)*, где
W(t) е С ([0, +«>)).
0
0
1
0
0
(2)
Будем искать решение уравнения (3.9) в виде суммы:
\i(s t)
9
=
t) + [(HoCv)I + z(s, t)*)(M I
0
_1
+ Z ( 0 * ) ] [ M ( 0 - M (t)]
v
F
(ЗЛ9)
9
где использованы введенные в формулах (3.14)—(3.16) обозначения. Из структуры \i(s t) вытека­
9
2)
h)
ет справедливость условия (3.4) и принадлежность р(я, t) к классу Cq ([0, +«>); Cf
/2
[0, /]). Под­
ставляя (1(5, t) из (3.19) в интегральное уравнение (3.9), получаем
l
С (0 = [M l + Z(t)*Y [M (t)-M (t)l
0
0
v
(3.20)
F
где М , Z(0, M (0, Mp(t) определены в (ЗЛ4)-(3.16). Таким образом, суммируя все результаты,
приходим к выводу, что справедлива следующая
Теорема 4. Решение задачи D существует и единственно для любых граничных
функций
0
v
2)
(1,/г)
F (s, t) G Cq ([0, +oo); С [0, /]), h = min(l/2, X), удовлетворяющих
и дается формулами (3.2), (3.7), (3.19) и (3.20).
±
условиям
согласования
(3.6),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5.
6.
10.
11.
7
Габов СЛ., Свешников Л.Г. Линейные задачи теории нестационарных „внутренних волн М.: Наука,
1990.
Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О разрешимости одной начально-краевой задачи для
уравнения внутренних волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 5. С. 617-621.
Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стра­
тифицированной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 8. С. 968-974.
Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. IVL: Наука, 1982.
Габов СЛ., Свешников А.Г Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.
Габов СЛ. Угловой потенциал и его некоторые приложения // Матем. сб. 1977. Т. 103. № 4. С. 490-504.
Габов СЛ., Плетнер ЮД. Разрешимость одной внешней начально-краевой задачи для уравнения гра­
витационно-гироскопических волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 27. № 5. 1987. С. 711-719.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М : Наука, 1966.
Плетнер Ю.Д. О построении решений некоторых уравнений в частных производных // Ж. вычисл. ма­
тем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 5. С. 742-757.
Плетнер Ю.Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных // Ж. вычисл. ма­
тем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 6. С. 890-903.
Плетнер Ю.Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые
задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 12. С. 1885-1899.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 37
№9
1997
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа