close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Титульный лист
Направление
Точных наук
Полное название темы работы
Удивительный мир многогранников
Тип работы
Исследовательская работа
Фамилия имя автора
Рябоконева Наталья
Школа (класс)
МКОУ «Высотинская сош» (10 класс)
Руководитель
Шкляева Елена Алексеевна
Контактный телефон
8(391-99)32-2-81
Содержание
Введение…………………………………………..……………..............................2
Актуальность исследования……………………………………………….…….….2
Цель, задачи………………………………………………………….……….….…..3
Глава 1. Теоретическая часть
1.1 История многогранников……………………..…….…………………….….…4
1.2 Понятие многогранника. Платоновы тела ………….…………………..…..5
1.3 Характеристика платоновых тел………………..………………………..……6
1.4 Формула Эйлера для выпуклых многогранник..……………………………..7
1.5 Формулы для правильных многогранников……..…………………….…..…9
Глава 2. Гипотезы………………………………..………………………….……..9
2.1 Гипотеза о том, что Земля - растущий кристалл……………..………..…9-11
2.2 Космологическая гипотеза Кеплера ……………………………………....11-12
Глава 3.
3.1 Тела Архимеда – полуправильные однородные выпуклые многогранники.12
3.2 Звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники),
их виды………………………………………………………..………….……..13
Глава 4. Использование формы правильных многогранников природой и
человеком.
4.1 Многогранники в искусстве…………………………………………..…….14-15
4.2 Многогранники в архитектуре……………………………………….…….16-17
4.3 Красота форм в природе. Многогранники в биологии ……….………….17-18
4.4 Чудо природы – кристаллы ……………………….……………………….18-20
Глава 5. Практическая часть
5.1 Развертка тетраэдра, куба, октаэдра....………………………………………..21
5.2 Развертка икосаэдра, додекаэдра……………..……………………………….22
Заключение…………………………………………………….…………………..23
Список литературы……………………………………………………………….24
Приложение. …………………………………………………..……………….25-32
1
Введение.
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать
форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и
астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру
атомов и молекул. Таким образом устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни
не обойдется без пространственного представления предметов.
Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве, называется стереометрия (от греч.
«стереос» — обьѐмный, «метрео» — измеряю). Говоря о стереометрии, невозможно не затронуть
такой невероятно красивый материал, как "Правильные многогранники". Ни одни геометрические
тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.
Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и
для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят
широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые
используются в реальных архитектурных проектах. Мы можем наблюдать, что многогранники
встречаются и окружают нас повсюду. Теория многогранников является современным разделом
математики. Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире.
Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с миром людей. Этим и обусловлен
выбор темы «Удивительный мир многогранников»
Мне захотелось больше узнать о многогранниках, научиться изготавливать их различные
модели и выявить их роль в окружающем мире.
Актуальность исследования состоит в том, что многие мои сверстники испытывают
затруднения при изучении предмета геометрии. Они не могут представить некоторые простейшие
геометрические построения. Нам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей
жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. Но как можно не замечать того что,
многие здания похожи на многогранники. А также во многих профессиях, к которым мы стремимся,
понадобятся знания свойств геометрических фигур, ведь в современном мире очень широко
применяются различные виды многогранников. Часто самые интересные факты – из–за малого
количества отведенных на предмет часов – проходят мимо вас. Но на самом же деле мы с вами
живем в мире, который неразрывно связан с геометрией. Я хочу по-новому открыть для себя
удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, интересные
историко-философские концепции, оригинальные научные гипотезы, свои творческие способности.
Проблема: действительно ли многогранники уникальны и находятся вокруг нас?
Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры,
широко пользуется.
Объект исследования: многогранники.
Предмет исследования: стереометрия.
2
то природа этим
Цель исследования: познакомиться с многогранниками, их применением в окружающем мире,
получить представление о возможных видах правильных
многогранников, с точки зрения
геометрии, сделать модели многогранников.
Задачи исследования:
- изучить необходимую литературу по данной теме;
- обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;
- доказать, что многогранники встречаются в жизни;
- сделать модели многогранников.
Методы исследования:
- поиск информации из разных источников (специальная литература, ресурсы интернета);
- беседа с преподавателем;
- наблюдение;
- практическая работа.
3
Глава 1.
1.1 Историческая справка.
«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины различных наук». Кэрролл Л.
Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур.
Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. Первые
геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел
наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и
т. п. Однако он не только пассивно наблюдал природу, но осваивал и использовал ее богатства. В
процессе практической деятельности накапливались геометрические сведения. Начало геометрии
было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось
большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения
зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств.
Постепенно создавалась геометрическая наука. Геометрические знания примерно в объеме
современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида.
Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно,
что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были
Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэте. В своей книге Евклид дал полное
математическое описание правильных многогранников. Он описывает структуру тетраэдра,
октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра в данном порядке.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры
в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от
практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают
рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из
первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя
Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это
правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность
защищать человека от злых духов. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках
находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники
также называются Платоновыми телами (хотя известны они были, задолго до Платона).
Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого
"тетраэдр",
"октаэдр",
"гексаэдр",
"восьмигранник", "шестигранник",
"додекаэдр",
"икосаэдр"
означают:
"четырехгранник",
"двенадцатигранник", "двадцатигранник". Тела Платона
занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре
4
многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь,
т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как
самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр,
воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Гармоничные
отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны
такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в
совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется
приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в Платоновых телах
являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими
отношениями не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы правильных многогранников,
ни число ребер или граней. В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система
элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована
Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение
многих веков.
Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями
вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые
многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как
Пифагор, Евклид, Архимед.
С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией.
Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам
симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
1.2 Понятие многогранника. Платоновы тела.
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа
многоугольников. Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многогранник называется выпуклым, если он весь
расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник
называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все
многогранные углы при вершинах равны.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти
на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за
1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются
формы правильных многогранников.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и
Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –
5
пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и
высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по
геометрии.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые
источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие
утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и
икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал
математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство
того, что их ровно пять.
Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
1.3 Характеристика многогранников
Рис 1.
Тетраэдр – представитель Платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой
вершине по три.
Рис 2.
Правильный октаэдр
составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина
октаэдра является вершиной четырех треугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при
каждой вершине равна 240°.
Рис 3
6
Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина
икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой
вершине равна 270°.
Рис 4
Куб (гексаэдр)
составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех
квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Рис 5
Правильный додекаэдр
составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина
додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских
углов при каждой вершине равна 324°. Два правильных многогранника - октаэдр и додекаэдр строились при помощи других многогранников - куба и икосаэдра. Причем каждая вершина, скажем,
октаэдра соответствовала некоторой вершине куба. То же самое можно сказать и о паре
многогранников икосаэдр - додекаэдр.
1.4 Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. Каково же это вызывающе
малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни
меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом
деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в
каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является
правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360 о,
иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения
неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников
7
ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).
А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для
многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для
икосаэдра?
Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером
(1707-1783), который без преувеличения «проверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о
соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство
которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно
навела математический порядок в многообразном мире многогранников.
Вершины + Грани - Рёбра = 2.
Формула связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой
формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы
определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число
к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной
вершине. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника
используем формулы. После этого нетрудно заполнить таблицу (приложение 1), в которой
приведены сведения об элементах правильных многогранников:
Название
Количество
Количество
Количество
граней
вершин
ребер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
Вид грани
И еще один вопрос возникает в связи с правильными многогранниками: можно ли ими заполнить
пространство так, чтобы между ними не было просветов? Он возникает по аналогии с правильными
многоугольниками, некоторыми из которых можно заполнить плоскость. Оказывается, заполнить
пространство можно только с помощью одного правильного многогранника-куба. Пространство
можно заполнить и ромбическими додекаэдрами.
8
1.5 Формулы для правильных многогранников
Название многогранника
Объём
Площадь поверхности
Тетраэдр
V= (a³√2)/12
S= a²√3
Куб
V= a³
S= 6a²
Октаэдр
V= (a³√2)/3
S= 2a²√3
V= a³(15+7√5)/4
S= 3a²√5(5+2√5)
V= 5a³(3+√5)/12
S= 5a²√3
Додекаэдр
Икосаэдр
Глава 2. Гипотезы
2.1 Гипотеза о том, что Земля - растущий кристалл.
Существует гипотеза, в соответствии с которой Земля имеет форму сложного многогранника и
является огромным кристаллом. Впервые предложение о том, что Земля не шар, а кристалл –
твердое тело, имеющее упорядоченное, симметричное строение, высказали греческие ученые:
математик Пифагор и философ Платон. Они перебрали множество многогранников и наконец,
выбрали два «Идеальных», которые могли являться моделью Земли: икосаэдр, ограниченный
двадцатью правильными треугольниками, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными
пятиугольниками.
Идея представления Земли в форме кристалла, с помощью которого можно объяснить особенности
её внутреннего строения, привлекла в 19 веке двух французских ученых – геолога де Бемона и
математика Пуанкаре. За основу своей гипотезы они взяли один из «идеальных» кристаллов
Пифагора- Платона- додекаэдр. По их мнению, крупные «аномалии» в мантии и земной коре
обусловлены именно деформацией формы Земли в додекаэдр. В России сторонником гипотезы
«Земля – кристалл» стал С. Кислицын.
Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным
устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе,
9
авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров, В. Морозов,
Н.Гончаров. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла,
оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого
кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру
Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной
шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер,
называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить
некоторые непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных
культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении
относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых
тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах
пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу,
Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и
минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское
озеро Лох-Несс. С вершинами кристалла, по их мнению, совпадают и многочисленные аномальные
зоны Земли, наиболее крупные из них: « Бермудский треугольник», «Море Дьявола», «Магические
ромбы» И. Сандерсона.
«Бермудский треугольник» лежит между полуостровом Флорида, Бермудскими и Антильскими
островами. Строение дна в этом районе напоминает гигантскую крутую лестницу. Интересно, что
вершина кристалла повлияла не только на форму морского дна. Американские астронавты со
«Скайлэба» обнаружили, что зеркало океана в этом районе ниже нормального на 25 метров.
С некоторыми вершинами кристалла связано возникновение существующих всего несколько часов
гигантских воронок, а атмосфере и гидросфере. Они внезапно образуются во время «выброса»
внутренней энергии Земли на её поверхность. Одна такая воронка, размером более 70 миль и
направленная узким концом вниз, была сфотографирована пуэрториканскими летчиками.
Гипотеза о том, что Земля - растущий кристалл, объясняет не только процессы, идущие в недрах и
на поверхности планеты, но и влияние этих процессов на изменение животного мира и даже развитие
цивилизации
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной
гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. Если покопаться
в истории, то кубу можно дать такое определение: "родитель" всех правильных многогранников. На
основе куба можно построить все другие виды правильных многогранников Вершинами октаэдра
являются центры граней куба, а если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся
диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра. Полученные многоугольники оказываются
действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Это следует из того, что
при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.
10
Для построения икосаэдра необходимо на каждой грани куба построить отрезок длиной x, причем
так, чтобы он был обязательно параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же
отрезкам на соседних гранях. И учитывать то, что середина должна совпадать с центром грани.
Соединив концы этих отрезков, получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при
каждой вершине их пять. Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых
приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.
2.2 Космологическая гипотеза Кеплера
Вера в гармонию, красоту и математически обосновано устройство мироздания привела
9 июля 1595 года немецкого астронома Иоганна Кеплера к мысли о том, что поскольку существует
пять правильных многогранников, то им соответствует только шесть планет.
Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд
последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер, с точностью
разместил
между сферами,
содержащими
орбиты
шести
известных
планет,
правильные
многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую.
Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают,
то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Кеплер попытался
связать со свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной системы.
Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через
размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой
"небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из
Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот
октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера
Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан
тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана
сфера Сатурна.
11
Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания"
опубликовал результаты своего открытия.
Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими
многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера,
правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют
важную роль в описании движения планет.
Глава 3
3. 1.
Тела Архимеда – полуправильные однородные выпуклые многогранники
Архимедовыми телами называются выпуклые многогранники, все многогранные углы которых
равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от
Платоновых тел).
Архимедовы тела частично получаются из Платоновых тел в результате их
усечения. Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Так могут быть
получены первые пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный
икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр. Вторая группа архимедовых тел представлена двумя
многогранниками, являющимися результатом пересечения двух платоновх тел подходящих размеров
и расположенных так, что их центры совпадают. Это кубооктаэдр - результат пересечения куба и
октаэдра и икосадодекаэдр - результат пересечения икосаэдра и додекаэдра. В результате усечения
кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр и
ромбоикосододекаэдр.
Дальнейшее
видоизменения
могут
превратить
их
в
два
других
многогранника- усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Последние два архимедовых
тел- «курносый» куб и «курносый» додекаэдр. Термин курносый означает, что каждую грань
многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в
каждой вершине добавили еще один многоугольник. Существует еще один многогранник-14,
который некоторые ученые причисляют к полуправильным псевдоромбооктаэдр. Спорный вопрос
заключается в том, что в нем нарушена симметрия, поэтому он не соответствует некоторым
определениям полуправильных многогранников.
12
Иоганн Кеплер - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники
были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между 5 правильными
многогранниками и 6 открытыми к тому времени планетами солнечной системы.
Согласно этому предположению в сферу орбиты Сатурн можно вписать куб, в который вписывается
сфера орбиты Юпитера. В нее вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марс. В сферу
орбиты Марс вписывается додекеэдр, в который вписывается сфера орбиты Земля, а она описана
коло икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венера, сфера этой планеты описана около
октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Другим выдающимся вкладом Кеплера в
геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел. Кеплер открыл
малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Всего их четыре; два
других нашел французский математик Луи Пуансон в 1809 г. большой звездчатый додекаэдр и
большой икосаэдр, они называются также телами Кеплера-Пуансо.
3. 2. Звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники), их виды
Имя Кеплера(1571 – 1630 гг.) в геометрии прославлено открытием двух из четырех правильных
звездных тел. Два других в 1809 г. (почти 200 лет спустя) построил француз Луи Пуансо (17771859).
Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый
звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.
В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырех
«тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.
Характеристика тел Пуансо:
13
БОЛЬШОЙ ИКОСАЭДР
Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.
Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У
каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с
вершинами описанного икосаэдра.
Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.
Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
14
БОЛЬШОЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У
каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с
вершинами описанного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в
1619 г. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников
лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.
Если наблюдать и
рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и
обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение. Некоторые из
правильных и полуправильных тел встречаются в природе, мы можем их наблюдать и находить в
архитектуре и живописи.
Глава 4. Использование формы правильных многогранников природой и человеком.
4.1 Многогранники в искусстве
Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519)
— символ неразрывности искусства и науки, а, следовательно, закономерен его интерес к таким
прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще, и усеченный
икосаэдр в частности.
( Приложение 2)
Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих
полотнах. Например, он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных
многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445 — 1514гг.) «О божественной
пропорции» (1959 г.) Изображение Леонардо да Винчи усеченного икосаэдра методом жестких
ребер. Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо.
Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении
кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (17431822гг.) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863).
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер
(1471- 1528), в известной
гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр. (Приложение 2)
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные
работы, в которых использованы или показаны широкие круги математических идей.
15
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его
многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они
встречаются в качестве вспомогательных элементов.
На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников,
расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и
сквозь любой из них можно увидеть остальные. (Приложение стр.2)
В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются
из тюрьмы двухмерного
пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику
рептилий Эшер использовал
во многих своих работах.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном
случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой
конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные
объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. (Приложение 2)
Если бы Эшер изобразил в данной работе, лишь различные варианты многогранников, мы никогда
бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов,
чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён
на фоне огромного прозрачного
додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних,
имела
вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного
додекаэдра. (Приложение 3)
4.1 Многогранники в архитектуре.
Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и
находят многочисленные применения. Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая
точность в определении формы и размеров, в первую очередь это относится к архитектуре. И
технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему людям искусства геометрическое
воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия,
представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники
и
преобразования мира.
Это может показаться странным,
но слово Пирамида отнюдь
не определяет трехмерный
треугольник, и при этом его корень даже, не Египетский. Слово Пирамида составлено из Греческого
слова "pyra" в значении огня, света (или видимый и Греческого слова "midos" в значение мер( другое
значение –
середина(внутри)). Первые определения этому понятию давали: Евклид, Герон,
Учебники XIXв., Тейлор, Лежандр. (Приложение 4)
16
Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных
каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили
рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным
пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором
горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла
статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров. (Приложение 4)
Ещё один маяк, конструкция которого состоит из Платоновых тел – это Александрийский маяк. Он
был построен в III веке до н.э., чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в
александрийскую бухту. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.
А присутствует ли вообще математика в архитектуре? Конечно. Достаточно взглянуть на здания, и
мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны,
полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые
радуют глаз при взгляде на красивые здания городов. (Приложение 6)
Использование многогранников в архитектурных сооружениях можно наблюдать и в нашем городе.
В первую очередь это конечно церкви, но наряду с историческими памятниками существуют и
современные здания с яркими многогранниками.
4.2. Правильные многогранники в математике
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной
деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.
4.3 Красота форм в природе. Многогранники в биологии.
Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В книге немецкого биолога начала нашего века Э.
Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем
лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко
превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой
книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии.
В морях
существуют одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же
вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же
количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объём и наименьшую площадь
поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать
давление водной толщи. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов
в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось
ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под
теми же углами, что и поток атомов на вирус. (Приложение 5)
17
Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические
свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию.
Правильные многогранники - самые «экономичные» фигуры. И природа этим широко пользуется.
Построенные
пчелами соты строго параллельны, расстояние между ними выдерживается с
удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические
фигуры. В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n
– угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр.
Таким образом, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.
Некоторые ученые считают, что вселенная имеет форму шестигранного сота. Вполне возможно, что
пчёлы в своих постройках копируют её форму. Ведь именно такая форма наиболее совершенна и
экономична для всего: материалов, времени, пространства и энергии. Пчелиная сота выдерживает
мёда в 27 раз больше своего веса. (Приложение 6)
4.4 Чудо природы - кристаллы
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И
природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит
форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без
которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в
воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы
поваренной соли имеют форму куба.
Если соленую воду вылить на блюдце и оставить на пару дней, пока
она высохнет, а потом рассмотреть образовавшийся белый налет
через лупу, мы обнаружим множество сверкающих кубиков правильной формы - кристаллов
поваренной соли. При
алюмокалиевых
медленном
квасцов,
в
воде
испарении
раствора
тоже получаются
сахара,
медного купороса
или
красивые кристаллы в правильных
многогранников различной формы.
Но кристаллы появляются не только из раствора, но и из расплава. Что такое вода в жидком
состоянии? Это расплавленный лёд, не так ли? Когда вода кристаллизуется, получается кристаллы
игольчатой формы. Если такие иголочки льда образуются из капелек воды в морозном воздухе, они
постепенно растут, покрываются все новыми узорами и наростами и наконец, выпадают на землю из
облаков в виде красивых пушистых снежинок сказочно красивой формы.
Когда водяной пар охлаждается быстро, получается иней, который морозной зимой украшает
деревья в саду, или просто морозные узоры на стекле, похожие на фантастические растения.
Почему
же
у
кристаллов
такая
правильная
и
красивая
форма? Люди задавались этим
вопросом с давних пор. Само слово "кристалл" происходит от греческого "кристаллос" - лед и
горный хрусталь. В древности горный хрусталь (кристаллы кварца) действительно считались
окаменевшим льдом.
18
Если из кристалла хлорида натрия сделать шар, а потом опустить в насыщенный раствор этой же
соли, то уже через несколько дней мы обнаружим, что вместо шарика опять получился кристалл
кубической формы.
То же самое происходит и с любыми другими кристаллами: они способны к "самоогранке" и
постепенно восстанавливают свою природную, самую устойчивую форму.
Рассказывают, что способность кристаллов сохранять правильную форму в любых ситуациях была
обнаружена случайно. Французский ученый, аббат Рене-Жюст Гаюи (1743-1826) однажды, будучи в
гостях у своего знакомого, большого любителя камней и минералов, уронил на пол самый лучший
кристалл из коллекции. Экспонат раскололся, но каждый из осколков повторял форму прежнего
кристалла, только был поменьше. Наблюдательность аббата Гаюи помогла ему из обидного случая
сделать замечательный вывод. Если разбивать кристалл на все меньшие и меньшие части, можно
постепенно дойти и но "элементарной" ячейки, состоящей из отдельных атомов или ионов вещества,
и эта ячейка будет состоять из отдельных атомов или молекул...
На самом деле разбить кристалл "на атомы", конечно, обычными способами невозможно (разве что
растворить его). Тем не менее, ученые установили, что кристаллическая решетка, как гигантский
многоэтажный сборный дом, состоит из совершенно одинаковых "клеточек". А от того, каковы эти
клеточки, в каком порядке и насколько прочно они скреплены друг с другом, зависит все
многообразие кристаллических форм, существующих в природе.
Кристаллы действительно так хороши собой, что ими можно любоваться часами. А как
разнообразны их формы! (Приложение 7) Вот кубик из прозрачной каменной соли, галита природного хлорида натрия.
Кристалл берилла, похож на шестигранный карандаш, только большой, толщиной в руку. Вот
прозрачные "карандашики" цвета морской волны - тоже бериллы, только они прозрачные и
называются аквамаринами.
Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл
сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра,
бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток
некоторых химических веществ.
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
(Приложение 8)
Да мало ли еще красот может быть в коллекции минералов!
Как же удается природе вырастить такой каменный "сад"?
В недрах Земли находится расплавленная смесь множества химических веществ - магма. В
некоторых местах - трещинах и изгибах земной коры - магма постепенно остывает, и начинается
кристаллизация минералов, каждый из которых имеет определенный состав.
19
Если образование кристаллов идет в тесноте, они мешают друг другу и в результате срастаются в
бесформенные каменные глыбы, где различить отдельные минералы можно только под
микроскопом. А если рост кристаллов идет в больших пустотах, пещерах или трещинах, то
получаются прекрасные правильные многогранники.
Чтобы из расплавленной магмы выросли кристаллы минералов, требуется много времени - сотни и
тысячи лет. Гораздо быстрее растут кристаллы из растворов, например, из соленой воды озер и
морей. Когда стоит жаркое лето, вода испаряется, концентрация соли становится все выше. Наконец,
раствор становится насыщенным. Теперь стоит ему чуть-чуть охладиться, как из него выпадут целые
груды кристаллических солей. Именно так или почти так выглядит выделение поваренной соли из
воды известнейших соляных озер России Эльтон и Баскунчак и глауберовой соли (мирабилита) из
воды залива Кара-Богаз-Гол (в переводе с туркменского "Черная пасть") на Каспийском море. Озера
и моря - настоящие природные лаборатории, где постоянно образуются новые порции
кристаллических солей.
Если не дожидаться у моря погоды и смены времен года, можно за две-три недели вырастить
красивые кристаллы солей у себя дома. Это будет один из наших "химических опытов на кухне": мы
вырастим кристаллы медного купороса, хромокалиевых квасцов и поваренной соли.
4.5 Опыты на кухне
«Выращивание кристаллов»
Для этого в кипящую воду насыпаем медный купорос (CuSO4),медленно мешаем до тех пор, пока
купорос не перестанет растворяться. Помещаем сосуд с раствором на неподвижную полку. Через
некоторое время на стенках сосуда образовались мелкие кристаллы. Выбираем из них кристалл,
прикрепляем его к концу нитки, другой конец нитки привязываем к середине палочки. Кристаллик
на ниточке опускаем в раствор медного купороса (кристалл не должен доставать дна, но и не быть
высоко). Сосуд должен быть неподвижен.
В результате данной работы получили кристалл медного купороса.
Вывод: Даже без увеличительной лупы (или через увеличительную лупу) видно, что кристалл
медного купороса состоит из набора правильных многогранников.
Кристаллография (от кристаллы и ...графия), наука о кристаллах и кристаллическом состоянии
вещества. Изучает симметрию, строение, образование и свойства кристаллов. Кристаллография
зародилась в древности в связи с наблюдениями над природными кристаллами, имеющими
естественную форму правильных многогранников. Как самостоятельная наука существует с
середины 18 в. Развивалась в тесной связи с минералогией как дисциплина, устанавливающая
закономерности огранки кристаллов (Р. Аюи, 1784).
Кристаллы - твёрдые тела, имеющие естественную форму правильных многогранников. От греч.
krýstallos, первоначально — лёд, в дальнейшем — горный хрусталь. (Приложение 8)
20
Глава 5. Практическая часть
«Тот, кто, обращаясь к старому,
способен открывать новое, достоин
быть учителем».
Конфуций (ок. 551 до н. э., — 479 до н. э.) —
китайский мыслитель и философ.
По схемам разверткам собрали некоторые многогранники: гексаэдр, тетраэдр, икосаэдр, додекаэдр,
октаэдр.
3.1. Развертка тетраэдра
3.2. Развертка куба
3.3. Развертка октаэдра
21
3.4. Развертка икосаэдра
3.5. Развертка додекаэдра
Несмотря на то, что названия многогранников не идеальны, в них есть определенная логика, которую
пыталась проследить при превращении правильного многогранника в усеченный. Термин
"усеченный" означает, что многогранник был получен в процессе отсечения от правильного
многогранника правильных пирамид с вершинами, лежащими на ребрах и в вершине многогранника,
например, как можно получить усеченный куб, архимедова усеченный икосаэдр из платонова
икосаэдра.
Рассматриваемая проблема решена. Гипотеза нашего исследования подтвердилась.
Мы сделаи вывод, что многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду:
спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда.
Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных
небоскрёбов, имеют форму многогранников. Мы проследили доказательство существования только
пяти правильных многогранников.
Через практическую деятельность мы собрали по схемам - разверткам несколько многогранников,
попыталась понять, как можно получить усеченные многогранники по чертежам.
22
Заключение.
«В огромном саду геометрии
каждый найдет букет себе по вкусу»
Д.Гильберт (1862-1943) немецкий математик
.
Проделанная исследовательская работа помогла нам узнать и убедиться в том, что многогранники
на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать нас симметрией, мудростью и
совершенством своих форм. Окружающий нас мир скрывает множество тайн и загадок, которые
предстоит разгадать человечеству. Напутствием для нас служат слова Платона: «Когда мы
стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто
полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».
Выполняя эту работу я:
- расширила свои знания о многогранниках;
-познакомилась с интересными научными гипотезами;
-убедилась на примерах, что формы правильных многогранников использует и природа, и человек;
-научилась выращивать кристаллы в домашних условиях;
- научилась делать модели правильных многогранников.
При изучении темы я наткнулась на интересные многогранники:
ТЕЛА АРХИМЕДА – полуправильные однородные выпуклые многогранники, планирую в
дальнейшем более подробно изучить эти тела.
23
Список литературы и используемые источники:
1. Геометрия, 10 –11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.: Просвещение, 2007.
2. Атанасян, Л. С. Изучение геометрии в 10-11 классах: методические рекомендации для учителя
[Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 2005.
3. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. М.: ООО «Издательство АСТ», 2003 г
4. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. М.: ООО «Издательство АСТ», 2003 г
5. Черкасов О. Ю. Математика. Справочник./ О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев-М.:
АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2006
6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.. Рассказы о прикладной математике.
М.: Вита-Пресс, 1996
7. Гильберт Д., Кон-фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981
8. Интернет – ресурсы.
http://ru.wikipedia.org
http://www.krugosvet.ru
http://schools.techno.ru
24
Приложение 1
Изображение
Тип
правильного
многоугольника
Тип
грани
Число
сторон
у грани
Число ребер,
примыкающих
к вершине
Общее
число
вершин
Общее
число
ребер
Общее
число
граней
Сумма
плоских
углов при
вершине
Тетраэдр
Треугольник
3
3
4
6
4
180˚
Куб
Квадрат
4
3
8
12
6
270˚
Октаэдр
Треугольник
3
4
6
12
8
240˚
Додекаэдр
Пятиугольник
5
3
20
30
12
324˚
Икосаэдр
Треугольник
3
5
12
30
20
300˚
25
Приложение 2
Надгробный памятник в кафедральном
соборе Солсбери Сэру Томасу Джорджсу.
Мориц Корнилис Эшер - гравюра "Звезды"
Альбрехт Дюрер (1471- 1528),
известная гравюра «Меланхолия»
Гравюра «Порядок и хаос»
26
Приложение 3.
Художник Сальвадора Дали. Картина «Тайная Вечеря».
Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
27
Приложение 4.
Фаросский маяк
Музыкальный театр.
Александрийский маяк
Здание церкви Спаса Преображен.
28
Собор непорочного зачатия Девы
Марии на малой Грузинской
Приложение 5
Исторический музей
Казанская церковь в Москве
Старицкий Свято – Успенский
монастырь
Обелиск Победы
Успенский собор
Форма бактерий
Скелет феодарии
29
Приложение 6.
Восковые постройки пчёл.
На рисунке показано, как соприкасаются ячейки в улье: их
общая часть является ромбом. В этом случае площадь
поверхности
многогранника
–
ячейки
меньше
площади
поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой
«математической» работе пчёлы экономят 2 процента воска.
30
Приложение 7 .
Кристаллы.
31
Приложение 8
Кристаллография
Микромонокристалл
германия
Монокристалл
сегнетовой соли
Природные кристаллы турмалина.
Кристаллы белка каталазы
32
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа