close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...состоялась церемония награждения премией «Признание;pdf

код для вставкиСкачать
Голографический принцип и принцип относительности
Куюков Виталий Петрович
Сибирский Федеральный Университет
Россия, Республика Хакасия, 655017
Email: [email protected]
В данной статье рассматриваются связь между принципом относительности Эйнштейна и
голографическим принципом. Такой синтез дает шанс к пониманию квантовой теории
гравитации, в основе которой лежат понятия информации, энтропии и геометрия
пространства-времени. В этой работе эти понятия объединены в единый закон.
1. Голографический принцип и черная дыра.
Гравитация гораздо сложнее связана с квантовой механикой, нежели все остальные силы.
Поэтому объединение, на микроскопическом уровне, гравитации с другими силами природы,
может оказаться нелегким подходом. Известно, что это порождает множество проблем, приводит
к загадкам и парадоксам. Однако в последнее время открыт принцип, который дает надежду на
построение квантовой теории гравитации.
Самым важным допущением является то, что информация относительно части пространства
подчиняется голографическому принципу. Лучшее доказательство голографического принципа
происходит из физики черных дыр и AdS/CFT соответствия.
Идея состоит в следующем: квантовая теория гравитации внутри AdS -пространства-времени
полностью эквивалентна обычной квантовой теории частиц, находящихся на границе. Эти
теоретические разработки показывают, что, как минимум, часть микроскопических степеней
свободы может быть представлена голографически, на границах пространства-времени или на
горизонтах. Однако голографический принцип может оказаться более универсальным. Его можно
распространить на любые физические процессы.
В 1972 году Я.Бекенштейн высказал, что черная дыра обладает энтропией, пропорциональной
площади ее поверхности
А
( для сферической черной дыры
А= 4 r2 ):
(1.1)
Он предположил, что для суммы энтропий обычной материей и черной дыры,
S = Sm + Sbh , имеет место обобщенный закон термодинамики:
S = (Sm + Sbh)
Суммарная энтропия системы не может уменьшаться.
Из этой формулы можно вывести
ограничение на энтропию вещества. Так называемый первый предел Сасскинда для энтропии.
Рассмотрим этот вывод на примере двойной системы, нейтронная звезда и субгигант. Первая
начинает поглощать вещество субгиганта до стадии образования критической массы - черной
дыры. До этого момента нейтронная звезда и поглощенное ею звездное вещество имели в сумме
энтропии:
S = Sn + Sm
В конечной стадии энтропия этой системы будет ограничено сверху энтропией черной дыры в
результате коллапса нейтронной звезды и падающего вещества:
F
Сасскинд и т`Хофт расширили данный вывод: площадь
, как
мера максимальной энтропии
для любого вещества, ограниченна поверхностью сферы:
В общем, вместо энтропии можно рассматривать изменение количества информации о системе.
Иначе говоря, понятия энтропия и информация эквивалентны и универсальны. Отсюда идет так
называемый голографический принцип: информация о веществе внутри объема закодирована на
ее внешней границе.
Но почему максимальное количество энтропии ограниченно поверхностью
F,
а не объемом
вещества? Ответ дал Леонард Сасскинд. Он предположил что, если исходная масса вещества
внутри данного объема
была меньше критической массы ( гравитационной радиус, которой
равен максимальному размеру вещества), то энтропия в процессе коллапса данного вещества в
черную дыру будет ограниченна сверху ее первоначальными размерами.
2. Голографический принцип и принцип относительности.
Теперь рассмотрим, как изменяется количество энтропии в системе в связи с максимальной
скоростью
взаимодействий,
скоростью
света.
Поэтому
возникает
вопрос, как
совместить
голографический принцип и принцип относительности Эйнштейна?
Ведь,
если
скорость
света
максимальная
голографическому принципу максимальная
для
передачи
информации,
передача энтропии
то
согласно
между двумя событиями,
разделенные промежутком времени будет некоторая световая сфера:
Где
–
F=
повлияло на событие
K.
площадь световой сферы, в центре которой было событие C, которое
В качестве выбора системы единиц постоянная Больцмана k=1.
Что означает данная формула? Для ее интерпретации рассмотрим пример.
Пусть в точке
хА
системы отсчета происходит аннигиляция электронов и позитронов в момент
tA , появляется вспышка света, которая достигает в виде сферической фронта до точки
хВ, где происходит регистрация прибором в момент времени tB.
времени
Вспышка света распространяется в виде сферической оболочки радиусом
r=ct и площадью:
F=
Согласно теории относительности, скорость света максимальная возможная для передачи
информации. Поэтому вспышка света в момент времени
А1,N,D,B,
t
еще не повлияет на события
находящиеся в будущем за гиперповерхностью ( ограничен основанием светового
конуса с радиусом
r=ct
в момент времени
t ).(рис.2.1).
Рис.2.1
На
рис.2.1.
площадь
основания
одновременно с событиями
А1
и
В
светового конуса в момент времени tB
относительно неподвижной системы отсчета:
пересекается
F=
С точки зрения неподвижного наблюдателя выполняется условие
двух событий
А1
и
В.
Однако, движущийся наблюдатель в своей системе отсчета обнаружит,
что условие одновременности событий
Если определить
координатного
одновременности
А1
и
В нарушается
.
передачу максимальной энтропии между событиями
времени
Этот вывод противоречит
наблюдателя,
то
энтропия
будет
A
и
В
через квадрат
неинвариантной
формулировке в теории относительности: собственная
величиной:
энтропия
физической системы одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Действительно согласно формуле Больцмана, вероятность нахождения системы в данном
состоянии, очевидно, не может зависеть от скорости наблюдателя относительно этой системы:
Термодинамическая энтропия в теории относительности тоже является инвариантной величиной:
Поэтому в качестве естественного определения передачи максимальной энтропии между двумя
событиями
(1)
и (2) может быть только
квадрат интервала в пространстве-времени
Минковского:
(2.1)
В такой форме максимальная энтропия между двумя событиями одинакова во всех инерциальных
системах отсчета.
Рис.2.2
Рассмотрим на рис. 2.2 три типа максимальной энтропии между двумя событиями, которому
соответствует три типа интервала в пространстве времени:
1. Для времениподобного интервала между событиями С и К соответствует положительная
энтропия:
Такому условию подчиняется любые материальные объекты, имеющие массу. Для них энтропия
в изолированной системе только возрастает.
2. Для нулевого интервала между событиями А и В соответствует нулевая энтропия:
Такому
условию
подчиняется
бозоны
с
нулевой
массой,
такие
как
фотон.
Например,
информация, передаваемая в вакууме отдельным фотоном не теряется.
3. Для пространственноподобного интервала между событиями М и Р будет отрицательная
энтропия:
Такому условию, когда энтропия в изолированной системе уменьшается, не подчиняются ни
какие известные материальные объекты и физические процессы. В данном случае можно
предположить, что это энтропия между двумя точками пространства в системе отсчета, где
события
МиР
происходят одновременно.
3. Энтропия и структура пространства-времени.
Согласно выводу (2.1) энтропия между двумя точками в пространстве-времени Минковского
характеризует максимальную энтропию для любой физической системы, движущейся между
этими точками по геодезической :
(3.1)
Как видно, правая часть выражения (3.1) характеризует только геометрические свойства
пространства-времени Минковского, квадрат расстояния между двумя ближайшими точками.
Поэтому независимо, какой интервал выберем для двух точек в пространстве-времени, общий
вид выражения (3.1) сохраняется. Это говорит нам о том, левая часть выражения (3.1) является
величиной, связанной непосредственно с еще одной характеристикой пространства-времени –
энтропией. Такой вывод согласуется с голографическим принципом и принципом относительности
Эйнштейна. Можно сказать, что пространство-время Минковского в любом четырехмерном
объеме
Ω обладает энтропией:
(3.2)
Формулы (3.2) показывают, что Пространство-Время Минковского можно представить из
большого количества граней с площадками
.
Такие грани могут представлены в виде
треугольников, квадратов, сферы и поверхностей различных геометрических объектов. Таким
образом, можно представить Пространство-Время (рис3.1), как фрактальную структуру, где ее
энтропия складывается из суммы площадей связанных элементарных граней:
– площадь элементарной грани в пространстве-времени.
Рис.3.1
Это не значит, что наше пространство-время имеет такую структуру (рис.3.1). Возможно разные
вариации геометрии на микроскопическом уровне. Согласно соотношению неопределенности
Гейзенберга
квантовые флуктуации на планковском масштабе искажают пространство-время до
неузнаваемости. Однако существуют модели, как например квантовая петлевая гравитация, в
которой пространство-время квантуется. Там тоже есть элементарные блоки пространствавремени, минимальная площадь которых равна планковской. В этой модели пространство–время
обладает структурой, похожей на паутину. Она называется спиновая сеть. На ней были
произведены вычисления энтропии черных дыр, и оказалось, что результат совпал с формулой
Бекенштейна.
Однако
авторы
этой
теории
не
ответили
на
вопрос,
есть
ли
у
пространства-времени
информационная структура, то есть энтропия. Здесь же стало очевидно, что голографический
принцип и принцип относительности дают ответ, пространство-время обладает динамической
энтропией. И согласно второму закону термодинамики энтропия пространства-времени должна
увеличиваться, тем самым расширяется его структура в направлении, где рост положителен, т.е.
по оси времени:
Для
физических
процессов
энтропия
пространства-времени
Минковского
определяется
в
направлении движения в этом континууме:
Для любого наблюдателя энтропия пространства-времени растет в положительном направлении,
причем его собственная энтропия меньше. В этом и состоит физический смысл максимальной
энтропии для любых физических систем, эволюционирующих в пространстве-времени. Любые
физические процессы, явления, материальные объекты являются частью фона пространствавремени. Поэтому информационная емкость вещества и физических полей должна быть частью
информационной емкости пространства-времени:
Где
- энтропия материи.
4. Ограничение на максимальную энтропию любых физических процессов.
В общем случае между двумя точками в пространстве-времени существует энтропия, которая
максимальна для протекания любых физических процессов, если их интервал времениподобный:
Таким образом, максимальное значение энтропии физической системы ограниченно собственным
временем существования:
Рис. 3.1.
Темная область на рис.3.1 означает, что физическая система не может там находится, и не может
мгновенно (скачкообразно) увеличить свою энтропию в таких процессах, как распад частиц
вещества, взрывные процессы и т.д.:
(4.1)
Где
система переходит из начальной энтропии
времени
в конечную энтропию
за промежуток
.
В этом случае, можно отметить о быстром переходе энтропии в квантовой системе запутанных
фотонов, где данное ограничение (4.1) возможно проявит себя при большей частоте повторных
изменений квантовых состояний информации. Возможно при разрушении квантовой запутанности
между фотонами, с определенной вероятностью найдутся состояния, отвечающие данному
условию (4.1).
5. Эффект замедления времени.
Рассмотрим две
К
и
К|
инерциальные системы отсчета; одна из которых движется с постоянной
скоростью относительно другой.
Пусть в момент времени
O=O
|
t=0
обе системы отсчета будут совместимы, где в начале координат
появляется вспышка света.
Через некоторое
время
t>0
для каждого наблюдателя в
своей системе
отсчета
свет
распространяется в виде сферической поверхности:
Согласно постулатам Эйнштейна скорость света для всех наблюдателей одинакова. Если так, то
голографический принцип дает для каждого наблюдателя свою максимальную энтропию,
связанную со световой сферой:
S=4 (ct)2 ,
S|=4 (ct|)2
Максимальная энтропия связана с площадью световой сферы, определяемая по координатному
времени наблюдателей. Для удобства рассмотрим площадь светового круга, так как его формула
отличается от площади сферы только числовым коэффициентом:
F= (ct)2 ,
Начало отсчета
системы
О|
F|= (ct|)2
К|
движущейся системы
относительно начала отсчета
О
неподвижной
К, проходит расстояние:
Согласно первому пределу Сасскинда относительно начала отсчета
точка отсчета
О
|
движущейся системы
сферической поверхностью с радиусом
К
|
имеет собственный
О
неподвижной системы
К
предел энтропии, ограниченный
:
S=4 (
)2
Для удобства рассмотрим предел Сасскинда в виде круга с радиусом
F= (
:
)2
Теперь можно изобразить на рис. 5.1. световые круги в подвижной системе и неподвижной
системах отсчета.
Рис.5.1
В неподвижной инерциальной системе
радиусом
О
для точки отсчета
|
К
изображены круги с радиусом световой сферы
движущей системы
|
К.
ct
и с
Затемненная область на рис.5.1
соответствует площади с максимальной энтропии, где нет перемещения для точки отсчета
О |.
Иначе говоря, темная область характеризует площадь поверхности светового круга в самой
движущейся системе отсчета
К |.
Для этого можно стянуть круг с радиусом
в точку, но при
этом сохранить площадь затемнения:
F
F = (ct)2
(
)2
Данную площадь затемнения можно изобразить в виде отдельного круга (рис.5.1) с
ct| световой сферы в движущейся
радиусом, который непосредственно равен радиусу
|
системе отсчета К :
F| = F
(ct|)2 =
(ct)2
F
(
)2
Отсюда, можно получить эффект замедления времени, если рассматривать перемещение как
функцию скорости и времени
:
6. Энтропия в искривленном пространстве-времени и поток Риччи.
Рассмотрим общее выражение для энтропии между двумя точками в пространства-времени
Минковского:
Данное выражение (6.1) было выведено в рамках специальной теории относительности с
применением универсального голографического принципа. Для дальнейшего обобщения (6.1) на
любые системы отчета, в том числе неинерциальные, необходимо развить математическое
определение энтропии в искривленном пространстве-времени. Для начала найдем взаимосвязь
между оператором Даламбера и энтропии в пространстве -времени Минковского.
Проинтегрируем выражение (6.1):
Найдем производную данной энтропии по оператору Даламбера:
Где
- оператор Даламбера,
пространства-времени Минковского будет
D – число измерений.
Для случая
D =4.
Результат действия оператора Даламбера на энтропию представим в другом виде:
Получаем, взаимосвязь между оператором Даламбера и оператором по энтропии:
Выражение (6.2) справедливо для геометрии пространства-времени Минковского. В общем
случае римановой геометрии, это уравнение нуждается в дополнительной связке с метрикой
искривленных пространств. В качестве примера рассмотрим геометрию двухмерной сферы (6.1).
рис. 6.1
На рис.6.1 геометрия сферы имеет поверхность с положительной кривизной. На ней может
существовать геометрический объект с двумя сторонами
АВ
и с двумя углами у полюсов
А и В.
Такой объект называет криволинейный двуугольник. Площадь двуугольника определяется как:
FAB =2ф·r2
Где ф –внутренний угол в двуугольнике,
r–
радиус сферы.
Согласно голографическому принципу максимальная энтропия определяется через площадь
А в точку В можно попасть различными путями.
Максимальная энтропия учитывает всевозможные состояния (все пути между А и В), в которых
поверхности. В данной случае на сфере из точки
движется система. Это означает, что существует дополнительная добавка к максимальной
энтропии между двумя точками
двуугольника со сторонами
А и В, и
она будет определятся через площадь криволинейного
АВ.
(6.3)
В общем выражение (6.3) зависит от типа используемой геометрии пространства.
В частности для евклидовой плоскости:
Добавка к энтропии равна нулю, то есть в евклидовой плоскости только одна прямая соединяет
две точки
А и В.
Поэтому необходимо найти такое уравнение, которое связывает энтропию с метрикой
искривленного пространства-времени, т.е. найти их общую динамику с тензором кривизны.
Для этого рассмотрим систему уравнений:
– первые производные величины
.
В предельном случае малой кривизны пространства - времени с учетом соотношения (6.2)
получаем:
Отсюда можно получить зависимость между энтропией, метрикой и кривизной пространствавремени в самом общем виде:
(6.4)
Конечно, выражение (6.4) было получено в случае слабого искривления пространства-времени.
Однако взаимосвязь между величинами энтропии, метрики и кривизны пространства-времени
получилось настолько глубокой и очевидной, что полученное выражение (6.4) рискну принять
за окончательный закон справедливый для любой геометрии физического мира:
(6.5)
Это уравнение (6.5) в дифференциальной геометрии носит название поток Риччи. Оно
аналогично уравнению теплопроводности в физике, уравнению диффузии и других уравнений
параболического типа.
Для нашего случая, это уравнение (6.5) можно применить к вычислению термодинамических
свойств в искривленном пространстве-времени
D =4. Например, температуры на горизонте
событий черной дыры:
Где
- термодинамическая энтропия как безразмерная величина.
Далее свернем тензор кривизны в скаляр Риччи
и подставим термодинамическую
температуру в общее уравнение:
Проинтегрируем обе части:
Найдем пределы интегрирования:
Закон сохранения энергии для черной дыры
Далее:
,
метрика
Средняя температура по флуктуациям метрики:
Скаляр Риччи для горизонта событий черной дыры :
Где
К
– гауссова кривизна поверхности.
Находим температуру поверхности черной дыры:
Как видно, из уравнения (6.5) выводится температура Хокинга для черной дыры.
Кроме того, это уравнение известно своим применением в математике.
Впервые его рассмотрел Г. Перельман для доказательства гипотезы Пуанкаре. Он показал, что
односвязанное компактное трехмерное пространство сходно с трехмерной сферой. Иначе говоря,
поток Риччи трансформирует данное пространство в совокупность сфер связанных между собой
трубками, где данная топология становится сходной самой сфере.
Однако, в работе Перельмана не объясняется физический смысл уравнения потока Риччи, там
действительный параметр, по которому метрика дифференцировалась, была абсолютно
неизвестной по своему физическому значению. Теперь видно, что в уравнении (6.5) данным
параметром является энтропия пространства - времени.
Данное уравнение (6.5) говорит: чем больше кривизна, тем сильнее метрика зависит от
внутренней структуры пространства-времени.
На этом основании можно сделать вывод, что пространство-время на микроскопическом уровне
должно имеет информационную структуру.
Для изучения широкого класса термодинамических свойств пространства-времени необходимо
совместить (6.5) с уравнениями Эйнштейна:
Литература:
1. The Holographic Principle. Raphael Bousso in Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3, pages
S25-874; 2002. http://arxiv.arg/abs/hep-th/0203101
2. Interferometers
as
Probes
of
Planckian
Quantum
Geometry.
Craig
J.
Hogan.http://arxiv.org/abs/1002.4S80
3. Anti-de Sitter Space and Holography. Edward Witten in Advances in Theoretical and
Mathematical
Physics,
Vol.
2,
pages
253-291;
1998.
Available
online
at
http://arxiv.org/abs/hep-th/9802150
4. Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M.
Polyakov
in
Applied
Physics
http://arxiv.org/abs/hep-th/9802109
Letters
B,
Vol.
428,
pages
105-114;
1998.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа