close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...методами теории аналитических функций некоторых

код для вставкиСкачать
М ИН И СТЕРСТВО
П РО СВЕЩ ЕН И Я
УССР
™ • «“ —
КИ ЕВ СК И Й
ГО СУ ДАРСТВЕН НЫ Й П Е Д А Г О Г И Ч Е С К И Й
имени А. М. ГОРЬКОГО
ИНСТИТУТ
В Н. ЧИГ АРЕВ
РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
А ВТО РЕФ ЕРА Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
К И Е В — 1963
В дис серта ции исследуется в опрос о построении по ли но ма
с коэ ффи ци ен там и, з ав и с я щ и м и от двух дей ст вите льн ых п а ­
раметров, р е а ли з ую ще г о при изменении п а р а м е т р о в к о н ­
формное о то б р аж е н и е единичного круга на некоторый клас с
областей, а т а к ж е его применение к з а д а ч а м теории у п р у ­
гости.
Этот полином получен в виде:
ЦС) = С'С + Ж " ' 2+1 + в : п+})
( 1)
где
9
упо мян ут ые п ар ам е тр ы , и зме н яю щи е ся в п р е д е л а х ( п — ц е ­
лое ч е т н о е ) :
8 < п < со ;
1 1
— — — < -г <
2
я
3
2
—---------- .
2
п
(“/
Среди мн о же с тв а областей, о б р а з о в а н н ы х о т о б р а ж е н и е м
круга и кольца функцией (1) при р а зл ичн ых з н ач е ни ях гг и
Y с о д е р ж а т с я б лизкие к мн ог оуг ольнику с л юбы м числом
сторон, к мног оуг ольнику с отверстием, б ли зк им к круговому
и т. п., решение з а да ч и кручения д л я которых имеет техн и­
ческое значение.
Использование конформного о то б р а ж е н и я (1) в з а д а ч а х
теории упругости, связанных, к а к правило, с г ромоздкими
в ы к л а д к а м и , п озволяет получить о д но к ра тн ым решением ре ­
зультат, о х ваты ва ющи й целую серию весьма р а з н о о б р а з н ы х
областей. Чт обы получить из него решение, о тн о ся ще ес я к
ка кой-нибудь определенной области, д остаточно в полу чен ­
ную фо рм ул у н а п р я же н ий или жесткости подс тавит ь со от в ет ­
ствующие з начения п ара ме тро в. Т ак и е решения э кономичны
и удобны для приложений, т а к к а к п оз во л яю т из одной ф о р ­
мулы «выбирать» по мере, надобности готовые решения для
н ужн ых обла сте й з а счет из менения п а ра м ет р ов .
Во вступительной части дис сер та ци и описан способ п о ­
строения такого конформног о о то б р аж е н и я :
интеграл і чр н ст о ф ф с л я - ш ь а р ц а
П ( С - а k)
d \ -f L,
(3)
о т о б р а ж а ю щ и й единичный круг плоскости £ на п л о с к о с т ь
а>(С) при частных значениях констант а к и лк
приводится к
виду:
т-1
І* п
(С М - 1 )
п
2
- ГГ >--------1=7 Л
(4)
о т о б р а ж а ю щ е м у единичный круг на т а к называемый «звез­
дообразный» п — угольник, пример которого при числе сто-
ХоґтГ •S o *
p f n ■/ 2 о °
аСЇЇ 0 / 3 5 °
Фиг. I.
роп п — 8 и некоторых значениях «угловых показателей» а и
■( дан на фиг. !. З а т е м интеграл (4), вследствие зависимости
9
а = — ( п — 2 ) ї , приводится к виду:
Я/
' (С)
(С
7 -1
2 - f - 1)
л
1—*/я(л-ї ) + 7
с о д е р ж а щ е м у только д ва п а р ам е тр а: п — число сторон
гоугольника и т — величину утла в доля х я.
3
(5)
m hq-
Области, на которые последний интеграл о т о б р а ж а е т е д и ­
ничный круг при некоторых значенияп п и т приведены на
фиг. 2.
Од нако в решении з а д ач теории упругости использование
и нтеграла (5) со п ря ж ен о с рядом неудобств, вследствие чего
в дал ьнейше м используется вместо (5) «отрезок» его р а з л о ­
жения в степенной ряд с коэффициенатми А и В, зав ися щими
от п арам ет ро в п и 7 в виде (1).
При изменении п ар ам ет ров п и т функция (1) д а е т о т о ­
б р аж е ни е единичного круга на множество областей, очер-
ченных э питрохальными кривыми, в том числе на близкие к
контуру /г-угольника. В диссертации д ан о их исследование и
примеры построения по точкам, а т а к ж е установлены п реде­
лы допустимых значений п и ? ( 2 ), при которых и с к лю ч а­
ются самопересечения контуров.
В г л а в е пер вой д ан о решение з а да ч и кручения для одно­
родного бруса сплошного сечения, ограниченного кривой се
мейства ( 1 ) (односвязные о б л а с т и ) .
Об о зн ач а я комплексную функцию кручения
/ ( С) —
= ?(.*•,
J/),по лу чим — i f{ С) = <]>( х, у ) — i<?( х, у )
Д л я действительной части последнего в ыр а же ни я имеем г р а ­
ничное условие.
Ф ( х , у ) — 1/ 2 (» ( о ) ю ( о ) на
( у — контур единичного кру га ). С а м а
— //(£) определится по формуле Ш в а рц а :
1
Г
а + С do
i/(': 1='аз J *(з)^
Т
I
(6)
7
же функция —
_____ <sV'-,lia
f
Т “ їЗ J " 1”*"( 4
1
Т
(7)
Пр ои зв одя необходимые вычисления, получим:
/ ( с) = СН [ >/, (1 + A 2 f В 2) + ( А + А В ) с"/г + ЯС"]
По найденной функции кручения и известным со от ноше­
ниям Н. И. Мусхелишвили выведены общие формулы д л я н а ­
пряжений и жесткости д л я областей, о т об ра же нн ых посред­
ством функции (1) (формулы 29 и 33 глав а I).
В г л а в е втарой р ас с ма т ри ва е тс я решение зад ач и круче­
ния д ля двухсвязных областей, об р аз ов ан ны х конформным
от об р аже н ие м кругового кольца с внешним радиусом R\ и
в нутренним R 2 посредством функции вида ( 1 ).
Д л я действительной части функции — / / ( С) = ф( х . у ) —
— i f ( x , у ) = F (С)
согласно общей теории кручения в
случае двухсвязной области имеем граничное условие:
f (Г) , T 1 T-S /
)
to (
( ’ ’ і Ш( R 2e* ) и) (
Ґ ( Ь
)
) + (7, на S,
+ С, на о2
( ))
где fli, 62 — соответственно, внешняя и внутренняя о к р у ж н о ­
сти кольца, С], С2 — постоянные, п о д л е ж а щ и е определению.
П р е д с т а в л я я искомую функцию в виде р яд а
ОО
F ( t ) = Уа*С*,
вводя это ее представление в (9), по методу сравнения к оэ ф­
фициентов при £ в обоих частях (9) определяются Как по­
стоянные Сь С2, т а к и коэффициенты я к (формулы 40, 41,
гл. II). И с к о м а я функция кручения имеет вид
2
/ г , ) = і % а ± к п ^ ±кЛ,г
k =\
(10)
Д а л е е выведены общие формулы н ап ря же ни й и жесткости
д ля кл асса р а с с м а тр ив ае м ых двухсвяз ных областей, даны
примеры построения эпюр н ап ряже ни й на контурах сечений
при различных п и
а т а к ж е таблицы их величин и ж е с т­
кости,
В виде примеров применения в ыведенных формул р а с ­
смотрено н а пр яж е нн о е состояние бурильной трубы в месте
смятия, кручение в а л к а пильгерстана Таг анрог ског о трубного
з ав од а и кручение дрели пильгерстана.
В г л а в е третьей решаетс я иной тип з а да ч и теории уп ру ­
гости — з а д а ч а о н а пр яже нн ом состоянии пластинки с з а ­
прессованными с «натягом» круглыми шайбами.
Несмот ря на наличие общей методики и примеров р е ш е ­
ния з а д а ч такого типа, д анных в р а б от ах Н. И. Мусхелишвили, Д. И. Ш е р м а н а , А. Г. Угодчикова и др., общего решения
ее для любого многоугольника в л ит е ра ту ре не имеется.
Д л я решения этой з ад ач и т а к ж е используется к он ф ор м­
ное о т об р а же н и е (1) круга на многоугольник при 7 = 1. И з ­
вестным методом з а д а ч а приводится к первой основной з а д а ­
че теории упругости типа:
T ( 0 ) + - d = l < p ' ( o ) + 'j,( 0 > = / ( 0 ) на Т
( И)
(О ( а )
Несмотря на общую г ромоздкость обобщенного решения
этой з а д а ч ц б ла г о д а р я тому, что функция (1) имеет вид п о ­
линома, в ы ра ж е н ие
“>(*) _
u/f о )
’
с „ +1
1 +AZ.” а +
л/
Сл+ ( я / 2 + 1 )ЛС ■* + ( « + \)В
является р ациона льной функцией с ( я + 1 ) — кратным пелюсом на бесконечности, легко представимым рядом Л о р а н а вне
единичного круга. Это позволяет относительно просто выч и­
слять интегралы Коши при определении функции н апряжений
ср(£) и из п редставления ряд ами правой и левой частей п ол у­
ченного р езу ль тат а о б ра з о ва т ь систему О,k ~ /ft — k k , п оз во­
5
л яю щу ю вычислить коэффициенты р а з ло же ни я искомой ф у н к ­
ции. Аналогично определяется функция
(£). Д л я частного
сл уч ая п = 20 дан пример числового расчета.
Таким образом, с помощью конформного о то браже ни я
(I) получено решение наиболее громоздкой з ад ач и теории
упругости для целого семейства эпитрохальных многоуголь­
ников.
В г л а в е четвертой р ас с ма т ри ва е тс я з ад а ч а кручения бру­
са, сечение которого является многосвязной областью
(рис. 3). Практически к постановке такой з ад ач и приводит
У
вер еще не решенный и остающийся одним из актуальных
вопрос о влиянии внутренних трещин в в а л а х машин на их
прочность. Функции
(х, у ) , с о п р я ж ен на я с функцией к р у ­
чения, приближенно определяется в фо р ме гармонического
полинома
s
У) - R e У
a inz in
я=0
или суммы подобных понинамов, коэффициенты которых
определяются решением системы уравнений, составленной из
условия удовлетворяемости полинома граничному условию
з а дач и кручения в конечном числе точек границы области.
При этом относительно входящих в граничное условие
6
постоянных С к влияющих на отыскание функции кручения,
п редварительно д о к а зы в ае тс я теорема о допустимости счи­
тать их равными 0 в р а с с ма т ри ва е мо м случае, так ка к инте­
грал
?\*,У) = J —
----- d x - J —
------ d y
(12)
взятый по любому из замкнут ых контуров L ' k обходящих «от­
верстия» и л е ж а щ и х в области м е ж ду контурами L * (k =
= 0, 1, 2, 3, 4, 5) о б р а щ а е т с я в 0.
Частный вид системы уп роща е т нахо жд ен ие ее решения
при любом последовательно у в ел ичи ва ющем ся числе точек,
взятых на кон тур ах и определение функции й (х, у) с любой
степенью точности. В частном случае, когда «трещина» в ы ­
ро жд ае т ся в р а зр е з по дуге о кружности предельным п ерехо­
дом при некоторых, описанных в глав е IV, условиях у с т а н а в ­
ливается, что
(р ( х , у ) — c o n s t .
Этот результат, известный из других сооб ражений, у к а з ы ­
в ает на общую прав ил ьность п р ед ло же нно го метода реше­
ния задачи.
В той ж е г лаве даны еще два п р им е ра прил оже ни я р а с ­
смотренного способа определения функции кручения, и мею­
щие технический интерес: кручение дрели новой формы и
уточнение методики расчета валов-шестерен на контактную
прочность. В расчете валов, н ах од ящи хся в зубчатом з а ц е п ­
лении, имеет в а ж н о е значение определение ма ксимал ьно й
величины н ап ря же н ия , действующего на контактной поверх­
ности зубьев. Од нако в виду отсутствия в л ит е ра ту ре метода
определения н а п р яж е ни я кручения на поверхности зубьев т а ­
ких валов, постоянно д ей ств ующая компонента их сложного
нап р яже нн о го состояния — касате ль ное н а п р яж е ни е Г, ни­
кем не учитывалась.
В г лаве четвертой д а н метод определения этого н а п р я ж е ­
ния и рекомендова на рас че тна я ф ор мул а для проверки в а л а
на контактную прочность в виде:
V W 3 Г < [ а ]*
(13)
В д о б а в л е н и и дано несколько примеров расчета н а п р я ­
жений по методу, и зл оже нн о му в г лаве IV.
Коротко полученные в диссертации результаты з а к л ю ­
чаются:
1) в построении и показе практической ценности о б о б­
щенных решений некоторых з а д ач теории упругости;
2) в применении нового метода решения з ад ач и круче­
ния для наиболее сло жн ог о случая, когда область является
многосвязной, позволяющего решить ак туальный вопрос о
7
влиянии на прочность в ал о в нескольких внутренних трещин
частного вида.
Полученные в р а бо те о б щи е выводы п р ои лл ю ст ри р ов ан ы
п ри ло же ни ем к рас че ту н а п р я ж е н и й д л я н екоторых об ъектов
из ра зличных обла сте й техники, к а к то:
1. Кручение в а л к а п ил ьг ерстана.
2. Круче ние дрели п ил ь ге рс та на многоугольного сечения.
3. Кручение дрели п ил ьг ерс та на другой (новой) формы.
4 . Р ас п р ед е л е н и е н а п р я ж е н и й кручения в бурильной т р у ­
бе в месте смятия.
5. Р а с п р е де ле ни е н а п р я ж е н и й в 10-угольнике с двумя з а ­
пресс ова нн ыми дисками.
6. Влия ни е на кручение в а л а 4-симметричных отверстий,
ограниченных д уг ами о кр уж но стей и отр ез ками радиусов.
7. Пр и ме н ен и е к расчету в ал о в с зу б ча т ым з ац е пл ен и ем
на к о н та к тн ую прочность.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. О б одн ом м ето д е о боб щ ен н ого реш ения з а д а ч и кручен и я д л я к л а с ­
са обл астей . « И зве с ти я» — сборн и к ста те й К В А И У . 1961.
2. П ро кручен н я в а л к а п іл ьгерн ого с та н а . П р и к л а д н а м ех а н ік а, т. V III,
в 3, вид. А Н У Р С Р , 1962.
3. П р о о д н у з а д а ч у Д ір іх л е , Д А Н У Р С Р , № 8, 1963.
4. О н а п р яж ен н о м состоян и и п л асти н ки с зап р е сс о в ан н ы м и ш ай б ам и .
Т руды с ем и н ар а по п р и кл а д н о й м атем ати к е. И зд -в о А Н У С С Р , т. 2, 1П0:>.
5. П р о оди н м етод в з а д а ч і кручен н я та його в и к о р и с та н н я. В існик
К Г У , т„ V I, в. 2, 1963.
Б Ф 31809.
П о д п и с ан о к п еч ати 11 10. 63.
Ф о р м а т 6 0 Х 9 2 1/і6.
О б ъем 0,5 уел.-п. л., 0,5 ф. л., 0,25 б. л. З а к а з 623. Т и р а ж 180.
Т и п о гр аф и я К П И , К иев, Б р е с т -Л и т о в с к о е ш оссе, 39.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа