close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Cjenik;pdf

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК НОВОСИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Серия «Математика, механика, информатика»
Том VI, 2006 г. Выпуск 2. C. 33–56
УДК 517.982
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами
Орлича1
А. Е. Мамонтов
Введение
В теоремах вложения, а также в прикладных задачах (см., например, [1–7]), может
возникать ситуация, когда норма некоторой измеримой функции u оценивается в целой
шкале пространств Лебега Lp :
uLp C1 ω(p),
p ∈ (α, β)
(0.1)
(здесь C1 не зависит от p, и 1 α < β +∞). Ясно, что если мы не хотим терять
информацию о функции u, нередко добытую с большим трудом, мы вынуждены далее
«носить с собой» целое семейство оценок (0.1), не «загрубляя» функцию ω, так как
заранее, вообще говоря, неясно, в каких пределах мы можем ее менять (т. е. заменять на
более простую по форме). В некоторых из упомянутых работ (см. [5–7]) отмечено (для
конкретных, достаточно простых функций ω, с β = +∞), что из (0.1) следует оценка
функции u в пространстве Орлича LΦ :
uLΦ C2 ,
(0.2)
порождаемом N-функцией Φ, которая может быть подсчитана по ω, в остальных же
статьях так и оставлено громоздкое представление в виде (0.1), возможно, потому, что
двусторонняя связь (0.1)⇐⇒(0.2) осталась без исследования. Тем самым, для некоторых
конкретных ω и β = +∞ было показано (0.1)=⇒(0.2), и, кроме того, при простейших ω
«вблизи L∞ » (т. е. для ω, растущих достаточно медленно, и β = +∞) нетрудно показать
обратную связь (0.2)=⇒(0.1), что являлось достоянием «математического фольклора».
1
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 05–01–00131) и при поддержке гранта НШ-7525.2006.1.
c А. Е. Мамонтов, 2006
33
А. Е. Мамонтов
Таким образом, остались без четкого исследования следующие важные для приложений вопросы:
(1) Когда можно утверждать (0.2)=⇒(0.1) (может быть, с другой ω); другими словами, совпадает ли класс функций u, описываемых оценкой (0.1), с некоторым
пространством Орлича, а если да, то с каким?
(2) Как описать связь между (0.1) и (0.2) для произвольных ω, Φ, α и β, четко определив классы для ω и Φ и явно указав операторы, сопоставляющие их друг другу?
Частично на эти вопросы были даны ответы в [8]. В настоящей статье мы попытаемся
завершить начатую в [8] работу, доведя ее до необходимой полноты; при этом вместо
использованных в [8] дискретных представлений N-функций (через ряды), мы будем
употреблять интегральные представления, разработанные в [9, 10], что представляется
более удобным для приложений.
Для удобства читателя основные результаты схематично (но не полностью) сформулированы в § 8, а использованные в статье нестандартные или требующие пояснений
термины и обозначения перечислены в Приложении.
§ 1. Предварительные построения
Мы будем работать с N-функциями и порождаемыми ими пространствами Орлича.
Подробно с их теорией можно познакомиться по монографии [11]. Для удобства читателя
кратко напомним некоторые понятия этой теории.
Четная возрастающая на R+ положительная вне 0 выпуклая функция M называется
N-функцией (функцией Юнга), если M (s)/s → 0 при s → 0, и M (s)/s → +∞ при
s → +∞. Будем обозначать множество всех N-функций символом N (рассматривая
их только на R+ ), а символом N обозначим множество обобщенных N-функций (т. е.
допускающих бесконечные значения, в этом случае Φ ∈ N \ N обладают свойством
Φ(s) → +∞ при s → s∗ < +∞). На N можно ввести отношения ≺, ∼ и ≺≺ по следующим
правилам:
M ≺ N, если M (u) N (Au) при u B с некоторыми A, B ∈ R+ ;
M ≺≺ N, если lim
u→∞
M (λu)
= 0 при всех λ > 0;
N (u)
M ∼ N, если M ≺ N и N ≺ M.
Эти отношения будут применяться нами и на более широких классах функций. Будем
также использовать более слабое, чем ≺≺, отношение ≺≺∗ , которое по определению есть
«≺, но не » («строго меньше»).
Пусть Ω — множество в Rn с конечной мерой Лебега µ(Ω) < ∞. С тем же успехом (как
и всегда в теории симметричных пространств) могут быть рассмотрены и абстрактные
34
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
множества и меры, но мы на этом не сосредоточиваемся. Будем рассматривать пространства Лебега, Лоренца, Марцинкевича и Орлича на Ω и там, где это не вызывает
недоразумений, опускать символ Ω в обозначениях пространств.
Предположим, что задано число β ∈ (1, +∞].
Определение 1.1. Символом M∗ (β) обозначим множество функций ω, заданных и
измеримых на интервале [α, β) (где α = α(ω) ∈ [1, β) ) и таких, что ω ω∗ (ω) = const > 0.
Определение 1.2. Пусть ω ∈ M∗ (β). Определим пространства:
(1) Lω,β (Ω) = { u ∈ Lp (Ω) | ∀p ∈ [α, β) uLp Cω(p) } с нормой
uLp
.
p∈[α,β) ω(p)
uLω,β = sup
(1.1)
(2) Eω,β (Ω) есть замыкание L∞ (Ω) в норме (1.1).
Для изучения интересующих нас связей между этими пространствами и классическими симметричными пространствами (Орлича, Лоренца и Марцинкевича) удобно использовать следующие понятия и факты (подробно изученные в [9, 10], поэтому здесь
соответствующие утверждения приводятся без доказательства):
Определение 1.3. Оператор Inβ определяется на M∗ (β) по правилу:
β
Inβ [ω](v) =
v p dp
.
ω p (p)
α
Определение 1.4. Пусть f, g : R+ → R+ — измеримые функции (здесь и далее R+ =
= R+ ∪ {+∞}). Будем говорить, что f растет на +∞ быстрее (или убывает медленнее)
функции g, если g(s)/f (s) → 0 при s → +∞.
Определение 1.5. D(β) есть класс измеримых отображений f : R+ → R+ таких, что:
f конечна в левой окрестности точки 1; f (s) растет на +∞ быстрее чем sγ с любым
γ < β; а если β < +∞, то f (s) растет медленнее чем sβ .
Определение 1.6. Пусть Φ ∈ D(β). Будем писать для p ∈ [α, β):
mΦ (p) = min
>
u 1
Φ(u)
,
up
−1/p
Scβ [Φ](p) = mΦ
(p) = max
µΦ (p) — любая точка, где достигаются эти min и max.
Определение 1.7. Пусть Φ ∈ D(β). Будем писать
β
mΦ (p)up dp.
Pβ [Φ](u) =
α
35
>
u
u 1 Φ1/p (u)
,
А. Е. Мамонтов
Определение 1.8. Будем писать, что две измеримые функции f, g : [α, β) → R+ свяϕ
заны отношением f ≺ g, если существует постоянная C > 0 такая, что f (ξ) Cg(ξ) при
ξ, близких к β. Также будем обозначать:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
≺ g, если f (ξ)/g(ξ) → 0 при ξ → β;
f ∼ g, если f ≺ g и g ≺ f ; f ≺
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
≺ g).
f ≺≺∗ g, если f ≺ g, но не g ≺ f (более слабое свойство чем f ≺
Имеют место следующие свойства введенных величин [9, 10]:
(1) Inβ : M∗ (β) → N ∩ D(β), при этом при изменении α результат Inβ [ω] остается в
том же классе в смысле ∼.
ϕ
(2) Если ω1 ≺ ω2 , то Inβ [ω1 ] Inβ [ω2 ], т. е. , в частности, при изменении ω с точностью
ϕ
до ∼ результат Inβ [ω] остается в том же классе ∼.
(3) Scβ : D(β) → M∗ (β), при этом Scβ [Φ] не убывает; если Φ всюду конечна, то
Scβ [Φ](β) = +∞, иначе Scβ [Φ] ограничена.
ϕ
ϕ
(4) Если Φ1 ≺ Φ2 , то Scβ [Φ1 ] Scβ [Φ2 ], т. е. при Φ1 ∼ Φ2 верно Scβ [Φ1 ] ∼ Scβ [Φ2 ].
(5) Inβ ◦ Scβ = Pβ ; таким образом, Pβ : D(β) → D(β) ∩ N и сохраняет отношения ≺
и ∼, при этом из свойства (1) ясно, что Pβ [Φ] не зависит от выбора α (с точностью
до ∼). Кроме того, всегда Pβ [Φ] ≺ Φ.
(6) Если Φ всюду конечна, что Pβ [Φ] ∈ N .
Кроме того, добавим два не упомянутых в [9, 10] простых свойства:
ϕ
Scβ [Φ2 ] (простое следствие определений).
(7) Если Φ1 ≺≺ Φ2 , то Scβ [Φ1 ] ϕ
≺ ω2 , то Inβ [ω1 ] Inβ [ω2 ] (легко следует из определений и свойства (1)).
(8) Если ω1 ≺
Нас также будет интересовать возможность обращения операторов Inβ , Scβ и Pβ .
В силу свойств (2), (4), (5) можно отождествить эквивалентные Φ и ω и не заботиться
о выборе α. В [9, 10] изучались классы C(β), которые, по существу, состоят из таких Φ,
что
Φ ∼ Inβ [ω],
где ω > 0 в левой окрестности точки β
(1.2)
(точное описание C(β) см. в Определении 7.4). При этом оказалось, что C(β) можно
конструктивно описать, особенно в случае β = +∞, когда C(+∞) ⊃ E, где
E = { Φ ∈ D(+∞) | Φ ∼ P∞ [Φ] }.
(1.3)
Поскольку E, как было доказано (в [9], см. также Предложение 4.1), содержит «почти
все» элементы D(+∞), то в случае β = +∞ удается обратить операторы In∞ и P∞ —
−1
а именно, на классе E верно: P∞ = I, P−1
∞ = I, In∞ = Sc∞ . Отметим также, что класс
E содержит все Φ ∼ Φ0 , если Φ0 ∈ E (очевидно из свойства (5)). Благодаря этому в
классе E можно утверждать более точные свойства In∞ и Sc∞ , например, следующие
дополнения к (2), (4), (7):
36
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
ϕ
(9) Пусть Φ1 , Φ2 ∈ E, ωk = Sc∞ [Φk ], k = 1, 2. Тогда Φ1 ≺ Φ2 эквивалентно ω1 ω2 .
В самом деле, слева направо это есть свойство (4), а справа налево получается из
свойств (2), (6) и определения E:
Φ1 ∼ P∞ [Φ1 ] = In∞ [ω1 ] ≺ In∞ [ω2 ] = P∞ [Φ2 ] ∼ Φ2 .
ϕ
≺∗ Φ2 эквивалентно ω1 ∗ ω2
(10) Пусть Φ1 , Φ2 ∈ E, ωk = Sc∞ [Φk ], k = 1, 2. Тогда Φ1 ≺
— это очевидное следствие свойства (9).
ϕ
≺ Φ2 эквивалентно ω1 ω2 —
(11) Пусть Φ1 , Φ2 ∈ E, ωk = Sc∞ [Φk ], k = 1, 2. Тогда Φ1 ≺
это легко доказать из свойств (6), (7), (8) и определения E, рассуждая аналогично
свойству (9).
Для D(+∞)\E (это достаточно узкий класс, которым можно пренебречь) и для D(β),
β < +∞, будем, вообще говоря, иметь Pβ [Φ] ≺ Φ строго (удается оценить, насколько
е не есть Scβ , но все же может быть
рост Pβ [Φ] медленнее роста Φ), так что In−1
β уж´
построен, как сказано выше, на классе C(β).
Для описания процедуры обращения Scβ введем вспомогательные обозначения:
Определение 1.9. Будем обозначать (если эти функции определены):
η
dz
sω (s)
; νω — функция, обратная к (·)eω (·); Nω (η) =
.
eω (s) =
ω(s)
νω (z)
B
Определение 1.10. Класс Ω(β) состоит из таких функций ω, заданных и измеримых
на [α, β), что почти всюду определена eω , и
(1) ξeω (ξ) +∞ при ξ → β (т. е. νω определена в окрестности +∞ и монотонно
стремится к β; также Nω определена, если B > inf ξeω (ξ) );
(2) выполнено соотношение
+∞
1
1
−
dz = +∞.
νω (z) β
Отметим, что в классе Ω(β) имеют место: оценка
+∞
1
1
−
dz = +∞ при всех p < β,
p νω (z)
соотношение (в смысле D )
d
1
ξeω (ξ) при ξ → β ,
νω (z) − νω (z) − 1 0 при z 1 ⇐⇒
dξ
ξ−1
(1.4)
(1.5)
и монотонное неубывание функции (ln ω + eω ) вблизи точки β (очевидно из п. (1) Определения 1.10).
37
А. Е. Мамонтов
В [9] были доказаны следующие свойства величин eΦ , mΦ и µΦ :
Предложение 1.11. Для любой Φ ∈ D(β) справедливы равенства
eΦ (µΦ (p)) = p;
d
ln mΦ (p) + ln µΦ (p) = 0;
dp
d ln mΦ (p)
ln Φ(µΦ (p))
;
=−
dp
p
p2
(1.6)
причем первое из них — при дополнительном ограничении Φ ∈ C 1 (R+ ), а остальные
понимаются в смысле D .
Задачу об обращении оператора Scβ (Scβ [Φ] = ω) по определению можно записать
в виде уравнения
mΦ (p) = ω −p (p).
(1.7)
Из Предложения 1.11 очевидна единственность решения (1.7) относительно Φ в классе
D(β) ∩ C 1 (R+ ). Существование решения показано в [10]:
Предложение 1.12. Пусть ω ∈ Ω(β). Тогда существует Φ ∈ N ∩ D(β), доставляющая
решение уравнению (1.7). При этом, с точностью до замены Φ(v) := Φ(C1 v), это решение
удовлетворяет соотношениям:
eΦ = νω ◦ ln Φ;
Φ(v) = exp(Nω−1 (ln v)),
причем eΦ не убывает.
(1.8)
Более полно связь между (1.7) и (1.8) раскрывается и дополняется в следующем
утверждении:
Предложение 1.13. Пусть ω ∈ Ω(β). Соотношение (1.8)1 определяет Φ единственным
образом с точностью до замены Φ(v) := Φ(Cv) и эквивалентно каждому из следующих
уравнений (представлений):
mΦ (p) = (Cω(p))−p ,
C = const > 0,
Nω (ln Φ(s)) = ln s + Nω (ln Φ(1)),
Nω [ln Φ{ω(p) exp(eω (p))}] =
= Nω (p eω (p)) + eω (α) + ln ω(α) + Nω (ln Φ(1)) − Nω (αeω (α)) .
(1.9)
(1.10)
(1.11)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Однозначность нахождения Φ из (1.8)1 (с точностью до растяжения аргумента) будет следовать из того, что (1.8)1 ⇐⇒ (1.10) (надо иметь в виду
произвол B в определении Nω ).
(1.8)1 ⇐⇒ (1.9): благодаря (1.6) легко показать, что (1.9) эквивалентно соотношению
ln Φ(µΦ (p)) = p eω (p).
38
(1.12)
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
В классе ω ∈ Ω(β) из (1.8)1 или (1.12) следует монотонность одной из функций eΦ или
µΦ , а тогда, в силу Предложения 1.11 — монотонность другой и их взаимообратность,
и тогда (1.8)1 ⇐⇒ (1.12) очевидно.
(1.8)1 ⇐⇒ (1.10): очевидно.
(1.10) ⇐⇒ (1.11): легко следует из тривиального тождества
Nω (p eω (p)) = eω (p) + ln ω(p) + Nω (αeω (α)) − eω (α) − ln ω(α).
Замечание 1.14. Растягивая аргумент функции Φ, можно добиться C = 1 в (1.9),
Φ(1) = 1 в (1.10) (что превращает эти соотношения в (1.7) и (1.8)2 соответственно), и
[. . . ] = 0 в (1.11), что превращает его в представление
ln Φ(ω(p) exp{eω (p)}) = p eω (p),
(1.13)
которое также определяет Φ уж´е однозначно. Таким образом, (1.7), (1.8) и (1.13) являются представлениями оператора Sc−1
β , определенного, тем самым, на множестве Ω(β)
и действующего в D(β) ∩ N . Фактически, Sc−1
β определен на пополнении класса Ω(β)
ϕ
по отношению ∼ (которое несущественно при отыскании Φ с точностью до ∼), которое
покрывает «почти вс¨е» M∗ (β) [10, Замечание 4.6].
Помимо изученных нами отображений и величин, нам также потребуется оператор
Mσ , вводимый по правилу:
+∞
1/p
p
Mσ [ψ](p) =
ψ(s)s ds
.
(1.14)
σ
С точностью до степени 1/p, Mσ есть преобразование Меллина. Мы будем рассматривать его на неотрицательных ψ, выбирая произвольно σ 0.
Определение 1.15. Обозначим символом Ωσ (β) множество таких измеримых на [α, β)
функций ω, для которых существует неотрицательное решение ψ уравнения
ϕ
Mσ [ψ] ∼ ω.
(1.15)
В [10] класс Ωσ (β) был подробно описан в терминах асимптотики допустимых функций ω вблизи точки β, был указан алгоритм поиска решений ψ, и показано, что выбор
α и σ не играет роли (т. е. решение ψ и множество Ωσ (β) остаются теми же), так что
индекс σ в символе Ωσ (β) не означает зависимости от σ, а служит для обозначения. Выбор σ и α производится произвольно с целью более удобных представлений. Отметим,
что решение уравнения (1.15) автоматически обладает свойством ψ ∈ L1 (σ, +∞).
Теперь мы готовы перейти к описанию пространств Lω,β и Eω,β .
39
А. Е. Мамонтов
§ 2. Внутренние отношения между разными Lω,β и Eω,β
Предложение 2.1. Пусть ω ∈ M∗ (β). Тогда нормы (1.1) при разных α ∈ [1, β) эквивалентны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Обозначив правую часть (1.1) через B(α), получаем, что
B(α1 ) B(α2 ) при любых 1 α1 < α2 < β. С другой стороны, при всех p ∈ [α1 , α2 )
имеем
uLp uLα2 (µ(Ω))
α2 −p
α2 p
B(α2 )ω(α2 )(1 + µ(Ω))
α2 −p
α2 p
ω(α2 )(1 + µ(Ω))
ω∗ (ω)
α2 −α1
α1 α2
ω(p)B(α2 ),
откуда следует B(α1 ) C · B(α2 ), что и требовалось.
Некоторые соотношения пространств Lω,β и Eω,β друг с другом (помимо очевидного
Eω,β → Lω,β ) даются в следующем утверждении:
Утверждение 2.2. Пусть ω1 , ω2 ∈ M∗ (β). Тогда:
ϕ
(1) Из ω1 ≺ ω2 следует
Lω1 ,β → Lω2 ,β ,
Eω1 ,β → Eω2 ,β .
(2.1)
ϕ
(1∗ ) Из ω1 ∼ ω2 следуют совпадения Lω1 ,β = Lω2 ,β , Eω1 ,β = Eω2 ,β как нормированных
пространств.
Далее пусть дополнительно выполнено условие
ω2 ∈ Ωσ (β),
(2.2)
Lω2 ,β \ Lω1 ,β = ∅.
(2.3)
ϕ
т. е. ω2 ∼ ω3 = Mσ [ψ]. Тогда:
ϕ
(2) Из ω1 ω2 следует
ϕ
(3) Lω1 ,β ⊂ Lω2 ,β ⇐⇒ ω1 ≺ ω2 ⇐⇒ Lω1 ,β → Lω2 ,β .
(3∗ ) Если ω1 также удовлетворяет (2.2), то
ϕ
Lω1 ,β = Lω2 ,β как множества ⇐⇒ ω1 ∼ ω2 ⇐⇒ Lω1 ,β = Lω2 ,β как нормир. пр-ва.
ϕ
(4) ω1 ≺≺∗ ω2 эквивалентно
Lω1 ,β → Lω2 ,β со строгим теоретико-множественным включением.
(2.4)
ϕ
(4∗ ) ω1 ≺≺∗ ω2 влечет
Eω1 ,β → Eω2 ,β .
ϕ
(4∗∗ ) ω1 ≺≺ ω2 влечет (2.4) и (2.5).
40
(2.5)
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
Замечание 2.3. В Утверждении 2.2 требуемые связи раскрыты не полностью (особенно это касается пространств Eω,β ). Ниже для случая β = +∞ этот недостаток будет
исправлен, и в частности будет снято ограничение (2.2) — см. Утверждение 4.3 и Замечание 4.4.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (Утверждения 2.2).
(1) По условию, ω1 (p) Cω2 (p) при всех p ∈ [α, β), где α выбрано достаточно близким
к β, а C = const > 0. Отсюда очевидно следует неравенство
uLω2 ,β CuLω1 ,β
(2.6)
для всех u, при которых конечна правая часть (2.6), что и дает (2.1)1 . Вложение
(2.1)2 получается замыканием неравенства (2.6), примененного к u ∈ L∞ .
(1*) очевидно следует из (1).
(2) Продолжая, в случае σ > 0, функцию ψ нулем на [0, σ), можно добиться ψ3 =
= M0 [ψ]. Поскольку ψ ∈ L1 (R+ ), то, умножая ψ на подходящую постоянную (при
+∞
∼ ϕ
ψ(s) ds = µ(Ω). Очевидно, что
этом ω3 заменится на ω 3 ∼ ω3 ), можно получить
0
существует монотонная функция v∗ : (0, µ(Ω)) → R+ такая, что v∗−1 (r) =
r
ψ(s) ds,
0
так что любая функция v : Ω → R+ , равноизмеримая с v∗ , обладает свойством
µ(Ω)
vpLp (Ω)
v∗p (ξ) dξ
=
0
+∞
=
sp ψ(s) ds = ω3p (p),
0
т. е. v ∈ Lω3 ,β = Lω2 ,β . В то же время, по условию ∃pN → β: ω2 (pN ) N ω1 (pN ),
так что vLpN (Ω) = ω3 (pN ) εω2 (pN ) N εω1 (pN ), и в итоге v ∈ Lω1 ,β , что
доказывает (2.3).
ϕ
(3) (Lω1 ,β ⊂ Lω2 ,β ) =⇒ (ω1 ≺ ω2 ) есть перезапись (2).
ϕ
(ω1 ≺ ω2 ) =⇒ (Lω1 ,β → Lω2 ,β ) есть (1).
(Lω1 ,β → Lω2 ,β ) =⇒ (Lω1 ,β ⊂ Lω2 ,β ) тривиально.
(3*) — очевидное следствие (3).
ϕ
(4) (ω1 ≺
≺∗ ω2 ) =⇒ (2.4) есть комбинация (1) и (2).
ϕ
(2.4) =⇒ (ω1 ≺≺∗ ω2 ) есть перезапись (2) и (3).
(4*) В силу (2.4) имеет место подчиненность норм, которая влечет вложение для пространств Eω,β как замыканий L∞ по этим нормам.
ϕ
ϕ
≺ сильнее чем ≺≺∗ .
(4**) тривиально следует из (4) и (4*) в силу того, что отношение ≺
41
А. Е. Мамонтов
§ 3. Отношения между пространствами Lω,β , Eω,β и
пространствами Лоренца, Марцинкевича и Орлича
Естественно попытаться изучить связь между Lω,β , Eω,β и пространствами Орлича при помощи вычисления фундаментальных функций этих пространств. Непосредственный подсчет и [11, с. 97] дают следующие представления для характеристических
функций пространств Lω,β и LΦ (с нормой Люксембурга):
t1/p
;
p∈[α,β) ω(p)
ϕLω,β (t) = sup
ϕLΦ (t) =
1
.
Φ−1 (1/t)
(3.1)
В общем случае ω ∈ M∗ (β) формула (3.1)1 не выражает ϕLω,β в достаточно явном виде,
однако можно подсчитать, что
при ω ∈ Ω(β) ϕLω,β (t) = exp −
s
− ln ω(νω (s)) ;
νω (s)
s=ln(1/t)
(3.2)
а также (в смысле D )
ϕLω,β (t) 1 − νω (s) + νω (s) d2
,
ϕLω,β (t) =
·
dt2
t
νω2 (s)
s=ln(1/t)
т. е. ϕLω,β вогнута при условии (1.5)1 (оно же (1.5)2 ).
Предложение 3.1. Пусть ω ∈ Ω(β). Тогда пространства Орлича EΦ , LΦ , порожденные
функцией Φ = Sc−1
β [ω], имеют ту же фундаментальную функцию, что и пространства
Lω,β , Eω,β .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство есть тривиальное следствие (3.1)2 , (3.2) и пред-
ставления (1.13) оператора Sc−1
β .
Утверждение 3.2. Пусть ω ∈ Ω(β) и выполнено (1.5)2 , а функция ϕ подсчитана по
формуле (3.2). Тогда:
·
,
ϕ(·)
·
Λ(ϕ) → LΦ → M
,
ϕ(·)
·
,
ϕ(·)
·
0
Λ(ϕ) → EΦ → M
,
ϕ(·)
Λ(ϕ) → Eω,β → M 0
Λ(ϕ) → Lω,β → M
(3.3)
(3.4)
где Φ = Sc−1
β [ω] (т. е. подсчитана по одной из формул (1.7), (1.8), (1.13)), символы Λ
и M обозначают пространства Лоренца и Марцинкевича соответственно, а M 0 есть
специальное подпространство в M [12].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пространства Eω,β , Lω,β , EΦ и LΦ имеют, в силу (3.2) и Предложения 3.1, общую фундаментальную функцию ϕ, вогнутую благодаря (1.5). Следова·
) с той
тельно, все они «зажаты» между экстремальными пространствами Λ(ϕ) и M ( ϕ(·)
42
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
же фундаментальной функцией [12, с. 148, 155, 160, 162]. Вложения (3.3)2 , (3.4)2 следуют из указанной подчиненности норм и того, что Eω,β , EΦ и M 0 являются замыканиями
L∞ в соответствующих нормах [11, с. 98; 12, с. 157].
Замечание 3.3. Условие (1.5)2 в Утверждении 3.2 не является существенным ограничением ввиду возможности всегда добиться вогнутости фундаментальной функции
[12, с. 164].
Таким образом, соотношения (3.3) и (3.4) дают лишь частичный ответ на вопрос о
структуре Eω,β , Lω,β и их соотношениях с пространствами Орлича. Более точная информация может быть получена при β = +∞ (т. е. «вблизи L∞ »), а также применением
теоремы из [12, с. 161], позволяющей доказывать вложение симметричного пространства
E в Λ. Впрочем, при этом все же сохраняется необходимость в дополнительном ограничении ω ∈ Ω(β), которое при непосредственном изучении связи между пространствами
Eω,β , Lω,β и EΦ , LΦ (проводимом «в обход» техники фундаментальных функций) будет
в некоторых случаях опускаться. Ниже будет приведена итоговая диаграмма отношений
(8.1), дополняющая (3.3) и (3.4). Итак, изучим вложения пространств Орлича и Eω,β ,
Lω,β друг в друга:
Утверждение 3.4. Пусть ω ∈ M∗ (β), Φ = Inβ [ω]. Тогда:
Lω,β → LΦ ,
Eω,β → EΦ ,
причем
uLΦ euLω,β .
(3.5)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать (3.5) для всех u ∈ Lω,β . По определению
p
β
dµ
u
−p
(см. (1.1)) имеем
,
что
после
операции
(·) dp дает (3.5). e
euLω,β
ω p (p)
α
Ω
Утверждение 3.5. Пусть Φ ∈ D(β) ∩ N , ω = Scβ [Φ]. Тогда:
LΦ → Lω,β ,
причем
EΦ → Eω,β ,
uLω,β 1 + µ(Ω)
1+
uLΦ .
ω∗ (ω)
(3.6)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Снова достаточно показать (3.6) для всех u ∈ LΦ , причем можно
считать uLΦ = 1. Поскольку при всех p ∈ [α, β) на Ω имеем up mΦ (p) Φ(u) + mΦ (p),
то uLp ω(p) + (µ(Ω))1/p , что легко дает (3.6).
Теперь мы готовы сформулировать основные результаты статьи.
43
А. Е. Мамонтов
Теорема 3.6. Пусть заданы число β +∞ и функция Φ ∈ C(β) ∩ N , т. е.
β
sp
dp с некоторой ω1 (т. е. ω1 = In−1
Φ(s) ∼
β [Φ]), а также подсчитана ω2 = Scβ [Φ].
ω1p (p)
Тогда:
α
(1) Lω1 ,β → LΦ → Lω2 ,β ; Eω1 ,β → EΦ → Eω2 ,β ;
(2) если β = +∞, Φ ∈ E, то Lω2 ,∞ = LΦ ; Eω2 ,∞ = EΦ .
Теорема 3.7. Пусть заданы число β +∞ и функция ω ∈ Ω(β); и вычислены Φ1 =
Sc−1
β [ω] (например, с помощью (1.7), (1.8) или (1.13)) и Φ2 = Inβ [ω]. Тогда:
(1)
LΦ1 → Lω,β → LΦ2 ;
EΦ1 → Eω,β → EΦ2 ;
(3.7)
(2) если β = +∞, ω ∈ Sc∞ [E] (т. е. Φ1 ∈ E), то Φ1 ∼ Φ2 = In∞ [ω], и
Lω,∞ = LΦ2 ;
Eω,∞ = EΦ2 .
(3.8)
Замечание 3.8. Слабым местом в п. (1) Теоремы 3.6 является недостаточная конструктивность операции In−1
β . Однако в [9] были указаны ряд признаков класса C(β) и
процедуры восстановления веса в интегральных разложениях его элементов (т. е. конструкция In−1
β ).
Замечание 3.9. В связи с тем, что в п. (1) Теоремы 3.7 Φ2 = Pβ [Φ1 ], можно оценить «величину зазора» в (3.7) (т. е. «расстояние» между пространствами LΦ1 , EΦ1 и
LΦ2 , EΦ2 ) на основе сравнения асимптотики Pβ [Φ] и Φ, проведенного в [10]. Ниже (см.
Утверждение 6.1) будет показано, что этот зазор меньше того, который получается из
общих соображений теории симметричных пространств.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Теоремы 3.6 легко следует из Утверждений 3.4, 3.5:
(1) очевидно из того, что Inβ [ω1 ] = Φ ∈ D(β);
(2) имеем Φ ∼ In∞ [ω2 ], откуда Lω2 ,∞ → LIn∞ [ω2 ],∞ = LΦ → Lω2 ,∞ и аналогично для
Eω2 ,∞ .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (Теоремы 3.7).
(1) Согласно Предложению 1.12, Φ1 ∈ D(β) как образ Sc−1
β , поэтому (3.7) сразу следует из Утверждений 3.4 и 3.5.
(2) Поскольку Φ2 = P∞ [Φ1 ] ∼ Φ1 , соотношения (3.7) превращаются в (3.8).
44
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
§ 4. Дополнительные свойства, связанные с Sc∞ [E]
В свойствах (9)–(11) операторов Inβ и Scβ , а также в Теореме 3.7 использовался
класс Sc∞ [E]. С целью его описания докажем следующее утверждение:
Предложение 4.1. Пусть Φ ∈ D(+∞) ∩ C 1 (R+ ) имеет неубывающую eΦ . Тогда для
Φ ∈ E достаточно выполнения соотношения (при всех v 1) :
v
1
e
ln
.
ln(veΦ (v)) + eΦ
2
e
e−2
(4.1)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу Утверждения 1.15 из [9] достаточно показать выполнение
неравенства
ln(eΦ (u) − eΦ (au)) ln Φ(εu) − ln Φ(au)
(4.2)
при всех u 1 с некоторыми постоянными 0 < ε < a < 1. Докажем (4.2) с ε = e−1 ,
a = 2e−1 . В самом деле, имеем:
1−a
e
+ ln(veΦ (v)) − ln
+ ln(veΦ (v)),
θ
e
−
2
θ1
1
a−ε
eΦ
v − eΦ (εv),
ln Φ(εu) − ln Φ(au) = −
θ1
θ
2
ln(eΦ (u) − eΦ (au)) = ln
где ε θ1 a θ 1, v = θu. Теперь (4.2) тривиально следует из (4.1).
Предложение 4.2. Пусть ω ∈ Ω(+∞). Тогда для того, чтобы ω ∈ Sc∞ [E], достаточно
выполнения при всех s 1 неравенства
1
e
ln Fω (s) + Fω (s − 1) ln
,
2
e−2
(4.3)
в котором Fω = νω ◦ Nω−1 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как указано выше (Предложение 1.12 и далее), из ω ∈ Ω(+∞)
следует существование Φ = Sc−1
∞ [ω], причем Φ ∈ D(+∞), eΦ не убывает и представляется в виде eΦ (v) = Fω (ln v). В силу Предложения 4.1 остается обеспечить неравенство (4.1), которое в данном случае есть то же, что и условие (4.3).
Теперь структура Sc∞ [E] становится более ясной, в частности, благодаря возможности предъявить «почти точную верхнюю грань» этого класса — функцию
2 C2 + 2ep/2
.
ω0 (p) = C1 exp 2 ·
e
p
У этой функции, как легко подсчитать, exp(νω (ξ)/2)νω (ξ)νω (ξ) = e2 , откуда видно, что
Fω (s) = 2 ln(e2 s/2 + C3 ) доставляет (4.3) «оптимум» (т. е. левая часть (4.3) на +∞ стреe
, рост Fω на +∞ далее не может быть снижен). Соответствумится к 2 = const > ln
e−2
−1
ющая Φ0 = Sc∞ [ω0 ] принадлежит E и является «почти точной нижней гранью» этого
45
А. Е. Мамонтов
2
класса. Как легко видеть, при C3 = 0 получим Φ0 (v) = exp[2 ln v · (ln ln v + (ln e2 − 1))]
(другая, близкая к Φ0 , граница Φ1 класса E найдена в [9]). Если ω ∈ Ω(+∞) растет медϕ
леннее ω0 , т. е. ω ≺ ω0 , то будем иметь для Φ = Sc−1
∞ [ω]: Φ P∞ [Φ] P∞ [Φ0 ] ∼ Φ0 ∈ E,
что помещает ω в число «кандидатов в элементы Sc∞ [E]», и остается проверять ограничения (4.1) или (4.3) лишь с «технической стороны» (должная асимптотика уж´е обеспеϕ
чена требованием ω ≺ ω0 ), при этом фактических ограничений становится еще меньше
благодаря аргументам Замечания 1.14.
В классе Sc∞ [E] ⊂ M∗ (β) удается дополнить результаты Утверждения 2.2:
Утверждение 4.3. Пусть
ω1 , ω2 ∈ Sc∞ [E].
(4.4)
Тогда:
ϕ
(1) ω1 ≺ ω2 ⇐⇒ Eω1 ,∞ ⊂ Eω2 ,∞ ⇐⇒ Eω1 ,∞ → Eω2 ,∞ ;
ϕ
(1∗ ) ω1 ≺ ω2 ⇐⇒ Lω1 ,∞ ⊂ Lω2 ,∞ ⇐⇒ Lω1 ,∞ → Lω2 ,∞ ;
ϕ
(1∗∗ ) ω1 ∼ ω2 эквивалентно каждому из равенств
Eω1 ,∞ = Eω2 ,∞ ;
Lω1 ,∞ = Lω2 ,∞ ;
понимаемых как равенства множеств или как нормированных пространств;
ϕ
(2) ω1 ≺≺∗ ω2 эквивалентно (2.5) со строгим теоретико-множественным включением;
ϕ
(2∗ ) ω1 ≺≺∗ ω2 эквивалентно (2.4);
ϕ
(3) ω1 ≺≺ ω2 влечет вложения
Eω1 ,∞ → Lω1 ,∞ → Eω2 ,∞ ,
где первое вложение строгое.
(4.5)
Замечание 4.4. Результаты Утверждения 4.3 соотносятся следующим образом с результатами Утверждения 2.2:
• п. (1) Утверждения 4.3 усиливает п. (1) Утверждения 2.2 в условиях (4.4);
• п. (1*) Утверждения 4.3 повторяет п. (3) Утверждения 2.2, но в условиях (4.4)
вместо (2.2);
• п. (1**) Утверждения 4.3 дополняет/усиливает пп. (1*), (3*) Утверждения 2.2;
• п. (2) Утверждения 4.3 дважды усиливает п. (4*) Утверждения 2.2 в условиях (4.4)
вместо (2.2);
• п. (2*) Утверждения 4.3 повторяет п. (4) Утверждения 2.2, но в условиях (4.4)
вместо (2.2);
• п. (3) Утверждения 4.3 (особенно (4.5)2 ) дополняет пп. (4), (4*), (4**) Утверждения
2.2;
при этом пп. (1), (1**), (2) Утверждения 4.3 и (4.5)2 , по всей видимости, имеют место
не только в классе (4.4), но вопрос об обосновании этого тезиса остается открытым.
46
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (Утверждения 4.3). По условию, найдутся Φk ∈ E ⊂ C(+∞) такие,
что ωk = Sc∞ [Φk ], k = 1, 2. В силу Теоремы 3.6 будем иметь равенства Lωk ,∞ = LΦk ,
Eωk ,∞ = EΦk . Кроме того, из [11, с. 130–134] следует, что (для любых Φ1,2 ∈ N )
Φ1 Φ2 ⇐⇒ LΦ1 ⊂ LΦ2 ⇐⇒ LΦ1 → LΦ2 ,
а поскольку EΦ = clLΦ L∞ , то и
Φ1 Φ2 ⇐⇒ EΦ1 ⊂ EΦ2 ⇐⇒ EΦ1 → EΦ2 ,
и, очевидно, имеют место аналоги этих соотношений для случая равенств. Теперь доказательство становится тривиальным:
(1, 1∗ , 1∗∗ ) очевидно из свойства (9) оператора Sc∞ ;
(2, 2∗ ) следуют соответственно из (1), (1*);
(3) поскольку In∞ [ωk ] = P∞ [Φk ] ∼ Φk , то в силу свойства (8) оператора Inβ
получаем Φ1 Φ2 , откуда в силу [11, с. 135] имеем вложения EΦ1 → LΦ1 →
EΦ2 , из которых первое — строгое ([11, с. 100], так как Φ1 не удовлетворяет
∆2 -условию). Но это и есть (4.5).
ϕ
§ 5. О случае ω ∼ const
Непосредственный подсчет показывает, что при всех β ∈ (1, +∞], ω ∈ M∗ (β) справедливы неравенства
β−p
uLβ uLω,β lim ω(p);
p→β
uLω,β
(µ(Ω)) βp
,
uLβ sup
ω(p)
p∈[1,β)
из которых следует совпадение
ϕ
Lω,β = Eω,β = Lβ при всех ω ∼ const.
(5.1)
Таким образом, этот случай тривиален и не требует анализа с помощью Теорем 3.6
и 3.7, хотя и естественно попытаться протестировать эти теоремы на указанном слуϕ
чае. Как мы покажем далее, в случае ω ∼ const наша конструкция (Теоремы 3.6, 3.7 и
сопутствующие утверждения) работает с трудом (при β = +∞) или вовсе неудовлетворительно (при β < +∞), что, впрочем, будет объяснено спецификой этого случая и «не
ϕ
const. Прежде всего
бросает тени» на работоспособность нашего построения при ω ϕ
отметим, что ω ∼ const не попадают в класс Ω(β) и потому Теорема 3.7 в ее нынешней
формулировке неприменима, также как и Утверждение 3.2.
47
А. Е. Мамонтов
1) Случай β = +∞ — тогда нужный результат (5.1) получается «косвенно» из Теоремы 3.6 с привлечением дополнительных соображений. В самом деле, выберем
Φ ∈ E ⊂ C(+∞) такую, что Φ ∈ N \ N (т. е. LΦ = EΦ = L∞ ). Например, можно взять
Φ(v) =
1
ln A−ln v ,
A = const > 1. Легко видеть, что Φ = In∞ [ω1 ] с ω1 ≡ A. Кроме того,
ϕ
ϕ
в силу п. (8) из [9, Предложение 1.12] имеем ω2 = Sc∞ [Φ] ∼ const, т. е. ω1 ∼ ω2 , что
по свойству (2) оператора Inβ дает Φ ∈ E. Теперь (5.1) следует из п. (2) Теоремы 3.6 и
п. (1*) Утверждения 2.2. Также (5.1) может быть получена с помощью пространств Λ и
M : характеристическая функция пространств Lω1 ,∞ , Eω1 ,∞ легко находится из (3.1):
ϕLω1 ,∞ ≡ 1 на [0, 1], поэтому L∞ = Λ(1) → Eω1 ,∞ → Lω1 ,∞ → M (ψ) = L∞ , где ψ(s) = s,
и снова п. (1*) Утверждения 2.2 дает (5.1).
2) Случай β < +∞ — тогда Теорема 3.6 дает неудовлетворительный результат
(Eω,β , Lω,β ) → EΦ = LΦ → (Eω2 ,β , Lω2 ,β )
1/β
sβ
1
ϕ
, т. е. даже нет двусторон; ω2 (p) ∼
с Φ = Inβ [ω], ω2 = Scβ [Φ], т. е. Φ(s) ∼
ln s
β−p
ней оценки для Eω,β , Lω,β . Однако после соответствующей поправки можно применить
обобщение Теоремы 3.7.
Определение 5.1. Класс D(β) определяется так же, как и D(β), с тем отличием, что
требование f (s) ≺
≺ sβ заменяется на f (s) ≺ sβ (т. е. f (s) Csβ ).
При β < +∞ класс D(β) шире D(β) — в частности, он содержит функцию Φ0 (s) = sβ .
В этом классе теряют силу пп. 2,6,7 (а возможно, и п. 5) из [9, Предложение 1.12], в
ϕ
частности, становится возможным отношение Scβ [Φ] ∼ const, а именно при Φ = Φ0 . В то
же время, легко видеть, что Утверждение 3.5 допускает обобщение на случай Φ ∈ D(β).
Следовательно, в силу п. (1*) Утверждения 2.2 окончательно получаем
Lβ = LΦ0 → LScβ [Φ0 ],β = Lω,β ,
Lβ = EΦ0 → EScβ [Φ0 ],β = Eω,β ,
т. е. приходим к следующему обобщению Теоремы 3.7:
Lβ → (Eω,β , Lω,β ) → EΦ2 = LΦ2 ,
где Φ2 (s) =
sβ
.
ln s
(5.2)
Отметим также, что из (3.1) следует
⎧
⎨t1/β , t < 1,
ϕL1,β (t) = ϕLΦ3 (t) = ϕ(t) ≡
⎩t1/α , t 1,
⎧
⎨v α , v 1,
где Φ3 (v) =
⎩v β , v > 1,
т. е. Φ3 ∼ Φ0 , EΦ3 = LΦ3 = Lβ . Функция ϕ вогнута, так что
·
.
Λ(ϕ) → L1,β = Lω,β , E1,β = Eω,β , Lβ → M
ϕ(·)
48
(5.3)
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
Вложения (5.2), (5.3) — это предел возможностей нашего построения при β < +∞,
который так и не приводит к (5.1). Это объясняется тем, что наши рассуждения в Теоремах 3.6 и 3.7 схематически представляются в виде
sup g(p, x) dµ(x) C1 =⇒ sup g(p, x)dµ(x) C1 ⇐⇒ ∀p
g(p, x)dµ(x) C1
p
p
[=⇒]
g(p, x)dµ(x) dp C2 ⇐⇒
g(p, x)dp dµ(x) C2 ,
(5.4)
где [=⇒] означает следствие с поправкой g (при β = +∞), оставляющей g «в том же
классе эквивалентности»; при этом, вообще говоря, обратные следствия «⇐=» в (5.4)
не имеют места. Поскольку в наших рассуждениях g(p, x) = up (x)ω −p (p), то (5.4) записывается в виде
u ∈ LΦ1 =⇒ u ∈ Lω,β =⇒ u ∈ LΦ2 ,
но не « ⇐= »,
(5.5)
up
может в случае ω ∈ Ω(β) (когда (ln ω + eω ) моноp
p ω (p)
тонна) быть вычислена по формуле (1.13), т. е. Φ1 = Sc−1
β [ω] (это дает Теорему 3.7; в
где Φ2 = Inβ [ω], а Φ1 (u) = sup
частности, при ω ∈ Sc∞ [E] получится Φ1 ∼ Φ2 , т. е. (5.4) и (5.5) все-таки превращаются
ϕ
в эквивалентности), а в случае ω ∼ const получится Φ1 (u) = uβ , т. е. (5.5) дает (5.1)
при β = +∞ и (5.2) при β < +∞, что мы строго показали выше. Неточность же (5.2)
ϕ
объясняется тем, что случай ω ∼ const, когда Lω,β = Lβ , непосредственно анализиру
ется с помощью lim . Попытка применить эту операцию вместо dp в (5.4) приводит (с
p→β
использованием теоремы Фату) к другой форме части (5.4):
∀p
g(p, x)dµ(x) C1 ⇐⇒ lim
p→β
g(p, x)dµ(x) C2 =⇒
=⇒
lim g(p, x) dµ(x) C2
p→β
(«⇐=» снова неверно) при условии, что определена Φ3 (u) = lim
p→β
(5.6)
up
. Учитывая вид
ω p (p)
g(p, x), запишем измененную форму (5.4) в виде
u ∈ LΦ1 =⇒ u ∈ Lω,β =⇒ u ∈ LΦ3 ,
но не « ⇐= ».
ϕ
Это и есть идея доказательства (5.1) при всех β +∞, поскольку при ω ∼ const полуϕ
чится Φ1 (s) = Φ3 (s) = sβ . Однако при ω const имеем Φ3 ≡ 0, т. е. замена нашей общей
схемы (5.4) на (5.6) ничего не дает, и общая конструкция не допускает улучшений. В
ϕ
случае же ω ∼ const, действительно, путь (5.6) точнее (и при β < +∞ дает лучшие
результаты), но этот случай тривиален и допускает непосредственное решение (5.1),
никакой теории здесь не требуется, а наша конструкция для этого не предназначена.
49
А. Е. Мамонтов
§ 6. Об оптимальности Теорем 3.6 и 3.7.
Покажем, что Теоремы 3.6 и 3.7 (не считая случая β = +∞, когда любой путь
приводит к (3.8)) дают более точный результат, чем общие соображения теории симметричных пространств, основанные на анализе фундаментальных функций пространств
Eω,β и Lω,β . Из этого анализа следуют лишь [12, с. 160, 162] вложения (3.3), (3.4), а
также
(EΦ1 , LΦ1 , Eω1 ,β , Lω1 ,β ) → M
где ωk = Scβ [Φk ], а ψk (t) =
·
ψ1 (·)
1
Φ−1
k (1/t)
→ Λ(ψ2 ) → (EΦ2 , LΦ2 , Eω2 ,β , Lω2 ,β ) ,
(6.1)
— фундаментальные функции пространств, сто-
ящих соответственно в левой и правой паре блоков в (6.1), связанные между собой
отношением [12, с. 134, 75, 161]:
ψ1 (τ s)
1
sup
∈ Λ(ψ2 ), где Mψ1 (τ ) =
.
Mψ1
·
0<τ s$µ(Ω) ψ1 (s)
(6.2)
Из наших же Теорем 3.6 и 3.7 следуют вложения
(EΦ1 → Eω1 ,β ), (LΦ1
→ Lω1 ,β ) →
·
→ M
→ Λ(ψ3 ) → (EΦ3 → Eω3 ,β ), (LΦ3 → Lω3 ,β )
ψ1 (·)
с Φ3 = Pβ [Φ1 ], ω3 = Scβ [Φ3 ], ψ3 (t) =
1
.
Φ−1
3 (1/t)
Таким образом, последние вложения
точнее чем (6.1), при условии, что Φ3 растет быстрее Φ2 , что и показано в следующем
утверждении (по крайней мере, для достаточно богатого класса функций Φ1 , «плотно
распределенного» на шкале симметричных пространств):
Утверждение 6.1. Пусть Φ1 ∈ D(β) ∩ C 1 (R+ ) (с β ∈ (1, +∞)) удовлетворяет условиям
Утверждения 4.2 из [10], а именно Φ1 (s) = sβ Ψ2 (s), где
1
ε
d
−
; µΨ2 (s) при s → +∞;
eΨ2 (s) −0,
ds
eΨ2 (s)
s
(6.3)
и, кроме того, функция Ψ(ξ) = ξ −1/β Φ−1
1 (ξ) удовлетворяет оценке
eΨ (ξ)ξ ε0 → +∞ при ξ → +∞ с некоторой ε0 > 0.
(6.4)
Тогда функция Φ3 = Pβ [Φ1 ] растет на +∞ быстрее любой функции Φ2 (удовлетворяющей (6.2)) в том смысле, что
+∞
Φ−1
1 (Φ2 (s))
ds < +∞ =
s2
50
+∞
Φ−1
1 (Φ3 (s))
ds.
s2
(6.5)
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
1
∈ D(0), так что (6.3) и (6.4)
Ψ
не являются существенными ограничениями: первое означает «регулярный» рост Φ1 (s)
Замечание 6.2. Условие Φ1 ∈ D(β) означает, что Ψ2 ,
на +∞ не медленнее чем sβ ln−γ s (с γ > 0), а второе необременительно в силу того, что
eΨ (s) убывает как 1/ ln s. Существование Pβ [Φ1 ] следует из Φ1 ∈ D(β) и свойства (5)
оператора Pβ .
Лемма 6.3. Пусть задана возрастающая функция Φ ∈ D(β) ∩ C 1 (R+ ) (β ∈ [1, +∞))
такая, что функция Ψ в представлении Φ−1 (ξ) = ξ 1/β Ψ(ξ) обладает следующими свойствами:
(1) Ψ ◦ exp удовлетворяет ∆2 -условию, т. е. [11, с. 37] eΨ◦exp C;
(2) выполнено (6.4).
+∞
Φ−1 {(β − eΦ (s))Φ(s)}
Тогда J :=
ds = +∞.
s2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из Φ ∈ D(β) следует Ψ → +∞ на +∞; из (6.4) вытекают eΨ > 0
и монотонное возрастание Ψ на +∞; ∆2 -условие для Ψ ◦ exp переписывается в виде оценок eΨ (ξ) C/ ln ξ, Ψ(ξ 1−ε0 ) C1 Ψ(ξ), откуда, в частности, с помощью представления
1
1
+ eΨ (ξ) = eΦ−1 (ξ) =
,
β
eΦ (Φ−1 (ξ))
можно заключить, что eΦ → β на +∞. Делая замену Φ(s) = ξ и замечая, что
2
β 2 eΨ (ξ)
β
β2
β − eΦ (s) =
eΨ (ξ); Ψ
ξeΨ (ξ) Ψ(ξ 1−ε0 ) C1 Ψ(ξ);
βeΨ (ξ) + 1
2
2
+∞ 1/β
+∞
eΨ (ξ)
eΨ (ξ)
dξ dξ = ln Ψ(+∞) = +∞;
ξ
ξ
легко получаем
+∞
2
dξ
−1 β
Φ
ξeΨ (ξ)
=
J
−1
2
ξΦ (ξ)eΦ (Φ−1 (ξ))
+∞
1/β
β2
eΨ (ξ)
β 2 1/β Ψ( 2 eΨ (ξ)ξ)
=
·
dξ = +∞.
2
Ψ(ξ)eΦ (Φ−1 (ξ))
ξ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (Утверждения 6.1). По условию (6.2) конечен интеграл
µ(Ω)
Mψ1
0
1
dψ2 (t),
t
т. е.
+∞
F ≡ Mψ1 ◦ Φ2 удовлетворяет
51
F (η)
dη < +∞,
η2
(6.6)
А. Е. Мамонтов
причем по определению F имеем
F (Φ−1
2 (τ )) ψ1 (τ s)
ψ1 (s)
при τ 1,
τ s ∈ (0, µ(Ω)),
что легко переписать в виде:
Φ2 (F −1 (λ)) Φ1 (λη)
Φ1 (η)
при λ 1,
η > ε = Φ−1
1
1
.
µ(Ω)
(6.7)
В силу возрастания функции eΦ1 = β + eΨ2 величина Φ1 (λη)/Φ1 (η) возрастает по η
при λ 1, так что (6.7) принимает вид Φ2 (F −1 (λ)) Φ1 (ελ)/Φ1 (ε) при λ 1, т. е.
Φ1 (ε1 Φ2 (s)) εF (s), ε1 = Φ1 (ε), s 1, что в силу (6.6) дает (6.5)1 с точностью до замены
Φ2 := ε1 Φ2 , не меняющей пространства LΦ2 . С другой стороны, в силу Утверждения 4.2
из [10], (β−eΦ1 (s))Φ1 (s) Φ3 (Cs) при s 1, и для обоснования (6.5)2 остается показать,
что Φ1 удовлетворяет условиям Леммы 6.3. Нетривиально только ∆2 -условие для Ψ◦exp.
Но его легко проверить (в форме эквивалентной, как указано в доказательстве леммы,
1
ε ln s+C,
оценки eΨ (ξ) C/ ln ξ), исходя из заданной в условии (6.3)2 оценки −
eΨ2 (s)
ln s
1
1
и тождества + eΨ (ξ) =
. очевидного неравенства ln Φ−1 (s) β
β
β + eΨ2 (Φ−1 (ξ))
§ 7. Дополнительные уточнения
7.1. Об «асимптотическом» описании пространств Орлича. В некоторых случаях удобно изучать пространства Орлича LM в терминах следующей характеристики
порождающей их функции M :
ζM := ln Scβ [M ],
т. е. ζM (p) = −
ln mM (p)
.
p
(7.1)
Отметим следующие очевидные свойства этой величины:
(1) Для всех M ∈ D(β) функция ζM определена и конечна на [α, β); не убывает; она
неограничена при p → β в том и только том случае, когда M всюду конечна
(перезапись свойства (3) оператора Scβ ).
dζM (p)
ln M (µM (p))
(перезапись (1.6)3 ).
=
(2) Для всех M ∈ D(β) верно (в смысле D )
dp
p2
(3) Если ω ∈ Ω(β), то существует (единственное в классе D(β) ∩ C 1 (R+ ) ) решение
M ∈ D(β) ∩ N уравнения ζM = ln ω, которое может быть вычислено с помощью
(1.8) или (1.13) (перезапись Предложения 1.12 и Замечания 1.14).
(4) Если M1 ≺ M2 , то ζM1 ζM2 + const, причем в классе Mk ∈ E верно и обратное
(перезапись свойств (4), (9) оператора Scβ ).
(5) Если ζM1 = ζM2 + ln C, где C = const ∈ R+ ; exp(ζMk ) ∈ Ω(β), то M2 (v) = M1 (Cv)
(очевидное следствие из (1.13)).
52
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
Таким образом, величины M и ζM связаны взаимно однозначным соответствием, и при
этом их асимптотики взаимозависимы, а именно:
(1) Более быстрой асимптотике ζM (p) при p → β соответствует более медленная
асимптотика M (s) при s → +∞, и наоборот;
(2) Изменение ζM в пределах аддитивной постоянной соответствует изменению M в
пределах класса функций Юнга.
Связь асимптотик M и ζM можно проиллюстрировать следующими примерами:
Пример 7.1. При β < +∞ удобно представить M в виде M (s) = sβ exp(−κ(ln s)), где
κ → +∞ на +∞. Пусть κ вогнута. Тогда нетрудно подсчитать, что
1
ζM (p) = · κ(z) 1 − e{ (z) .
p
z={ −1 (β−p)
В частности, при κ(z) = α ln z, α > 0, получаем, что функция M (s) = sβ ln−α s имеет
α
α
ζM (p) = · ln
−1 .
p
β−p
Пример 7.2. При β = +∞ удобно представить M в виде M (s) = exp(κ(ln s)), где κ
растет на +∞ быстрее линейных функций. Пусть κ не убывает. Тогда нетрудно подсчитать, что
ζM (p) = z 1 −
1
e{ (z)
.
z={ −1 (p)
В частности, это дает следующие примеры:
α+1 s
α 1/α
ln
z α+1
, α > 0. M (s) = exp
; ζM (p) =
p .
а) κ(z) =
α+1
α+1
α+1
1
p
αz
α
ln
−1 .
б) κ(z) = βe , α, β > 0. M (s) = exp(βs ); ζM (p) =
α
αβ
Ei(ln p)
в) κ(z) = Ei(ez ). M (s) = exp(Ei(s)); ζM (p) = ln ln p −
— второе слагаемое
p
несущественно в силу асимптотики Ei(ξ)e−ξ → 0 при ξ → +∞.
ln p + 1
.
г) κ(z) = − ln(α − z), z < α, α ∈ R. M (s) = (α − ln s)−1 ; ζM (p) = α −
p
7.2. О классах C(β). В настоящей работе мы имели дело с классом C(β), который был
определен выше недостаточно строго. Дадим здесь его четкое определение.
Определение 7.3.
A(α, β) =
u : R+ → R+
β
u(s) = χ(p)sp dp; χ ∈ L1 (α, β), β ∈ suppχ, χ 0 . (7.2)
α
Определение 7.4. C(β) = { v | v(1) < +∞; ∃u ∈ A(α, β) : v ∼ u }.
Свойства этих классов подробно изучались в [9]. В частности, было показано, что:
53
А. Е. Мамонтов
(1) Элементы A(α, β) — аналитические функции класса D(β) ∩ N .
(2) Выбор α < β в Определении 7.4 не играет роли, чем оправдано обозначение C(β).
(3) C(β) ⊂ D(β).
Таким образом, C(β) ∩ N есть класс таких обобщенных N-функций, что порождаемые
ими пространства Орлича могут быть заданы также аналитическими функциями вида (7.2). В [9] было показано, что в C(β) входят «почти все» элементы D(β) за исключением явных «патологий», не представляющих прикладного интереса, и узких подклассов.
При этом вес χ в представлении (7.2) для искомого элемента N ∈ A(α, β), эквивалентного заданной функции M ∈ C(β), может быть восстановлен в терминах асимптотики M
на +∞. Впрочем, зачастую восстановление χ не представляет интереса, а нужны лишь
признаки принадлежности классу C(β).
§ 8. Сводка основных результатов
Некоторые из полученных результатов (Утверждения 3.2, 3.4, 3.5, 6.1 и Теоремы 3.6,
3.7) можно представить (схематически и не полностью, точные формулировки см. в
указанных утверждениях) в виде следующей диаграммы вложений:
Λ(ψ1 ) →
LΦ1
→
Lω1 ,β
или
. . . →
Eω1 ,β
EΦ2
→
LΦ2
→ Lω1 ,β → M
→ Eω2 ,β
·
ψ1 (·)
...
→
Λ(ψ1 ) →
→
→
Eω1 ,β
→
→
→
EΦ1
→ Lω2 ,β
...
(8.1)
→ Λ(ψ3 ) →
EΦ3
→ . . .
Здесь Φ1,3 ∈ D(β); Φ2 = Inβ [ω1 ] = Pβ [Φ1 ]; ωk = Scβ [Φk ], k = 1, 2, 3; ψ1,3 связаны с Φ1,3
и ω1,3 по формулам (3.1), (3.2). В нижней цепочке переход от M к Λ получен из общих
соображений теории симметричных пространств, что приводит к худшему результату
Φ3 , ω3 и т. д., чем Φ2 , ω2 и т. д. Вблизи L∞ (β = +∞, Φ1 ∈ E) все цепочки превращаются
в равенства. Случай, когда все пространства E, L в точности равны Lβ , β +∞, из
схемы (8.1) не получается, но легко анализируется непосредственно из Определения 1.2 и
не дискредитирует эту схему в целом (как обосновано в § 5). Дополнительные отношения
между пространствами Eω,β , Lω,β при разных ω указаны в Утверждениях 2.2 и 4.3. Об
оптимальности описанных результатов см. Замечание 3.9 и § 6.
Приложение: список основных терминов и обозначений
→ — непрерывное вложение нормированных пространств.
54
Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича
≺, ≺≺, ∼, ≺
≺∗ — см. начало § 1.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
≺, ∼, ≺
≺, ≺
≺∗ — см. Определение 1.8.
ζM — см. (7.1).
µΦ — см. Определение 1.6.
νω — см. Определение 1.9.
Ω(β) — см. Определение 1.10.
Ωσ (β) — см. Определение 1.15.
A(α, β) — см. Определение 7.3.
C(β) — см. (1.2) и Определение 7.4.
D(β) — см. Определение 1.5.
D(β) — см. Определение 5.1.
E — см. (1.3).
Eω,β — см. Определение 1.2.
eω — см. Определение 1.9.
z u
e
Ei(z) =
du (в смысле главного значения).
u
−∞
Fω — см. Предложение 4.2.
Inβ — см. Определение 1.3.
Lω,β — см. Определение 1.2.
M∗ (β) — см. Определение 1.1.
Mσ — см. (1.14).
mΦ — см. Определение 1.6.
N , N — см. начало § 1.
Nω — см. Определение 1.9.
Pβ — см. Определение 1.7.
R+ — см. Определение 1.4.
Scβ — см. Определение 1.6.
Обобщенная N-функция — см. начало §. 1.
Растет (убывает) медленнее (быстрее) — см. Определение 1.4.
Литература
[1] В. А. Вайгант, А. В. Кажихов, О существовании глобальных решений двумерных
уравнений Навье – Стокса сжимаемой вязкой жидкости, Сиб. мат. журнал, 36, № 6
(1995), 1283–1316.
[2] A. V. Kazhikhov, V. V. Shelukhin, The verification compactness method, Актуальные
проблемы современной математики, Т. 2, Новосибирск, Новосиб. гос. университет,
1996, 51–60.
55
А. Е. Мамонтов
[3] В. И. Юдович, Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область, Мат. Сб., 64 (106), № 4 (1964), 562–588.
[4] V. I. Yudovich, Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics
of an ideal incompressible fluid, Mathematical Research Letters, V. 2, 1995, 27–38.
[5] В. И. Юдович, О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и
решениями эллиптических уравнений, ДАН СССР, 138, № 4 (1961), 805–808.
[6] С. И. Похожаев, О теореме вложения С. Л. Соболева в случае lp = n, Докл. науч.техн. конф. МЭИ, М., 1965, 158–170.
[7] И. Б. Симоненко, Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича, Мат. Сб., 63 (105), № 4 (1964), 536–553.
[8] А. Е. Мамонтов, Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями, Актуальные
проблемы современной математики, Т. 2, Новосибирск, Новосиб. гос. университет,
1996, 95–103.
[9] А. Е. Мамонтов, Интегральные представления и преобразования N-функций I, Сиб.
мат. журнал, 47, № 1 (2006), 123–145.
[10] А. Е. Мамонтов, Интегральные представления и преобразования N-функций II,
Сиб. мат. журнал, 47, № 4 (2006), 811–830.
[11] М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, М., Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958.
[12] С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов,
М., Наука, 1978.
56
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа