close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1234567
Задача № 8
«Рівні кути»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1234567
У трикутнику ABC на промені BA відмітили точку K так, що
∠BCA = ∠KCA, а на медіані BM відмітили точку T так, що
∠CTK = 90°.
Довести, що ∠MTC = ∠MCB.
C


M
T
B
A
K
1234567
Розв’язання
1. Проведемо пряму через точку K, паралельну
до відрізка AC.
Дана пряма перетинає пряму BC у точці Q.
Q
2. ∠ACK = ∠QKC − внутрішні різносторонні
при паралельних прямих АС і KQ та січній CK.

∠ = ∠ − як відповідні при
паралельних прямих АС і KQ та січній ВQ.
C


M

T
B
Так, як ∠ = ∠, то
⊿ − рівнобедренний.
A
K
1234567
3. Продовжимо медіану ВМ до перетину з
прямою QK.
BM∩QK = Z.
Доведемо, що ZQ = ZK.
З’єднаємо точку Z і С.
Розв’язання
Q
4. ∠ = ∠, як відповідні при
паралельних прямих AС та KQ та січній BZ.

C
Отже, ⊿~⊿ за двома кутами, а саме:
∠ − спільний;
∠ = ∠.
Z


З подібності цих трикутників слідує, що:
M

T
B


A
K
=

.

1234567
5.∠ = ∠, як відповідні при
паралельних прямих AC та KQ і
січній BZ.
Отже, ⊿ ~⊿, за двома кутами, а саме:
∠ − спільний;
∠ = ∠.
З подібності цих трикутників слідує, що:
 
=
.
Розв’язання
Q


C
6. Маємо:
Z

 
=


 
=



M

T
B
A

K


=




=


Отже, ZQ = ZK.
Цей факт також слідує з того, що ACQK – трапеція, B –
точка перетину продовжень бічних сторін, М –
середина основи АС.
1234567
7.Доведемо, що навколо чотирикутника ТCZK
можна описати коло.
Розв’язання
CZ – медіана, проведена до основи в
рівнобедреному трикутнику CKQ, отже, CZ і
висота в даному трикутнику, тому
∠ = 90°.
Отже, навколо
8. ∠ = 90°
чотирикутника ТCZK
∠С = 90°
можна описати
коло.
Q

C

Z
9. ∠ = ∠, як вписані кути, які
спираються на одну хорду.

M

T
B
∠ = ∠
∠ = ∠ = 
A
K
∠ = ∠
Що й треба було довести.
1234567
Дякуємо за
увагу!
1234567
Задача № 8
«Рівні кути»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1234567
У трикутнику ABC на промені BA відмітили точку K так, що
∠BCA = ∠KCA, а на медіані BM відмітили точку T так, що
∠CTK = 90°.
Довести, що ∠MTC = ∠MCB.
C


M
T
B
A
K
1234567
Розв’язання
1. Проведемо пряму через точку K, паралельну
до відрізка AC.
Дана пряма перетинає пряму BC у точці Q.
Q
2. ∠ACK = ∠QKC − внутрішні різносторонні
при паралельних прямих АС і KQ та січній CK.

∠ = ∠ − як відповідні при
паралельних прямих АС і KQ та січній ВQ.
C


M

T
B
Так, як ∠ = ∠, то
⊿ − рівнобедренний.
A
K
1234567
3. Продовжимо медіану ВМ до перетину з
прямою QK.
BM∩QK = Z.
Доведемо, що ZQ = ZK.
З’єднаємо точку Z і С.
Розв’язання
Q
4. ∠ = ∠, як відповідні при
паралельних прямих AС та KQ та січній BZ.

C
Отже, ⊿~⊿ за двома кутами, а саме:
∠ − спільний;
∠ = ∠.
Z


З подібності цих трикутників слідує, що:
M

T
B


A
K
=

.

1234567
5.∠ = ∠, як відповідні при
паралельних прямих AC та KQ і
січній BZ.
Отже, ⊿ ~⊿, за двома кутами, а саме:
∠ − спільний;
∠ = ∠.
З подібності цих трикутників слідує, що:
 
=
.
Розв’язання
Q


C
6. Маємо:
Z

 
=


 
=



M

T
B
A

K


=




=


Отже, ZQ = ZK.
Цей факт також слідує з того, що ACQK – трапеція, B –
точка перетину продовжень бічних сторін, М –
середина основи АС.
1234567
7.Доведемо, що навколо чотирикутника ТCZK
можна описати коло.
Розв’язання
CZ – медіана, проведена до основи в
рівнобедреному трикутнику CKQ, отже, CZ і
висота в даному трикутнику, тому
∠ = 90°.
Отже, навколо
8. ∠ = 90°
чотирикутника ТCZK
∠С = 90°
можна описати
коло.
Q

C

Z
9. ∠ = ∠, як вписані кути, які
спираються на одну хорду.

M

T
B
∠ = ∠
∠ = ∠ = 
A
K
∠ = ∠
Що й треба було довести.
1234567
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа