close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
12345678
Задача № 10
«Зображення чисел Ферма»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
12345678

2
2
Числа  =
+ 1,  ≥ 0,
називаються числами Ферма. При
 ≥ 3 подайте кожне з них у
вигляді суми квадратів трьох
різних натуральних чисел.
12345678
Розв’язання
2
1)  = 2
=
=
+1=

−1
2
2
4∙2 −8∙2
+4
−1
2∙22
−2
3
2
+
+

9∙22 +9
9
=

2
4∙2 +4
3

2
+4+2
9

−1
2
2
4∙2 +4∙2
+1
−1
2∙22
+1
+

2
4∙2 +1
+
−1

2
2
4+4∙2
+2
9
2
+
−1
2+22
3
2
=
−1
−1
−1
2
2
2
+8∙2
−4∙2
−4∙2
=
12345678
2) Доведемо, що вирази:
−1
2
2∙2
−2
3
−1
2
2∙2
+1
(1),
3
(2),
−1
2
2+2
3
(3)
є цілими.
Покажемо, що вираз (1) ціле число.
2

Так як 4 ≡ 1 3 , то 4 ≡ 1 3 , де  ∈ ℕ. Тоді 2
Тому для  ≥ 3 виконується
З цього слідує
−1
2
2
2∙
2∙
Тобто 2 ∙
−1
2
2
=
−2
2
4
−1
2
2
−1
2
2
− 2 ⋮ 3 та число 2 ∙
≡ 1 3 .
≡ 1 3 .
≡ 2 3 .
− 2 ≡ 0 3 .
−1
2
2
− 2 > 0 при  ≥ 3.
12345678
Покажемо, що вираз (2) є цілим числом.
2−1
2
≡ 1 3 ,
−1
2
2∙2
≡ 2 3 ,
−1
2
2∙2
+ 1 ≡ 0 3 , тобто
2−1
2∙2
+ 1 ⋮ 3.
Покажемо, що вираз (3) — ціле число.
−1
2
2
≡ 1 3 ,
−1
2
2
+ 2 ≡ 0 3 .
Отже,
−1
2
2
−1
2∙22
+1
3
−1
2
2+2
+ 2 ⋮ 3.
Тобто кожен з виразів (1), (2), (3) є натуральним числом.
3
(2)
(3)
12345678
Покажемо, що ці числа є різними.
1) Припустимо, що
−1
−1
2
2
2∙2
−2 2∙2
+1
=
3
3
2−1
2−1
2∙2
−2=2∙2
+1
−2 = 1, що неможливо.
2) Припустимо, що
2∙
−1
2
2
3
+1
=
2
−1
2
+2
3 −1
+ 1 = 2 + 22
2−1
2
= 1.
2−1
2∙2
Ця рівність не виконується, тому що 2−1 ≠ 0.
12345678
3) Припустимо, що
2∙
−1
2
2
−2
3
=
2+
−1
2
2
3
2−1
2−1
2∙2
−2=2+2
2−1
2
= 4.
Але при  ≥ 3 ця рівність не виконується.
Тобто, усі числа є різними.
Отже, ми представили кожне із чисел Ферма у вигляді суми квадратів
трьох різних натуральних чисел.
Отже, маємо:  =

2
2
+ 1=
−1
2
2∙2
−2
3
2
+
−1
2
2∙2
+1
3
2
+
−1
2
2+2
3
2
12345678
Дякуємо за
увагу!
12345678
Задача № 10
«Зображення чисел Ферма»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
12345678

2
2
Числа  =
+ 1,  ≥ 0,
називаються числами Ферма. При
 ≥ 3 подайте кожне з них у
вигляді суми квадратів трьох
різних натуральних чисел.
12345678
Розв’язання
2
1)  = 2
=
=
+1=

−1
2
2
4∙2 −8∙2
+4
−1
2∙22
−2
3
2
+
+

9∙22 +9
9
=

2
4∙2 +4
3

2
+4+2
9

−1
2
2
4∙2 +4∙2
+1
−1
2∙22
+1
+

2
4∙2 +1
+
−1

2
2
4+4∙2
+2
9
2
+
−1
2+22
3
2
=
−1
−1
−1
2
2
2
+8∙2
−4∙2
−4∙2
=
12345678
2) Доведемо, що вирази:
−1
2
2∙2
−2
3
−1
2
2∙2
+1
(1),
3
(2),
−1
2
2+2
3
(3)
є цілими.
Покажемо, що вираз (1) ціле число.
2

Так як 4 ≡ 1 3 , то 4 ≡ 1 3 , де  ∈ ℕ. Тоді 2
Тому для  ≥ 3 виконується
З цього слідує
−1
2
2
2∙
2∙
Тобто 2 ∙
−1
2
2
=
−2
2
4
−1
2
2
−1
2
2
− 2 ⋮ 3 та число 2 ∙
≡ 1 3 .
≡ 1 3 .
≡ 2 3 .
− 2 ≡ 0 3 .
−1
2
2
− 2 > 0 при  ≥ 3.
12345678
Покажемо, що вираз (2) є цілим числом.
2−1
2
≡ 1 3 ,
−1
2
2∙2
≡ 2 3 ,
−1
2
2∙2
+ 1 ≡ 3 3 ,
−1
2
2∙2
+ 1 ≡ 0 3 , тобто
2−1
2∙2
+ 1 ⋮ 3.
Покажемо, що вираз (3) — ціле число.
−1
2
2
≡ 1 3 ,
−1
2
2
+ 2 ≡ 3 3 ,
−1
2
2
+ 2 ≡ 0 3 .
Отже,
−1
2
2
−1
2∙22
+1
3
−1
2
2+2
+ 2 ⋮ 3.
Тобто кожен з виразів (1), (2), (3) є натуральним числом.
3
(2)
(3)
12345678
Покажемо, що ці числа є різними.
1) Припустимо, що
−1
−1
2
2
2∙2
−2 2∙2
+1
=
3
3
2−1
2−1
2∙2
−2=2∙2
+1
−2 = 1, що неможливо.
2) Припустимо, що
2∙
−1
2
2
3
+1
=
2
−1
2
+2
3 −1
+ 1 = 2 + 22
2−1
2
= 1.
2−1
2∙2
Ця рівність не виконується, тому що 2−1 ≠ 0.
12345678
3) Припустимо, що
2∙
−1
2
2
−2
3
=
2+
−1
2
2
3
2−1
2−1
2∙2
−2=2+2
2−1
2
= 4.
Але при  ≥ 3 ця рівність не виконується.
Тобто, усі числа є різними.
Отже, ми представили кожне із чисел Ферма у вигляді суми квадратів
трьох різних натуральних чисел.
Отже, маємо:  =

2
2
+ 1=
−1
2
2∙2
−2
3
2
+
−1
2
2∙2
+1
3
2
+
−1
2
2+2
3
2
12345678
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа