close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Задача № 1
«Кути в трикутнику»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
У трикутнику ABC, один з кутів якого дорівнює 48˚ ,
довжини сторін задовольняють співвідношення
( − )( + )2 +  +  =  2 .
Виразіть у градусах величини двох інших кутів цього
трикутника.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Розв'язання
( − )( + )2 +  +  = 2
Розглянемо випадок коли  = .
Отримали:
2 2 = 2
2 = 
+ =
Дана рівність протирічить тому, що , ,  – сторони трикутника.
Отримали, що  ≠ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Виконаємо перетворення рівності, даної в умові задачі:
( − )( + )2 +  +  =  2
− +
2
+   +  −  2 = 0
Розв’яжемо квадратне рівняння відносно (a+c):
 = ()2 +4 2  −  =  2  2 + 42  2 − 4 2 
=  2  2 − 4 + 42 =  2 ( − 2)2
− − ( − 2)
+ =
2( − )
− + ( − 2)
+ =
2( − )
(1)
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
З рівності (1):
− − ( − 2)
+ =
2( − )
− −  + 2
+ =
2( − )
−2( − )
+ =
2( − )
2( − )
+ =
2( − )
+ =
Так як сума двох сторін дорівнює третій, то дана рівність
суперечить тому, що a, b і c – сторони трикутника.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
З рівності (2):
− + ( − 2)
+ =
2( − )
− +  − 2
+ =
2( − )
−2
+ =
2( − )

+ =
−
с≠
 +   −  = 
 2 − 2 = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Теорема синусів:



=
=
= 2
sin  sin  sin 
Виразимо сторони через кути та радіус описаного кола:
 = 2
 = 2
 = 2
Підставимо дані значення в рівність
 2 − 2 = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
42 2  − 42 2  = 42  ∙ 
2  − 2  =  ∙ 
 +   −  =  ∙ 
−
+
+
−
(2

)(2

)=
2
2
2
2
 ∙ 
Так як  + = 180°- , то

−
−

4 

 =
2
2
2
2


2 
2
2
∙
 ∙ 
−
−
2

=
2
2
 ∙ 
 sin( − ) =  ∙ 
 ≠ 0
sin( − ) = 
Так як  і  – кути трикутника, то  = 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 = 2
Так як за умовою задачі один з кутів трикутника дорівнює 48°, то
маємо випадки:
1) Якщо  = 48°,
то  = 2 ∙ 48° = 96°
 = 180° − 48° − 96° = 36°
2) Якщо γ = 48°,
1
то  = ∙ 48° = 24°
2
 = 180° − 48° − 24° = 108°
3) Якщо β = 48°,
то  +  = 180° − 48° = 132° = 3α
1
 = 132° ∙ = 44°
3
 = 2 ∙ 44° = 88°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Відповідь: 1) = 48°,  = 36°,  = 96°;
2) = 24°,  = 108°,  = 48°;
3) = 44°,  = 48°,  = 88°;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Дякуємо за
увагу!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Задача № 1
«Кути в трикутнику»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
У трикутнику ABC, один з кутів якого дорівнює 48˚ ,
довжини сторін задовольняють співвідношення
( − )( + )2 +  +  =  2 .
Виразіть у градусах величини двох інших кутів цього
трикутника.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Розв'язання
( − )( + )2 +  +  = 2
Розглянемо випадок коли  = .
Отримали:
2 2 = 2
2 = 
+ =
Дана рівність протирічить тому, що , ,  – сторони трикутника.
Отримали, що  ≠ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Виконаємо перетворення рівності, даної в умові задачі:
( − )( + )2 +  +  =  2
− +
2
+   +  −  2 = 0
Розв’яжемо квадратне рівняння відносно (a+c):
 = ()2 +4 2  −  =  2  2 + 42  2 − 4 2 
=  2  2 − 4 + 42 =  2 ( − 2)2
− − ( − 2)
+ =
2( − )
− + ( − 2)
+ =
2( − )
(1)
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
З рівності (1):
− − ( − 2)
+ =
2( − )
− −  + 2
+ =
2( − )
−2( − )
+ =
2( − )
2( − )
+ =
2( − )
+ =
Так як сума двох сторін дорівнює третій, то дана рівність
суперечить тому, що a, b і c – сторони трикутника.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
З рівності (2):
− + ( − 2)
+ =
2( − )
− +  − 2
+ =
2( − )
−2
+ =
2( − )

+ =
−
с≠
 +   −  = 
 2 − 2 = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Теорема синусів:



=
=
= 2
sin  sin  sin 
Виразимо сторони через кути та радіус описаного кола:
 = 2
 = 2
 = 2
Підставимо дані значення в рівність
 2 − 2 = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
42 2  − 42 2  = 42  ∙ 
2  − 2  =  ∙ 
 +   −  =  ∙ 
−
+
+
−
(2

)(2

)=
2
2
2
2
 ∙ 
Так як  + = 180°- , то

−
−

4 

 =
2
2
2
2


2 
2
2
∙
 ∙ 
−
−
2

=
2
2
 ∙ 
 sin( − ) =  ∙ 
 ≠ 0
sin( − ) = 
Так як  і  – кути трикутника, то  = 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 = 2
Так як за умовою задачі один з кутів трикутника дорівнює 48°, то
маємо випадки:
1) Якщо  = 48°,
то  = 2 ∙ 48° = 96°
 = 180° − 48° − 96° = 36°
2) Якщо γ = 48°,
1
то  = ∙ 48° = 24°
2
 = 180° − 48° − 24° = 108°
3) Якщо β = 48°,
то  +  = 180° − 48° = 132° = 3α
1
 = 132° ∙ = 44°
3
 = 2 ∙ 44° = 88°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Відповідь: 1) = 48°,  = 36°,  = 96°;
2) = 24°,  = 108°,  = 48°;
3) = 44°,  = 48°,  = 88°;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа