close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Задача № 3
«Тригонометричні добутки»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниці
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Знайти значення добутків:
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
б)
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
в)
3 + 1°
3 + 2° …
3 + 28°
3 + 29°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
Розв′язання
1) Доведемо лему 1 :
1−
cos 60° + 
cosα
1−
cos 120° − 
cos 60° − 
= 1, при 0 <  < 30°
Доведення
1−
 60°+

1
=
=
1−
3
 120°−
 60°−
=
−cos(60°+)

−2+ 2 
1
3
1
3
+
+
−

2
2
2
2

 60°−
1
3
+

2
2


 60°−
Лему доведено.
=
cos 60°− −cos(120°−)
 60°−
=
60°∙+∙60° ∙
∙ 60°−
 60°−
60°−
= 
= 1.
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1−
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
2)Кількість множників у добутку 59.
3) Запишемо кожен множник даного виразу у такому вигляді
1−
 60° + 1°
1°
… 1−
 60° + 29°
 90 °
1−
29°
30°
(120° − 1°)
… 1−
(60° − 1°)
Легко бачити ,що множники ,які рівновіддалені від 1 −
1−
 120° − 29°
 60° − 29°
 90°
30°
, задовольняють
лему 1, тобто:
1−
 60°+1°
1°
∙ 1−
(120°−1°)
(60°−1°)
Залишився лише множник 1 −
 90 °
1−
=1−0=1
30°
= 1 , аналогічно для всіх інших дужок.
 90°
30°
:
Отже, значення даного добутку дорівнює 1 .
…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
б) 1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
Розв′язання
1)Доведемо лему 2:
1 − ° 1 −  45° − 
= 2, при 0 <  < 23°
Доведення
1
cos 
−
sin 
1−
cos 45°−
sin 45°−
=
sin −cos 
sin 
sin(45°−)−cos( 45°−)
sin(45°− )
=
2
2
2
2
cos  −
sin  −
cos  −
sin 
sin  − cos 
2
2
2
2
=
=
sin 
sin(45° − )
2
2
2
2
2 2 sin  − 2 cos 
−2 2 sin  − 2 cos 
− 2 sin 
=
=
=
sin 
sin 45° − 
sin 45° − 
2
2
2 2 cos  − 2 sin 
2 sin 45° cos  − cos 45° sin 
2 sin 45° − 
=
=
=
= 2.
sin( 45° − )
sin 45° − 
sin(45° − )
Лему доведено.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
2) Кількість множників у добутку 44.
3) Запишемо кожен множник даного виразу у такому вигляді :
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 22° 1 − (45° − 22°) …
… 1 − (45° − 2°) 1 − (45° − 1°)
Згрупуємо дані множники таким чином ∶
1 − с1° 1 −  45° − 1°
∙
1 − 3° 1 −  45° − 3°
1 − 2° 1 −  45° − 2°
…
∙
1 − 22° 1 −  45° − 22°
Посилаючись на лему 2, можна зробити висновок, що кожний згрупований
множник дорівнює 2.
4)Так як кількість множників після групування дорівнює 22 ,то значення даного
добутку дорівнює 222 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
в)
3 + 1°
3 + 2° … 3 + 28°
Розв′язання
3 + 29°
1)Доведемо лему 3 :
3 + 
3 + (30° − ) =4, при 0 <  < 15°
Доведення
3+
sin 
cos 
3+
sin(30° − )
=
cos(30° − )
3 cos  + sin 
cos 
3 cos(30° − ) + sin(30° − )
=
cos(30° − )
3
1
3
3
1
3
2( 2 cos  + 2 sin  2 cos  + 2 sin  + 2 cos  − 2 sin 
=
=
cos 
cos(30° − )
2(cos 30° ∙ cos  + sin 30° ∙ sin 
2 cos 
2 cos(30° − ) ∙ 2 cos 
=
=
= 4.
cos 
cos(30° − )
cos  ∙ cos(30° − )
Лему доведено.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 + 1°
3 + 2° … 3 + 28°
3 + 29°
2) Кількість множників у добутку 29.
3)Запишемо кожен множник даного добутку в такому вигляді :
3 + 1° …
3 + 14°
3 + 15°
3 + (30° − 14°) …
3 + (30° − 1°)
Згрупуємо дані множники таким чином:
3 + 1°
…
3 + (30° − 1°
3 + 14°
∙
3 + 2°
3 + (30° − 14°)
3 + (30° − 2°
…
3 + 15°
Посилаючись на лему 3, можна зробити висновок, що кожний згрупований
множник, крім останнього, множника дорівнює 22 , тобто їх добуток дорівнює 228
.
Знайдемо значення останнього множника 3 + 15° .
( 3 + 15°)=
3 cos 15°+sin 15°
cos 15°
Отже, добуток дорівнює 229 .
=2
3
1
cos
15°+
sin 15°
2
2
cos 15°
=2
cos(30°−15°)
cos 15°
=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Маємо відповідь:
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
=1
cos31°
cos59°
б)
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44° = 222
в)
3 + 1°
3 + 2° …
3 + 28°
3 + 29° = 229
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Дякуємо за
увагу!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Задача № 3
«Тригонометричні добутки»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниці
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Знайти значення добутків:
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
б)
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
в)
3 + 1°
3 + 2° …
3 + 28°
3 + 29°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
Розв′язання
1) Доведемо лему 1 :
1−
cos 60° + 
cosα
1−
cos 120° − 
cos 60° − 
= 1, при 0 <  < 30°
Доведення
1−
 60°+

1
=
=
1−
3
 120°−
 60°−
=
−cos(60°+)

−2+ 2 
1
3
1
3
+
+
−

2
2
2
2

 60°−
1
3
+

2
2


 60°−
Лему доведено.
=
cos 60°− −cos(120°−)
 60°−
=
60°∙+∙60° ∙
∙ 60°−
 60°−
60°−
= 
= 1.
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1−
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
cos31°
cos59°
2)Кількість множників у добутку 59.
3) Запишемо кожен множник даного виразу у такому вигляді
1−
 60° + 1°
1°
… 1−
 60° + 29°
 90 °
1−
29°
30°
(120° − 1°)
… 1−
(60° − 1°)
Легко бачити ,що множники ,які рівновіддалені від 1 −
1−
 120° − 29°
 60° − 29°
 90°
30°
, задовольняють
лему 1, тобто:
1−
 60°+1°
1°
∙ 1−
(120°−1°)
(60°−1°)
Залишився лише множник 1 −
 90 °
1−
=1−0=1
30°
= 1 , аналогічно для всіх інших дужок.
 90°
30°
:
Отже, значення даного добутку дорівнює 1 .
…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
б) 1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
Розв′язання
1)Доведемо лему 2:
1 − ° 1 −  45° − 
= 2, при 0 <  < 23°
Доведення
1
cos 
−
sin 
1−
cos 45°−
sin 45°−
=
sin −cos 
sin 
sin(45°−)−cos( 45°−)
sin(45°− )
=
2
2
2
2
cos  −
sin  −
cos  −
sin 
sin  − cos 
2
2
2
2
=
=
sin 
sin(45° − )
2
2
2
2
2 2 sin  − 2 cos 
−2 2 sin  − 2 cos 
− 2 sin 
=
=
=
sin 
sin 45° − 
sin 45° − 
2
2
2 2 cos  − 2 sin 
2 sin 45° cos  − cos 45° sin 
2 sin 45° − 
=
=
=
= 2.
sin( 45° − )
sin 45° − 
sin(45° − )
Лему доведено.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44°
2) Кількість множників у добутку 44.
3) Запишемо кожен множник даного виразу у такому вигляді :
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 22° 1 − (45° − 22°) …
… 1 − (45° − 2°) 1 − (45° − 1°)
Згрупуємо дані множники таким чином ∶
1 − с1° 1 −  45° − 1°
∙
1 − 3° 1 −  45° − 3°
1 − 2° 1 −  45° − 2°
…
∙
1 − 22° 1 −  45° − 22°
Посилаючись на лему 2, можна зробити висновок, що кожний згрупований
множник дорівнює 2.
4)Так як кількість множників після групування дорівнює 22 ,то значення даного
добутку дорівнює 222 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
в)
3 + 1°
3 + 2° … 3 + 28°
Розв′язання
3 + 29°
1)Доведемо лему 3 :
3 + 
3 + (30° − ) =4, при 0 <  < 15°
Доведення
3+
sin 
cos 
3+
sin(30° − )
=
cos(30° − )
3 cos  + sin 
cos 
3 cos(30° − ) + sin(30° − )
=
cos(30° − )
3
1
3
3
1
3
2( 2 cos  + 2 sin  2 cos  + 2 sin  + 2 cos  − 2 sin 
=
=
cos 
cos(30° − )
2(cos 30° ∙ cos  + sin 30° ∙ sin 
2 cos 
2 cos(30° − ) ∙ 2 cos 
=
=
= 4.
cos 
cos(30° − )
cos  ∙ cos(30° − )
Лему доведено.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 + 1°
3 + 2° … 3 + 28°
3 + 29°
2) Кількість множників у добутку 29.
3)Запишемо кожен множник даного добутку в такому вигляді :
3 + 1° …
3 + 14°
3 + 15°
3 + (30° − 14°) …
3 + (30° − 1°)
Згрупуємо дані множники таким чином:
3 + 1°
…
3 + (30° − 1°
3 + 14°
∙
3 + 2°
3 + (30° − 14°)
3 + (30° − 2°
…
3 + 15°
Посилаючись на лему 3, можна зробити висновок, що кожний згрупований
множник, крім останнього, множника дорівнює 22 , тобто їх добуток дорівнює 228
.
Знайдемо значення останнього множника 3 + 15° .
( 3 + 15°)=
3 cos 15°+sin 15°
cos 15°
Отже, добуток дорівнює 229 .
=2
3
1
cos
15°+
sin 15°
2
2
cos 15°
=2
cos(30°−15°)
cos 15°
=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Маємо відповідь:
а) 1 −
cos61°
cos89°
… 1−
cos1°
cos29°
1−
cos90°
cos30°
1−
cos91°
cos119°
… 1−
=1
cos31°
cos59°
б)
1 − 1° 1 − 2° … 1 − 43° 1 − 44° = 222
в)
3 + 1°
3 + 2° …
3 + 28°
3 + 29° = 229
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа