close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Задача № 11
«Викладаємо квадрати»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У Миколи є набір із 2014 фігурок: 1007 кутиків та
1007 зигзагів.
Яку найбільшу кількість квадратів, кожен з яких
складається з непарної кількості клітинок, зможе
викласти Миколка, якщо кутики та зигзаги
дозволяється довільним чином повертати чи
перевертати? Вже викладені квадрати він не
розбирає. Жодні два з викладених квадратів не
мають спільних клітинок і не дотикаються.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Позначимо кількість зигзагів, що необхідно для складання квадрата , а
кількість кутиків .
Так як квадрат має складатися з непарної кількості квадратиків, то довжина
його сторони є непарне число.
Позначимо довжину сторони квадрата через , тоді його площа дорівнює 2 .
Так як 1 зигзаг займає 4 клітинки, а 1 кутик – 3 клітинки, то маємо рівність:
4x  3y  n
2
Розглянемо розфарбування цього квадрата. В кожному рядку з непарним
номером зафарбуємо кожну клітинку що знаходиться в стовпчику з непарним
номером :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Підрахуємо кількість зафарбованих клітинок.
+1
У одному непарному рядку буде
зафарбована клітинка.
2
Пояснення
Додамо ще один уявний стовпчик:
Він буде з парним номером,тому в ньому не буде зафарбованих клітинок.
Але кількість усіх стовпчиків буде  + 1 ,і в половині з них будуть розфарбовані
клітинки.
+1
.
2
+1
дорівнює
.
2
Тому кількість розфарбованих клітинок в одному непарному рядку
Аналогічно, кількість рядків з зафарбованими клітинками
Отже, кількість зафарбованих клітинок
+1 2
.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доведемо,що кожен зигзаг і кожен кутик покриває не більше 1 зафарбованої
клітинки. Розмістимо зигзаг як показано на малюнку:
Якщо його розташування буде інше, то уявно розвернемо квадрат (з зигзагом).
Тоді лише в одному із стовпців зигзага будуть зафарбовані клітинки. Так як дві
сусідні клітинки не можуть бути одночасно зафарбовані, то зигзаг міститиме лише
одну зафарбовану клітинку.
Оскільки кутик є частиною зигзагу, то він теж містить не більше, ніж одну
зафарбовану клітинку.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-кількість зигзагів,
y-кількість кутиків,
+1 2
2
кількість зафарбованих клітинок
З урахуванням введених позначень і того, що кожна фігура покриває не більше
однієї зафарбованої клітинки, маємо:  +  ≥
+1 2
.
2
Доведемо, що з даних фігур не можна скласти квадрати 3х3 і 5х5.
Припустимо, що це не так:
отримаємо:
у випадку 3х3 :
у випадку 5х5 :
2

 3 1  3
x  y  


2


 4x  3y  9

 3 x  3 y  12
 x  0;


 4x  3y  9
2

 5 1  3
x  y  


2


 4 x  3 y  25

 3 x  3 y  27
 x  0.


 4 x  3 y  25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Покажемо яким чином можна скласти квадрат 7х7:
В ньому розмістилося 15 кутиків та 1 зигзаг.
Доведемо, що скласти квадрат, використавши менше, ніж 15 кутиків
неможливо.
Скористаємося методом від супротивного.
Нехай існує такий квадрат,у якого  < 15, крім того довжина його сторони  ≥ 7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тоді отримаємо :
 4x  3y  n2,

n  7,

2

n

1


x

y


 ,

 2 

y  15 .

n-сторона квадрата
x-кількість зигзагів,
y-кількість кутиків,
+1 2
2
кількість зафарбованих клітинок
У рівнянні 4 + 3 = 2 додамо до лівої і правої частини .
4 + 3 +  = 2 + ,
2 + 
+ =
4
За умови, що  < 15, маємо:
А так як  +  =
2 +
,
4
2 +
4
<
2 +15
4
то
+ <
2 +15
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Отримали подвійну нерівність:
+1
2
2
2
2 + 15
≤+ <
4
n  15
 n 1
2
2
4 
n  2 n  1  n  15

 
4
 2 
2
 n7
Отримали протиріччя з  ≥ 7. Отже, скласти квадрат, використавши менше ніж 15 кутиків,
неможливо.
Тоді загальна кількість квадратів не перевищує:
1007
≤
= 67
15
Покажемо, що таку кількість скласти можливо.
Складемо 67 квадратів 7х7 такого типу,як показано на малюнку.
Підрахуємо, чи вистачить зигзагів. Їх вистачить, оскільки їх буде використовуватися тільки
67.
А кутиків вистачить, бо їх 67 ∙ 15 = 1005.
Відповідь: 67 квадратів.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Дякуємо за
увагу!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Задача № 11
«Викладаємо квадрати»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У Миколи є набір із 2014 фігурок: 1007 кутиків та
1007 зигзагів.
Яку найбільшу кількість квадратів, кожен з яких
складається з непарної кількості клітинок, зможе
викласти Миколка, якщо кутики та зигзаги
дозволяється довільним чином повертати чи
перевертати? Вже викладені квадрати він не
розбирає. Жодні два з викладених квадратів не
мають спільних клітинок і не дотикаються.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Позначимо кількість зигзагів, що необхідно для складання квадрата , а
кількість кутиків .
Так як квадрат має складатися з непарної кількості квадратиків, то довжина
його сторони є непарне число.
Позначимо довжину сторони квадрата через , тоді його площа дорівнює 2 .
Так як 1 зигзаг займає 4 клітинки, а 1 кутик – 3 клітинки, то маємо рівність:
4x  3y  n
2
Розглянемо розфарбування цього квадрата. В кожному рядку з непарним
номером зафарбуємо кожну клітинку що знаходиться в стовпчику з непарним
номером :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Підрахуємо кількість зафарбованих клітинок.
+1
У одному непарному рядку буде
зафарбована клітинка.
2
Пояснення
Додамо ще один уявний стовпчик:
Він буде з парним номером,тому в ньому не буде зафарбованих клітинок.
Але кількість усіх стовпчиків буде  + 1 ,і в половині з них будуть розфарбовані
клітинки.
+1
.
2
+1
дорівнює
.
2
Тому кількість розфарбованих клітинок в одному непарному рядку
Аналогічно, кількість рядків з зафарбованими клітинками
Отже, кількість зафарбованих клітинок
+1 2
.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доведемо,що кожен зигзаг і кожен кутик покриває не більше 1 зафарбованої
клітинки. Розмістимо зигзаг як показано на малюнку:
Якщо його розташування буде інше, то розвернемо квадрат (з зигзагом).
Тоді лише в одному із стовпців зигзага будуть зафарбовані клітинки. Так як дві
сусідні клітинки не можуть бути одночасно зафарбовані, то зигзаг міститиме лише
одну зафарбовану клітинку.
Оскільки кутик є частиною зигзагу, то він теж містить не більше, ніж одну
зафарбовану клітинку.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-кількість зигзагів,
y-кількість кутиків,
+1 2
2
кількість зафарбованих клітинок
З урахуванням введених позначень і того, що кожна фігура покриває не більше
однієї зафарбованої клітинки, маємо:  +  ≥
+1 2
.
2
Доведемо, що з даних фігур не можна скласти
квадрати 3х3 і 5х5. Отримаємо:
у випадку 3х3 :
у випадку 5х5 :
2

 3 1  3
x  y  


2


 4x  3y  9

 3 x  3 y  12
 x  0;


 4x  3y  9
2

 5 1  3
x  y  


2


 4 x  3 y  25

 3 x  3 y  27
 x  0.


 4 x  3 y  25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Покажемо яким чином можна скласти квадрат 7х7:
В ньому розмістилося 15 кутиків та 1 зигзаг.
Доведемо, що скласти квадрат, використавши менше, ніж 15 кутиків
неможливо.
Скористаємося методом від супротивного.
Нехай існує такий квадрат,у якого  < 15, крім того довжина його сторони  ≥ 7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тоді отримаємо :
 4x  3y  n2,

n  7,

2

n

1


x

y


 ,

 2 

y  15 .

n-сторона квадрата
x-кількість зигзагів,
y-кількість кутиків,
+1 2
2
кількість зафарбованих клітинок
У рівнянні 4 + 3 = 2 додамо до лівої і правої частини .
4 + 3 +  = 2 + ,
2 + 
+ =
4
За умови, що  < 15, маємо:
А так як  +  =
2 +
,
4
2 +
4
<
2 +15
4
то
+ <
2 +15
.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Отримали подвійну нерівність:
+1
2
2
2
2 + 15
≤+ <
4
n  15
 n 1
2
2
4 
n  2 n  1  n  15

 
4
 2 
2
 n7
Отримали протиріччя з  ≥ 7. Отже, скласти квадрат, використавши менше ніж 15 кутиків,
неможливо.
Тоді загальна кількість квадратів не перевищує:
1007
≤
= 67
15
Покажемо, що таку кількість скласти можливо.
Складемо 67 квадратів 7х7 такого типу,як показано на малюнку.
Підрахуємо, чи вистачить зигзагів. Їх вистачить, оскільки їх буде використовуватися тільки
67.
А кутиків вистачить, бо їх 67 ∙ 15 = 1005.
Відповідь: 67 квадратів.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа