close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
123456789
Задача № 6
«Суми коренів»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
123456789

1 +

2 +. . . +  =


1 +


2 +. . . + 
Довести:
а) k=m.
б) 1 2 …  = 1 2 …  .
в) Якщо кожен із двох заданих наборів чисел впорядкувати за
зростанням, то після цього ці набори стануть однаковими.
123456789
1
Доведемо, що k=m
Доведення
1) lim

lim

→∞
→∞
1 = 1
2) lim

1 = 1
2 = 1
lim

2 = 1
→∞
→∞
…
lim
→∞

…
 = 1,
тому lim ( 1 +

→∞
lim
→∞

2 +. . . +  ) = k


 = 1,
тому lim (  1 +  2 +. . . +   ) = m
→∞
Так як функції співпадають, то їх границі при  → ∞ теж співпадають.
Тому k=m.
123456789
Доведемо, що 1 2 …  = 1 2 … 
2
Доведення
Позначимо  =
Тоді
!

1 +
!

!
,j

= 1; .
!

2 +. . . +  =
!

1 +
!

2 +. . . +
!


Дану рівність можна представити у вигляді рівностей:
!
1 + ! 2 +. . . + !  = ! 1 + ! 2 +. . . + ! 
!
2
1 +
(−1)!
!
2
!
2
2 +. . . +  =
1 + (−1)!
!
2
!
2
!
2
1 + 2 +. . . + 
…
(−1)!
(−1)!
(−1)!
(−1)!
2 +. . . +
 =
1 +
2 +. . . +

(j=1)
(j=2)
…
(j=k)
123456789
Позначимо  = !  ,  = 1; 
 = !  ,  = 1; 
Тоді маємо рівності:
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
Позначимо степеневі суми:
1 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  )=12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
1
2

1 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  )=12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
123456789
Скористаємося формулою розкладу степеневих сум через елементарні симетричні
поліноми:
 = 1 ∙ −1 − 2 ∙ −2 + 3 ∙ −3 + ⋯ +(−1)−1 ∙  , ( ` )
де елементарні симетричні поліноми:
1 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 2 + 1 3 + ⋯ + −1 
…
 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 2 … 
Тоді:
1 = 11
2 = 1 1 − 22
3 = 1 2 − 2 1 + 33
4 = 1 3 − 2 2 + 3 1 − 44
5 = 1 4 − 2 3 + 3 2 − 4 1 + 55
6 = 1 5 − 2 4 + 3 3 − 4 2 + 5 1 − 66
…
(1` )
(2` )
(3` )
(4` )
(5` )
(6` )
…
123456789
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
1
2
3
4
= 11
= 1 1 − 22
= 1 2 − 2 1 + 33
= 1 3 − 2 2 + 3 1 − 44
…
1
2

(1` )
(2` )
(3` )
(4` )
…
З рівності (1) 1 (1 ; 2 ;…;  )=1 (1 ; 2 ;…;  ) , враховуючи рівність (1` ) , маємо
1 (1 ; 2 ;…;  )= 1 (1 ; 2 ;…;  ).
З рівності (2) 2 (1 ; 2 ;…;  )=2 (1 ; 2 ;…;  ) , враховуючи рівність (2` ) , маємо
2 (1 ; 2 ;…;  )= 2 (1 ; 2 ;…;  ).
Аналогічно для рівностей (3)-(k) та рівностей (3` )-( ` ), маємо
 (1 ; 2 ;…;  )=  (1 ; 2 ;…;  ), тобто
1 2 …  = 1 2 …
!
1 ∙ ! 2 ∙. . .∙ !  = ! 1 ∙ ! 2 ∙. . .∙ ! 
Тому 1 2 3 …  = 1 2 3 … 
123456789
Доведемо, що якщо кожен із двох заданих наборів чисел впорядкувати за
3
зростанням, то після цього ці набори стануть однаковими.
Доведення
Розглянемо функції:
1  = ( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 4 )…( −  ) та
2  = ( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 4 )…( −  ) .
Розкриваючи дужки, отримаємо:
1  =   − 1 1 ; 2 ; …   −1 + 2 1 ; 2 ; …   −2 + ⋯ + (−1)  1 ; 2 ; … 
2  =   − 1 1 ; 2 ; …   −1 + 2 1 ; 2 ; …   −2 + ⋯ + (−1)  1 ; 2 ; … 
За умови рівності коефіцієнтів при відповідних степенях змінних в канонічному вигляді
многочленів, маємо, що 1  = 2  .
Так як 1  = 2  , тому набори коренів цих многочленів співпадають.
А тому ці набори рівні з точністю до порядка.
Впорядкуємо дані корені в порядку неспадання.
Отримали, що  = ! = ! =  , для  = 1; .
Отже, якщо кожен із двох наборів чисел впорядкувати за зростанням, то після
цього ці набори стануть однаковими.
123456789
Дякуємо за
увагу!
123456789
Задача № 6
«Суми коренів»
Команда «ФМГ-17» м. Вінниця
123456789

1 +

2 +. . . +  =


1 +


2 +. . . + 
Довести:
а) k=m.
б) 1 2 …  = 1 2 …  .
в) Якщо кожен із двох заданих наборів чисел впорядкувати за
зростанням, то після цього ці набори стануть однаковими.
123456789
1
Доведемо, що k=m
Доведення
1) lim

lim

→∞
→∞
1 = 1
2) lim

1 = 1
2 = 1
lim

2 = 1
→∞
→∞
…
lim
→∞

…
 = 1,
тому lim ( 1 +

→∞
lim
→∞

2 +. . . +  ) = k


 = 1,
тому lim (  1 +  2 +. . . +   ) = m
→∞
Так як функції співпадають, то їх границі при  → ∞ теж співпадають.
Тому k=m.
123456789
Доведемо, що 1 2 …  = 1 2 … 
2
Доведення
Позначимо  =
Тоді
!

1 +
!

!
,j

= 1; .
!

2 +. . . +  =
!

1 +
!

2 +. . . +
!


Дану рівність можна представити у вигляді рівностей:
!
1 + ! 2 +. . . + !  = ! 1 + ! 2 +. . . + ! 
!
2
1 +
(−1)!
!
2
!
2
2 +. . . +  =
1 + (−1)!
!
2
!
2
!
2
1 + 2 +. . . + 
…
(−1)!
(−1)!
(−1)!
(−1)!
2 +. . . +
 =
1 +
2 +. . . +

(j=1)
(j=2)
…
(j=k)
123456789
Позначимо  = !  ,  = 1; 
 = !  ,  = 1; 
Тоді маємо рівності:
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
Позначимо степеневі суми:
1 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  )=12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
1
2

1 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  )=12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
 (1 ; 2 ;…;  )=1 + 2 + 3 + ⋯ + 
123456789
Скористаємося формулою розкладу степеневих сум через елементарні симетричні
поліноми:
 = 1 ∙ −1 − 2 ∙ −2 + 3 ∙ −3 + ⋯ +(−1)−1 ∙  , ( ` )
де елементарні симетричні поліноми:
1 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
2 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 2 + 1 3 + ⋯ + −1 
…
 (1 ; 2 ;…;  ) = 1 2 … 
Тоді:
1 = 11
2 = 1 1 − 22
3 = 1 2 − 2 1 + 33
4 = 1 3 − 2 2 + 3 1 − 44
5 = 1 4 − 2 3 + 3 2 − 4 1 + 55
6 = 1 5 − 2 4 + 3 3 − 4 2 + 5 1 − 66
…
(1` )
(2` )
(3` )
(4` )
(5` )
(6` )
…
123456789
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 2
…
1 + 2 + 3 + ⋯ +  = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 
1
2
3
4
= 11
= 1 1 − 22
= 1 2 − 2 1 + 33
= 1 3 − 2 2 + 3 1 − 44
…
1
2

(1` )
(2` )
(3` )
(4` )
…
З рівності (1) 1 (1 ; 2 ;…;  )=1 (1 ; 2 ;…;  ) , враховуючи рівність (1` ) , маємо
1 (1 ; 2 ;…;  )= 1 (1 ; 2 ;…;  ).
З рівності (2) 2 (1 ; 2 ;…;  )=2 (1 ; 2 ;…;  ) , враховуючи рівність (2` ) , маємо
2 (1 ; 2 ;…;  )= 2 (1 ; 2 ;…;  ).
Аналогічно для рівностей (3)-(k) та рівностей (3` )-( ` ), маємо
 (1 ; 2 ;…;  )=  (1 ; 2 ;…;  ), тобто
1 2 …  = 1 2 …
!
1 ∙ ! 2 ∙. . .∙ !  = ! 1 ∙ ! 2 ∙. . .∙ ! 
Тому 1 2 3 …  = 1 2 3 … 
123456789
Доведемо, що якщо кожен із двох заданих наборів чисел впорядкувати за
зростанням, то після цього ці набори стануть однаковими.
Доведення
Розглянемо функції:
1  = ( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 4 )…( −  ) та
2  = ( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 4 )…( −  ) .
Розкриваючи дужки, отримаємо:
1  =   − 1 1 ; 2 ; …   −1 + 2 1 ; 2 ; …   −2 + ⋯ + (−1)  1 ; 2 ; … 
2  =   − 1 1 ; 2 ; …   −1 + 2 1 ; 2 ; …   −2 + ⋯ + (−1)  1 ; 2 ; … 
За умови рівності коефіцієнтів при відповідних степенях змінних в канонічному вигляді
многочленів, маємо, що 1  = 2  .
Так як 1  = 2  , тому набори коренів цих многочленів співпадають.
А тому ці набори рівні з точністю до порядка.
Впорядкуємо дані корені в порядку неспадання.
Отримали, що  = ! = ! =  , для  = 1; .
Отже, якщо кожен із двох наборів чисел впорядкувати за зростанням, то після
цього ці набори стануть однаковими.
3
123456789
Дякуємо за
увагу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа