close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Розв`язування
нерівностей методом
інтервалів.
Вчитель: Попова Ірина
Василівна
Заклад Фізико-математична гімназія
№17 Вінницької міської ради
2012 рік
Істина, яку вам пропонують
є для вас істиною тільки
частково.
Істину потрібно шукати
самому.
Цілі раціональні нерівності
Нерівності виду:
P (x)  0
P (x)  0
P (x)  0
P (x)  0
äå P ( x ) - ìíîãî÷ëåí
P ( x )  a 0 x  a1 x
n
n 1
 a2 x
äå a 0 , a 1 ,..., a n  ä³éñí³
n N
:
n2
 ...  a n 1 x  a n
÷èñëà
називають цілими раціональними
нерівностями.
Алгоритм розв`язку цілих раціональних
нерівностей:
P (x)  0
1. Знайти корені
многочлена та
розкласти його на
множники, звівши при
цьому до стандартного
вигляду:
2. Нанести знайдені корені на
числову вісь:
Хi-4
P (x)  0
 x  x1

x  x2

..........

 x  xn
ïðîñò³
ïîäâ³éí³ ò
òî÷êè
î÷êè
( x  x 1 ) 1 ( x  x 2 ) 2 ...( x  x i ) i Q ( x )  0
k
Q ( x )  0 ïðè
k
xR
k
Хi-3
Хi-2
Хi-1
хi х
3. Побудувати криву знаків,
починаючи справа зверху та
враховуючи кратність коренів:
-якщо корені парної кратності,
то крива знаків числову вісь не
перетинає;
-якщо корені непарної
кратності, то крива знаків
числову вісь перетинає.
Дробово-раціональні нерівності
Нерівності виду:
P (x)
0
Q(x)
P (x)
Q(x)
0
P (x)
0
Q(x)
P (x)
Q(x)
äå P(x), Q(x) - ìíîãî÷ëåíè
називають дробово-раціональними
нерівностями.
0
Алгоритм розв`язку
дробово-раціональних нерівностей
 P ( x )  Q ( x )  0;
0  
Q(x)
Q ( x )  0 .
P(x)
 P ( x )  Q ( x )  0;
0  
Q(x)
Q ( x )  0 .
P(x)
P(x)
 0  P ( x )  Q ( x )  0.
Q(x)
P(x)
Q(x)
 0  P ( x )  Q ( x )  0.
За малюнком вказати розв`язки
нерівності:
+
1.
-
-5
+
-1
+
2
-
3
-
6
P (x)  0
Відповідь:
x  [  5 ; 2 ]  {3}  [ 6 ;  )
P (x)  0
Відповідь:
x  (  5;  1)  (  1; 2 )  ( 6 ;  )
P (x)  0
Відповідь:
x  (  ;  5 ]  {  1}  [ 2 ; 6 ]
P (x)  0
Відповідь:
x  (  ;  5 )  ( 2 ;3 )  ( 3; 6 )
х
Розв`язати нерівність:
(рівень стандартних ситуацій)
1. ( x  3 )( 2  x )( 4  x 2 )  0
Розв`язання
1. Винесемо -1 за дужки в третьому множнику :
 ( x  3 )( x  2 )( x  4 )  0
2
Помножимо ліву і праву частини нерівності на (-1), змінивши
при цьому знак нерівності на протилежний:
( x  3 )( x  2 )( x  4 )  0
2
( x  3 )( x  2 )( x  2 )( x  2 )  0
( x  3 )( x  2 )( x  2 )  0
2
2
+
+
-2
( x  3 )( x  2 )( x  2 )  0
 x   2;

x  2;


 x  3.
+
2
-
x  {  2}  [ 2 ;3 ]
Відповідь:
{  2 }  [ 2 ;3 ]
3
х
2. | x  5 | ( x  x  6 )( x  3 )  0
2
Розв`язання
1) x  x  6  0
2
2 ) Âèðàç | x - 5 | ìàº
òàêèé ñàìèé
2
ÿê ³ âèðàç (x - 5) , òîìó
x  2

 x  3
äàíà
íåð³âí³ñòü
ð³âíîñèëüí
à íåð³âíîñò³
:
( x  5 ) ( x  2 )( x  3 )  0
2
2
+
+
-
-3
-
2
5
x  (  ; 2 ]  { 5 }
Відповідь:
çíàê,
(  ; 2 ]  { 5 }.
х
3. x  x  x  1  0
3
2
Розв`язання
Розкладемо ліву частину на множники методом групування:
x ( x  1)  ( x  1)  0 ;
2
( x  1)( x  1)  0 ;
2
( x  1) ( x  1)  0 ;
2
+
-
-1
+
1
x  (  1;1)  (1;  )
Відповідь:
(  1;1)  (1;  ).
х
.
4
x 2
x
2
 2x 8
 0.
Розв`язання
1. Розкладемо знаменник на
множники:
x2
( x  2 )( x  4 )
А чи можна було
скоротити дріб на (х-2)?
 0;
А чи можна було
скоротити дріб на (х-2) і
записати, що х≠2?
2. Дана нерівність рівносильна
системі:
 ( x  2 ) 2 ( x  4 )  0;

 x  2;
 x  4.

Відповідь:
+
-
-4
+
2
x  (  4 ; 2 )  ( 2 ;  )
(  4 ; 2 )  ( 2 ;  ).
х
Проблема:
Проаналізувавши розв`язки попередніх
нерівностей та розв`язавши дві
наступні, знайти раціональний спосіб
розв`язання нерівностей виду:
( x  a ) Q ( x )  0;
( x  a ) Q ( x )  0;
( x  a ) Q ( x )  0;
( x  a ) Q ( x )  0.
2k
2k
Äå Q(x) - äåÿêèé
2k
2k
ìíîãî÷ëåí.
5. ( x  5 )( x  4 )( x  6 x  9 )  0 .
2
Розв`язання
( x  5 )( x  4 )( x  3 )  0 ;
2
+
+
-4
-
-3
-
5
x  (  ;  4 ]  {  3}  [ 5 ;  )
Висновок: дана нерівність рівносильна сукупності
 ( x  4 )( x  5 )  0 ;

 x   3.
Відповідь:
(  ;  4 ]  {  3}  [ 5 ;  ).
х
6. ( x  5 )( x  4 )( x  3 )  0
2
Розв`язання
+
+
-4
-
-3
-
x  (  4 ;  3 )  (  3;5 )
Висновок: дана нерівність рівносильна системі
 ( x  4 )( x  5 )  0 ;

 x  3.
Відповідь:
(  4 ;  3 )  (  3;5 ).
5
х
Узагальнимо розв`язання розглянутих
нерівностей:
(x  a)
2k
(x  a)
2k
 Q ( x )  0;
Q( x)  0  
x  a.
 Q ( x )  0;
Q( x)  0  
x  a.
Наприклад:
Відповідь: (  ;  1]  {3}  [ 5 ;  )
1) ( x  1)( x  3 ) ( x  5 )  0
2
Відповідь: [  7 ;  5 ]  { 6}.
2 ) ( x  7 )( x  5 )( x  6 )  0
2
4
6
8
3 ) ( x  2 ) ( x  3 ) ( x  4 ) ( x  1)  0 Відповідь: {  2 ;  3;  4 }  [1;  ).






x  1;
x   2;
х
x   3;
x  4.
-4
-3
-2
1
Продовжуючи узагальнення:
 Q ( x )  0;
( x  a) Q( x)  0  
 x  a.
 Q ( x )  0;
2k
( x  a) Q( x)  0  
 x  a.
2k
Наприклад:
1) ( x  2 )( x  3 ) ( x  5 )  0
2
2 ) ( x  4 )( x  2 )( x  6 )  0
4
-2
3
-
х
5
Відповідь:
+
+
6 х
4
2
(  ; 2 )  ( 4 ; 6 )  ( 6 ;  ).
Відповідь:
3) ( x  5 ) ( x  2 ) ( x  8 )  0
2
Відповідь: (  2 ;3 )  ( 3;5 ).
10
-2
5
8
х
(  ;  2 )  (  2 ;5 )  ( 5 ;8 ).
Спрбуємо застосувати здобуті знання
на практиці.
Розв`язати нерівність:
| x | ( x  1)
| x  4 | ( x  5)
3
Чи можна назвати
відповідь, не
прописуючи
розв`язання?
3
 0.
Розв`язання
Дана нерівність
рівносильна системі:
??
?
3
Тому не має значення, в якому
степені цей вираз.
Маємо систему, рівносильну даній:
 | x  4 | ( x  5 ) | x | ( x  1)  0 ;

 x  4;
 x  5.

3
Все дуже просто. Адже
| x  4 | 0 ïðè x  R
Відповідь: (  5;  1]  { 0 }.
 ( x  4 ) 2 x 2 ( x  5 )( x  1)  0 ;

 x  4;
Перепишемо
 x  5.

систему у вигляді:
  ( x  5 )( x  1)  0 ,

 x  4,
  x   5;


 x  0 .
х
-5
-
-1
0
x  (  5;  1]  { 0 }
4
Але розв`язання могло бути і
таким:
| x | ( x  1)
3
| x  4 | ( x  5)
3
+
+
-5
-
-1
 0.
0
x  (  5;  1]  { 0 }
Відповідь:
(  5;  1]  { 0 }.
+
х
+
4
Ще одна проблема:
цікаво, а чи можна розв`язувати
методом інтервалів нерівність виду:
P( x) Q( x)  0
Адже
P(x)  0
Відповідь:
МОЖНА
АЛЕ
P(x)
,
так само, ( x  a ) 2 k  0 ?
як і
існує тільки за умови, що P ( x )  0
Тому дана нерівність буде
2

P ( x )  Q ( x )  0;
рівносильна
СИСТЕМІ:

 P ( x )  0.
А у випадках інших знаків
нерівностей?
 Q ( x )  0;
 P 2 ( x )  Q ( x )  0;
 
P( x) Q( x)  0  
 P ( x )  0.
 P ( x )  0.
 P 2 ( x )  Q ( x )  0;
P( x) Q( x)  0  
 P ( x )  0.

 Q ( x )  0 ,

  P ( x )  0;
 P ( x )  0.

 P 2 ( x )  Q ( x )  0;
 Q ( x )  0;
 
P( x) Q( x)  0  
 P ( x )  0.
 P ( x )  0.
Як це виглядає на практиці?
7. Розв`язати нерівність:
(x
2
 4)
x
2
 1  0.
Розв`язання
Дана нерівність рівносильна
Розкладемо на множники
системі:
ліві частини нерівностей
системи:
2
2
2
 ( x  1) ( x  4 )  0 ;
 ( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  2 )( x  2 )  0 ;
 2

 ( x  1)  0 .
 ( x  1)( x  1)  0 .

+
+
-2
-1
2
1
+
+
-1
1
x  (  ;  2 ]  {  1;1}  [ 2 ;  )
Відповідь: (  ;  2 ]  {  1;1}  [ 2 ;  )
х
х
Встановити відповідність:
Íåð³âíîñò³
âèäó ax
2
 bx  c  0 ,
ñï³âïàäàþò
äå a, b, c - ÷èñëà,
a  0
Íåð³âí³ñòü
âèäó
íàçèâàþòü
Ð(õ)  0,
äå Ð(õ)  ìíîãî÷ëåí,
Íåð³âíîñò³
ì
¿õ ðîçâ`ÿçê³â
x - çì³ííà,
ïðè÷îìó
ü âñ³ ìíîæèíè
...
P(x)
âèãëÿäó
î
 ðàö³îíàëüí
äðîáîâî
íàçèâàþòü
 0,
èìè
ë
ðàö³îíàëüí
ö³ëèìè
èìè
Q(x)
äå P(x), Q(x)  ìíîãî÷ëåíè
гâíîñèëüí
èìè
íåð³âíîñò³
...
, ÿêùî
...
ïðè
íàçèâàþòü
òî÷êè...
Êîðåíÿìèì
ìíîãî÷ëåíà
íàçèâàþòü
÷åðåç ÿê³ ìíîãî÷ëåí
íåð³âíîñòÿ
è
çì³íþº
ö
íàçèâàþòü
âèäó (õ  à)
ð³âíîñèëüí
³
ÿêèõ â³í äîð³âíþº
òî÷êè...
2n
³
Q(x)  0
ïåðåõîä³
ìíîãî÷ëåí
çíàê
ì âèäó | x  a | Q ( x )  0
çì³ííî¿...
ïðè
Íåð³âíîñò³
ä
ïåðåõîä³
ïðè
Ïîäâ³éíèìè
êâàäðàòíèì
íàçèâàþòü
Ïðîñòèìè
çíà÷åííÿ
î
íàçèâàþòü
íóëþ
÷åðåç ÿê³
!
íå çì³íþº
çíàê
Дай людині рибу, і ти
нагодуєш її тільки раз.
Навчи її ловити рибу, і вона
буде годуватись нею все
життя.
Китайська мудрість.
 Успіх
приходить до того, хто
мислить категоріями успіху.
Поразка супроводжує тих, хто
мислить категоріями поразки.
 Як скрипаль змушує прекрасну
музику виливатися зі струн
скрипки, так і ви можете розбудити
ваш геній, який лише дрімає у ваших
розумових здібностях, і змусити
його привести вас до мети, що ви
для себе намітили.
Усе в вас самих. І неможливе –
можливо!
Урок закінчено.
Дякую всім за увагу та бажаю
успіхів.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа