close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1 Определение функции комплексного переменного.
Определение основных элементарных функций:
показательной, степенной, тригонометрической,
гиперболической, логарифмической.
Всякое отображение f отобр. мн-во M C, C(f: M
2 Определение производной компл. Ф-ии. Теорема о необход и
достаточных усл дифференц ф-ии. Условия Коши-Римана.
f(z) имеет производную в точке z0 если ∃ lim
C) задан
по опред закону, называется комплексной функцией.
Комплексная функция может быть не однозначной, т.е. не
всегда одному значению Z соответствует одно значение f(Z).
Область однозначности f(Z) называется областью
однолистности.
f(Z)=U(x,y)+iV(x,y)
f(Z)=r(x,y)e i φ(x,y)
Ф-ия f(z) имеет произв f’(z) в т z0 тогда и только тогда, когда
выполняются условия Коши-Римарна:




(0, 0) =

(0, 0) =



(0, 0)
(0, 0)
lim
Степенная : f(Z) = Z α(α- комплексная постоянная)
> область однолистности.)

() =   (область однолистности- любая
горизонтальная полоса шириной 2 π)
Логарифмическая:
=
∆+∆
(0+∆,0)+(0,0+)+(∆+0,0)+(0,∆+0)
−(0,0)−(0,0)
lim
∆+∆
∆∆→0
∆+∆+(∆+∆)
lim
существовал предел lim
 ′ (0) = lim

−
∆+∆
(0+∆)−()
∆
∆→0
∆
∆→0 ∆

=>

=
= lim
;
 
нужно, чтобы
∆
=−

− lim
∆
∆→0 ∆
=
Римана.
Обратное отоброжение ln  явл многознач ф-ей ln  = ln() +
(arg  + 2)
 ′ () =  ′  −  ′  =  ′  +  ′  =  ′  + ′
sin() =
2
  + −
cos() =
() =
 − −
2
= ℎ + ℎ
= ℎ − ℎ
2
2+ℎ2
+
ℎ2
2+ℎ2
Гиперболич ф-ии:
ℎ =
ℎ =
  − −
2
  + −
2
= ℎ + ℎ
= ℎ + ℎ
 = ℎ
ℎ = 
 = ℎ
ℎ = 
Также действуют и все тригоном формулы.
Ф-ии sinz, cosz, shz, chz имеют период 2 π.


+


=
-это и есть условия Коши-
ln  обратное отоброжение  
отображающая всю компл плоскость в любую горизонтальную
полосу шириной 2 π =>
Тригоном ф-ии:
=
и они должны быть равны
∆
∆→0
∆→0 ∆


 


=
∆+∆
∆∆→0
Для того чтоб сущесвовал lim
Показательная:
(0−∆)−(0)
∆
∆→0
(0+∆,0+∆)+(0+∆,0+∆)−(0,0)−(0,0)
∆∆→0
2
∆
Условия Коши-Римана как эквив условия диффер в т.
Док-во: если ∃  ′ () то ∃ lim
f(Z)=Zn,(
(0+∆)−(0)
∆→0
 ′ () вычисляется по формулам
Условия Коши-Римана явл достаточным.
3 Определение интеграла от ф-ии компл переменного, его
связь с линейным интегралом от ф-ии действитель
переменного. Теорема Коши. Интеграль формулы Коши.
Интегралом f(z) по пути  назыв следующее выражение
4 Теорема о разложении ф-ии регулярной в круге в ряд
Тейлора. Разложение основных элементарных ф-ий.

Степенной ряд комплекс чисел ∑∞
=0 ( − )  −
комплексная постоянная. Радиус сходимости

∫ () = ∫ (()). Путь отобр отрезок или кривая  в
некотор обл  ∈  это () = () + (), t- параметр кривой.
=
Интеграл от компл знач фунц опред по кривой лежащий на С и
выражается как лин интеграл.
Ряд Тейлора
Интеграль теорема Коши: Если f(z) аналитич в односвяз обл
 ∈ , то интеграл ∫ () зависит только от выбора точек
 и  кривой  и не зависит от вида кривой ().
Св-во интеграла: ∫ (11() + 22()) =
1

lim √||
→∞
Если f(z) аналитич ф-ия в круге К с центром в т a радиуса R>0,

то всегда существует степенной ряд ∑∞
=0 ( − )
сходящийся в круге К1((z-a)<R1), где Ra≤R1 к ф-ии f(z)
 =
 (0)
!
()() +
′ ()
1!
( − ) … =
 ()
!
( − )
1 ∫ 1() + 2 ∫ 2() аддитивность.
Разложить f(z) в ряд Тейлора можно единственным способом
т.к. Cn можно найти единств способом.
∫+() () = − ∫−() () Ориентированность
cos() = ∑∞
=0
∫1∩2 () = ∫1 () + ∫2 () аддитивность по
кривой.
Интеграл от компл ф-ии по кривой не зависит от
параметризации пути.
Интегральные формулы Коши. Если f(z) аналитична на
некоторой односвяз обл, то ее значение в любой т z этой
облости, а так же значения ее производных любого порядка в
этой т выражаются через значенмя этой ф-ии на замкнутом
контуре G окружающем эту т, следующ интегральными
формулами Коши:
() =
1
()
;  ′ ()
∮
2  −
  () =
!
()

∮
2  (−)+1
=
1!
()

∮
2  (−)2
,  − переменная интегрирования
(−1) 2
 ;
(2)!
(−1)
2+1
sin() = ∑∞
=0 (2+1)! 
1
1
∞
2
2+1
ch() = ∑∞
=0 (2)!  ; sh() = ∑=0 (2+1)! 
  = ∑∞
=0
1
!
 ;
( + 1) = ∑∞
=1
ln() = ∑∞
=1
(−1)−1
(−1)…(−+1) 

!

( − 1)
5 Теорема о разложении f(z) регулярной в кольце в ряд
Лорана. Единственность разложения.
Если f(z) аналитична в кольце между двумя концентрич окруж
с центром в т а(0<r≤ | − | ≤ ), то эта ф-ия может быть
представлена в виде степенного ряда Лорана () =

∑∞
=0 ( − ) , где  =
1
()
∫
2  (−)+1
+∞

() = ∑+∞
=0 ( − ) + ∑=1 (−)
Регуляр часть
1
1
∮
2 
Если аналитич функция имеет изолир особую т а, то коэфф
при −1 при степени ( − )−1 в ряде Лорана ф-ии f(z)
называется вычитом аналит функции f(z) относительно т а и
он обозн как :  _а f(z) или Выч_а f(z)
(−0)
Выча =
Главная часть
1
∮
2 
() = −1 ;  −
любая замкнутая кривая охватывающая т  = 
Если n>0, то коэфф лорановского разложения это коэфф
Тейлора, если n<0 то коэфф вычисл по формуле Лорана
(−) =
7 Определение вычита с помощью интеграла и с помощью
ряда Лорана. Теорема Коши о вычитах.
( − )−1 ()
Если f(z) имеет в т z=a≠ ∞ полюсы m-ного порядка, то
справедлива следующ формула:
1
Выча () = (−1)! lim
 −1
→  −1
Единственность разложения Лорана вытекает из того, что
коэфф можно вычислить единств образом.
6 Изолированные особые точки. Их классификация с
помощью ряда Лорана и с помощью пределов.
Точки в которых f(z) является аналитичной называются
регулярными. Если f(z) аналитична в G, за исключ некоторых
точек, то эти точки называются особыми. Т z∈  называется
изолированной особой т, если вокруг нее можно описать
достаточно малую область  не содерж других особых точек.
Классификация особых точек:
1) Если ряд Лорана не содержит членов с отриц степенями
(т.е. Cn=0 при n<0) то ряд обращается в ряд Тейлора, при этом
т а явл устранимой особенностью lim () = 0 −
{( − ) ()}
В случае устранимой особенности Выча () = 0
Теорема Коши о вычитах: если f(z) аналитична в обл  ∈ 
всюду за исключ конечного числа изолированных особых
точек , G замкнут кусочногладкая кривая охват эти точки
причем ее границы не содержат особых точек f(z), тогда
∫ () = 2 ∑∞
=1 Выч () где сумма распространяется
на все изолированные особые точки, которые попали в обл G
Док-во:  −это окруж с центром в т а и радиусом r, тогда по
теореме Коши
∫ () + ∑ ∫ () = 0 т.к. после вырезания особых т
f(z) становится аналитична в этой обл
→
конечное значение. Значение f(z) в т а можно доопределить
приняв f(a)=C0.
2) Если разложение в ряд Лорана содержит только конечное
число отриц степеней, то точка а называется полюсом ф-ии
f(z) (все Cn=0 при n<m<0) и порядок полюса а
lim () =
→
∞.
3) Если ряд Лорана содержит бесконечн число членов в отр
степенями, то т а называется существенной особенностью
∄ lim ()
→
4) т а называется нулем ф-ии f(a)=0. Связь полюса с 0: если а
явл полюсом f(z), то а- ноль ф-ии f(z).
∞
∫ () = ∑ ∫ () = 2 ∑ Выч ()


=1
8 Статическое, геометрическое и классическое определение
вероятности.
10 Условная вероятность. Зависимые и независимые события.
Теорема сложения и умножения вероятностей.
Статическое определение вероятности: пусть в некотором
опыте  событи А случайно по отношению к этому опыту.
Пусть N-общее число испытанийв опыте , , а- число
Вероятность события А при условии что уже произошло
событие В c вероятностью P(В)≠ 0 обозначается (|) и
называется условной вероятностью события А при условии В
наступлений события А в опыте . () = lim
C увеличением числа опытов частота  =

(|) =
→∞ 


стабилизируется
и приближается к постоянной величине.  − частота
наступления события А, Р(А)- пост число вокруг которого
колеблется .
Классическое определение вероятности: если для данного
опыта можно указать некоторую группу из конечного числа
событий А1,А2,…,Аn , такую что в результате наступает
каждый раз одно и только одно событие, причем все эти
события равновозможны, эти события называются случаями.
При этом те случаи которые приводят к событию А считаются
благоприятными
Р(А)=P(Ai1)+P(Ai2)+…+P(Aik)=1/n+1/n+…+1/n=k/n
где k-число благоприятных случаев, n- общее число случаев.
Геометрическое определение вероятности:
пусть Ω произвольное множество конечной длинны на прямой
или конеч площади на плоскости, условимся называть
событиями всевозможные подмножества в мно-ве Ω .
Каждому событию поставим в соответствие () =
()
M(Ω)
, где
M(Ω)- мера длинны или площади Ω,
M(A)- мера длинны или площади события  ∈ Ω.
9 Алгебра событий, аксиоматика теории вероятности, полная
группа событий.
Алгебра событий.
Суммой событий А+В называется третье событие, которое
наступает когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Произведением событий наз третье событие, которое когда
наступает и соб А и соб В.
̅ которое
Противоположным событию А называется событие А
наступает только тогда когда не наступает событие А.
Полная группа событий.
А1,А2,…,Аn- несовместные события для опыта  при этом
А1,А2,Аn называются элементами события.
Аксиоматика теории вероятности.
1) Каждому случайному событию А поставленное в
соответствие число Р(А) 0 ≤ Р(А) ≤ 1, которое называют
вероятностью А
2) Вероятноть достоверного события равно 1 P(U)=1.
3) Аксиома аддитивности
если А1,А2…Аn- попарно несовместные случайные
события т.е. P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) откуда следует, если
P(U)+P(V)=1=>P(V)=0=> вероятность недостоверного события
равна нулю.
()
()
Зависимые и независимые события. Два случайных события А
и В называются независимыми, если осуществление одного не
влияет на вероятность осущ другого, т.е. если (|)=Р(А)
тогда правило умножения имеет вид () = ()()
Теорема сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения( + ) = () + () − ()(), А и
В- случайные несовместные события. Если события А и В не
несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Док-во:  +  = ̅ +  + ̅
( + ) = (̅ ) + () + (̅)
 = ̅ + 
 = ̅ + 
() = (̅) + ()
() = (̅) + ()
(̅) = () − ()
(̅) = () − ()
( + ) = () − () + () − () + ()
( + ) = () + () − ()
11 Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Предположим что событие А может произойти только вместе
с одним из попарно несоместных событий
Н1,Н2,…,Нn(гипотезы по отношению к А) () =
(|1)(1) + (|2)(2) + ⋯ + (|)P(Hn)
Полная вероятность события А равна сумме произведения
условных вероятность этого события по каждой из гипотез на
вероятность самих гипотез.
Док-во: событие А наступает только при выполнении гипотез
Н1,Н2,…,Hn =>  = 1 + 2 + ⋯ + , если
H1,H2,…,Hn- несовместны, то и 1 + 2 + ⋯ + несовместны. Тогда по формуле сложения вероятностей
() = (1 + 2 + ⋯ + ) = (|1)(1) +
(|2)(2) + ⋯ + (|)()
Формула Бейеса.
Если предпосылки закона полной вероятности выполнены, то
можно вычислить вероятность каждой из гипотез в
предположении что событие А наступило
(|)()
(|) =
(|1)(1) + ⋯ + (|)()
Док-во: Из определения условной вероятности () =
(| )()
(|)() = (|)()=> (|) =
=>
()
(|) =
(| )()
(|1)(1)+⋯+(|)()
12 Дискретная случайная величина, ее ряд распределения.
Функция распределения дискретнойслучайной велечены.
14 Биномиальное распределение, его мат ожидание и
дисперсия.
Случайная величина  называется дискретной, если она может
принимать только конечное или счетное мно-во значений.
Таким образом она характеризуется значениями 1, 2, … ,  и
и вероятностями р1,р2,…,рn с которыми она может принимать
эти значения и которые должны удовлетворять условию
∑=1  = 1
Биномиальное распределение.
Пусть производится определенное число n независимых
опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью р
может наступить событие А, а с вероятностью q=1-p не
наступит.
-число наступлений событий А в n опытах, закон
распределения такой случайной величины
Функция распределения дискр случ величины. Это
однозначное отображение мно-ва xi на мно-во pi

 () = ∑ 
<
P
X
Таблица распределения дискр случ величины

X1
X2
…
Xn
P
P1
P2
…
Pn
0
1
2
…
k
n-1
n
Pn(0)
Pn(1)
Pn(2)
…
Pn(k)
Pn(n-1)
Pn(n)
 =  это событие состоящие в том, что успех из n испытаний
наступил k раз  ( = ) =   − ; ∑=0  = 1
Случайная величина имеющая такой закон распределения
называется Бернулевской.
Мат ожидание биномиально распределенной случайной
величины  = ∑=0    − = 
Дисперсия биномиального распределенной случайной
величины

 = ∑
( − )2   − = 
=0
15 Распределение Пуассона, его мат ожидание и дисперсия.
13 Мат ожидание, дисперсия и среднеквадратичное
отклонение дискретной случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случ величины  с
законом распределения

X1
X2
…
Xn
P
P1
P2
…
Pn
Называется число  = 11 + 22 + ⋯ + . Смысл мат
ожидания состоит в том, что вокруг  колеблется среднее
значение величины  в больших серия.
Пусть число произведенных опытов не ограниченное числом
n, а бесконечно, причем вероятность успеха достаточно мала,
тогда можно показать что биномиальное распределение
перейдет в распределение Пуассона, при чем оно бесконечно.
- распределена по закону Пуассона, если ее таблица имеет
вид:

0
p
 −
1
0
0!
 −
…
2
1
1!
 −
2
2!
…
 −

!
∑
 = 1
=1
Математич ожидание
∞
 = ∑
Среднеквадратичное отклонение  = √ называется
среднеквадратич отклонение случайной величины.
=0

 −
 =
!
Дисперсия
Формула для вычисления дисперсии:
( 2 ) − ( )2 = 
…
…
-некоторое постоянное число  = ;  → ∞  → ∞
∞
Дисперсия дискретной случ величины называется число
( −  )2 =  , т.е. мат ожиданиеквадр. Отклонения случ
величины от матем отклонения этой величины.
K
 = ;  = √
16 Геометрическое распределение, его мат ожидание и
дисперсия.
18 Равномерное, показательное и нормальное распределение.
Их мат ожидание, дисперсия и т.д.
Производится ряд независимых опытов, в результате каждого
из которых с одной и той же вероятностью р наступает
событие А. Опыты продолжаются до 1 появления события А,
- число опытов.
Равномерное распределение.
Случайная величина Х называется равномерно
распределенной на [; ] , если плотность ее вероятности на
[; ] постоянна, а в не [; ] равна 0.

1
2
3
…
n
p
p
qp
2 
…
 
-это событие состоящее в том, что опыт произвели 3 раза
причем первые 2 из 3 попыток закончились неудачей
( = 3) = (1 − )(1 − ) = 2 
∞
∑
=1
 = 1
Мат ожидание геометрического распределения
1

 =  = 2


17 Непрерывная случайная величина, ее плотность
распределения. Мат ожидание, дисперсия и
среднеквадратичное отклонение.
Случайная величина называется непрерывной если ее ф-ию
+∞
b
т.к. ∫−∞ () = 1 , то
1
() =
−
,
 ∈ []
() = {
0,
 ∉ []
1
,
 ∈ []
() = { − 
0,
 ∉ []

1
+
 = ∫ 
 =
−
2


+ 2 1
( − )2
 = ∫ ( − (
))
 =
2
−
12

a
( − )2  −   − 
 = √
=
=
12
2√3
√12

распределения можно представить в виде () = ∫−∞ ()
Неотрицательня интегрируемая ф-ия f(x) называется
плотностью распределения, т.к. lim () = 1, то должно
→+∞
выполняться условие
+∞
∫
() = 1
−∞
+∞
 = ∫
()
 = ∫
( −  ) ()
−∞
+∞
−∞
 = √
2
Показательное распределение
Показательным распределением называется распределение
вероятностей непрерывной случайной величины x , которое
описывается плотностью:
−
≥0
() = { ,
0,
<0
∞
∞
1
 = ∫ () = ∫  −  =

−∞
0
1
1
 = 2 ;  =


Нормально распределение
Случайная величина х называется нормально распределенной
если ее плотность распределения имеет вид
−(−)2⁄
1
2 2
() =

√2
- расстояние от т мах до т перегиба
а- максимум
+∞
−(−)2⁄
1
2 2  =  − мат ожид
 = ∫ 

√2
−∞
+∞
−(−)2⁄
1
2 2  =  2
 = ∫ ( − )2

√2
−∞
 = √ 2 =  − среднеквадратичное отклонение
19 Неравенство Чебышева. Закон Больших чисел(теорема
Чебышева) Теорема Бернулли.
Неравенство Чебышева.
Пусть  случайная величина имеющая конечную дисперсию.
Тогда для любого  > 0 (достаточно малого) справедливо нерво (| −  | ≥ ) ≤


Смысл этого нер-ва состоит в том, что вероятность отклонения
случ величины  от своего мат ожидания больше чем на ,
меньше чем на


,  тем меньше вероятность этого
отклонения.
Закон больших чисел.
Последовательность { } случайной величины называется
сходящейся по вероятности к случайной величине  если для
любого  > 0 выполняется равенство
lim (| − | < ) = 1
→∞
Говорят что последовательность величин { } подчиняется
слабому закону больших чисел, если для любого  > 0
справедливо равенство

1 
1
lim (| ∑  − ∑  | < ) = 1
→∞
 =1

=1
Теорема Чебышева.
Если 1, 2, 3 … последовательность попарно независимых
случайных величин, дисперсии которых равномерно
ограниченны, т.е.  ≤  для каждого k, то эта
последовательность подчиняется слабому закону Больших
чисел, т.е. при  > 0
1 + 2 + 3 …
 (|
− | < ) → 1при  → ∞


=
;  -одинаково для всех .

Теорема Бернулли.
Пусть m-число осуществлений события А в n независимых
опытах и пусть в каждом таком испытании событие А имеет

вероятность p, тогда чистота  = стремится по вероятности

к р т.е.
lim (| − | < ) = 1
→∞
20 Предельные теоремы теории вероятности.
Центральная предельная теорема в форме Ляпунова.
Если последовательность случ величин 1, 2, 3 …
удовлетворяет условию Ляпунова:
lim
∑
=1 
3/2
→∞ (∑
=1 )
=0
где di-дисперсии
ki=( − )3 -центральный момент 3-его порядка, то
справедливо предельное отношение
 − ()
lim  ( ≤
≤ ) =
→∞
√()
1  −2 ⁄2
=
∫ 
 = Ф() − Ф()
2 
Пример выполн условия Ляпунова – распределение Бернулли.
 = 1 + 2 + 3 + ⋯ +  =  – число выполнения события
в n опытах.
(1) = (2) = ⋯ () =  =  = 
 − 
lim  ( ≤
≤ ) = Ф() − Ф()
→∞
√
это центральная теорема в форме Муавра-Лапласа.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа