close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Тема. Числові послідовності.
Проект уроку з алгебри
Проблема: чи багато існує послідовностей? Де їх використовують?
Лінгвістів
Природознавців
Істориків
Числові
послідовності з
точки зору:
Селян
Древніх
Банкірів
Фізиків і
астрономів
І Вступне слово
вчителя
Мотивація теми,
мети, завдання
уроку
ІІ
Основна
частина
Наведення
прикладів
використання
числових
послідовностей
та їх розв’язання.
ІІІ Підсумок
уроку
Підбиття
підсумків уроку,
аналіз
результативності
кожної групи
2
Мета уроку: узагальнити і систематизувати, розширити і поглибити знання учнів
з теми; сприяти формуванню стійкого пізнавального інтересу до
математики; показати практичне застосування набутих знань;
виховувати почуття колективізму.
Хід уроку
І. Вступне слово вчителя.
Ви вже вивчили формули n-х членів арифметичної і геометричної прогресій, а
також формули суми n перших членів цих прогресій. Говорили про різні способи
задання числових послідовностей, зокрема «рекурентний». На сьогоднішньому
уроці ми спробуємо дати відповіді на запитання: «Чи багато існує
послідовностей?», «Чи добре вони вивчені?», «Де вони застосовуються?».
Вияснимо зміст деяких термінів.
ІІ. Основна частина.
Що означають слова «рекурентний», «прогресія»? Відповідь на це запитання
ми почуємо від лінгвістів.
Рекурентний – від латинського слова recurro – повертатися. Зміст назви цього
методу полягає в тому, що для знаходження наступного члена послідовності слід
повернутися до попереднього.
Слова «прогресія», «прогрес», «прогресивний» - одного кореня. Прогресія – це
послідовність, побудована за таким законом, який дає змогу продовжувати її
необмежено, тобто рухатися вперед.
Термін «прогресія» вперше зустрічається у римського вченого Боеція
(V-VI ст..). У ХVІІ ст. поряд із терміном «прогресія» для позначення
послідовності використовували термін «ряд».
- Якщо члени послідовності – цілі числа, то такі послідовності називаються
цілочисловими. А чи багато таких послідовностей? Чи добре вони вивчені, чи
широко відомі? Послухаємо істориків.
Виявляється, що таких послідовностей багато. Усі вони дуже цікаві, але деякі з
них відомі ще мало. Лише в 1973 р. у США було видано довідник числових
послідовностей. У ньому було описано більше 2300 послідовностей, кожна під
своїм номером. У цьому списку під номером 577 записано послідовність: 1, 2, 5,
14, 132, 429,…
Члени цієї послідовності називаються числам Каталана на честь
бельгійського вченого Ежен Шарля Каталана, який у 1838 р. вперше описав цю
послідовність.
3
Першим із числами Каталана зустрівся Леонард Ейлер, розв’язуючи задачу:
скількома способами опуклий многокутник можна розділити на трикутники
діагоналями, що не перетинаються?
Відповідно до цієї задачі є числа Каталана:
- Для трикутника – 1 спосіб;
- Для чотирикутника – 2 способи;
- Для п’ятикутника – 5 способів;
- Для шестикутника – 14 способів і т. д.
З допомогою чисел Каталана розв’язується більше 450 математичних задач.
От яка це цікава послідовність!
Іншим прикладом цілочислової послідовності є послідовність Фібоначчі: 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21,…, названої на честь Леонардо Пізанського, відомого ще як Фібоначчі.
Його творчість вплинула на розвиток алгебри і теорії чисел, зокрема на
дослідження таких видатних математиків, як Франсуа Вієт і П’єр Ферма.
Леонардо народився у великому італійському місті – республіці Піза. Невдовзі
після народження сина його батька направили зі службовим дорученням до Буджі
(Алжир), де він виконував обов’язки, близькі до консульських. Пізніше туди
переїхав і Леонардо.
Фібоначчі відвідав Єгипет, Сирію, Грецію, Сицилію, Прованс і скрізь
цікавився математичними працями різних учених. Повернувшись до Пізи, він
серйозно зайнявся математикою. Ознайомившись із «Началами» Евкліда і
поєднавши ці знання з тим, про що Леонардо довідався від арабських учених, він
видав у 1202 р. «Книгу абака» - справжню енциклопедію математичних знань
своєї епохи.
Ряд Фібоначчі згодом виявився дуже корисним у науці. Він відомий не тільки
математикам, а й людям інших професій.
- Ряд Фібоначчі відомий ще й природознавцям. Їм слово.
Якщо дерево розгалужується щороку і на другому році має 2 гілки, то на
третьому кількість гілок звичайно доходить до 3, на четвертому – до 5, на п’ятому
– до 8, і так щороку. Отже, кількість гілок є послідовністю чисел ряду Фібоначчі.
Листя на гілках росте навколо стебла рівномірно за гвинтовою лінією, тобто
кожний наступний листок знаходиться вище й убік від попереднього. При цьому
для кожного виду рослин характерний свій кут розходження сусідніх листків. Цей
кут звичайно виражається дробом, що показує, яку частину кола він становить.
1
1
3
2
5
3
8
13
Так у липи і в’яза кут розходження листків становить частини кола, у бука дуба і вишні -
2
5
, у тополі і груші - , у верби -
,у
тощо. Такий самий кут у
4
кожного виду рослин зберігається також і в розташуванні гілок, бруньок, а також
у квітів.
1 1 2
Найпоширеніші серед рослин такі кути розходження (у частинах кола): , , ,
3 5
,
2 3 5
, . Ряди чисельників і знаменників – це послідовності Фібоначчі.
8 13
Послідовність Фібоначчі можна спостерігати у будові соняшника.
Крім послідовності Фібоначчі в математиці відомі і числа Фібоначчі, що
утворюють арифметичну прогресію.
- Про арифметичну і геометричну прогресії відомо здавна. Послухаємо і
розв’яжемо найдавніші задачі на прогресії.
Задача 1. (про розподіл хліба), записана у відомому єгипетському папірусі Рінда:
Сто мір хліба слід розділити між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на
стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого,
четвертий – більше від третього і п’ятий більше від четвертого. Крім того, двоє
перших повинні одержати в сім раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати
кожному?
Розв’язання.
Кількості хліба, які одержують учасники розподілу, становлять зростаючу
арифметичну прогресію.
Нехай перший її член х, різниця – у. Тоді:
х – частина першого,
х+у – частина другого,
х+2у – частина третього,
х+3у – частина четвертого,
х+4у – частина п’ятого.
За умовою задачі складемо систему рівнянь:
{х + (х + у) + (х + 2у) + (х + 3у) + (х + 4у) = 100,
7(х+(х+у))=(х+2у)+(х+3у)+(х+4у).
Після спрощення система набирає вигляду:
х+2у=20
11х=2у
Розв’язавши цю систему, одержимо:
2
1
3
6
х=1 , у= 9
2
5
1
1
3
6
6
3
Відповідь: хліб слід розділити на такі частини: 1 , 10 , 20, 29 , 38 .
Задача 2. (купівля коня) з «Арифметики» Магницького.
5
Дехто продав коня за 156 рублів. Але покупець передумав купувати коня і
повернув його продавцю зі словами: «Немає мені інтересу купувати за таку ціну
коня, який таких грошей не коштує» Тоді продавець запропонував інші умови:
«Якщо по-твоєму ціна коня висока, то купи лише цвяхи з його підков, коня
одержиш тоді на додачу безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях
дай мені всього 0.25 копійки, за другий – 0.5 копійки, за третій – 1 копійку і т. д.
Покупець, бажаючи задарма одержати коня і розраховуючи, що за цвяхи
доведеться сплатити не більше 10 рублів, прийняв умови продавця. На скільки
покупець проторгувався?
Розв’язання
Вартість цвяхів становить геометричну прогресію. За 24 цвяхи доведеться
сплатити
1
1
4
2
+ +1+2+22 +23 + …+224−3 копійок.
3
Ця сума дорівнює: 4 194 303 (к), тобто близько 42000 рублів.
4
За таких умов можна дати і коня на додачу.
- А чи мають застосування прогресії у фізиці та астрономії?
Вперше задачі на прогресії виникли зі спостережень над явищами природи і з
досліджень суспільно-економічних явищ, до яких можна застосувати закон
прогресії. Так, у вавилонських текстах розповідається про те, що збільшення
освітленої частини місячного диска протягом перших п’яти днів відбувається за
законом геометричної прогресії зі знаменником 2, у наступні 10 днів – за законом
арифметичної прогресії з різницею 16.
Задача 3. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4.9 м, а за
кожну наступну на 9.8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо вільно падаюче
тіло досягло її дна через 5 с після початку падіння.
Розв’язання
Запишемо цю фізичну задачу мовою прогресії. Дано арифметичну прогресію, у
якої а1 =4.9; d=9.8; n=5. Знайти 5 .
5 = (2*4.9 +4*9.8)/2=122.5
Відповідь. глибина шахти 122.5 м
- Як ви думаєте, а в с/г прогресії використовуються?
Задача 4. Потрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб
найменший мав довжину 5 дм, а кожний наступний був на 2 м довший (до 7-го
стержня) Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів.
6
Розв’язання
Маємо арифметичну прогресію (а ), де а1=5, d=2
1-й спосіб.
2∗5+5∗2
2∗5+6∗2
2
2
S=s6+s7=
*6+
∗ 7=60+77=137 (м)
2-й спосіб
2∗5+5∗2
S=2s6+a7=2*
2
∗ 6 + 5 + 6 ∗ 2 = 120 + 17 = 137(м)
Відповідь. Потрібно 137 м дроту.
Задача 5. Поливання грядок.
У городі 30 грядок, кожна довжиною 16 м і шириною 2.5 м. Поливаючи
грядки, городник приносить відра з водою з колодязя, розташованого в 14 м від
краю городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, перенесеної за один
раз, вистачає для поливання лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить
городник, поливаючи весь город? (шлях починається і закінчується біля колодязя)
Розв’язання.
Для поливання першої грядки городник проходить шлях
14+2.5+16+2.5+16+14=65 (м)
Для поливання другої грядки він проходить
14+2.5+16+2.5+16+2.5+2.5+14=70 (м)
Для кожної наступної грядки потрібно пройти шлях, на 5 м довший за попередній.
Маємо арифметичну прогресію:
65, 70, 75, …
2∗65+29∗5
Обчислимо s30=
2
∗ 30 = 4125 (м)
Відповідь. Городник, поливаючи грядки, проходить шлях 4,125 км
- Геометричними прогресіями користуються навіть банкіри.
Задача 6. Ощадбанк виплачує 2% річних. На яку суму перетвориться вклад у 100
грн наприкінці кожного року? За перший чи другий рік приріст вкладу більший?
Розв’язання
За перший рік приріст вкладу становитиме: 100*0.02=2 (грн.)
І вся сума вкладу буде: 100+2=102 (грн.)
За другий рік приріст вкладу становитиме: 102*0.02=2.04 (грн.) і вся сума вкладу
буде:102+2.04=104.04 (грн.)
За третій рік приріст вкладу становитиме: 104.04*0.02=2.08 (грн.) і вся сума
вкладу буде: 104.04+2.08=106.12 (грн.)
Вклад: 100, 102, 104, 106, …;
7
Приріст: 2, 4, 6, …
Отже, кількість грошей збільшується за законом геометричної прогресії. У банках
є спеціальні таблиці, за якими можна швидко робити розрахунки.
ІІІ Підсумок уроку.
(думки учнів про важливість вивчення теми)
Як бачите, прогресії відомі здавна, а тому навіть не можна сказати, хто їх
відкрив. Адже і натуральний ряд 1, 2, 3, 4, … - це арифметична прогресія, в якої
а1=1, d=1. Під час розкопок у Єгипті було знайдено папірус, що датується 2000 р.
до н. е., але й його було переписано з іншого, ще давнішого, віднесеного до
третього тисячоліття до н. е. Учені розшифрували текст папірусу і прочитали
кілька задач. Зміст деяких з них дає можливість віднести їх до задач на прогресії.
Послідовностей є багато і використовуються вони у різних сферах діяльності
людини. У цьому ви переконалися під час роботи кожної групи.
IV Домашнє завдання.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа