close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Иванов Д.И.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 – «Математика»,
профиль подготовки:
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Иванов Д.И.. Теория чисел. Учебно-методический комплекс. Рабочая для студентов для
направления 01.03.01 – «Математика», профиль подготовки: «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Теория чисел»
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Иванов Д.И., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина "Теория чисел " обеспечивает приобретение знаний и умений в
соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:
- овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для применения
математических методов в практической деятельности и в исследованиях;
- ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами, составляющими теоретические основы информатики;
- развитие логического мышления;
- обеспечение студентов знаниями по по конкретному объекту – целым числам, необходимые для понимания математики, теории вероятностей и других математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала
дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Теория чисел входит в вариативную часть цикла Б1. Для ее успешного изучения
достаточно знаний и умений, приобретенных при изучении курсов математического анализа и алгебры в первом и втором семестрах.
Освоение теории чисел является основанием для успешного освоения дальнейших
курсов – дополнительные главы дискретной математики, криптография и криптоанализ;
вычислительная математика, дискретная математика, приобретенные знания также могут
помочь в научно-исследовательской работе.
Таблица 1.
1.1
1.
2.
3.
4.
Дополнительные
главы дискретной
математики
Криптография и
криптоанализ
Вычислительная
математика
Дискретная математика
1.2
2.1
2.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2.3
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
4
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
способностью к определению общих форм и закономерностей отдельной предметной области (ПК-1);
способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать: свойства простых и составных чисел, законы распределения простых чисел в натуральном ряде, свойства колец классов вычетов по натуральным модулям, основные свойства алгебраических расширений поля рациональных чисел и конечных полей,
свойства арифметических функций.
Уметь: решать линейные и квадратичные уравнения от нескольких переменных,
системы линейных уравнений в целых числах. Устанавливать разрешимость и находить
решения алгебраических сравнений и систем сравнений, показательных сравнений. Вычислять значения арифметических функций. Строить рациональные приближения к действительным числам.
Владеть: современными теоретико – числовыми алгоритмами.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – третий. Форма промежуточной аттестации: экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 академических часа, из них 76,65
часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 67,35 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость, час.
Зач. Ед.
Таблица 2.
Всего часов
76,65
72
36
36
4,65
67,35
экзамен
144
4
5
3. Тематический план
3 семестр
Таблица 3.
2
3
Модуль 1
1–2
1.1 Теория делимости
.
3 –4
1.2 Важнейшие функции
. теории
чисел
Всего*
Модуль 2
5–7
2.1 Сравнения
.
8-12
2.2 Сравнение с одним
. неизвестным.
13-14
2.3 Сравнения второй
. степени.
Всего*
Модуль 3
15 – 16
3.1 Трансцендентные
. числа
17 – 18
3.2 Распределение про. стых чисел в арифметических прогрессиях.
Всего*
Итого (часов, баллов)*:
Из них часов в интерактивной форме
* с учетом иных видов работ
7
8
4
4
8
16
4
0-21
4
4
8
16
4
0-26
8
8
16
32
8
0-47
6
6
12
24
2
0-12
10
8
16
34
4
0-12
4
6
12
22
4
0-17
20
20
40
80
10
0-41
4
4
8
16
6
0-6
4
4
8
16
4
0-6
8
36
8
36
16
72
32
144
10
28
0-12
0-100
10
18
1
4
Самостоятельная работа
5
Из
них
в
интерактив
ной
фор
ме
9
Семинарские (практические)
занятия*
Лабораторные работ
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
Ито
го
часов
по
теме
Итого
количество
баллов
10
28
6
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
реферат
Письменные работы
контрольная
работа
ответ на
семинаре
Устный опрос
собеседование
№
Итого
количество
баллов
Таблица 4.
-
0-1
0-1
0-20
0-25
0-21
0-26
-
0-2
0-45
0-47
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-1
0-1
0-3
0-10
0-10
0-15
0-35
0-12
0-12
0-17
0-41
0-1
0-1
0-2
0-5
0-1
0-1
0-2
0-7
0-80
0-4
0-4
0-8
0-8
0-6
0-6
0-12
0-100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Теория делимости.
Свойства делимости. Алгоритм Евклида и следствия из него. НОК. Связь алгоритма Евклида с непрерывными дробями. Простые числа. Каноническое разложение целых чисел.
1.2. Важнейшие функции теории чисел.
Функция [x]. Мультипликативные функции. Вывод формул для S(n) и τ(n). Функции
Мёбиуса и Эйлера, их свойства.
Модуль 2.
2.1. Сравнения.
Свойства сравнений (Теорема 1 и 2). Полная и приведённая системы вычетов. Теорема
Эйлера и Ферма.
2.2. Сравнение с одним неизвестным.
Сравнения первой степени. Система сравнений первой степени, китайская теорема об
остатках. Сравнения любой степени по простому и составному модулях. Решение сравнения () ≡ (  ).
2.3. Сравнения второй степени.
Общие свойства сравнения  2 ≡  ( ). Символы Лежандра и Якоби, их свойства.
Случай составного модуля.
7
Модуль 3.
3.1. Трансцендентные числа.
Иррациональность числа е. Теорема Линдемана. Трансцендентность числа π Теорема
Гельфонда (без доказательства) и следствие из неё.
3.2. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Теорема Дирихле. Бесконечность простых чисел вида 4t + 3, 4t + 1 и 6t + 1.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Занятие 1-3. Теория делимости.
Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольших делителей двух чисел.
Разложения рациональных чисел в непрерывные дроби с составлением таблиц подходящих дробей. Нахождение канонического разложения чисел. Применение решета
Эрастосфена.
Занятие 4. Важнейшие функции теории чисел.
Нахождение канонического разложения числа вида n!. Вычисление числа и суммы
делителей (() и ()). Составление таблиц значений для функции Мёбиуса и Эйлера ( и ).
Модуль 2.
Занятие 5. Сравнения .
Использование свойств сравнений для их упрощения
Занятие 6-9 Сравнение с одним неизвестным.
Решение сравнений вида : ≡ ( ). () ≡ ( ) и систем сравнений.
Занятие 10-14. Сравнения второй степени.
Решение сравнений второй степени типа вида : х2 ≡ ( ). Вычисление символов Лагранжа и Якоби.
Модуль 3.
Занятие 15-16. Трансцендентные числа.
Использование критериев для определения по числу его алгебраичность или иррациональность. Иллюстрация теорем численными примерами.
Занятие 17-18. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Использование формул для оценки числа простых чисел, меньших данного ( возможно применение персональных компьютеров).
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
8
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 5.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Теория делимости
Важнейшие функции
теории чисел.
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
2.1 Сравнения.
2.2 Сравнение с одним неизвестным.
2.3 Сравнения второй сте.
пени.
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Проработка
лекций, работа с литературой, решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство
с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной
сложности.
1.2
Решение задач; выполнение самостоятельных и
контрольных
работ.
Домашние
задания.
Подготовка
ко всем видам
контрольных
испытаний, в
том числе к
текущему
контролю
успеваемости
(в течение семестра), промежуточной
аттестации
(по окончании семестра).
Написание
программы
Неделя семестра
Объем
часов
Колво
баллов
1–2
8
0-21
3-4
8
0-26
16
0-47
5-7
8-12
12
16
0-12
0-12
13-14
12
0-17
9
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
3.1 Трансцендентные
числа.
Распределение простых
чисел в арифметических прогрессиях.
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*:
* с учетом иных видов работ
3.2
Проработка
лекций, работа с литературой, решение
типовых задач
Подготовка
рефератов
40
0-41
15 – 16
8
0-6
17 – 18
8
0-6
16
72
0-12
0-100
10
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Выписка из матрицы соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
ПК-1
ПК-3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Уравнения в частных производных
Комплексный анализ*
5 семестр
Математический анализ*
Математический анализ*
Теория чисел
Математический анализ*
Математический анализ*
Индекс
компетенции
4 семестр
Математическая логика*
3 семестр
Дифференциальные уравнения*
2 семестр
Дифференциальные уравнения*
1 семестр
Аналитическая геометрия*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
Аналитическая геометрия*
Б1. Дисциплины (модули)
+
+
+
ПК-1
ПК-3
+
+
+
+
+
+
Индекс
компетенции
+
+
+
Теория обобщенных функций
+
+
Физика
Методы оптимизации
6 семестр
Банаховы алгебры и гармонический анализ
Пространства непрерывных функций
Теория категорий
Случайные процессы*
Функции с ограниченной вариацией
Непрерывные группы
Уравнения в частных производных
Комплексный анализ*
Б1. Дисциплины (модули)
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
7 семестр
+
+
12
Б1. Дисциплины (модули)
Б2. Практики
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
8 семестр
6 семестр
8 семестр
+
+
+
Выпускная квалификационная работа*
+
Преддипломная практика
+
+
Учебная практика
Р-адический анализ
ПК-1
ПК-3
Пространства Соболева
Вариационное исчисление
Индекс
компетенции
+
+
* - дисциплина базовой части
13
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-1
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные
понятия и утверждения, а также
методы
доказательства
стандартных
утверждений
решать Умеет: решать
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные
понятия и утверждения
:
Знает: основные понятия и утверждения, а
также методы доказательства утверждений,
выявление закономерностей:
Умеет:
Умеет: решать задачи
простейшие задачи вычислительного и теоретического характера теории
стандартные
задачи вычислительного
и
теоретического
характера теории
чисел
чисел, выявлять
закономерности,
доказывать
стандартные
утверждения
Владеет: матема- Владеет: математическим аппа- тическим аппаратом
теории ратом
теории
вычислительного и
теоретического характера теории чисел,
доказывать
утверждения
чисел
ческими методами
исследования объектов
чисел
Виды занятий (лекции, семинар
ские, практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
Лекции,
практические занятия
Контрольные работы, коллоквиумы,
домашние
задания.
Владеет: математическим аппаратом теории чисел, аналити-
ПК-3
Знает: простей- Знает: основные Знает: теоремы теории Лекции,
Контрольшие утверждения утверждения тео- чисел
практиченые работеории чисел
рии чисел
ские заня- ты, коллоУмеет:
доказы- Умеет: сформувать простейшие лировать резульутверждения
тат, доказывать
основные утверждения
теории
чисел, получать
следствия из них
Умеет: сформулиро- тия
вать результат, доказывать
утверждения
теории чисел, получать следствия из них
квиумы,
домашние
задания.
Владеет: методами доказательств
простейших
утверждений
Владеет: метода- Владеет:
методами
ми доказательств доказательств утверстандартных
ждений
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Варианты контрольных работ.
Контрольная работа № 1.
1. Найти НОД (6188,4709).
125
2. Разложить в непрерывную дробь  = 92 .
3. Найти каноническое разложение числа 125!
4. Вычислить () и S(α), α =2800.
5. Найти φ (5040), µ(147) и µ(143).
Контрольная работа № 2.
1. Решить сравнение 256х ≡ 179 ( 337).
2. Решить систему сравнений
х ≡ 3( 8), х ≡ 11 ( 20), х ≡ 1 ( 15).
3. Решить сравнение 9х2 +29х +62 ≡ О ( 64).
Контрольная работа № 3.
1. Указать число решений сравнения:
а) х2 ≡ 5( 73),
б) х2 ≡ 3( 75),
в) х2 ≡ 226( 563),
г) х2 ≡ 429( 563).
Темы рефератов:
1. Теорема Дирихле.
2. Работа П.Л.Чебышева о функции π(х) .
3. Теорема Мертенса.
4. Трансцендентность числа π.
5. Трансцендентность числа е.
Вопросы к экзамену:
1.Алгоритм Евклида, НОД и НОК.
2. Непрерывные дроби. Таблицы подходящих дробей.
3. Функции [x] и {x}.
4. Мультипликативная функция. Формулы S(n) и ().
5. Функция Мёбиуса.
6. Функция Эйлера.
7. Предложения 1 о сравнениях (5 свойств).
8. Предложения 2 о сравнениях (6 свойств).
9. Полная и приведённая система вычетов.
10. Теоремы Эйлера и Ферма.
15
11. Сравнение  ≡ ( ).
12. Система сравнений первой степени.
13. Сравнения () ≡ ( ) . Теорема Вильсона.
14. Сравнения () ≡ ( 1 , 2 , … ,  ) .
15. Сравнения х2 ≡ ( ).
16. Свойства символа Лежандра.
17. Свойства символа Якоби.
18. Сравнения вида х2 ≡ (  ) и х2 ≡ ( 2 ).
19. Показатели и первообразные корни.
20. Бесконечность простых чисел вида 4t + 1 и 6t + 1.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы проводятся на семинарах.
Промежуточная аттестация:
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 6
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 6.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
16
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Вся высшая математика: учеб. для студ. втузов : в 7 т./ М. Л. Краснов [и др.]. Москва: УРССТ. 7: Теория чисел; Общая алгебра; Комбинаторика; Теория Пойа; Теория Графов; Паросочетания; Матроиды. - 2006. - 208 с.
2. Смолин, Ю. Н. Алгебра и теория чисел [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ю. Н.
Смолин. — 4-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Наука, 2012. Режим доступа:
http://znanium.com/bookread.php?book=456995 (Дата обращения: 23.12.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Герман, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии: учебник для студентов
вузов, обучающихся по направлениям подготовки "Информационная безопасность"
и "Математика"/ О. Н. Герман, Ю. В. Нестеренко. - Москва: Академия, 2012. –
272 с.
2. Кнауб, Л. В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс] :
Учеб. пособие / Л. В. Кнауб, Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. - Красноярск : Сибирский
федеральный
университет,
2011.
Режим
доступа:
3.
4.
5.
6.
7.
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=441493 (Дата обращения: 23.12.2014)
Мартынов Л.М. Элементы алгебры и теории чисел: учеб. пособие/ Л. М. Мартынов.
- Омск: Изд-во СибАДИ, 2006. - 195 с.
Молдовян, Н. А. Введение в криптосистемы с открытым ключом: [учеб. пособие]/
Н. А. Молдовян, А. А. Молдовян. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.
Рожков, А. В. Теоретико-числовые методы в криптографии: учеб. пособие/ А. В.
Рожков, О. В. Ниссенбаум. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007. - 156 с.
Хинчин А.Я. Избранные труды по теории чисел/ А. Я. Хинчин ; ред. Ю. В. Нестеренко. - Москва: МЦНМО, 2006. - 260 с.
Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов
вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
17
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий используется следующее программное обеспечение:
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
18
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа