close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математических и компьютерных методов
В.Г. ЛЕЖНЕВ, А.Н. МАРКОВСКИЙ
ЗАДАНИЯ НА MATHCAD ПО КУРСУ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Электронный ресурс
http://www.lvg.kubsu.ru
Краснодар - 2014
Задание №1
Номер варианта k задания определяется номером студента по списку
группы. Каждому варианту соответствует криволинейный треугольник Q k с
границей S  S k (см. методичку [1], с. 5).
Для вычисления криволинейного интеграла
I f x, yds
S
требуется свести его к определенному интегралу по ( t 0 , T ) , используя равенства:






S
:x

x
t
,y

y
t
,t

t
,T
,
0








dt
ds

x
t
y
t
.
2
2
Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Jf(x,y)dx
S
вдоль ориентированной кривой сводится к вычислению следующего
определенного интеграла по ( t 0 , T )
T

J

x
(
t
),
y
(
t
))
x
(
t
)
dt
f(
t0
(направление обхода контура S определяет знаки приращений d x , d y в разных
частях контура и, следовательно, знаки x(t)dt, y(t)dt, а также связанную с
этим расстановку пределов интегрирования).
Задача 1.1(k). Вычислить аналитически и на ЭВМ двойной и
криволинейные интегралы первого и второго рода
J0 dxdy
,
Q
J1   2ds
J2   ydx
S
S
,
,
J3 

S
x dy
по указанным контурам S  S k c положительным направлением обхода, записав
для
каждой
части
контура
параметрическое
Sk
представление
и
соответствующие определенные интегралы, учитывая направление обхода.
Если точка ( x , y ) движется по контуру S , то вектор dx, dy  является
касательным ( x, y – вектор хорды), т.е. xt, yt также касательный
вектор,
направленный
по
направлению
обхода,
dt0
(положительное
направление обхода – область остается слева). При этом вектор yt,xt
повернут на 90˚ по часовой стрелке по сравнению с xt, yt, т.е. является
вектором внешней нормали при положительном обходе контура; вектор


n
x
,y








y
t
,
x
t
2
2










x
t

y
t
является внешней единичной нормалью к S .
Производная f  x , y  по нормали n  x , y  определяется равенством



f
x
,y





n
x
,y


f
x
,y
.

n
Задача 1.2(k). Вычислить значения криволинейного интеграла



 
2
2
1

m
m
J
(
x
,
y
)

ln
x

x

y

y
ds
3
m
m

,
4

n
S
m
m
где S  S k – указанный для каждого варианта контур, точки x , y , m1, 2, 3
–
соответственно
внешняя,
граничная
и
внутренняя
точки
(выбрать

самостоятельно), n nx, y– внешняя единичная нормаль к S .
Отчет. Требуется (после краткой формулировки задания, ФИО в правом
углу) записать параметрическое представление дуг заданного профиля;
представить их графики; определить векторы внешних нормалей; записать
подынтегральные функции интегралов, вычислить интегралы.


m
m
Дополнительные вопросы. 1) Доказать, что функция ln
x
y
x
y
2
m m
является гармонической при (x, y)x , y , а функция






(
r
,
t
)

ln
x

r
y

t
ds

2
2
S

2
гармоническая в Q и в области Q R \ Q.
2) Доказать асимптотическое равенство







(
r
,
t
)

ln
r

t
ds

o
(
1
),
r

t



2 2
22
S
(рассмотреть разность




(
r
,
t
)

ln
r
t
ds

).
2
2
S
Литература
Дроботенко М.И. и др. Методы вычислений (практикум).
1.
Краснодар, 2009.
Задание №3. Аппроксимация, полные системы, задача Робена.
Задание №3. Краевые задачи уравнения теплопроводности.
Решение
u( x , t )
1-ой краевой задачи (1), (21), (3):
2
u
u
(
x
,t)
f(
x
),
t
x
x
u|
x0
u|
 0(t),
u|
t0
x  ( 0,1) ,
x1
t ( 0,  ) ;
(1)
 1(t) ;
(21)
H(x)
(3)
и решение 2-ой краевой задачи (1), (22), (3):
u
n
u
  0 (x) ,
x0
(22)
 1( x) ,
n
x 1
легко получить, если граничные функции
0 , 1
(разложением функций f (x), Hx и решения
равны нулю, методом Фурье
u( x , t )
по собственным функциям
ωm соответственно 1-ой и 2-ой спектральной задачи оператора Лапласа). Пусть
функция
y  H ( x)
треугольника
Qk
, определяется для варианта k криволинейными сторонами
(см. [1], с. 14). Приближенное решение обозначим
N
u
N
( x , t )   с m (t )  m ( x )
.
1
Задача 2.1(k). Построить аналитическое решение методом Фурье при
0  1  0
и f ( x)  0 и представить формулы коэффициентов Фурье –
задачи (1), (21), (3) для нечетных вариантов k,
задачи (1), (22), (3) для четных вариантов;
вычислить 20 первых коэффициентов Фурье
построить графики функций
N
N
Hn
u ( 0 . 3, t ), u ( 0 . 5 , t ),
начальной функции
t 0
(N

y  H ( x)
5, 10, 20, сравнить
их).
Задача 2.2(k). Решить эти задачи для неоднородного уравнения
)
0
.5
q
sin
q

x
теплопроводности при f(x
, где q=2 для нечетных номеров и
q=4 для четных номеров k ; построить графики функций
N
N
u ( 0 . 3, t ), u ( 0 . 5 , t ),
t  0.
,
Задача 2.3(k). Обратная теплопроводность. Найти начальное
распределение
v( x, t )
t0
 G ( x ).
температуры в стержне, если в момент времени
T>0 задано финальное распределение H(x) – указанная выше функция, v(x, t)
– решение задачи:
vt ( x, t )   v ( x, t )
x Q
v ( x, t )  Q  0,
,
v ( x , t ) t  T  H ( x ),
Рассмотрим метод простейшей регуляризации,

(4)
– малый положительный
параметр:
vt ( x, t )  v( x, t )
x Q
,
v( x, t )
Q
 0,
 v( x, 0)  v( x, T )  g ( x)
с использованием разложения Фурье в случае ограниченных областей.
В данном случае
v ( x, t ) 

 c k ( t ) sin k  t ,
g ( x) 
1

 a k sin k  t , и для
1
искомых коэффициентов получаем краевую задачу для дифференциального
уравнения 1-го порядка, решением которой будут c K ( t ) 
exp(  K t )
  exp(  K T )
,
 K  собственные числа оператора Лапласа на ( 0 ,1).
Т р е б у е т с я: для данного Т (Т = 0.1) и выбранного  решить
обратную задачу (4), определить приближенно начальную функцию v ( x , 0 ) ,
для нее получить решение прямой задачи, вычислить погрешность
v( x,T )  H ( x)
( 0 ,1)
при разных 
Задание № 4. Уравнения Лапласа, Пуассона и бигармоническое.
Рассматриваются краевые задачи:
 u ( x , y ) Q  0,
u
S
 g ( x, y ) ,
(1)
v
 v ( x , y ) Q  f ( x , y ),
 w( x, y )
 0, w
2
n
(2)
S
w
 g ( x , y ),
S
Q
 h ( x , y ) , ( x, y )  D .
 0 , ( x, y )  Q .
n
(3)
S
Если в (2) граничные условия нулевые (однородные), то удобно
использовать
функциям);
v ( x, y ) 
N
метод
Фурье
аппроксимацию
(метод
разложения
решения
v( x, y )
по
собственным
обозначим
N
v ( x, y )
,
N
 v n k  n k ( x , y ).
n,k0
D= (0, a)  (0, b), то собственными
В частности, если h(x, y)=0,
функциями оператора Лапласа, образующими полную систему в
L 2 ( D ) , будут функции.
 n k ( x , y )  C n k cos
n x
cos
k y
a
n , k  0 , 1, 2 , ... ,
,
b
Задача 3.1(k). Вычислить нормирующие коэффициенты
C n k . Для
D=(0,a)  (0,b) при
h(x,y)=0
задачи (2) в прямоугольной области
вычислить
коэффициенты
ортонормированной
решение
f ( x , y )  H ( x ) cos( K 
системе
(в
3
разложения
vn k
 n k ( x, y )
и
виде
y ), a  1, b  3, K  k mod 3  1
k и f ( x , y )  cos( K 
2
x ) H ( y ),
a  2,
решения
получить
ряда),
v( x, y )
по
аналитическое
где
для нечетных вариантов
b  1, K  k mo d 2  1
для четных
вариантов k; функция H(x) для варианта k определяется сторонами
S2, S3 криволинейного треугольника Q k ([1], с. 14).
Вычислить
погрешность
 ( N )  (  (  v ( x , y )  f ( x , y ) ) dx dy )
N
2
1
2
,
D
представить график v N ( x , y ) , для
n , k  0 ,1, ..., 9
получить таблицу
коэффициентов,.
Задача
3.2(k).
Решить
 Q k  S  S1  S 2  S 3 ,
численно
g ( x, y )  p
задачу
(1),
где
Q  Qk ,
при ( x , y )  Sp , используя систему
функций  m , m  1, ..., N (см.[1], задача 5.1); вычислить погрешность
 ( N ) . Вычислить интеграл

S
u
N
n
ds.
Задача 3.3(k). Решить численно задачу (3) с данными задачи 3.2,
используя систему функций  m , см. [1], с. 28.
Отчет. Представить вместе с формулировками задач: представление
решения v ( x , y ) и формулы коэффициентов v n k , таблицу вычисленных
коэффициентов, графики  v N ( x , y ) и f ( x , y ) , погрешности  ( N ) и  ( N )
для разных N (выбрать N так, что погрешности меньше 10 - 5 ), графики
линий уровня функций u ( x , y ) , w ( x , y ) (физическая интерпретация:
если u ( x , y ) , w ( x , y ) – функции тока, то вершины треугольника – это
источники и стоки).
З а д а н и е № 5.
Решить краевые задачи (1), (21), (3), (1), (22), (3),
u
u
(
x
,t)f(
x
),
tt
x
x
u|
x0
 0(t),
u|
x
x  (0,  ) ,
  1 (t ) ;
t ( 0,  ) ;
(1)
(21)
u
u
|x0  0,
n
n
u
 u ( x) ,
0
u|
t0
0.
|x  
n
(22 )
 u ( x)
1
(3)
t 0
методом Фурье,
u ( x, t ) 

 a n (t )
2
1

cos nx  b n ( t ) 2

sin nx
.
Задача 4.1(k). Для номеров k  1, 2 , ..., 12 решить задачу
(1), (21),
t)
t)0
, разложением функций по синусам кратных дуг ( a ( t )  0 ).
(3), 
1(
0(
n
Для номеров k  1, 2 , ..., 6 взять
u ( x )  H ( x ), x  ( 0 ,1), u ( x )  0 , x  (1,  ); u ( x )  0
0
0
1
Для номеров k  7 , ..., 12 –
u ( x )  0,
0
u ( x )  H ( x ), x  ( 0 , 1), u ( x )  0 , x  1,  ). 
1
1
Функция H  x  ,
x  ( 0,1) ,
определяется криволинейными сторонами
треугольника Q k (см. [1], с. 14).
Записать в аналитическом виде решение задачи (1), (21), (3) методом Фурье
при f ( x)  0 ; выписать формулы для коэффициентов
b n ( t ) : b n( t )   n b n ( t ), b n ( 0 )  u n , b n ( 0 )  u n .
2
0
1
N
Выбрать N для приближенного решения u ( x , t )   b n ( t ) 2 sin nx , построить

N
1
графики функций u ( x j , t ),
u x ( x , t ) 
2
(0, )
,
t  0 , для некоторых xj, графики функций
u t ( x , t ) 
2
( 0 , )
и график их суммы.
Сделать «анимацию» графиков u ( x , ph ),
x  ( 0 ,  ) , p=1, 2, …, при
некотором малом h.
Для номеров k  13 , ..., 24 решить задачу
(1), (22), (3), разложением
функций по косинусам кратных дуг ( b n ( t )  0 ). Для номеров k  13 , ..., 18
взять u 0 ( x )  H ( x ), x  ( 0 ,1), u 0 ( x )  0 , x  1,  ); u 1 ( x )  0 . Для номеров
k  18 , ..., 24 – u ( x )  0 ,
0
Функция y  Hx ,
u ( x )  H ( x ), x  ( 0 , 1), u ( x )  0 , x  1,  ). 
1
x  ( 0,1) ,
1
определяется криволинейными сторонами
треугольника Q k (см. [1], с. 14).
Записать в аналитическом виде решение задачи (1), (22), (3) методом Фурье
при f ( x)  0 ; выписать формулы для коэффициентов
a n ( t ) : a n ( t )   n a n ( t ), a n ( 0 )  u n , a n ( 0 )  u n .
2
0
1
N
Выбрать N для приближенного решения u N ( x , t )   a n ( t ) 2 cos nx ,
0
построить графики функций u ( x j , t ),

t  0 , для некоторых xj,
графики функций
u x ( x , t ) 
2
(0, )
,
u t ( x , t ) 
2
( 0 , )
и график их суммы.
Сделать «анимацию» графиков u ( x , ph ),
некоторых малых h.
x  ( 0 ,  ) , p=1, 2, …, при
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа