close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Классификация чисел
Делимость, НОД, НОК
Действия с числами
Таблица квадратов
Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь
Степень числа.
Таблица степени чисел
Числа с радикалами, избавление от иррациональности
Формула сложного радикала
Формулы сокращенного умножения
Нахождение корней квадратного уравнения
Теорема Виета
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
Проценты, пропорции, дробь
Модуль, уравнения с модулем
Неравенства с модулем
Формулы тригонометрии
Обратные тригонометрические функции
Формулы приведения
Решения тригонометрических уравнений
Таблица (sin, cos, tg, ctg)
Знаки функции по четвертям
Период функции
Как найти область определения функции
Решение тригонометрических неравенств
Область значений
Арифметические и геометрические прогрессии
Алгебраические неравенства, неравенства II степени
Метод интервалов для неравенств
Решение иррациональных неравенств
Производная
Интеграл
Первообразная
Площадь фигуры, ограниченная линиями
Объем фигуры, ограниченной линиями
Длина кривой АВ функции, ограниченной линиями
Критические точки
Как найти промежутки возрастания и убывания
Как найти точки максимальную и минимальную (экстр.)
Как найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке [а;в]
Физическое применение производной (x(t), скорость, ускорение)
Касательная к графику функции Угол касательной
Как найти наибол или наимен.значение и область значений для функции у(х) = ах2 +вх+с
Логарифмическая функция. График логарифмической функции
Логарифмы (формулы)
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Показательная функция. График показательной функции
Показательные уравнения. Показательные неравенства
Задачи на движение по прямой
Задачи на движение по окружности
Задачи на движение по реке
3
4–6
6
7
7
7-8
8
8
8
8
9
9
10
10
10
11
11
12
15
15
16
17-18
18
18
19
20 - 23
20
24
24
25
26
27
28
29-30
30
31
31
31
32
32
33
33
33-34
70
34
35
35
35
36
36
37
38
39
1
Задачи на концентрацию и % содержание
Задачи на сложный процентный рост
Задачи на выполнение работы.
Четные и нечетные функций
Теория соединений. Бином Ньютона
Графики некоторых функций
Признаки подобия треугольников
Отношение площадей, перим. подоб. фигур
Высота, биссектриса, медиана
Средняя линия треугольника
Теорема косинусов. Теорема синусов
Формулы площади для любого треугольника
Вписанная, описанная окружность
Формулы R и r и S для правильных многоугольников
Формулы прямоугольного треугольника
Формулы равностороннего треугольника
Формулы параллелограмма
Формулы прямоугольника, квадрата
Формулы ромба, трапеции
Правила и формулы для четырехугольника
Формулы для правильных n- угольников
Длина окружности, длина дуги
Вписанный угол, центральный угол
Круг, круговой сектор, круговой сегмент
Призма
Куб. Параллелепипед
Пирамида. Усеченная пирамида
Площадь ортогональной проекции многоугольника.
Правильный тетраэдр
Цилиндр
Конус. Усеченный конус
Шар и сфера. Шаровой сегмент. Шаровой сектор. Полый шар
Пирамида и шар (описанный). Пирамида и шар (вписанный).
Конус и шар (описанный). Конус и шар (вписанный).
Уравнение прямой
Угол между пересекающимися прямыми.
Уравнение окружности
Метод координат. Векторы
Формула связи между координатами вершин параллелограмма.
Формула связи между координатами вершин треугольника.
Формула гравитационного центра.
Примеры решения тригонометрических уравнений
Средние величины
2
40-41
42
42
43
44
45
46
46
47
47
48
48
49
49-50
50-51
52
52
52
53-54
55
56
56
57
57
58
59
60,61
61
61
62
63
64
65
66
67
67
67
68-69
69
69
69
70
70
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЕЛ
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Натуральные числа: N = {1; 2; 3; 4; …..}
Целые числа: Z = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ….}
m

 ;m  Z,n  N 
n

13
1
чисел: ;  ; 11; -5;
4
3
Рациональные числа: Q =
Пример рациональных
Иррациональные:
2 ; 15 ; π;
0; 2,3(7)
е; 5, 127…
нет периода
Действительные: {рациональные и иррациональные} = R
Четные числа: делятся на 2, 2п
Нечетные числа: не делятся на 2, 2п-1
Числовые последовательности:
Последовательность целых чисел: п; п+1; п+2; п+3; …
Последовательность четных чисел: 2п; 2п+2; 2п+4; …
Последовательность нечетных чисел: 2п-1; 2п+1; 2п+3;
Последовательность чисел, кратных 5: 5п; 5п+5; 5п+10; …
Произведение только двух нечетных чисел нечетно!
Сумма членов числовой последовательности:
1+2+3+… +п =
п  ( п  1)
2
2+4+6+… + 2п =
;
п  ( п  1) ;
1+3+5+…+ (2п-1) = п2
Простые числа: натуральное число, которое делится только на 1 и на само себя.
Примеры: 2; 3; 5; 11 …
Число 1 не является простым.
Число 2 самое минимальное простое число.
Не существует четных простых чисел, кроме 2.
Взаимно простые: числа, не имеющие общего делителя, кроме 1. пример: 9 и 16.
Факториал: произведение натуральных чисел от 1 до п, обозначается:
0! = 1;
1! = 1;
2! = 1·2 = 2;
3! = 1·2·3 =6;
4! = 1·2·3·4 =24;
5! = 1·2·3·4·5 =120.
п! = п  ( п  1)!  п  ( п  1)  ( п  2 )!  ...
10! = 10  9!  10  9  8!  10  9  8  7!
Пример:
12 ! 11!
10 ! 9!

12  11! 11!
10  9! 9!

11! (12  1)
9! (10  1)

11! 11
9! 11

11  10 !
9!

11  10  9!
 110
9!
3
ДЕЛИМОСТЬ, НОД И НОК
Делимость на 2: все четные числа.
Делимость на 3: число, сумма цифр которого кратно трем, делится на 3.
Делимость на 4: число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр
исходного числа, кратно 4.
Пример: 1508, 700, 4312 делятся на 4.
214, 522, 2575 не делятся на 4.
Делимость на 5: числа, которые оканчиваются цифрой 0 и 5.
Делимость на 6: числа, делящиеся на 2 и 3.
Делимость 9: число, сумма цифр которого кратно 9, делится на 9.
Делимость на 10: числа, последняя цифра которых равна 0.
Число, которое делится на два взаимно простых числа, также делится на
произведение этих чисел. Пример: число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.
1001 = 7 · 11 · 13,
10101 = 3 · 7 · 13 · 37.
Разложение на простые множители
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
120=
2 3 5 ;
3
1
1
(2 и 3 и 5 – простые делители числа 120)
А= а m  в п  с к , где а; b; с – простые числа
m; n; k – положительные числа
a; b и c называют простые делители числа А.
Количество положительных делителей числа
А = a m  b n  c k равно ( m  1)  ( n  1)  ( k  1) . Естественно, таково же и количество
отрицательных делителей числа А.
Пример: 72  2 3  3 2 . Число положительных делителей равно ( 3  1)  ( 2  1)  12 . Число
72 имеет и 12 отрицательных делителей.
Сумма положительных делителей числа
S 
4
a
m 1
n 1
k 1
1 b
1 c
1


a 1
b 1
c 1
A  a
m
b c
n
k
равно
Примечание: так как число положительных делителей и число отрицательных
делителей одинаковы, то сумма всех делителей числа равна нулю.
Пример: Найти сумму всех положительных не простых делителей 120.
Решение: 120  2 3  3 1  5 1 . Сумма всех положительных делителей 120 равна
S 
2
3 1
11
11
1 3 1 5 1


 15  4  6  360
2 1
3 1
5 1
Простыми делителями числа 120 являются 2, 3 и 5.
следовательно, ответ: 360–(2+3+5)=350
Пример: Если А  42  7 х имеет 72 делителя, тогда чему равно х?
х
х
1
1
х 1
Решение: А  42  7  2  3  7  7  2  3  7
Число делителей А равно (1  1)  (1  1)  ( х  1  1)  72
:4
4  ( х  2 )  72
х+2=18
х=16
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ (НОД)
Для нахождения НОД:
1. Разлагаем данные числа на простые множители.
2. Находим НОД как произведение общих делителей с минимальными
степенями.
Пример: Чему равен наибольший общий делитель 48 и 60?
Решение:
2
1
1
60  2  3  5
60 2
48 2
4
1
48  2  3
30 2
24 2
15 3
12 2
Два или три являются общими делителями.
5 5
6 2
Минимальная степень двойки 2 (22)
1
3 3
и минимальная степень 3 равна 1 (31)
1
НОД ( 48 ;60 )  2 2  3 1  12
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ (НОК)
Чтобы найти НОК числа:
1. Разлагаем числа на простые делители.
2. Находим произведения общих делителей с высшими степенями и всех
делителей не являющихся общими.
Пример: Чему равно наименьшее общее кратное 48 и 60?
4
1
2
1
1
Решение: 48  2  3 ; 60  2  3  5
4
1
1
НОК ( 48 и 60 )  2  3  5  240
5
Пример: Какое количество брусков размера 8 см  12 см  15 см необходимо взять для
составление куба минимального объема?
Решение: Куб минимального объема имеет сторону, равную наименьшему объему
кратному 8, 12, 15.
НОК (8, 12, 15) = 120
Количество брусков =
объем
куба
объем
бруска
=
120  120  120
 1200
8  12  15
ДЕЙСТВИЯ С ЧИСЛАМИ
1) ca  cb  c  ( a  b )
2) ( m  n ) a  ( m  n )( b  l )  ( m  n )( a  b  l )
3) ( m  n )( a  k )  ( m  n )( b  l )  ( m  n )( a  k
 b  l)
Формулы 1-3 – вынесение общего множителя за скобки.
-30+10=-20
-30-10=-40
-30+40=10;
a

b
3
4
c

ac
b
:
5
7

b
5

8
8

8
5

8
3
2
8
3
1
5
5

5
3
1
5
2
2
5
7
2
9
7
9
30-50=-20
3 5
35
15
 

4 7
47
28
1
1000 : 125  8
1
3 4
1


8 93
6
2
3 7
21
1
 
1
 1, 05
4 5
20
20
100 : 25  4
6
1
1000 : 8  125
7
3
4
4

5
7

21  20
28

41
28
1
13
28
Таблица квадратов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
121
441
961
1681
2601
3721
5041
6561
8281
144
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
169
529
1089
1849
2809
3969
5329
6889
8649
196
576
1156
1936
2916
4096
5476
7056
8836
225
625
1225
2025
3025
4225
5625
7225
9025
256
676
1296
2116
3136
4356
5776
7396
9216
289
729
1369
2209
3249
4489
5929
7569
9409
324
784
1444
2304
3364
4624
6084
7744
9604
361
841
1521
2401
3481
4761
6241
7921
9801
27  3
3
64  4
343  7
3
729  9
216  6
3
3
3
512  8
3
1000  10
3
8  2
3
125 = 5
1331  11
Периодическое десятичное число:
5
122
 1, 666 ...  1, ( 6 )
3
39
 3 , 6969 ...  3 , ( 69 )
33
 0 ,15252 ...  0 ,1( 52 )
110
ЗАПИСЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА
КАК РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО
о , а ( bc ) 
abc  a
(9 – столько, сколько цифр в периоде;
990
0 – столько, сколько цифр не в периоде)
Примеры:
78  7
0 ,7 (8 ) 
71

90
4 , ( 72 )  4  0 , ( 72 )  4 
0 ,1( 25 ) 
90
72
 4
99
125  1
990
8

124

990
62
0 , (5 ) 
495
0 , ( 62 ) 
9
3 , 03 ( 67 )  3  0 , 03 ( 67 )  3 
11
5
367  3
9900
3
62
99
364
9900
СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
а
п
 а  а  а  ...  а (п - раз)
а  а;
1
а
1
0
a
m
a
n
 a
mn
a
n
1

a
a
 
b
n
b
 
a
n
a
m
a
n
m
 a
mn
a
n

n
a
m
n
a
m
b
m
(a )  a
m
a
 
b
n
m n
m
a
m
b
m
 (a  b)
m
7
ТАБЛИЦА СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ
n
2n
3n
4n
5n
6n
7n
8n
9n
1
2
3
4
2
6
7
8
9
2
4
9
16
25
36
49
64
81
3
8
27
64
125
216
343
512
729
4
5
6
7
8
9
10
16
32
64
128
256
512
1024
81
243
729
2187
6561
19683
59049
256 1024
4096
16384
65536
262144
1048576
625 3125 15625
78125
390625
1953125 9765625
1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
2401 16807 117649 823543 5764801 40353607
4096 32768 262144 2097152 16777216
6561 59049 531441 4782969 43046721
Числа с радикалами
n
a b 
n
n
m
ab
a  a
1

a 
m n
b
p
2
3
3

a 
a 
23 2

2
1
3

a 

b 
m n  p

km
a
m
n
kn
a
n
1
3
a
n
2
b
2
3
23 4

b


3
3
2

a 
2
a

m
m
n
a
 a
1
n
b
b
23 4
2
2
a
n
n

1

2
2
3
b
2


b
a 
b
ab

1
a 
3
3

b

3
1   3 a

a 
3
2


b  3 a

ab 
3
2

3
3
2
b 

a
a b
a
2

a b
ab 
3
2
b 

2
2
2
, а > 0, а2 > b > 0.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
a  b  2
a  b  ( a  b )( a  b ) ,
2
2
a  b 3
 a  3 a b  3 ab
3
2
2
b
 a  2 ab  b
2
a  b 3
3
2
a  b  2
,
 a  3 a b  3 ab
3
2
2
b
3
 a  2 ab  b
2
ab  ba
- для иррациональных уравнений
3
3
3
(a + b ) = a + b + 3 ab ( a + b )
3
3
3
(a - b ) = a - b - 3 ab ( а - b )
Пример:
(
3
5+ х +
3
3
5+ х +
5- х
3
3
)
=
5- х =
3
5
3
( 5)
3
5 + х + 5 - х + 3 3 (5 + х )(5 - х )
3
2
10 + 3 25 - х ×3 5 = 5;
(
3
3
5+ х +
3
2
)
5- х = 5
3 125 - 5 х = - 5;
3
2
125 - 5 х = -
5
3
8
2
2
2

2
2
3
a
b 
2

4
Формула «сложного радикала»
a
2
2
a 


a
;
2

2
a

3
ab 
ab
3
2
b
(
3
æ 5ö
= çç- ÷
;
÷
÷
çè 3 ø
3
3
125 - 5 õ
2
)
10 21
х= ±
125
2
125 - 5 õ = -
125 ×28
2
;
5õ =
27
;
27
.
9
ab 

ab
ab 
3
3
a  b 5

a 
a 
a 
3
3

b

b 
3
b
3
a 
a
a
2
2

b
ab 
3
a  b  a  b a  ab  b
2

a  b  a  b a  ab  b
2

3
ab 
3


3
3
b
b
2
2


3
3
3
Примеры:
8 x  125 y
3
a  b  c  2
3
4
3
25 x  16 y
2
2
2
2
2
a  b 
 a  5 a b  10 a b  10 a b  5 ab  b
5
2
3
4
4
 a  4 a b  6 a b  4 ab
4
3
3
3
2
 a  b  c  2 ab  2 bc  2 ac
2
2
2
2
3
b
4
x  8  x  2   x  2  x  2 x  4 
  2 x   5 y    2 x  5 y 4 x  10 xy  25 y
3
2
5
 5 x  4 y 5 x  4 y 
3
a  b   (b  a )
2
3
2

 x  2 y  3 z 2
 x  4 y  9 z  4 xy  6 xz  12 yz
2
2
2
Нахождение корней квадратного уравнения.
а) полные квадратные уравнения:
ax
2
 bx  c  0
D  b  4 ac
2
если b четное число,
Пример:
9 x  14 x  5  0
2
x 1, 2 
b
D
,
2a
D 1  k  ac
2
,
x 1, 2 
k 
D1  (  7 )  9    4
2
D1
a
0;
x
(7) 
4

9
72
9
, x1 
5
9
x2  1
ТЕОРЕМА ВИЕТА
1)
2
x1  x 2   p
2)
- приведенное квадратное уравнение
x 1  x 2  q Пример: x 2  8 x  15  0 x1  x 2  8,
,
x  px  q  0 ( a  1)
ax  bx  c  0
2
(a  1 a  0)
x1  x 2 
b
a
x1  x 2 
с
а
x1  x 2  15
.
9
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
ax
2
 bx  c  a   x  x 1    x  x 2  , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения;
х – переменная.
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА ИЗ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
ax
2
 bx  c 

a xm

2
b
 n ; где m 
;
n c
ПРОЦЕНТЫ
1% =
100
= 0, 01
Чтобы найти b % от числа А, надо b %  A
Нахождение числа А, если b % его равны В.
A
B
 100 %
b%
ПРОПОРЦИИ
Определение. a : b  c : d или
Основное свойство пропорции
a

b
c
d
ad  bc
Нахождение членов пропорции:
a 
a
a
Из пропорции
b

c
d
вытекает:
b c
;b 
d
c

ad
c
b d
c d
b
;  ; 
d b
a c
a
ДРОБЬ
Дробь
10
a
b
0
, тогда и только тогда, когда
2
4a
2 a
1
b
a  0, b  0
.
МОДУЛЬ
 а,
а  
 а,
а 0
если
если
а 0
1. Уравнения с модулем
x  a
если
если
a  0
решен.нет если
0 , то x  0
если
a  0
a 
a 
если
а  0,
то
f x   q x 
xb  a
x1  a
если
x2  a
решен.нет
0 , то x  b
a  0,
то
f (x)  q(x)
равносильно равносильно
объединению системе
уравнений:
уравнений:
x1  b  a
 f ( x)  q( x)

 f ( x)  q( x)
x2  b  a
 f ( x)  q( x)

 f ( x)  q( x)

q ( x)  0
2. Неравенство с модулем
хb  a
a  0
xb  a
решен.нет
f (x)  q(x)
равносильно равносильно
системе:
объединению:
a  0
x R
a  0
a  0
ba  x ba
x ba
f (x)  q(x)
или
 f ( x)  q( x)

 f ( x)  q( x)
 f ( x)  q( x)

 f ( x)  q( x)
x ba
Неравенство
f ( x)  q(x)
равносильно неравенству
2
2
f ( x)  q ( x)
или неравенству
( f ( x )  q ( x ))( f ( x )  q ( x ))  0
1)
-6
о
x 6
2)
6 x 6
x2 3
x > 2
а)х < - 2
6
о
-2
о
б)х > 2
3)
3 x23
1  x  5
(2)
(  1;5 )
2
о
(  ;  2 )  ( 2 ;  )
4) х - 3 > 2
é х- 3> 2
éх > 5
ê
ê
Þ
êх - 3 < - 2
êх < 1
ë
ë
Ответ: х Î (- ¥ ;1) È (5; + ¥
)
11
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
I. Основные формулы тригонометрии
  cos   1
2
sin
2
cos 
ctg  
  1  cos 
2
1
2
1
2
cos 
sin
2
cos 2  cos   sin
2
2 tg 
tg2α =
1  tg 
2
2
ctg 
1  tg 
2
. tg2α =
сtg   1
2
=
2 tg 
1  tg 
2
1
;
sin 
cos 
=
1  tg 
2
2 tg
.
1
cos ec a =
sin a
1
1  tg 
2
sin   2 sin

2
сtg   tg 
2
сtg   tg 
cos

2
.

2
tg  
сtg   tg 
tg  
cosα = ±
,
1  tg 
2

cos a
sin2α = 2 sinα·cosα =
2 сtg 
2
sec a =
tg 
tg 
= 2 cos 2α – 1 = 1 – 2sin2α =

1
ctg  
sinα = ±

II.Формулы двойного угла.
2
1
tg  
1  ctg  
2
cos   1  sin
2
tg   ctg   1
sin 
1  tg  
sin
1  tg
2

2
1  tg 
2
сtg2α =
2 tg 
ctg   1
2
=
2 ctg 
=
сtg   tg 
2
ctg
1
2
ctg  
.
2

2 ctg
=

1 

 
 tg 
 ctg
2 
2
2
2
III. Формулы половинного аргумента

2
sin
1

2
2
tg
2

2
tg

2

2
 

cos
2
2
2 sin2
sin
(1  cos  )
=
1

2
= 1 – cosα.
1

2 cos 2
1  cos 
2
2
2
1  cos 
1  cos 
sin 

cos  
(1  cos 2 )
ctg
2


2

1  cos 
сtg
sin 

2
(1  cos  )
2
=
= 1 + cosα.
1
(1  cos 2 )
2
1  cos 
1  cos 
sin 

1  cos 
1  cos 
sin 
.
IV. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного
аргумента.
2 tg

1  tg
2
sin  
1  tg
2

2
12
2

2
cos  
1  tg
2

2
2 tg

1  tg
2
tg  
1  tg
2

2
2

2
ctg  
2 tg

2
.
V. Формулы суммы.
cos(α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ;
cos 

cos(α – β) = cosα ·cosβ + sinα ·sinβ;
cos 

sin(α + β) = sinα ·cosβ + cosα· sinβ;
sin 

sin(α – β) = sinα ·cosβ – cosα ·sinβ;
sin 

tg (α + β) =
tg   tg 

 
 2


 
 2

сtg   сtg   1
ctg   ctg   1
ctg     

 
 2

сtg   сtg 
=
1  tg   tg 

 
 2

ctg   ctg 
= sinα
= cosα
= cosα
tg (α – β) =
,
1  tg   tg 

= – sinα
tg   tg 
1  tg   tg 
ctg      
tg   tg 
=
сtg   сtg 
сtg   сtg   1
ctg   ctg   1
ctg   ctg 

,
1  tg   tg 
tg   tg 
VI. Формулы преобразования суммы.
sin   sin   2 sin
 
 
cos
2
cos   cos   2 cos
2
 
2
 
cos
 
2
cosα + sinα =
sin   sin   2 cos
cos  

cos   cos    2 sin
2
 


4
=
sin  
2


 
sin
2
2
 
sin
2
 
2
 
.
4

  
  



   =2 cos  
  cos  

2 
2 
4
4
 2

cosα + sinβ = cosα +cos 
cosα – sinα =
2
sin 


 
 4

=
2
cos  


 
,
4
  

    
cos   sin   2 sin  
  sin  

2 
2 
4
 4
sin    
sin    
tg   tg  
tg   tg  
cos  cos 
cos  cos 
ctg   ctg  
tg   ctg  
сtg   tg  
1  tg  
2
sin    
sin  sin 
2
sin 2
ctg   ctg  
.
sin     
sin  sin 
tg   ctg    2ctg 2
cos    
tg   ctg  
cos  sin 
tg   ctg   
cos    
cos  sin 
cos    
sin   cos 
cos 2
cos 
2
1  ctg   
2
cos 2
sin
2

1  cos   2 cos
 
  

 
2
2
1  sin   2 cos     2 sin      cos
 sin

2
2 
2
2
4
4
2

2
1  cos   2 sin
2

2
2
 
  

 

2 
1  sin   2 sin     2 cos      cos
 sin

2
2 
2
2
4
4
2
2
13
 

2 sin    
4

1 + tgα =
cos 


2 sin    
4

1 – tgα =
;
cos 
sin2α – sin2β = sin(α + β) · sin(α – β)
.
cos 2α – cos 2 β = sin(α + β) · sin( β – α ).
cos 2α – sin2β = cos(α + β) · cos(α – β) = cos 2 β – sin2α.
sin   sin 
cos   cos 
= tg
 
2
.
cos   cos 
cos   cos 
ctg
 
tg
 
2
 
sin   sin 
;
sin   sin 
tg
 
2

tg
 
.
2
2
VII. Формулы преобразования произведения.
sinα sinβ =
sinα cosβ =
tgα · tgβ =
1
2
1
1
( cos(α – β) – cos(α + β)).
cosα cosβ =
( sin(α + β) + sin(α – β)).
sinα · cosα =
2
tg   tg 
ctg   ctg 
сtgα · сtgβ =
.
( cos(α + β) + cos(α – β)).
2
1
sin2α..
2
ctg   ctg 
tg   tg 
.
VIII. Формулы тройного аргумента.



   sin     .
3

3

sin3α = 3 sinα – 4 sin3α = 4 sinα sin 

sin3α = 3 sinα · cos 2α – sin3α.
sin4α = 4sinα cos 3α – 4sin3α cosα = 8sinα cos 3α – 4sinα cos α .
sin4α = cosα(4 sinα –8 sin3α).



   cos     .
3

3

cos3α = 4 cos 3α – 3 cosα = 4 cosα cos 

cos3α = cos 3α – 3sin2α · cosα..
cos4α = cos 4α – 6sin2α cos 2α + sin4α = 8 sin4α – 8 sin2α + 1.
cos4α = sin4α –8 cos 2α + 1
4 sin
3
  3 sin   sin 3
4 cos   3 cos   cos 3
3
IX. Понижение степени тригонометрических функций.
sin2α =
sin3α =
1
2
1
4
1
(1 – cos2α),
cos 2α =
(3sinα–sin3α)
cos 3α =
sin4α = (cos4α – 4cos2α + 3)
8
14
cos 4α =
1
2
1
4
1
8
(1 + cos2α)
(cos3α + 3cosα)
(cos4α + 4cos2α + 3).
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
arcsin х = α, α   
 
arctg х = α, α   
  


;
2
;
2
2 
arсcos х = α, α  0 ;   ,
,
arcсtg х = α  0 ;   .
,
2
arcsin (–х ) = – arcsin х
arctg(–х ) = – arctg х
x)  x
sin(arcsin

ctg  arcctgx
x
x) 
sin(arccos
cos arccos x   x
tg  arctgx
arccos(–х ) = π – arccos х
arcсtg(–х ) = π – arcсtg х
cos arcsin x  
tg  arcctgx
 x;
1 x
2
2
1

ctg ( arctgx )
1 x
cos  arctgx

tg (arcsin x ) 
x
1
x
ctg (arcsin x ) 
;
x
sin( arctgx )  
sin( arcctgx ) 
1 x
2
1
1 x
cos  arcctgx
2
x
1 x
1 x

tg (arccos x ) 
1
1 x
x
1 x
1 x
2
2
x
2
2
ctg (arccos x ) 
;
x
2
x
1 x
2
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 0     90 


sin      cos 
2



cos       sin 
 2



tg       ctg 
 2



ctg       tg 
 2

 3

sin 
     cos 
 2

sin       sin 
cos       cos 
tg       tg 
ctg (   )   ctg 
sin  2       sin 
 3

cos 
     sin 
 2

 3

tg 
     ctg 
 2

 3

ctg 
     tg 
 2

cos  2      cos 
tg  2       tg 
ctg  2       ctg 
15
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
I. Уравнение sin t = а при │а│≤ 1.
t = (–1)n ∙ arc sin a+ πn; n Z.
1) sin t =
1
2
3) sin t =
,
t = (–1)n ∙
3
, t = (–1)n ∙
2
2
5) sin t =
+ πn, n  Z.
6
t = (–1)n ∙
,
2


+ πn, n  Z.
4) sin t = –
+ πn, n  Z.
6) sin t = –
3

4
2) sin t = –
7) sin2 t = а, где 0≤ а≤1
t = ± arcsin
1
2

,
t = (–1)n+1 ∙
3
, t = (–1)n+1 ∙
2
2
, t = (–1)n+1 ∙
2
+ πn, n Z.
6

3

4
+ πn, n Z.
+ πn, n Z.
+ πn, n Z.
а
Частные случаи решения уравнения:
1) sin t = 0,
t = πn, n  Z.

2) sin t = 1,
t=
3) sin t = – 1
t=–
+ 2πn, n  Z.
2

+ 2πn, n Z.
2
II. Уравнение cos t = а при │а│≤ 1.
t = ± arc cos a + 2πn, n Z.
1
1) cos t = .
2
3) cos t =
5) cos t =
3
2
2
2

t=±
.
.
t=±
3

6
t=±
+ 2πn, n Z. 2) cos t = –
+ 2πn, n  Z. 4) cos t = –

4
7) cos 2 t = а, где 0≤ а≤1
1
2
3
а
2
2
t=±
.
2
+ 2πn, n  Z. 6) cos t = –
t = ± arc cos
.
t=±
.
2
3
5
t=±
+ 2πn, n Z.
+ 2πn, n  Z.
6
3
4
+ 2πn, n  Z.
+ πn, n Z.
Частные случаи решения уравнения:

+ πn, n Z.
1) cos t = 0.
t=
2) cos t = 1.
3) cos t = – 1.
t = 2πn, n  Z.
t = π + 2πn, n  Z.
2
III. Уравнение tg t = а, а – любое число.
t = arc tg а + πn, n  Z.
1) tg t =
3) tg t =
3
3
3

t = +πn, n  Z.
,
t = + πn, n  Z. 4) tg t = –
6

3
5) tg2 t = а, где а  [0; +  )
16
2) tg t = –
,
t = ± arc tg
а
3
,
3
3
,
+ πn, n Z.

t = – + πn, n Z.
6

t = – + πn, n Z.
3
Частные случаи решения уравнения:
1) tg t = 0, t = πn, n  Z. 2) tg t = 1, t =


+ πn, n Z. 3) tg t = –1, t = – + πn, n Z.
4
4
IV. Уравнение сtg t = а, а – любое число.
t = arc сtg а + πn, n  Z.
1) сtg t =
3
3
3) сtg t =
3

3
,
t = +πn, n  Z. 2) сtg t = –
,
t = + πn, n  Z. 4) сtg t = –
3
3
6
t = ± arc сtg
а
t=
,
t=
3

5) сtg2 t = а, где а  [0; +  )
,
2
3
5
6
+ πn, n Z.
+ πn, n Z.
+ πn, n  Z.
Частные случаи решения уравнения:

1) сtg t = 0, t =
+ πn, n  Z.
2
3
3) сtg t = –1, t =
4
2)сtg t = 1, t =

+ πn, n Z.
4
+ πn, n  Z.
Значения тригонометрических функций.
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°




2
3
6
4
3
2
3
4
1
2
α
0
sin
α
cos
α
0
0
сtg
α
–
1
2
2
3
3
3
1
3
1
3
3
3
1
6
1
2
2
1
0
–
–
–
3
0
–
3
–
2
3
0
2
2
2
–
2
–1
–
–1
–
3
–1
2
3
0
3
–
3
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
7
5
4
3
5
7
11
6
4
3
2
3
4
6
–
cosα
–
сtgα
2
2
2
sinα
tgα
2
3
1
tgα
α
2
3
150° 180°
5
π
1
2
3
2
3
3
3
–
–
2
2
2
3
–
2
–
1
2
2
1
3
1
3
3
–1
–
3
2
1
0
2
–
–
0
–
–
2
–
2
2
2
3
2
3
3
3
1
2
–1
–
–1
–
3
3
3
360°
2π
0
1
0
–
17
1

2
1
2
2
sin 105  

6
4
2 
cos 105  
6
4
18  

5
75  
10
3
3
2 
3
3 1
 
sin 15  

2 2
 12 
sin 18  
3 1
 
cos 15  

2 2
 12 
cos 18  
12
5 1
sin 75  
4
3 1
2 2
5
5
cos 75  
2 2
3 1
tg 75   2 
3
.
2 2
ЗНАКИ ФУНКЦИИ ПО ЧЕТВЕРТЯМ
Четверти
Iч. 0     90 
IIч.
90     180 
IIIч.
180     270 
IVч.
270     360 
ctg 
tg 
cos 
sin 
+
+
+
-
+
-
+
-
-
-
+
+
-
+
-
-
ПЕРИОД ФУНКЦИЙ
1) Наименьший положительный период функции
y  sin x
2) Наименьший положительный период функции
y  tgx
и
и
y  cos x
y  ctgx
3) Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция
k и b постоянны, а
k  0
равен
равен

Af ( kx  b )
, также периодична, причем ее период равен
T
k
2
, где A,
, где Т –
период данной функции.
Например:
Период:
T
k
f ( x )  3 cos 4 x

2
4


2
  1

sin  x   
4 2


1
n
x
   1  arcsin
 n, n  z
4
2
Пример:
x

 (  1)
n

4
6
 n
x  (  1)
n

6


 n, n  z
4
4) Если f сумма двух или более функций, то период этой функции f будет НОК
периодов каждой из этих функций.
18
5) Формулы для нахождения периодов тригонометрических функций в степени:
 2
 a , если
f  x   m  sin  ax  b  

 T  
n

f  x   m  cos  ax  b 
 , если

 а
n
f  x   m  tg
 ax  b  

n
f  x   m  ctg  ax  b 
n
T 
n
n
нечётн
чётный

a
Как найти область определения функции.
Область определения функции D(f) множество х, при котором функция имеет
смысл.
1) f(х) = a 0  a 1 x  a 2 x 2  ...  n x n - многочлен, область определения f(х) есть R,
т.е. D(f) = R.
2) Рациональная функция:
f(х) =
hx 
qx 
- рациональная функция;
q(х) ≠ 0 – решаем уравнение.
D(f) = R – {корни q(х) = 0}, т.е. областью определения являются числа R
минус корни уравнения q(х) = 0.
3) Радикальные функции:
f(х) = n q  x  - есть радикальная функция.
Область определения f(х) зависит от n.
Если n – нечётные числа, то f(х) определяется на R.
Если n – чётные числа, то f(х) определяется, когда q(х) ≥ 0.
4)Логарифмическая функция.
f(х) = log q  x  h  x  - есть логарифмическая функция, если q(х) >0 q(х)≠0; h(х) >0.
5)Тригонометрические функции.
 f(х) = sin(q(х)), f(х) = cos(q(х)), определяется, когда определён q(х).


f(х) =tg(q(х)) определяется, когда q(х) ≠ + πk, k  Z.

f(х) = ctg(q(х)) определяется, когда q(х) ≠ πk, k  Z.
f(х) = arcsin(q(х)); f(х) = arccos(q(х)) определяются, когда – 1≤q(х) ≤ 1.
f(х) = arctg(q(х)); f(х) = arcctg(q(х)) определяются, когда определён q(х).
2


РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
1)
sin x  a
1  a  1
arcsin a  2 n  x    arcsin a  2 n , n  z
2)
sin x  a
1  a  1
-
 arcsin a  2  n  x  arcsin a  2 n , n  z
19
1)
cos x  a
1  a  1
 arccos a  2 n  x  arccos a  2 n , n  z
2)
cos x  a
1  a  1
arccos a  2  n  x  2   arccos a  2 n , n  z
1)
tgx ³ a
2)
tgx £ a
1)
2)
ctgx ³ a
p n p x £ arctga + p n , n Î z
ctgx £ a
arcctga + p n £ x p p + p n , n Î z
p
arctga + p n £ x p
+ p n,n Î z
2
-
p
+ p n p x £ arctga + p n , n Î z
2
Найти область значений
E (sin)   1;1
y  2  3 sin x
E ( 2  3 sin x )  2  (  3 ); 2  3 
E ( 3 sin)   3;3 
 1;5 
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
1) sin t  a ,
sin t ≤
 1  a  1 , - p - arcsin a + 2 p n £ t £ arcsin a + 2 p n , n Î Z
1
2
7
,
t   
5
,
t   
4
t   
2
t   
5
t   
3

sin t ≤ –
1
sin t ≤
3
2
2
3
sin t ≤ –
2
2
sin t ≤
t   
,
2
2
sin t ≤ –
2


 2 n 
6


 2 n ;
3

 2 n ;


 2 n  ,
3


3

,
 2 n ;
6

,

 2 n  ,
6

6

,

 2 n ;
 2 n ;
4

 2 n ;
4
, n Z.
n  Z.

 2 n  ,
3


 2 n  ,
4


n  Z.


.
n  Z.
n  Z.


 2 n  ,
4

n  Z.
t     2  n ; 2  n  , n  Z.
t   ;    .
sin t ≤ 0,
sin t ≤ 1,
t¹
sin t < 1,
p
+ 2p n, n Î Z
2
2) sin t  a ,
sin t ≥
1  a  1,
1
2
sin t ≥ –
20
t  
,
1
2
arcsin a + 2 p n £ t £ p - arcsin a + 2 p n , n Î Z

6
,
t   

 2 n ;

6
 2 n ;
5

 2 n  ,
6

7
n  Z.

 2 n  ,
6

n  Z.
.
3
sin t ≥
2
2
2
2
sin t ³ - 1 ,


 2 n  ,
3

3

 2 n  ,
4

 2 n ;

t   

t  

t  
2
t  

t  
5
t  

t  
3
cos t ≤ 0,
t  

cos t ≤ 1,
t    ;
1
2
,
1
cos t ≤ –
2
3
2
3
,
5
4
  2 n ,
n  Z.
n  Z.

 2 n  ,
4

 2 n ;
n  Z.
n Z.
 .
2
,
 2 n ;
2
,

 2 n  ,
3

11 
, n  Z.

 2 n 
6

, n  Z.
7

 2 n 
4

 4
 2 n ;
, n  Z.
5

 2 n 
4

 2 n ;
n  Z.

 2 n 

7
 2 n ;
.
n  Z.
4
 2 n ;
 6
2

 2 n  ,
3

6
4
2
cos t ≤ –
,
5
 2 n ;
6
2
2
 2 n ;
 3
,
3
cos t ≤ –
cos t ≤
4
3

, n  Z.
 1  a  1 , arccos a + 2 p n £ t £ 2 p - arccos a + 2 p n , n Î Z
cos t ≤
cos t ≤

 2 n 
3

 2 n ;
t  2  n ;
t   ;
sin t ≥ 0,
3) cos t  a ,

4
,
2
 2 n ;
t   
t  
2
sin t ≥ –
,
,
2

3
3
sin t ≥ –
sin t ≥
t  
,
3

 2 n  ,
2

, n  Z.
n  Z.
 .
t ¹ 2p n, n Î Z
co s t< 1 ,
4) cos t  a , - 1 £ a £ 1 , - arccos a + 2 p n £ t £ arccos a + 2 p n , n Î Z
cos t ≥
1
2
1
cos t ≥ –
cos t ≥
2
3
2
,
2
,

t   
2
t   

t   
5
t   


,

2
2
t   

3
cos t ≥ –
cos t ≥
,
,


 2 n ;
3


 2 n 
3

2

 2 n 
3

 2 n ;
3
 2 n ;
6
 2 n ;


 2 n 
6

5
4


 2 n 
4

, n  Z.
, n  Z.

 2 n 
6

6
 2 n ;
, n  Z.
, n Z.
, n  Z.
21
t   
3
cos t ≥ 0,
t   

co s t > - 1 ,
t ¹ p + 2p n, n Î Z
2
cos t ≥= –
5)
tgx  a
,
3

 2 n 
4

 2 n ;
4


 2 n 
2

 2 n ;
2
 
 
 n ;
 2
t
 
 
 n ;
 2
t
 
 
 n ;
 2
t
 
 
 n ;
 2

tg t ≤ 0,
t
 
 
 n ;
 2
n  ,
tg t ≤ 1,
t   
tg t ≤ –1,
t
3
,
tg t ≥
3
,
3
,
3
,
3




 n 
6



 n 
6


 n 
3


 n 
3



 n 
4


p
, n  Z.
n  Z.

 
 
 n ;
 2
, n  Z.
, n  Z.


2
, n  Z.


 n ;
arctga + p n £ x <

, n  Z.

 n 
4

, n  Z.
+ p n,n Î Z
2
3
3
t  
,
t   
3
tg t ≥ –
3
 n ;
6

t  
,
3

,
3
tg t ≥–
tg t ≥
,
3
tg t ≤ –
tgx  a
, n  Z.
+ p n < x £ arctga + p n , n Î Z
t
tg t ≤
, n  Z.
2
tg t ≤ –
22


p
-
tg t ≤
6)
2
,

3
,
t   



tg t ≥ 1,
t  
tg t ≥ –1,
t   


 n  ,
2



 n  ,
2


 n  ,
2



 n 
2

 n ;

4
 n ;

n  Z.
, n  Z.

 n  ,
2


n  Z.
n  Z.

 n ;
3

n  Z.

 n ;
 n ;
t   n ;
4

 n  ,
2

6
tg t ≥ 0,


n  Z.

 n  ,
2

n  Z.
7) ctg x £ a , arcctga + p n £ x < p + p n , n Î Z
сtg t ≤
3
3
3
сtg t ≤ –
сtg t ≤
3
, tÎ
,
tÎ
3
, tÎ
3
сtg t ≤ –
ép
ö
tϵ Î ê + p n ; p + p n ÷÷÷, n  Z.
,
сtg t ≤ 0,
tÎ
сtg t ≤ 1,
tÎ
сtg t ≤ –1,
tÎ
êë3
ø
é p
ö
, n  Z.
ê+ p n ; p + p n÷
÷
÷
êë 3
ø
ép
ö
, n  Z.
ê + p n ; p + np ÷
÷
÷
êë6
ø
é p
ö
, n  Z.
ê+ p n ; p + np ÷
÷
÷
êë 6
ø
ép
ö
, n  Z.
ê + p n ; p + np ÷
÷
÷
êë2
ø
ép
ö
, n  Z.
ê + p n ; p + np ÷
÷
÷
êë4
ø
é p
ö
, n  Z.
ê+ p n ; p + np ÷
÷
÷
êë 4
ø
8) ctgx  a , p n < x £ arctga + p n , n Î Z
сtg t ≥
3
3
3
сtg t ≥ –
сtg t ≥
3
,
3


2
t   n ;


,


 n 
3

, n  Z.

 n 
3

, n  Z.



  n  , n  Z.
6


5
t   n ;
,
3
сtg t ≥ –

t   n ;
,
t   n ;


сtg t ≥ 0,
t   n ;
сtg t ≥ 1,
t   n ;
сtg t ≥ –1,
t   n ;



  n  , n  Z.
6



  n  , n  Z.
2




  n  , n  Z.
4


3


 n 
4

, n  Z.
23
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
d-разность арифметической прогрессии
d  a 2  a1
Если d – положительное число
Если d – отрицательное число
Формула п-го члена арифметической прогрессии
Свойство п-го члена арифметической прогрессии
a n  a p  n  p   d
an 
a n 1  a n  1
2
1)
Sn 
2)
Sn 
q 
b2
a1  a n
Формула суммы п-первых членов геометрической
прогрессии
Формула произведения п-первых членов
геометрической прогрессии
Формула суммы бесконечной геом. прогрессии
; ak 
ak p  ak p
2
n
2
2 a 1  d n  1
n
2
;q 
b1
Если q – положительное число
Если q – отрицательное число
Формула п-го члена геометрической прогрессии
Свойство п-го члена геометрической прогрессии
n p
то арифм.прог.возраст.
то арифм.прог.убывающ.
a n  a 1  d  n  1 ;
Формула суммы п первых членов арифм.прогрессии
q – знаменатель геометрической прогрессии
an  a p
d  a n  a n 1 ; d 
b3
b2
то геометр.прог.возраст.
то геометр.прог.убывающ.
b n  b1  q
bk 
n 1
bn  bk  q
nk
bk  p  bk  p
b1 (1  q )
n
Sn 
1 q
n  n 1 
Pn 
S 
b
n
1
q
2
n
Pn  b1  b n  2
b1
1 q
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1) Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из одной
части неравенства в другую.
2) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же
положительное число, то знак полученного неравенства не меняется.
3) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же
отрицательное число, то знак полученного неравенства меняется на
противоположный.
4) Неравенство
5) Неравенство
f1 ( x)
 0
равносильно неравенству
f1 ( x )  f 2 ( x  0)
при
f 2 ( x)  0 .
 0
равносильно неравенству
f1 ( x )  f 2 ( x)  0
при
f 2 ( x)  0 .
f 2 (x)
f1 ( x)
f 2 (x)
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Всякое неравенство второй степени с одним неизвестным (квадратное
неравенство) можно привести к одному из видов:
24
 bx  c  0
2
ax
ax
2
Графиков функции
+
 bx  c  0
y  ax
2
 bx  c
2
 bx  c  0
ax
2
 bx  c  0
является парабола (ветви вверх),
a  0
х1 и х2 – корни квадратного уравнения.
+
х1
ax
х2
1)
ax
2
 bx  c  0
Ответ:    ; x 1    x 2 ;  
2)
ax
2
 bx  c  0
Ответ:  x 1 ; x 2 
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
 x  x1  x  x 2  x  x 3   0
 x  x1  x  x 2  x  x 3   0
(1)
(2)
Чтобы найти решения неравенств (1) и (2), надо:
1) нанести на числовую ось нули функции (левой части неравенства), т.е. х1, х2, х3;
2) проверить знак левой части неравенства на каждом из полученных интервалов
путем подстановки любого числа из этого интервала;
3) тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех
промежутков, в которых поставлен знак «+»;
4) множеством всех решений неравенства (2) будет объединение всех промежутков,
в которых поставлен знак «-».
1) Решить неравенство:
Нули функции:
xx  4 
x2
x  0, x  4  0
, x2  0,
10
−
+
−
0
x  4
   ;  2   0 ; 4 
+
-2
0
4
2) Решить неравенство: x ( x  4 )( x  5 ) 2  0
Нули функции: x  0 , x  4  0 , x  5  0 , x
+
+
-5
−
0
 4
x  5
x  0 ; 4    5 
+
4
3). Решить неравенство:
1) 2х-5=0
2х=5
x  2
2x  5
x3
2) х+3=0
х=-3
0
+
−
-3
+
2,5
25
(  ;  3 )  2 , 5 ;  )
х=2,5
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
I) Если
II) Если
2k
2k
A( x)  B ( x)
A( x)  B ( x)
, то
 A( x)  0

B ( x)  0

2k
 A( x)  B ( x)
, то
B ( x)  0

 A( x)  0

2k
 A( x)  B ( x)
и
B ( x)  0

 A( x)  0
Простейшие иррациональные неравенства
x  a
x  a
a  0
Решений нет
x  0  x  0 ;  
a  0
Решений нет
x  0  x   0 ; 
x  a
a  0
f (x)  q(x)
Равносильно
системе:
q ( x)  0

2
 f (x)  q (x)
 f (x)  0

26

0  x  a , x  0; a
2
2

f (x)  q(x)

x  a
x  a  x  a ;  
2
f ( x) 
2
q( x)
Равносильно объединению систем:
Равносильно системе:
q ( x)  0

 f ( x)  0
 f ( x)  q( x)

q ( x)  0
q ( x)  0

2
 f ( x)  q ( x)
ПРОИЗВОДНАЯ
y  C   0
(С - число)

y   c  u   c  u 
y  x  1
y  a
1
1
y      2
x
x
2 
y   x   2 x

3
 1 
y   3    4
x
x 
y   x

 nx
n
 1 
y    n    n 1
x
x 

4
 1 
y   4    5
x
x 

1
y 
x 
2 x

 1 
1
y   
  
2x x
 x 

1
y  3 x 
2
3
3 x
3 
 3 1
4
y   x    3 x
 3 x
 
 
n

  nx
x
x
y   log
x
a
 n 1

x 

y    nx  
1
x  na
1
x

y   sin x   cos x
y   sin

y   cos x    sin x
y   cos

y   tgx  
y   ctgx
n 1

у   х
 u   u  
x

2
 1 
y   2    3
x
x 

3
2
y   x   3 x

u   
   a  na

y   e   e

n

u   u  
u
  
2

 

2

x    sin 2 x
1
2
cos
 
x
1
sin
2

y   arcsin x  
y    arctgx

x   sin 2 x
2


x
1
1 x
1
1 х
2
2

y   arccos x  
y    arcctgx


–
–
1
1 x
2
1
1 х
2

2
2
y   2 x sin x   x  2  cos x   x sin x

2
2
y   2 x cos x   x  2  sin x   x cos x
Примеры.
1)
2)

1
2
 1 

 2 x  1  

  
2
2 x  1
2 x  1 2
 2x  1



 
1
 
2


 ctg  2 x     
 2х    
 
2 
2

2
  

2
sin  2 x  
sin  2 x  
2

2

27
ИНТЕГРАЛ
  f  x   q  x dx   f  x dx   q  x dx
 k  f  x dx  k   f  x dx
 f  kx  b dx
b
 f  x dx

=
x dx
2

n
 F x 
+C
x
=
1

1
x
2
dx
1
x
3
1
x
1
4
х
= ln |х | + С
x
1
С
х
x dx 
dx  
2x
1
2

3x
1
3
 n  1  x n 1
2x
x
3x3 x
x
4
x dx 
4
3
x dx 
x
4
x
n
m
x
3
n
mn
x
dx   e
 a dx 
x
a
= sin х –хcos х + С
xdx
 sin xdx
= 2·хsin х– ( х 2 –2) ·cos х+ С
x
2
 sin xdx
= 2·хsin х + (2 – х 2 ) ·cos х+ С
x
 sin
2
x
C
dx
a
 cos
2
2
2
x
ln a
2
sin 2 x
=
+С
+С
2
1
= tg 5х + С
dx
5
5x
∫sin3 хdx=
1
C
∫sin4 хdx=
3
x dx
2
cos
 cos
sin x  cos x
= tg х – х + С
3
x
– cos х + С
3
cos 3 x 
12
3х
3
cos x  C
4

8
sin 2 x

sin 4 x
4
xdx  sin x 
+С
32
1
sin
3
xC
3
x
C

2
∫sin3 хdx=
3
+С
dx = х – sin х + С
1
 cos
а
x
xdx
2
х
x  sin
2
х
= 2хcos х+( х 2 –2)·sin х+ С
=
xdx
+С
= cos х+х·sin х+ С
xdx
cos xdx
 cos
mn
sin x  cos x
2
= а·sin
C
x

2
2
 tg
х
=
xdx
 1  cos
C
 e dx  e  C
e
+С
а
2
sin
7
n
х
x
 cos
C
dx  3 3 x  C
x
28
C
2
3
a
x
4
1
= – а cos
dx
C
dx  2 x  C
x dx 
x
 x  cos
x
3
x
C
3
1
  ctgx  c
2
 cos
1
dx  


+С
dx  
n
dx
 sin
n 1
=–
x

C
n 1
dx

 F b   F  a 
a
 x  sin
3
3
x dx
b
 sin
2
х
dx 
 x dx

 kx  C
2
x

 kdx
F  kx  b 
k
a
 1dx  x  C
 dx  x  C
1

xdx 
1
12
sin 3 x 
3
4
sin x  C
 ln
xdx  x  ln x  x  C
 x  ln

xdx 
x
2
ln x 
2
ln x
dx 
x
x
 cos
2
C
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
 cos
2)  5
1
1
sin 2 x 
4
sin 4 x  C
32
 
1
 dx  sin
6
3
x dx  5 
2x
x
3)  a
3x
10 x
x
c
3
3x
1 a
a
dx  

c
3  na
3  na
4)  4 x  5 3 dx
x

 

 3x    c
6

3
3x
dx  tgx  C
2

8
1)  cos  3x 

2
1
3x
xdx 
Примеры:
C
4
ln x  2
4

1
4

4 x  5  4

4 x  5  4
4
c
16
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ
F  x   f  x 
Три правила нахождения первообразных:
1) для функции f  q первообразная F  Q
2) для функции k f  x  первообразная k F
3) для функции f  kx  b  первообразная
Функция
Первообразная
f x  
F(х) = х + С
f x 
1
1
F  kx  b 
k
Функция
F x 
f x 
f x  
х
Первообразная
F(х) =
х
F x 
2
+C
2
f x   k
(k-
число)
f x  
f x  
f x  
f x  
f x  
f x  
f x  
f x  
1
F  x   kx  c
F  x   ln x  c
x
1
2
F x   
3
F x   
4
F x   
5
F x   
1
F(х) = –
x
1
x
1
x
1
x
х
f(х) =
1
c
x
1
2x
1
2
3x
1
3
4x
4
n
,
F(х) =
х
n 1
n 1
+С
f  x   sin x
F  x    cos x  c
f  x   cos x
F  x   sin x  c
х
F(х) = – а cos
х
+С
c
f(х) = sin
c
f(х) = cos
c
f(х) = х· sin х
F(х) = sin х –хcos х + С
f(х) = х 2 · sin х
F(х) =2·хsin х–( х 2 –2)cos х+ С
f(х) = sin2 х
F(х) =
f(х) = х· cos х
F(х) = cos х+х·sin х+ С
1
 n  1   x n 1
n
х
+
а
х
а
F(х) = а·sin
х
а
а
+С
C
x
1
x
F x  
2x
F x   2
3
x
+С
x c
х
2

sin x  cos x
+С
2
29
f x  
3
f x  
7
x
1
f(х) =
f(х) =
f(х) =
x
n
3
х
2
4
х
3
x
f x   e
F x  
3x3 x
F x  
7 x7 x
c
f(х) = х 2 · cos х
F(х) =2хcos х+( х 2 –2)·sin х+
С
c
f(х) = cos 2х
F(х) =
4
f x  
4
f x  
F(х) =
4
х
С
7
7
F(х) =
m
n
n
x
mn
mn
C
F x   e  c
x
x
F(х) = х lnx – х + С
f(х) = lnx,
x>0,
1
x
2
x
1
sin
f x   a
sin x  cos x
F  x    ctgx  c
F x  
x
a
x
 na
c
f(х) = е – х
F(х) = – е – х + С
f(х) = х lnx
F(х) =
х
2
lnx –
2
2
f(х) = х lnx
F(х) =
х
3
lnx –
3
f(х) = cos 2х–
sin2 х
F(х) =
f(х) = sin3 х
F(х) =
х
3
+С
f(х) =
ln x
sin 2 x
+С
cos
3
x
– cos х+С
2
x
1  cos x
F(х) = sin х –
f(х) = cos х
sin
3
3
x
+
f(х) = sin4 х
F(х) =
F(х) = tg х – х + С
+С
4
ln x  2
f(х) = cos 4х
F(х) =
1
f(х) =
cos
2
3х

8
3х
8
С
f(х) = tg2 х
2
+С
F(х) = х – sin х + С
3
3
х
2
sin
f(х) =
2
F(х) =
x
9
F(х) =
1
sin 2 x

4

sin 2 x

4
tg 5х + С
5
5x
У
y=f(x)
y=q(x)
а
0
S 

b
a
у=0 b
f  x dx  F ( x ) a  F ( b )  F ( a )
b
0
a
b
S 
  f ( x )  q ( x ) dx
a
30
b
sin 4 x
32
ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ
y=f(x)
+С
2
F  x   tgx  c
2
cos

2
8
F(х) = 3· 3 х  С
х
sin 4 x
32
+С
ОБЪЕМ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ
V  

b
2
f ( x ) dx
a
y=f(x)
a y=0
b
ДЛИНА КРИВОЙ АВ ФУНКЦИИ У=f(x) МЕЖДУ ПРЯМЫМИ x=a и х=b.
В
b
l 
А

1   f   x  dx
2
a
а
b
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна
нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Чтобы найти критические точки, надо:
1) Найти производную f ( x )
2) Производную приравнять к нулю и решить.
Пример: найти критические точки:
а)
f ( x)  2 x  9 x  5 ;
2
б)
f ( x) 
4
x

x
4
Решение.
x  0
f ( x )  4 x  9 ;
а)
4x  9  0
4x  9: 4
x  2 , 25
4
f ( x )  
x
б)
4

x
2
4

x
2

1
2

1
4
 0
4
 
1
4
  1
x  16
2
x  4
Критическая точка: 2, 25
Критические точки: -4; 4
31
Как исследовать функцию на экстремумы (т.е. найти точки максимума и
минимума)
1)
2)
3)
4)
найти производную функции: f ( x )
производную приравнять к нулю: f ( x )  0
решить это уравнение и найти х1 и х2 – критические точки.
отметить критические точки на числовой прямой:
х1
х2
5) выяснить знак каждого промежутка путем подстановки любого числа из этого
промежутка в производную. +
+
х1
х2
6) если в точке х1 производная меняет знак с «+» на «-», то х1 – точка максимума,
т.е. хmax = х1; если в точке х2 производная меняет знак с «-» на «+», то х2 – есть
точка минимума, т.е. хmin = x2.
Как найти промежутки возрастания и убывания.
1) Найти производную функции: f ( x )
2) Найти точки, в которых производная не существует. Например, х0 – точка, в
которой производная не существует.
3) Производную приравнять к нулю: f ( x )  0
4) Решить это уравнение и найти его корни: х1 и х2.
5) Отметить точки х0, х1, х2 на числовой прямой: точку х0 (где производная не
существует)отметить открытой точкой; точки х1 и х2 отметить черточкой.
х0
х1
х2
f ( x )
6) Выяснить знак каждого промежутка путем подстановки любого числа из этого
промежутка в производную.
7) Выписать промежутки возрастания (промежутки, в которых стоит знак «+»);
выписать промежутки убывания (промежутки, в которых стоит знак «-»).
Пример: Найти промежутки возрастания и убывания f ( x )  3 x 2  6 x .
1) f ( x )  6 x  6
2) 6 x  6  0
6x  6: 6
x 1
1
3)
-
+
f (10 )  
1
Промежуток убывания
Промежуток возрастания
( : 1]
[1;  )
8) Если функция f непрерывна в каком либо из концов промежутка возрастания
(убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
32
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b].
1) Найти производную функции f ( x )
2) Производную приравнять к нулю: f ( x )  0 и решить уравнение; х1 и х2 –
критические точки.
3) Выяснить, какие критические точки принадлежат отрезку [a;b], а какие – не
принадлежат: x 1  [ a ; b ] ; x 2  [ a ; b ]
4) Вычислить значения функции на концах отрезка: f(a), f(b); а также в
критических точках, которые принадлежат отрезку.
5) Из полученных чисел (п.4) выбрать наибольшее и наименьшее:
max f(x) =
min f(x) =
[a; b]
[a; b]
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x )  x 2  4 x  3 на
отрезке [ 0 ;3 ]
f ( x )  2 x  4
f (0)  0  4  0  3  3
2
2x  4  0
f (3)  3  4  3  3  0
2
2x  4 / : 2
f (2)  2  4  2  3  1
2
x  2
2  [ 0 ;3 ]
Ответ: Наибольшее 3
Наименьшее -1
ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ (РАССТОЯНИЕ, СКОРОСТЬ,
УСКОРЕНИЕ)
- путь, расстояние, (или
 ( t )  S ( t ) или  ( t )  x ( t )
S (t )
v cр =
x (t ) )
a ( t )   ( t )
s (t + V t ) - s (t )
Vt
.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
Уравнение касательной к графику функции в точке х0
y  f ( x 0 )  f ( x 0 )  ( x  x 0 )
1)
2)
3)
4)
Найти f ( x 0 )
Найти производную f ( x )
Найти производную в точке х0: f ( x 0 )
Записать уравнение касательной.
УГОЛ КАСАТЕЛЬНОЙ
Проведем касательные к графику функции f(x) в точках х1, х2, х3.
Если f ( x 1 )  0 , то угол  1 острый;
Если f ( x 2 )  0 , то угол  2  0 ;
Если f ( x 3 )  0 , то угол  3 тупой.
33
tg   f ( x 0 ) ,
k  f ( x 0 )
где  - угол, который образует касательная с осью 0х
- коэффициент касательной ( y  kx  b )
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1) Логарифмической функцией называется функция вида y  log a x , где a  0 , a  1
и х – независимая функция.
2) Областью определения логарифмической функции y  log a x является
множество положительных значении х:
D ( x )  R  , т.е. x  0
3) Областью значений у логарифмической функции служит множество всех
действительных чисел y  (  ;  )
График логарифмической функции
1)
y  log
a
x
, где
2)
a 1
у
y  log
a
x
, где
0  a 1
у
х
1
34
х
1
ЛОГАРИФМЫ
Определение логарифма числа х
по основанию а
Основное логарифмическое
тождество
Свойство логарифмов
Если log
то х  а b
x= a
lo g a х
x  b , x  0, a  0, a  1
a
; x f 0, a f 0, a ¹ 1
log
a
a  1; log a 1  0 ; a  0 , a  1
log
a
xy  log
log
a
log
x
 log
a
y
x
a
k
x  log
a
x  log
 k  log
a
y
x
1
 log a x
k
a  0 , x  0 , y  0 , a  1, k  1
log
Переход к другому основанию в
логарифмах
log
log
a
a
a
k
х 
a
y
a
x 
x 
log
b
x
log
b
a
1
log
x
a
a  0 , a  1, x  0 , x  1
1) log
a
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
x  b , х – неизвестное, а и b числа, a  0 и a  1
x  a
2) log
a
b  0, b  1
x 1  log
a
b
x 2 , где a  0 , a  1
 x1  x 2

 x1  0
x  0
 2
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
1) При
a 1
логарифмическая функция возрастает: тогда, если
log
a
x 1  log
a
x2
, то
 x1  x 2

 x1  0
x  0
 2
2) При
то
0  a 1
логарифмическая функция убывает, тогда, если:
log
a
x 1  log
a
x2
,
 x1  x 2

 x1  0
x  0
 2
35
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1)Показательная функцией переменной х называется функция y  a x , где а- данное
число, a  0 , a  1
2) Показательная функция определена при всех действительных значениях х, т.е.
D( f )  R, x  R
3) Областью значений показательной функции служит множество всех
положительных действительных чисел, т.е. y  ( 0 ;  )
График показательной функции
1)
y  a
x
, где
2)
a 1
y a
у
x
, где
0  a 1
у
1
1
х
х
Показательные уравнения
1) a x  b , где a  0 , a  1
Если b  0 , то уравнение имеет единственное решение:
Если b  0 , то уравнение решений не имеет.
2) a f ( x )  a f ( x ) , где a  0 , a  1
Показательное неравенство
1
1) При
2
a 1
a
b
f1 ( x )  f 2 ( x )
показательная функция строго возрастает, т.е. a
2) При a  ( 0 ;1) , т.е.
то x 1  x 2
36
x  log
0  a  1,
x1
 a
x2
, то x 1  x 2
показательная функция строго убывает, т.е.
a
x1
 a
x2
,
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ.
Если сумма двух чисел равна 40,то эти числа есть х и 40–х.
Если разность двух чисел равна 12, то эти числа есть х и х – 12.
Задачи на движение по прямой
Основными компонентами этого типа задач являются: S – путь; υ – скорость;
t – время.
S   t ;  
S
t
t 
;
S

План решения:
1. В качестве неизвестных обычно выбирают расстояние (если оно не задано) или
скорости движущихся объектов.
2. Для составления уравнений в таких задачах, как правило, пользуются
следующими соображениями:
а) если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг к другу, то до
момента их встречи пройдет время, равное
S
1   2
;
б) если объекты начинают движение в разное время, то до момента встречи больше
времени затрачивает тот, который выходит раньше;
в) если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния
удобно принять за общее неизвестное этой задачи;
г) при движении объектов в одну сторону  1   2  время, через которое первый
догоняет второго, равно
S
.
1   2
Задача. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120 км. Первый поезд
проходит это расстояние на 50 мин. скорее, чем второй, скорость первого поезда
больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорость обоих поездов.
Решение. Скорость первого поезда х км/ч, скорость второго (х-12) км/ч. Время
движения первого поезда
t1 =
(час). Разница во времени
Уравнение:
120
-
120
x - 12
x
=
5
6
120
x
t 2 - t1 =
(час), время движения второго поезда
50
=
60
5
120
x - 12
(часа).
6
; умножим на
1 2 0 ×6 x - 1 2 0 ×6 ( x - 1 2 ) = 5 x ( x - 1 2 ) ;
t2 =
6 x ×( x - 1 2 ) .
сокращаем на 5.
2
144 x - 144 x + 1728 - x + 12 x = 0
2
x - 12 x - 1728 = 0,
x1 =
12 - 84
2
= - 36 < 0,
D = 144 + 4 ×1728 = 7056 = 84
x2 =
12 + 84
2
= 48.
x1
2
не удовлетворяет условию задачи.
υ1= 48 км/ч, υ2= 48-12=36 км/ч. Ответ: 48 км/ч, 36 км/ч.
37
Движение по окружности
При решении задач на данную тему следует учитывать, что:
а) если при одновременном движении двух объектов по окружности их одной точки,
один из них догоняет первый раз другого, то разность пройденных ими к этому
моменту расстояний равна длине окружности;
б) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями
υ1 и υ2 в разных направлениях, то время между их встречами вычисляется по
формуле
2 R
1   2
в) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями
υ1 и υ2 в одном направлении, то время между их встречами равно:
2 R
1   2
  1   2 
Задача. По окружности, имеющей длину 1350 м, в одном направлении едут два
велосипедиста. Первый обгонял второго каждые 27 мин. При движении в
противоположных направлениях они встречаются каждые 3 мин. Найдите скорости
велосипедистов.
Решение. Скорость I велосипедиста х м/мин, скорость II велосипедиста у м/мин.
Чтобы первому велосипедисту обогнать второго, он должен пройти круг и еще
пройти то расстояние, которое прошел второй за 27 мин. Т.е. разница путей,
пройденных велосипедистами равна 1350 м; х ×27 - у ×27 = 1350 : 27 .
х - у = 50 (м/мин). В случае встречного движения за 3 мин I велосипедист проехал
S 1 = x ×3 м, второй S 2 = y ×3 м; сумма S 1 + S 2 = 1 3 5 0 , 3 x + 3 y = 1350 , x + y = 450 .
ìï x - y = 50
ï
2 x = 500 , x = 250 , y = 250 - 50 = 200
í
ïïî x + y = 450
250 ×60
200 ×60
n 1 = 250 м / м ин =
км / ч = 15 км / ч , n 2 = 200 м / м ин =
км / ч = 12 км / ч
1000
1000
Система
Ответ: 15 км/ч, 12 км/ч.
38
Движение по реке
 потеч .   соб .   теч .
 теч . 
 соб . 
 потеч .   против
 противтеч .   соб .   теч .  плота   теч .
2
 потеч   прот
2
Задача. Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В,
находящийся в 10 км от А, затем возвращается в А. Если собственная скорость
лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой
должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 ч?
Решение. Пусть х км/ч – скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению
(3 + х) км/ч. Скорость лодки против течения реки (3 – х) км/ч. Время движения по
течению
10
час, против течения
3+ х
2 ч 30 мин =
Уравнение:
5
2
10
10
3- х
час. Разница во времени составляет
ч.
3- х
-
10
3+ х
=
5
;
2
60 + 20 х - 60 + 20 х = 45 - 5 х ,
2
Скорость течения реки 1 км/ч. Пусть собственная
скорость лодки у км/ч, тогда скорость лодки по течению составит (у + 1) км/ч. На
2
х + 8х - 9 = 0 ,
х1 = 1,
х 2 = - 9 < 0.
весь путь от А до В затрачено времени
10
y+ 1
ч.
10
y+ 1
= 2;
10 = 2 у + 2;
у= 4
км/ч
Ответ: Собственная скорость лодки должна быть 4 км/ч чтобы она преодолела
путь из А в В за 2 часа.
39
Задачи на концентрацию и процентное содержание
Введем основные понятия:
Пусть даны три различных вещества с массами: mA, mB и mC.
Масса смеси состоит из этих веществ: M = mA+mB+mC
Массовой концентрацией вещества А в смеси (доля чистого вещества в смеси),
называется величина СА, вычисляемая по формуле:
CA 
mA
M

mA
m A  mB  mC
Массовая концентрация СА+СВ+СС=1.
Процентным содержанием вещества А в данной смеси называется величина РА%,
вычисляемая по формуле Р А  С А  100 %
mA  CA M
Задача 1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к
80кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 4%?
Решение. Пусть добавили х кг воды
Состояние
смеси
Количество чистого
вещества (соли)
Общее количество
смеси М
Массовая
концентрация (СА)
Первоначально
После
добавления
0 , 05  80
80
80+х
0, 05
0, 04
m A
 M CA 
0 , 05  80
Исходя из второй строки таблицы, составим уравнение:
0 , 05  80  80  х   0 , 04
80  х  100
х  20
Ответ: 20кг.
Задача 2. Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того, как из нее
выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества стало
столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси?
Решение.
Было
I-вещ ество II-вещ ество ìï х + у = 18
ï
í
ïîï 0, 6 х = 0, 75 у
х = 8, у=10.
0,4 х
х кг ü
ïï
18кг
ý
0, 25 у
у кг ïïþ
ì
ïï х = 18 - у
Þ
Þ
í
ï 0, 6 (18 - у ) = 0, 75 у
ïî
Ответ: 10 кг и 8 кг
40
Выделили ( кг)
Осталось (кг)
0,6 х
0, 75 у
поровну
ì
ïï х = 18 - у
í
ïîï 10, 8 - 0, 6 у - 0, 75 у = 0
Задача 3. 40 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде
чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд
добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в два раза больше, чем в
первом сосуде. Найдите вес раствора, находящегося в первом сосуде.
Решение. Пусть в первом сосуде было х кг соли, тогда во втором (х+2) кг соли.
После добавления во второй сосуд соли , в нем стало (х+3) кг. Из условия задачи
2х = х + 3, х = 3.
Значит, в первом сосуде было 3 кг соли, а во втором 5 кг соли. Всего в 40 кг
раствора содержится 8 кг соли. Найдем процентное содержание соли в 40 кг
8
раствора
×100% = 20%
40
В первом сосуде 3 кг соли, раствора будет если найдем число по величине его
процента. 20% составляет 3.
3
×100 = 15 (кг).
Ответ: 15 кг
20
Задача 4. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих
12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?
Решение. Найдем сколько процентов абсолютно сухих грибов в 2,5 кг сухих
грибов.
100% - 12% = 88%. Пусть абсолютно сухих грибов х кг
2, 5 кг с.г
-
100%
хкг а.с.г
-
88%
Þ
х=
2, 5 ×88
= 2, 2 (кг) абсолютно сухих грибов.
100
Следовательно, в 22 кг свежих грибов вода составляет 22 – 2,2 = 19,8 кг, что
составляет
19, 8
22
×100% = 90% .
Ответ: 90%
41
Задачи на сложный процентный рост
S n  (1 
P
100
)  S - формула сложных процентов
n
Формула применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый
заданный промежуток времени увеличивается или уменьшается на Р%, считая от
предыдущего ее значения.
Задача. Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 тенге
под 30% годовых?
n
Решение.
Sn
P 

 1 
 S
100 

4
S4
4
30 
13  2

 13 
 1 
 5712 , 2
  2000  
  2000 
100 
10

 10 
4
.
Ответ: 5712,2 тенге.
Задачи на выполнение работы.
Объём работы принимаем за единицу: 1.
I – ая бригада выполняет эту работу за х часов. Производительность (скорость)
I– ой бригады:
1
х
.
II – ая бригада выполняет эту работу за у часов. Производительность (скорость)
II – ой бригады:
1
у
.
Вместе обе бригады выполняют эту работу за t часов,
1
их общая производительность: .
t
Тогда:
1
х

1
у

1
t
или
1 1
 
у
х

  t  1 .

Задача. Два каменщика сложили вместе стенку за 20 дней. За сколько дней
выполнил бы работу каждый из них в отдельности, если известно, что первый
каменщик должен работать на 9 дней больше второго?
Решение. Всю работу обозначим за 1, за х дней должен выполнить работу отдельно
II каменщик, тогда первый ту же работу должен выполнить за х + 9 дней.
Производительность I каменщика
1
х+ 9
1
, II-го –
1
х
1
. (работа за день) Работая вместе
20 дней они выполнят всю работу: ( + +9) ∙ 20 = 1;
2
х1 =
31 - 41
2
= - 5 < 0,

20
+ +9 = 1
2
20 ( х + 9 ) + 20 х = х ( х + 9 ) ,
х - 31 х - 180 = 0,
20
20 х + 180 + 20 х - х - 9 х = 0,
2
2
D = 31 + 4 ×180 = 1681 = 41 .
x2 =
31 + 41
= 36.
2
Первый каменщик выполнит работу за 45 дней, второй – за 36 дней.
Ответ: 45 дней, 36 дней.
42
Четные, нечетные функций
В условиях тестирования, очень важно использовать свойства, позволяющие
быстрее исследовать функции на четность, нечетность (не пользуясь определением):
1. Сумма четных функций – функция четная
2. Сумма нечетных функций – нечетная
3. Произведение четных функций - четная
4. Произведение двух нечетных – нечетная
5. Произведение четных и нечетных – нечетная
6. Если функция f четная (нечетная), то
Нечетные: x
Четные: x
2k
2 k 1
, sin x, tg x, ctg x,
, x , cos x, sin x2,
1
x
2k
2 k 1
,tg2x,
1
f
четная (нечетная)
x ,
ctgx
1
х
2 k 1
,
Задание. Выясните: четность или нечетность:
.
sin x
f x   x  x  x
4
2
ч  ч  ч
Решение. f  x   ч
ч
Определение. Если для любого х справедливо равенство f   x  
f  x  называется четной.
f (x) ,
Определение. Если для любого х справедливо равенство f   x  
f  x  называется нечетной.
 f (x) ,
то функция
то функция
Определение. Если область определения функции не является множеством,
симметричным относительно нуля, то эта функция не относится к классу четных и
нечетных функций.
Например. Функция f  x  
x
x2
не является ни четной, ни нечетной, так как ее
область определения есть множество    ;  2     2 ;   , несимметричные
относительно нуля. В этом случае выражение f   2  не имеет смысла.
43
ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ. БИНОМ НЬЮТОНА
1) Число размещений из m элементов по n в каждом:
A m  m ( m )( m  2 )....( m  n  1)
n
2) Число перестановок из m элементов:
Pn  A n  1  2  3 ....( n  1)  n  n!
n
3) Число сочетаний из m элементов по n в каждом:
Cm 
m!
n
n! ( m  n )!
Формула замены:
mn
Cm  Cm
n
, замена выгодна, если
mnn
Бином Ньютона
a  b  n
 Cn a  Cna
0
n
( a  b )  a  na
n
n
1
n 1
n 1
b  ... C n a
b  ... 
k
nk
b  ... C n b
k
n  n  1 ...  n  k  1 
k
44
n
n
a
или
nk
b  ...  b
k
n
Графики
1) y  kx
2) y  kx  b
у
у
y  kx  b
y  kx
k  0
х
3)
y 
k
x
,
х
x  0
у
,
k  0
4)
y  x
6)
y 
2
у
х
5)
y  x
3
у
x
у
y 
x
х
х
45
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1) По двум углам
2) По двум сторонам и углам между ними
ka
а
b
kb
3) По трем сторонам
ka
a
kb
b
c
kc
1) Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник,
подобный данному.
2) Сходственные (соответствующие) линейные элементы подобных
треугольников пропорциональны сходственным сторонам.
3) Периметры подобных треугольников относятся как соответствующие
линейные размеры.
P1
P2

a1
a2

b1
b2

c1
 k
c2
4) Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих
линейных размеров:
2
S1
S2
46
2
2
2
 P 
a 
b 
c 
2
  1    1    1    1   k
P
a
b
c
 2 
 2 
 2 
 2 
Высота, биссектриса, медиана.
В
ha
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра,
опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.
1
hb
hc
ha

1

hb
1

hc
1
r
, где r – радиус вписанной окружности.
C
Точка пересечения высот – ортоцентр.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника (делит угол пополам). Все
биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке центре вписанной в треугольник окружности. Правило
биссектрисы: биссектриса делит противолежащую стоC рону на отрезки, пропорциональные прилежащим
A
B
A
сторонам треугольника:
D
BD 
B
A
C
BA  BC  AD  DC
AD

AB
DC
CB
,
.
Медианой треугольника называется отрезок,
который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Медианы
треугольника пересекаются в одной точке и делятся
этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Медиана делит треугольник на шесть равновеликих
треугольников (т.е. имеющих одинаковые площади).
2b  2 c  a
2
ma 
2
2
2
4
Точка пересечения медиан – центр тяжести (центр масс), гравитационный центр.
Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна
C
M
N
ее половине. MN  l ср . линия ;
A
l ср . л . AB
l ср . л . 
AB
2
B
47
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус
угла между ними: a 2  b 2  c 2  2 bc cos 
C
φ
b
a
A α
β B
b c a
2
с
cos  
2
2
2 bc
;
Теорема синусов. Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих им
углов.
B
c
a
a
α
sin 

b
sin 

c
sin 
 2R
φ
A
b
C
ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ДЛЯ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
S 
1
ah a
2
S 
1
2
bh b
S 
p  p  a  p  b  p  c 
S 
1
2
ch c
S 
1
S 
ab sin C
2
(формула Герона) S=
1
1
ac sin B
2

4a b  c  a  b
2
2
4
2
1
S 
2
bc sin A
2
2
 -формула
2
Герона, если стороны треугольника выражены иррациональными числами.
S=
a
4b  a
2
4
S   rp
2
; а – основ, b- бок. стороны равнобедренного треугольника.
S 
abc
p 
4R
1
2
 a  b  c  - полупериметр
r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности
S=2R2 ∙sinА∙ sinВ∙ sinС
2
SV =
a sin B ×sin C
m=
,
2 sin A
ma + mb + mc
2
SV =
4
3
m×(m- m a )×(m- m b )×(m- m c )
– полусумма медиан,
m a , m b , m c – медианы, проведенные к соответствующим сторонам;
48
Вписанная окружность
В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Ее центр –
точка пересечения биссектрис.
Формула: радиус r вычисляется по формулам:
r   p  a tg
A
2
B
  p  b tg
2
  p  c tg
c
2
abc
 p  a  p  b  p  c 
r 
,
2S
r 
S

p
p
, где p –
полупериметр.
Описанная окружность
Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Ее
центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
R 
a
2 sin A
b

c

2 sin B
abc
R 
2 sin C
4S 
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей и площадей правильных многоугольников
n
α
  n  2  an
n
R
an

n
n
an
R=
=2Rsin .
.

180
2 sin

r
r
S 
an
r=
2
nR sin
S  nr tg
2

S 
1
2
na ctg
4
3
60º
R=
.
3
a3
a3 3

3
3
a3=2
r
3
r=
.
a3
r=
R=
4
90º
a4

a4
2
2
2
R= r
6
2 3
R=2 r.
a4=R 2 .
a4=2 r
1
R
r=
6 120º
a6=

3
3
R=
больш =  = 
мальн =  = √
а8= R
8 135º
а8 =
2
2
2r
1+
.
2r 3
3
.
r=
R=
а8
2
r=
4+ 2 2
2
r=
1
2
2
а
S  3r
2
a6
3
2
R 3
2
(
а8 1 +
2
.
.
2
3
2
3
S =r∙p
;
S 
3R
2
3
4
S= а 2 S=2R2
S=4r2
2
S=
3
2
.

n
4
2
R 2

S=
.
2
2
R= a6.
2r 3
a4
r=
.
.
R.
2
a6= R.
2r
a3 3

S  pr
;
;
n
n
a3=R
2
n
n
n
an =2r·tg .
1
2
.

180
2 tg
S
R
3а
2
3
S=
2
3 3R
2
2
2
)
2
2
2
S=2 а 2 1 
S=2R2
2

2
49
R=
2r
.
2
2
a12= R
1
150º
2
а1 2 =
3
R 2
3
2
2
(
а1 2 2 +
r=
.
3
)
2
2r
2+
2
R = a12 × 2 +
.
r=
2r
R 
3
2
r 
3
R 2
2
3
S  3a
3
2
2 
S  3R
2
2
2
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
катет
гипотенуза
c
Теорема Пифагора: c2=a2+b2;
a2=c2-b2
b2=c2-a2
a
b
катет
A
Катет, лежащий против угла в 30°,
равен половине гипотенузы.
Только в прямоугольном треугольнике центр описанной
окружности лежит на стороне треугольнике.
(совпадает с серединой гипотенузы)
R
R 
R
C
с
2
B
Медиана проведенная к гипотенузе, равна половине
гипотенузы.
mc 
c
2
Площадь прямоугольного треугольника:
S 
C
a
b
S 
1
2
1
2
ab
a и b - катеты
ch ,
с - гипотенуза
h
B
k
A
Соотношения в прямоугольном треугольнике
α – острый угол, с - гипотенуза
a – катет, противолежащий углу α
b – катет, прилежащий углу α
с
a
α
b
50
a  c  sin 
b  c  cos 
a  b  tg 
________________________________
3

C
a
2
 ac  c ;
ma 
b
1
2
b
4b  a
2
2
2
 bc  c
mb 
;
h
1
2
 a c  bc
4a  b
2
Если
bc k
ac
B
a
2R  a  b  2r
b-r
r
r
a-r
c
2
r 
abc
a 5
2
m c  hc  lc 
 pc
S 
1
a ;S 
2
2
1
c
2
1
c
2
4
2( R  r )  a  b
a-r
Равнобедренный – треугольник, у которого две стороны
равны.
Углы при основании равны.
A
c
mc 
c
a  b; c  a 2 ; m a  m b 
2
r
r
r
;
1
c
b= a
b-r
2
2
ab
hc 
;
a
h
A
;
b
бок.стор.
B основание
а
бок.стор.
hb  hc 
2S
b
;
ha  m a  la 
1
4b  a
2
2
2
C
Правильный – равносторонний треугольник, у которого
все стороны равны, углы по 60о.
51
ФОРМУЛЫ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА
R 
a
a
r 
3
3
h 
r 
a
h  3r
h
a
S 
3
2
2 3
1
2
3
a – сторона треугольника
4
h - высота
h=r+R
ФОРМУЛЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
B
C
b
d1
AC  d 1
BD  d 2
d 1  d 2  2 a  2b
2
α
2
2
P  2(a  b)
2
d2
A  
A
a
S парал  a  b  sin 
;
D
S парал  a  h a
S парал  b  h b
hb
b
ha
φ
a
α
S парал 
1
2
d 1  d 2  sin 
    180 
β
Прямоугольник
φ
b
У прямоугольника диагонали равны: d 2  a 2  b 2
Около прямоугольника можно описать окружность:
R 
1
2
d 
1
a b
2
S прям оуг  a  b
2
2
S 
1
d sin 
2
2
a
Квадрат
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
R 
a 2
2
а
52
P  4a
R 
d
r 
a
S кв  a
1
2
2
a
d кв  a 2
S кв . 
1
2
d
2
Ромб
r 
1
r 
h
2
a sin 
2
h  a sin 
h
1
h  2r
α
a
P ром б  4 a
Sp  ah
S p  a sin 
2
Sp 
1
2
d1d 2
S p  2 ar
Трапеция
B
M
b
MN – средняя линия ℓср.л.
C
h
A
a
B
 ср . л . 
N
b
P
2
ab
h
2
S mp   ср . л .  h
Отрезок, параллельный основаниям, проходящий
через точку пересечения диагоналей:
C
Q
a
S mr 
D
О
A
ab
OQ  OP 
ab
ab
PQ 
2 ab
ab
D
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма
оснований равна сумме боковых сторон: BC+AD=AB+CD.
B
b
C
1
S трап .  AC  BD sin 
0 φ
2
M
N
ab
EF 
E F
2
A
a
D
b
ME  NF 
2
Равнобедренная трапеция
A
B
C
M
N
У равнобедренной трапеции диагонали равны:
AC=BD; BM=CN; AM=ND; BC=MN
D
53
B
Если диагонали AC и BD равнобедренной
трапеции взаимно перпендикулярны, то
Smp=h2 AK=CK
C
A
K
D
К
A
a
B
c
DB = e, AC = f,
е  f
2
d
D
2
c d
2
2
 2 ab .
C
b
A
a
B
Если AD  AC (трапеция равнобедренная):
h
b a
2
С
D
H
h 
2
2
C
ba
2
b
A
a
B
a b  l  c
2
c
DH 
;
l
D
2
C
b
A
a
B
h  2r 
r
O
c
c
D
S ABCD
a b ;
 2c  r
C
b
A
a
B
h
D
54
h
b
C
a b .
;
HC 
ba
2
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Сумма внутренних углов 360 , сумма внешних углов 360о.
Сумма противоположных углов выпуклого вписанного четырехугольника равна
180о.
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
о
A
α
B
D
ABCD – выпуклый четырехугольник.
Сумма внутренних углов 360°.
Сумма внешних углов 360°.
 
В  С
2
C
A
S ABCD 
D
1
AC  BD  sin 
2
α
B
C
A
a c
2
b
a
B
D
S ABCD
b d
1
 AC  BD
2
2
2
2
c
d
C
55
Площади правильных n – угольников
S 
1
S  n  r tg
;
rP
2
2

n
S 
;
nR
2
2
sin
2
n
;
S6 
3 3R
2
;
2
S8  2R
2
2
;
S 12  3R
2
Стороны правильных n – угольников
180 
a n  2 R sin
b n  2 R  tg
;
n
180 
n
; Внешний угол равен
360 
n
; Внутренний угол
360 
180  
n
А2
А1
А3
А4
Число диагоналей выпуклого n – угольника
равно
(n  4)
Сумма внутренних углов выпуклого n – угольника
S  n
ar
2
 n
R sin
2
2
( n  3)
1
2
n n  3 
равна
( n  2 )

2
ОКРУЖНОСТЬ
хорда
диаметр
C  2 R
 дуги   R ,
no
B
дуга
A
С
- длина окружности
 дуги 
R
180 
где
 n

- длина дуги AB
Если две хорды AB и CD имеют общую точку
M, то: AM  MB  CM  MD
B
M
A
D
A
MA  MB  MC  MD
B
M
0
D
C
56
- радианный угол
B
 AOC  
- центральный угол

2
- дуга AC
 AC  
 ABC
0
α
- угол, вписанный в окружность
C
A
 ABC 

2
Вписанный треугольник, опирающийся на диаметр, прямой.
Вписанные углы, опирающие на одну и ту же дугу, равны.
КРУГ, КРУГОВОЙ СЕКТОР, КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ
S круга   R
2
;
d  2R
0
0
круг
α
Круговой сектор
S кр .сект . 
R
2
360 
 
Круговой сегмент
S кр .сегм . 
R
2
360 
   S
57
ПРИЗМА
Правильная 4-угольная пирамида
(в основании квадрат)
Н
Прямоугольная призма
S бок . пов .  Pосн .  Н ;
Росн. – периметр основания
S полн . пов .  S бок .  2 S осн .
V призмы  S осн .  H
Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда она прямая и около ее
основания можно описать окружность.
R шара  R окруж  0 , 25 Н
2
2
2
В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в ее перпендикулярное
сечение можно вписать окружность, и диаметр этой окружности равен высоте
призмы.
R  r  0 ,5 H
R 
2S 
P 
R - радиус вписанного шара
- радиус вписанной окружности
S  - площадь перпендикулярного сечения
P  - периметр перпендикулярного сечения
r
В прямую призму можно вписать цилиндр, если в ее основании можно вписать
окружность. Около прямой призмы можно описать цилиндр, если около ее
основания можно описать окружность.
A‫׀‬
M
B‫׀‬
C‫׀‬
N
B
C
58
AA‫=׀‬ℓ - длина бокового ребра
V накл . приз .  S сеч . MNK  
K
A
ABCA‫׀‬B‫׀‬C‫ – ׀‬наклонная треугольная призма
S бок . пов . накл .  Pсеч . MNK  
КУБ
B‫׀‬
C‫׀‬
A‫׀‬
D‫׀‬
S пол н . пов ер .  6 a
V куба  a
a
B
AC
C
a
A
3
- диагональ куба
1
A C   AC
2
D
 C C  , AC  a 2
2

2
AC   a 2
2
R 
a 3
2
2

2
a
2
 2a  a
2
2
 3a
2
AC   a 3
- для куба, вписанного в сферу R – радиус описанной сферы
a – ребро куба
r 
1
2
a
- (r - радиус вписанной сферы (шара), a – ребро куба)
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Прямым называется параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно
плоскости основания.
Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по
формулам:
С
d 1  a  b  c  2 ab cos 
2
Н
2
2
2
d 2  a  b  c  2 ab cos 
2
α
a
b
2
2
2
S полн .  2 S осн .  S бок .
S бок .  Pосн .  Н
V парал .  S осн .  Н
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольным называется прямой параллелепипед, в
основании которой лежит прямоугольник.
с
Все диагонали прямоугольника параллелепипеда равны:
d
2
 a b c
2
2
2
b
a
S полн .  2 ab  2 bc  2 ac
V прям оуг .  abc
59
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
S
S
C
D
C
O
A
M
a
ОМ = r =
(для квадрата);
2
а
2
M
B
Правильная треугольная пирамида
(∆ ABC - равносторонний)
A
B
Правильная четырехугольная пирамида;
ABCD - квадрат
SO – высота пирамиды, SO=H
OC – радиус описанной окружности;
OC  R 
O
a
OC  R 
(для равностороннего треугольника).
3
(для квадрата); ОМ = r =
а
(для равностороннего треугольника).
2 3
SM=k – апофема, т.е. высота боковой грани
S бок . пов . 
V пирам . 
1
3
1
2
Pоснов .  k
;
SC
2
 SO
2
 OC
2
;
S полн . пов .  S осн .  S бок ;
S осн .  Н
Все боковые ребра равны. Все боковые грани – равные равнобедренные
треугольники. Все плоские углы при вершине равны.
S бок 
S осн .
cos 
, где Sосн. – площадь основания; α – угол при ребре двугранного
основания.
Площадь ортогональной проекции многоугольника.
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна
произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и
плоскостью проекции.
Правильная усеченная пирамида
S бок . повер . усеч . пир . 
M1
2
( Pосн .1  Р осн .2 )  k ус .
MM1=kус. – апофема усеч.пир.
V ус . пир . 
M
60
1
1
3

h ус  S осн .1 
S осн .1  S осн .2  S осн .2

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которого правильные
треугольники. Его основные формулы:
3
R 
S
H  a
H
О
C
OM=rосн 
3
a  H
3
4
OC=Rосн =
2
a 3
2
a 3
SM  h 
2
3
2
H 
4
a 3
6
rшара 
1
S повер .
полн
= a
3,
V прав .
т ет р .
a 6
4
М
2
H 
=
Rr  H
12
a
3
2
.
12
Для пирамиды, все двугранные углы при основании
которой равны между собой (все высоты боковых
граней, проведенные к ребрам основания, равны):
S
φ
S бок 
S осн .
cos 
61
ЦИЛИНДР
O‫׀‬
B
C
H
ABCD – осевое сечение (прямоугольник)
AC – диагональ осевого сечения
OO‫=׀‬СD=H – высота цилиндра
OA=OD=R – радиус основания
S бок .ц .  2  RH
S полн .  S бок .  2 S осн .  2  RH  2  R
A
O
D
V цил .   R  H
2
2
 2 R   H  R 
S осев .сеч .  AD  CD  2 R  H
Около цилиндра всегда можно описать шар. Его центр лежит на середине высоты.
R ш  R осн .ц .  0 , 25 H
2
2
2
В цилиндр можно вписать шар, если диаметр основания цилиндра равен его высоте:
R ш  R осн .ц .  0 ,5 H
C
D
B
K
O
A
62
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси
цилиндра на расстоянии OK=h от центра (от оси) - прямоугольник ABCD.
КОНУС
S
образующая ℓ
- осевое сечение.
 SAB   - угол наклона образующей к плоскости
основания.
 ASB   - угол при вершине осевого сечения
 ASB
α
H
φ
A
V конуса 
S бок . пов .   R  ; S осн . к .   R 2
0
1
R H
2
R

3
развертки
B

2 R


S полн . пов .   R    R
2
  R   R 
C окр .

- сечение конуса плоскостью, проходящей через
вершину конуса, - равнобедренный треугольник.
 SAB
S
В конус всегда можно вписать шар. Его центр лежит
на оси конуса и совпадает с центром окружности,
вписанной в треугольник, являющийся осевым
сечением конуса.
B
Около конуса всегда можно описать шар. Его центр
лежит на оси конуса и совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника,
являющегося осевым сечением конуса.
0
A
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
O‫׀‬
R‫׀‬
S бок . ус . к .   ( R  R )  
A‫׀‬
S пол н . ус . к .   ( R  R  )  
ℓус.
Hус.
R
V ус . к . 
1
3
ус
 R  R 
2
ус .
 ( R  R   R  R )  H
2
2
2
ус .
A
O
63
ШАР И СФЕРА
D
S пов ер . шара .  4  R
0
 D
2
2
(сфера – это поверхность шара)
R
V шара 
4 R
3

3
1
D
3
6
CD=D – диаметр шара
C
Шаровой сегмент
r
H
Радиус основания сегмента: r  H ( 2 R  H )
Площадь сферической поверхности шарового
сегмента: S бок .  2 RH
R
0
Площадь полной поверхности сферического сегмента:
V шар . сегм .   H ( R 
2
1
S полн .  S бок .   r
2
 2  RH   r
2
H)
3
Шаровой сектор
Объем шарового сектора:
H
R
0
V шар . сек . 
2
S сфер
 2  RH
. пов ерх .
R H
2
3
S пол н . пов ер . сект .   R ( 2 H 
2 RH  H )
2
Полый шар
Поверхность полого шара: S  4 ( R1  R 2 ) , где
R1 и R2 – радиусы внешней и внутренней шаровых
поверхностей.
2
Объем полого шара: V 
64
4
3
 ( R1  R 2 )
3
3
2
ПИРАМИДА И ШАР (ОПИСАННЫЙ)
Шар называется описанным около пирамиды, если все
вершины пирамиды лежат на его поверхности. Шар можно
описать около любой правильной пирамиды. Рассмотрим
O
те, у которых все боковые ребра равны. В таких пирамидах
B
боковые ребра одинаково наклонены к плоскости
A
O1
основания. У этих пирамид высота пересекает основание
C
в центре описанной окружности и центр описанного шара
лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении за
плоскость основания
SO 1  H - высота пирамиды.
AS   - боковое ребро пирамиды.
AO  R шара - радиус шара
S
 SAO 1   - угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды.
Уравнения связи для вписанной в шар пирамиды, у которой все ребра равны:
2
  2 R шара  sin  ;   2 R шара  H
ПИРАМИДА И ШАР (ВПИСАННЫЙ)
S
Шар называется вписанным в пирамиду, если он
касается всех граней пирамиды.
Шар можно вписать в любую правильную пирамиду.
Рассмотрим те, у которой все боковые грани одинаково
наклонены к плоскости основания.
В такой пирамиде высота падает в центр вписанной в
O
основание окружности и высоты всех боковых граней
C равны.
A
α
Шар касается основания пирамиды в центре вписанной
O1
окружности, а боковых граней – в точках, принадлежаB
щих высотам боковых граней.
SO 1  H - высота пирамиды
OO 1  rшара - радиус шара
SM  m - апофема (высота боковой грани)
 SMO 1   - двугранный угол при основании
O 1 M  r - радиус вписанный в основание окружности.
Уравнение связи для шара, вписанного в пирамиду, у которой все боковые грани
одинаково наклонены к плоскости основания:
rшара  r  tg

2
;
rшара 
H r
rm
65
КОНУС И ШАР (ОПИСАННЫЙ)
Н
О
Для конуса, вписанного в шар, имеют те же соотношения,
что и для пирамиды, вписанный шар.
Уравнение связи для конуса, вписанного в шар:
ℓ
Rш
α
  2 R шара  sin 
;

2
 2 R шара  H
КОНУС И ШАР (ВПИСАННЫЙ)
H
Для шара, вписанного в конус, имеют место соотношения,
аналогичные тем, которые были получены для шара
вписанного в пирамиду.
m
rш
O
α
r
Уравнения связи для шара, вписанного в конус:
rшара  r  tg
66

2
;
rшара 
H r
rm
Уравнение прямой
1) y  kx  b , где k и b – числа.
2) Общее уравнение прямой: ax  by  c  0 , где a, b и с – числа.
3) Если известны две точки линии. Пусть точками будут А(х1;у1) и В(х2;у2), тогда
уравнение прямой:
Например: y 
Тогда,
y 
2
3
2
у  у1
у1  у 2
х  х1

х1  х 2
.
x  7 - уравнение прямой
x  7 ( 3 )
3
3 y  2 x  21
 2 x  3 y  21  0    1 
2 x  3 y  21  0 - общее уравнение прямой.
4) Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0; y0) с угловым
коэффициентом k: y  y 0  k   x  x 0 
5) Условие параллельности двух прямых: k 1  k 2
6) Условие перпендикулярности двух прямых: k 1  k 2   1
7) Расстояние от точки M (x0; y0) до прямой ax+by+c=0:
ax 0 + by 0 + c
2
a + b
= r (M , l)
2
ρ – расстояние.
Угол между пересекающимися прямыми у  k 1 x  b и y  k 2 x  b
tg  
k1  k 2
1  k1  k 2
Пример. Чему равен угол между прямыми
Решение.
tg  
k1  k 2
1  k1  k 2

3   2 
1  3   2 

5
5
у = 3х – 6 и
у = – 2х + 5?
  45 
 1.
Уравнение окружности:
а) с центром в начале координат: x  y  R
2
2
2
2
б) с центром в точке A(a;b):  x  a    y  b   R
2
2
67
Метод координат
Координаты середины отрезка AB – точки 0:
0
x0 
B(x2; y2)
x1  x 2
2
; y0 
y1  y 2
2
A(x1; y1)
x2
d AB 
Длина отрезка АВ:
 x1   ( y 2  y 1 )
2
2
Координаты вектора AB :
B(x2; y2)
AB x 2  x 1 ; y 2  y 1 
A(x1; y1)
Деление отрезка в отношении
M (x, y) B(x2; y2)
n
x 
m
AM
A(x1; y1)

MB
m
y 
n
m
n
:
nx 1  mx 2
nm
ny 1  my 2
nm

Длина вектора a a 1 ; a 2 ; a 3 

a 
a1  a 2  a 3


Если векторы a a 1 ; a 2 ; a 3  и b b1 ; b 2 ; b 3  ортогональны, т.е. перпендикулярны, то
2
2
2
a 1  b1  a 2 b 2  a 3 b 3  0
ab
2
 ab
2
 2a
2
 2b
2
Скалярное произведение векторов
 
 
 
a  b  a  b  cos  a , b ;
 

a 
a1  a 2  a 3 ;
2
2
2

b 
 
 
a b
cos  a , b   
a b


b1  b 2  b 3
2
2
M(xm; ym)
B(x2; y2)
A(x1; y1)
68
;
 
a  b  a 1 b1  a 2 b 2  a 3 b 3
2
Точка М прямой АВ делит отрезок АВ в
отношении λ, считая от А, если
AM   AM (    1) .
Координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении λ:
xm 
x1   x 2
ym 
1 

y1   y 2
1 

Два вектора a a 1 ; a 2  и b b1 ; b 2  коллинеарны, если:
a1
b1





Если a  a 1 i  a 2 j  a 3 k , то a a 1 , a 2 , a 3 
 


Например, a  2 i  k , то a 2 ; 0 ;  1 .
Например,




a   i  2 j  3k

a2
b2

, то a  1; 2 ;3
ФОРМУЛА СВЯЗИ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
Если АВСD – параллелограмм с А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3), D(х4;у4),
то х1 + х3 = х2 + х4; у1 + у3 = у2 + у4.
Пример. Найдите a + b, если А(а; 3), В(3; 2), С(2; b) и D(1; 4) – вершины
параллелограмма.
Решение.
ïìï a + 2 = 3 + 1
í
ïïî 3 + b = 2 + 4
Þ
ïìï a = 2
í
ïïî b = 3
Þ
a+ b= 5
ФОРМУЛА СВЯЗИ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕРШИН ТРЕУГОЛЬНИКА
А  x1 ; y 1  ,
В x2 ; y2 
С  x3 ; y 3 
SD =
( x1 - x 3 )×( y 2 - y 3 ) - ( x 2 - x 3 )×( y1 - y 3 )
.
2
Пример. Треугольник с вершинами А(-2; 0), В(14; 12) и С(; 14). Найдите площадь
этого треугольника.
(- 2 - 0 )(12 - 14 ) - (14 - 0 )(0 - 14 )
4 + 196
Решение. S V =
=
= 100
2
2
ФОРМУЛА ГРАВИТАЦИОННОГО ЦЕНТРА.
АВС – треугольник с вершинами А ( x1 ; у1 ) ,
В (x2 ; у2 )
и
 х1  х 2  х 3
то гравитационный центр М  х 0 ; у 0   

3
;
С ( x3 ; у 3 ) ,
у1  у 2  у 3 
.
3

Пример. Чему равен гравитационный центр (точка пересечения медиан)
треугольника с вершинами А(1; 3), В(-1; -2) и С(0; 3)?
Решение.
æ1 + (- 1) + 0 3 + (- 2 ) + 3 ö æ 4 ö
÷
÷
М ( х 0 ; у 0 ) = çç
;
= çç0; ÷
÷
÷
çç
÷
ø
3
3
è
ø çè 3 ÷
69
Примеры решений тригонометрических уравнений
Решить уравнение:
 

2 sin  3 x   
6

sin( 3 x 

6
)
2
: 2 
3x 

6
2
3x 

6
2
2
   1  arcsin
n
  1 
n

 n, n  Z
2
3 x   1
x   1
 n
4
n
n


4


 n

6

12

18
1
3

n
3
Средние величины
Среднее арифметическое
Среднее
геометрическое
ab
а) двух величин:
а) двух величин: x 
б) трех величин:
x 
x
2
abc
3
a b
б) трех величин:
x
Среднее пропорциональное чисел а,
3
a b c
b и с равно
b c
a
Как найти наибольшее или наименьшее значения для функции у(х)=ах2+вх+с.
Пусть А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=
b
2à
, у0= -ах02+с.
1) Если а>0, то унаим=у0, где у0- число, найденное по выше указанной формуле.
2) Если а<0, то унаиб=у0, где у0- число, найденное по выше указанной формуле.
Как построить график функции у(х)=ах2+вх+с.
-Находим вершину параболы : А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=
b
2à
,
у0= -ах02+с.
-Находим точки пересечения графика с осью Ох. Для этого данное ах2+вх+с=0 и
находим корни х1 и х2 .
- Находим точки пересечения графика с осью Оу. Для этого в данное у=ах2+вх+с
Как найти область значения для функции у(х)=ах2+вх+с.
Пусть А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=
b
2à
, у0= -ах02+с.
1) Если а>0, то Е(у)=[ у0;   ), где у0- число, найденное по выше указанной
формуле.
2) Если а<0, то Е(у)=(   ; у0;), где у0- число, найденное по выше указанной
формуле.
70
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа