close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Київські відбори. Розв’язання задач
4 тур
8 клас
1. Чи існують додатні числа x , y , z ,
які
задовольняють
одночасно
обидві рівності:
x  y  z  1 та
(1  x )(1  y )(1  z )  xyz ?
Відповідь: не існують.
Розв’язання. Припустимо, що такі числа
існують, тоді з додатності кожного з
чисел можемо написати такі нерівності:
1  x  z, 1  z  y, 1  y  x .
Залишається їх перемножити і одержимо,
що (1  x )(1  y )(1  z )  xyz , тобто
друга рівність не можлива.
D
R
P
Q
C
O
A
M
B
Рис. 1
2. У трапеції ABCD з основами AB та CD діагоналі перпендикулярні та
перетинаються в точці O . Точка M лежить на основі AB . Описані кола  AMO та
BMO перетинають вдруге прямі AD та BC у точках P та Q відповідно. Доведіть,
що центр описаного кола  MPQ лежить на середній лінії трапеції.
Розв’язання. Нехай MO  CD  R (рис. 1). Чотирикутники AMOP та MBQD вписані, тому
 BMO   APO та  BMO   CQO . Оскільки AB || CD , то  BMO   DRO , звідси
чотирикутники PORD та OQCR – вписані. Тоді
 MQR   MQO   OQR   MBO   OCR   MBO   OAM  90  ,
аналогічно  MPR  90  , тому MQPR – вписаний, тому його центр описаного кола – середина
MR , що й треба було довести.
3. Дано натуральне число m , що має простий дільник p , p > 2 m  1 . Знайти
найменше натуральне число M таке, що існує cкінченна множина T з різних
натуральних чисел, які задовольняють таким умовам:
1) m є найменшим числом і M є найбільшим числом з T ;
2) добуток усіх чисел з T є точним квадратом цілого числа.
Відповідь: m  p .
Розв’язання. Очевидно, що якщо p є простим дільником m і p >
2 m  1 , то p є єдиним
простим дільником з цією властивістю, і p > 3 .
Розглянемо натуральне число
M , що існує множина
задовольняє умові. Доведемо, що M  m  p .
T = { x1 = m , x 2 ,..., x k = M } , що
Дійсно, так як p >
2 m  1 , то p має степінь 1 входження в m . Так як добуток x1 x 2 ... x k є
повним квадратом, то існує j  2 таке, що x j  p . Таким чином, M = x k  m  p .
Для M = m  p , розглянемо множину:
T =
 m,
m
p
( p  1),
2m p
2p
( p  1),
2m p
2p
m p
( p  1),
p
( p  1), m  p

Легко показати, що всі числа в T є натуральними.
m <
m
p
( p  1),
Крім того, якщо серед чисел
m
p
2m p
2p
( p  1),
( p  1),
2m p
2p
2m p
2p
( p  1),
( p  1),
то після відалення їх з T всі умови залишаться.
2m p
2p
m p
p
( p  1) < m  p
( p  1),
m p
p
C
B
4. Доведіть, що будь-який прямокутник
можна розрізати на не більше ніж 5
попарно різних рівнобедрених трикутники.
Розв’язання. Відповідне розрізання показане на
рис. 2, якщо він відмінний від квадрату.
Для квадрату розрізання показане на рис. 3.
Те, що одержані трикутники рівнобедрені та різні
очевидно випливає з побудови.
( p  1) є два рівних числа,
G
E
A
D
F
Рис. 2
C
B
E
G
A
F
Рис. 3
D
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа