close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Иванов Д.И.
АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 – «Математика»,
профиль подготовки:
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
3
Иванов Д.И. Алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
направления 01.03.01 – «Математика», профиль подготовки: «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 52 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Алгебра»
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Иванов Д.И., 2014.
4
1. Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы общей и
линейной алгебры. Работа над материалом учебной дисциплины «Алгебра» позволяет реализовать следующие цели и задачи:
Цели преподавания учебной дисциплины «Алгебра» можно сформулировать следующим образом:
 Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с
требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и учебному плану по направлению 01.03.01 «Математика».
 Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей и
линейной алгебры;
 Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач, необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной деятельности;
 Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения научных задач
теоретического и прикладного характера;
 Повышение интеллектуального уровня;
 Формирование научного мировоззрения, математического мышления, представлений о значимости математики как части современной человеческой культуры, в
развитии цивилизации, о математике как форме описания и методе познания действительности.
Основными задачами изучения дисциплины являются:
 Изучить материал учебной дисциплины;
 Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала
учебной дисциплины;
 Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических задач различных видов и уровней сложности;
 Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
 Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний, широкому
их использованию в практической и будущей профессиональной деятельности.
 Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки;
1.1.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Алгебра» входит в базовую часть цикла Б1. Материал дисциплины
является обязательным для изучения при подготовке бакалавров по направлению 01.03.01
«Математика» и непосредственно связан с материалами других дисциплин математического и естественнонаучного, профессионального циклов таких, как аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, методы вычислений, функциональный анализ, математический анализ, функциональный анализ и комплексный анализ.
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения материала
учебной дисциплины «Алгебра», могут быть использованы во всех видах деятельности в
соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом и основной
образовательной программой высшего профессионального образования по направлению
подготовки 01.03.01 «Математика».
5
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.3.3.
+
3.3.2.
+
3.3.1.
+
3.2.2.
+
3.2.1.
+
3.1.2.
+
3.1.1.
+
2.3.2.
+
2.3.1.
+
2.2.2.
2.1.2.
+
2.2.1.
2.1.1.
6
1.3.2.
5
1.3.1.
4
1.2.2.
3
1.2.2.
2
Аналитическая
геометрия
Функциональный
анализ
Математический
анализ
Комплексный анализ
Дифференциальные
уравнения
Методы
вычислений
1.2.1.
1
Наименование дисциплины
1.1.2.
п
/
п
1.1.1.
№
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
3 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа,
комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики
и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных
процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной
деятельности (ОПК-1);
способностью решать стандартные задачи профессиональной деятельности на основе
информационной и библиографической культуры с применением информационнокоммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной безопасности (ОПК-2);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра» студент должен
знать:

сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;

основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
6

основные методы решения задач алгебры и теории чисел, целые и комплексные
числа, многочлены над произвольным полем, вычисление корней многочлена, алгебраические уравнения, определители, общую теорию систем линейных уравнений, действия
над матрицами, квадратичные формы, дробно-рациональные функции, основы теории
групп, векторные пространства, линейные отображения и операторы, евклидовы и унитарные пространства, алгебры.
уметь:

самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках изучаемой дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данной дисциплины;

анализировать полученные результаты.
владеть:

символикой изучаемой дисциплины;

терминологией изучаемой дисциплины;

навыками практического использования математического аппарата дисциплины
для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и профессиональной
деятельности;

навыками научного творчества.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестры – первый, второй и третий. Форма промежуточной аттестации
экзамен - первый, второй и третий семестры. Общая трудоемкость дисциплины составляет
15 зачетных единиц, 540 академических часов, из них 306,75 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 233,25 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Таблица 2.
Семестры
2
3
153,45 76,65
144
72
Всего
часов
306,75
288
1
76,65
72
144
144
36
36
72
72
36
36
18,75
233,25
4,65
49,35
экзамен
126
3,5
9,45
116,55
экзамен
270
7,5
4,65
67,35
экзамен
144
4
540
15
7
3. Тематический план
1
1.
1.1.
2
1 семестр
Модуль 1.1.
Основные алгебраиче1.1.1.
ские системы
Матрицы и определите1.1.2.
ли
3
4
5
1 -3
6
4-6
8
9
10
4
6
16
2
0-4
6
8
10
24
2
12
12
16
40
4
7-8
4
3
6
13
2
0-1
9-10
4
3
2
9
2
0-2
11-12
4
6
8
18
2
12
12
16
40
6
Всего по модулю 1.2. *
6
В том числе в интерактивной форме
Итого количество
баллов
Итого часов по теме
7
Всего по модулю 1.1. *
1.2.
Модуль 1.2.
1.2.1. Линейные пространства
Системы векторов, ба1.2.2.
зис, ранг матриц
Решение систем линей1.2.3.
ных уравнений
Семинарские
(практические )занятия
Лабораторные работы
Самостоятельная работа*
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции
№
недели семестра
Таблица 3.
030
034
030
033
1.3.
Модуль 1.3.
1.3.1. Кольцо многочленов
13-15
6
6
10
22
4
1.3.2. Корни многочленов
16-18
6
6
12
24
2
12
12
22
46
6
36
36
54
126
16
6
10
1-3
12
10
18
40
4
4-6
12
24
14
24
24
42
50
90
4
8
0-23
0-23
7-10
11-12
14
10
24
12
12
24
28
30
58
54
52
106
2
4
6
0-23
0-23
Всего по модулю 1.3. *
Итого (часов, баллов) по 1 семестру*:
Из них часов в интерактивной
форме:
2.
2 семестр
2.1.
Модуль 2.1.
Линейные преобразова2.1.1.
ния
2.1.2. Теория Жордана
Всего по модулю 2.1. *
2.2.
Модуль 2.2.
2.2.1. Унитарные пространства
2.2.2. Билинейные формы
Всего по модулю 2.2. *
0-1
032
033
0100
8
2.3.
Модуль 2.3.
2.3.1. Аффинные пространства
2.3.2. Проективная плоскость
Всего по модулю 2.3. *
Итого (часов, баллов) по
2 семестру*:
Из них часов в интерактивной форме:
3.
3 семестр
3.1.
Модуль 3.1.
Группы и фактор3.1.1.
группы
Конечные абелевы груп3.1.2.
пы
Всего по модулю 3.1. *
3.2.
Модуль 3.2.
3.2.1. Коммутативные кольца
Симметрические много3.2.2. члены и рациональные
дроби
Всего по модулю 3.2. *
3.3.
Модуль 3.3.
3.3.1. Поля и их расширеня
Конечные и совершен3.3.2.
ные поля
Основная теорема о поле
3.3.3.
комплексных чисел
Всего по модулю 3.3. *
Итого (часов, баллов) по
3 семестру*:
Из них часов в интерактивной форме:
Итого по дисциплине*
13-15
16-18
12
12
24
14
10
24
16
10
26
42
32
74
4
2
6
0-32
0-22
0-54
020
100
72
72
126
270
10
10
1-3
6
4
6
16
4
0-12
4-5
4
4
8
16
2
0-8
10
8
14
32
6
0-20
6-9
8
4
12
24
4
0-10
10-11
4
8
20
32
2
0-30
12
12
32
56
6
0-40
12-14
8
8
14
30
4
0-20
15-17
4
8
12
24
2
0-20
17-18
2
2
14
16
26
56
36
36
72
144
10
8
252
540
144 144
6
0-40
018
100
54
* с учетом иных видов работ
9
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 семестр
Таблица 4.
Устный опрос
№ темы
собеседование
Письменные
работы
ответ на коллоквиум контрольная
работа
семинаре
Итого количество
баллов
1 семестр
Модуль 1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Всего
Модуль 1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
Всего
Модуль 1.3.
1.3.1.
1.3.2.
Всего
Итого
за 1 семестр
0-2
0-2
0-2
0-2
0-30
0-30
0-4
0-30
0-34
0-30
0-30
0-1
0-2
0-30
0-33
0-1
0-2
0-2
0-1
0-1
0-1
0-1
0-1
0-2
0-20
0-20
0-10
0-10
0-1
0-32
0-33
0-5
0-5
0-20
0-70
0-100
0-20
0-20
0-23
0-23
0-20
0-20
0-23
0-23
0-32
0-22
0-54
2 семестр
Модуль 2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Всего
Модуль 2.2.
2.2.1.
2.2.2.
Всего
Модуль 3
2.3.1.
2.3.2.
Всего
Итого за 2 семестр
0-3
0-3
0-3
0-3
0-2
0-30
0-2
0-2
0-2
0-30
0-20
0-20
0-5
0-5
0-30
0-60
0-100
0-10
0-12
0-8
0-20
3 семестр
Модуль 3.1.
3.1.1.
3.1.2.
Всего
Модуль 3.2.
3.2.1.
0-2
0-2
0-8
0-8
0-2
0-5
0-10
0-10
10
3.2.2.
Всего
Модуль 3
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
Всего
Итого за 3 семестр
0-3
0-3
0-2
0-3
0-2
0-2
0-3
0-12
0-5
0-30
0-30
0-30
0-40
0-5
0-20
0-10
0-20
0-20
0-5
0-30
0-40
0-18
0-70
0-100
5. Содержание дисциплины.
1 семестр
МОДУЛЬ 1.1.
Тема № 1.1.1. Основные алгебраические системы.
Операции и отображения. Сравнение множеств по мощности. Теорема Кантора.
Принцип математической индукции. Группы, кольца, поля.
Тема № 1.1.2. Матрицы и определители..
Алгебра матриц. Понятие определителя и его свойства. Теорема Лапласа и два
следствия. Теоремы о произведении определителей. Обратной матрице. Правило
Крамера.
МОДУЛЬ 1.2.
Тема № 1.2.1. Линейные пространства.
Аксиоматика линейных пространств над произвольным полем. Теорема об изоморфизме. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Теоремы о размерностях пересечения, суммы и прямой суммы подпространств.
Тема № 1.2.2. Системы векторов, базис, ранг матриц.
Леммы о линейно независимых системах векторов и порождающих. Теоремы о базисах и ранге матриц.
Тема № 1.2.3. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений. Нахождение
фундаментальной системы решений СЛОУ.
МОДУЛЬ 1.3.
Тема № 1.3.1. Кольцо многочленов.
Деление многочленов с остатком, следствие Безу. Алгоритм Евклида и два следствия. Основная теорема о поле комплексных чисел (без доказательства) и обобщённые формулы Виета для многочленов из комплексного поля.
Тема № 1.3.2. Корни многочленов.
Теорема Штурма и существование систем Штурма. Леммы Гаусса и о неразложимых многочленах из кольца целых чисел. Критерий Эйзенштейна. Метод Горнера,
нахождение целых и рациональных корней целочисленных многочленов.
2 семестр
МОДУЛЬ 2.1.
Тема № 2.1.1. Линейные преобразования.
Линейные преобразования и их матрицы. Вывод формул связи координат векторов
в разных базисах, связи координат образов и прообразов векторов, связи матриц
линейного преобразования, характеристических корней и собственных значений.
Теоремы о ранге и дефекте и Гамильтона-Кэли.
Тема № 2.1.2. Теория Жордана.
11
Элементарные преобразования лямбда-матриц. Теоремы о каноническом виде и
НОДах. Связь инвариантных делителей лямбда-матриц с их НОДами. Дав условия
эквивалентности. Элементарные делители клеточно-диагональной лямба-матрицы.
Критерий подобия матриц. Теорема Жордана.
МОДУЛЬ 2.2.
Тема № 2.2.1. Унитарные пространства.
Унитарные и евклидовы пространства. Неравенства Коши-Буняковского, треугольника, Бесселя и равенство Парсеваля. Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
Описание линейных функций и свойства сопряжённых преобразований. Теоремы о
нормальных преобразованиях в унитарном и евклидовом пространствах. Основные
результаты об унитарных (ортогональных), эрмитовых (симметрических) и кососимметрических преобразованиях.
Тема № 2.2.2. Билинейные формы.
Билинейные формы, приведение билинейных к каноническому виду. Алгоритм Лагранжа. Закон инерции. Теоремы о распадающихся и положительно определённых
квадратичных формах. Критерий Сильвестра.
МОДУЛЬ 2.3.
Тема № 2.3.1. Аффинные пространства.
Аксиомы Вейля аффинного пространства., следствия. Системы координат, плоскости и параллелепипеды. Геометрически независимые системы точек, барицентрические координаты и симплексы. Системы уравнений. Аффинные преобразования
и условия их задания. Теорема о движениях и их классификация. Теория гиперплоскостей в аффинном пространстве и их классификация.
Тема № 2.3.2. Проективная плоскость.
Проективная плоскость, однородные координаты и принцип двойственности.
3 семестр
МОДУЛЬ 3.1.
Тема № 3.1.1. Группы и фактор-группы.
Группы, порождающие. Описание циклических групп и их подгрупп. Теоремы
Фраттини, Лагранжа и Кэли. Определение фактор-группы., теоремы о гоморфизмах
и коммутанте.
Тема № 3.1.2. Конечные абелевы группы..
Теоремы Прюфера и основная о конечных абелевых группах.
МОДУЛЬ 3.2.
Тема № 3.2.1. Коммутативные кольца.
Кольца, идеалы, фактор-кольца. Теоремы о гоморфизмах, простых и максимальных
идеалах, о кольцах главных идеалов. Критерий факториальности и теоремы о евклидовых кольцах.
Тема № 3.2.2. Симметрические многочлены и рациональные дроби.
Теоремы рациональных дробях и симметрических многочленах.
МОДУЛЬ 3.3.
Тема № 3.3.1. Поля и их расширения.
Описание простых, конечных, нормальных расширений полей и простых полей.
Теоремы о степенях, о кратных корнях.
Тема № 3.3.2. Конечные и совершенные поля.
Теоремы о совершенных полях ,о конечных полях и их мультипликативных группах. Теорема о примитивном элементе.
Тема № 3.3.3. Основная теорема о поле комплексных чисел.
Построение поля комплексных чисел. Основная теорема о поле комплексных чисел.
12
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
Занятие 1-2. Основные алгебраические системы. Решение практических заданий по теме № 1.1.1.
Операции. Инъективные, сюръективные отображения. Взаимнр однозначные соответствия. Счётность множества рациональных чисел, равномощность [0,+∞) и [0,1),
несчётность множества действительных чисел. Примеры частично упорядоченных
множеств. Доказательства по индукции.
Занятие 3-5. Матрицы и определители. Решение практических заданий по теме № 1.1.2.
Вычисление определителей. Решение матричных уравнений. Правило Крамера.
Занятие 6-8. Тема № 1.2.1. Линейные пространства. Решение практических заданий по теме № 1.2.1.
Аксиоматика линейных пространств над произвольным полем. Изоморфизм линейных пространств. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Размерности пересечения, суммы и прямой суммы подпространств.
Занятие 9-10. Тема № 1.2.2. Системы векторов, базис, ранг матриц. Решение
практических заданий по теме № 1.2.2.
Линейно независимые системы векторов и порождающих. Базис и ранг матриц.
Занятие 11-13. Тема № 1.2.3. Решение систем линейных уравнений. Решение
практических заданий по теме № 1.2.3.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений. Нахождение
фундаментальной системы решений СЛОУ.
Занятие 14-15. Тема № 1.3.1. Кольцо многочленов. Решение практических заданий по теме № 1.3.1.
Деление многочленов с остатком, следствие Безу. Алгоритм Евклида. Обобщённые
формулы Виета для многочленов из комплексного поля.
Занятие 16-18. Тема № 1.3.2. Корни многочленов. Решение практических заданий по теме № 1.3.2.
Теорема Штурма и существование систем Штурма. Леммы Гаусса и о неразложимых многочленах из кольца целых чисел. Критерий Эйзенштейна. Метод Горнера,
нахождение целых и рациональных корней целочисленных многочленов.
2 семестр
Занятие 1-4. Тема № 2.1.1. Линейные преобразования. Решение практических
заданий по теме № 2.1.1.
Линейные преобразования и их матрицы. Вывод формул связи координат векторов
в разных базисах, связи координат образов и прообразов векторов, связи матриц
линейного преобразования, характеристических корней и собственных значений.
Ранг и дефект.
Занятие 5-10. Тема № 2.1.2. Теория Жордана. Решение практических заданий
по теме № 2.1.2.
Элементарные преобразования лямбда-матриц. Теоремы о каноническом виде и
НОДах. Связь инвариантных делителей лямбда-матриц с их НОДами. Дав условия
эквивалентности. Элементарные делители клеточно-диагональной лямба-матрицы.
Критерий подобия матриц. Теорема Жордана.
Занятие 11-14. Тема № 2.2.1. Унитарные пространства. Решение практических
заданий по теме № 2.2.1.
13
Унитарные и евклидовы пространства. Неравенства Коши-Буняковского, треугольника, Бесселя и равенство Парсеваля. Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
Описание линейных функций и свойства сопряжённых преобразований. Теоремы о
нормальных преобразованиях в унитарном и евклидовом пространствах. Основные
результаты об унитарных (ортогональных), эрмитовых (симметрических) и косо
симметрических преобразованиях.
Занятие 15-20. Тема № 2.2.2. Билинейные формы. Решение практических заданий по теме № 2.2.2.
Билинейные формы, приведение билинейных к каноническому виду. Алгоритм Лагранжа. Закон инерции. Теоремы о распадающихся и положительно определённых
квадратичных формах. Критерий Сильвестра.
Занятие 21-30. Тема № 2.3.1. Аффинные пространства, аффинные преобразования и движения. Решение практических заданий по теме № 2.3.1.
Аксиомы Вейля аффинного пространства. Системы координат, плоскости и параллелепипеды. Геометрически независимые системы точек, барицентрические координаты и симплексы. Системы уравнений. Аффинные преобразования и условия их
задания. Теорема о движениях и их классификация. Теория гиперплоскостей в аффинном пространстве и их классификация.
Занятие 31-36. Тема № 2.3.2. Проективная плоскость. Решение практических
заданий по теме № 2.3.2.
Проективная плоскость, однородные координаты и принцип двойственности.
3 семестр
Занятие 1-2. Тема № 3.1.1. Группы и фактор-группы. Решение практических
заданий по теме № 3.1.1.
Группы, порождающие. Описание циклических групп и их подгрупп. Теоремы
Фраттини, Лагранжа и Кэли. Определение фактор-группы., теоремы о гоморфизмах
и коммутанте.
Занятие 3-6. Тема № 3.1.2. Конечные абелевы группы. Решение практических
заданий по теме № 3.1.2.
Теоремы Прюфера и основная о конечных абелевых группах.
Занятие 7-8. Тема № 3.2.1. Коммутативные кольца. Решение практических заданий по теме № 3.2.1.
Кольца, идеалы, фактор-кольца. Теоремы о гоморфизмах, простых и максимальных
идеалах, о кольцах главных идеалов. Критерий факториальности и теоремы о евклидовых кольцах.
Занятие 9-11. Тема № 3.2.2. Симметрические многочлены и рациональные
дроби. Решение практических заданий по теме № 3.2.2.
Рациональные дроби и симметрические многочлены.
Занятие 12-13. Тема № 3.3.1. Поля и их расширения. Решение практических
заданий по теме № 3.3.1.
Описание простых, конечных, нормальных расширений полей и простых полей.
Теоремы о степенях, о кратных корнях.
Занятие 14-16. Тема № 3.3.2. Конечные и совершенные поля. Решение практических заданий по теме № 3.3.2.
Теоремы о совершенных полях ,о конечных полях и их мультипликативных группах. Теорема о примитивном элементе.
Занятие 17-18. Тема № 3.3.3. основная теорема о поле комплексных чисел. Решение практических заданий по теме № 3.3.3.
Построение поля комплексных чисел. Основная теорема о поле комплексных чисел.
14
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
1. Исторический обзор развития линейной алгебры.
2. Перспективы использования систем компьютерной алгебры в решении задач линейной
алгебры.
3. Вычислительные методы линейной алгебры.
4. Алгоритмы линейной алгебры.
5. Решение систем линейных уравнений на компьютере.
6. Приложения линейной алгебры.
7. Приложения матриц в дискретной математике.
8. Зарождение, становление и развитие линейной алгебры.
9. Дополнительные методы расчета определителей высших порядков.
10. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве.
11. Итерационные методы решения линейных систем.
12. Тензоры.
13. Решение задач линейной алгебры с помощью пакета MathCAD.
14. Решение задач линейной алгебры с помощью пакета Ms Excel.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
1 семестр
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Модули и темы
обязательные
дополнительные
Количество
баллов
№
Объём часов
Виды СРС
Неделя семестра
Таблица 5.
1–
3
6
0-4
4– 6
10
030
16
0-
1 семестр
Модуль 1.1.
Основные алгебраические системы
Матрицы и определители
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
Решение типовых задач
Всего по модулю 1.1. *
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
15
34
Модуль 1.2.
Линейные
про1.2.1
странства
Системы векто1.2.2. ров, базис, ранг
матриц
1.2.
Решение задач; выполнение самостоятельных и контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
Решение систем
числе к текущему
1.2.3. линейных уравконтролю успеваемонений
сти (в течение семестра), промежуточной аттестации (по
окончании семестра).
Работа с дополнительной литературой, работа с интернет-ресурсами
7-8
6
0-1
910
2
0-2
1112
8
030
16
033
1315
10
0-1
1618
12
032
Всего по модулю 1.2. *
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Модуль 1.3.
Кольцо многочленов
Корни многочленов
Проработка лекций,
работа с литературой,
решение
типовых задач
Всего по модулю 1.3. *
22
Итого по 1 семестру*:
54
033
0100
2 семестр
Модуль 2.1.
Линейные преобразования
Теория Жордана
Чтение дополнительной литературы;
Проработка лекций, Знакомство с соработа с основной ли- держанием электературой, решение тронных источнитиповых задач
ков.
Решение задач повышенной сложности.
Всего по модулю 2.1. *
2.2.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
1-3
18
4-6
24
023
42
023
Модуль 2.2.
16
2.2.1.
2.2.2.
Унитарные пространства
Билинейные
формы
Решение задач; выполнение самостоятельных и контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации (по
окончании семестра).
Работа с дополнительной литературой, работа с интернет ресурсами
710
28
1112
30
023
58
023
1315
16
032
1618
10
022
Всего по модулю 2.2. *
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
Модуль 2.3.
Аффинные пространства
Проективная
плоскость
Проработка лекций,
работа с литературой,
решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
054
0126
100
Всего по модулю 2.3. *
26
Итого по 2 семестру*:
3 семестр
3.
Модуль 3.1.
Группы и фактор3.1.1.
группы
3.1.
3.1.2.
Конечные абелевы группы
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с соПроработка лекций, держанием элекработа с основной ли- тронных источнитературой, решение ков.
типовых задач
Решение задач повышенной сложности.
Всего по модулю 3.1. *
3.2.
1-3
6
012
4-5
8
0-8
14
020
Модуль 3.2.
17
3.2.1.
3.2.2.
Коммутативные
кольца
Симметрические
многочлены и рациональные дроби
Решение задач; выполнение самостоятельных и контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации (по
окончании семестра).
Работа с дополнительной литературой, работа с интернет ресурсами
6-9
12
010
1011
20
030
32
040
Всего по модулю 3.2. *
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
Модуль 3.3.
Поля и их расширения
Конечные и совершенные поля
Основная теорема
о поле комплексных чисел
Проработка лекций,
работа с литературой,
решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
1214
1617
14
12
020
020
1718
Всего по модулю 3.3.: *
26
Итого по 2 семестру*
72
Итого по дисциплине*
252
040
0100
* с учетом иных видов работ
18
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Таблица 6.
Выписка из матрицы соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Б1. Дисциплины (модули)
+
+
+ + +
+
Функциональный анализ*
Дифференциальные уравнения*
Дискретная математика*
+
Теория вероятностей*
+
Комплексный анализ*
+
+
Математический анализ*
+ +
+
Алгебра*
+
+
Технологии программирования
+
Математический анализ*
+
Алгебра*
Математический анализ*
+
Аналитическая геометрия*
Алгебра*
ОПК-1
ОПК-2
Аналитическая геометрия*
Индекс
компетенции
5 семестр
Дифференциальная геометрия и топология*
4 семестр
Математический анализ*
3 семестр
Математическая логика*
2 семестр
Дифференциальные уравнения*
1 семестр
Дифференциальная геометрия и топология*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
+
+
+
ОПК-1
ОПК-2
Численные методы*
+
+
+
+
+
+
7 семестр
Индекс
компетенции
Методологические основы обучения математике
Теоретическая механика*
6 семестр
Численные методы*
Случайные процессы*
Функциональный анализ*
+
+
Теоретическая механика*
Комплексный анализ*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
Б1. Дисциплины (модули)
8 семестр
+
+
* - дисциплина базовой части
20
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
ОПК-2
ОПК-1
Знает: основные Знает: основные
понятия и утвер- понятия и утверждения
ждения, а также
:
методы доказательства
стандартных утверждений
Умеет:
решать Умеет: решать
простейшие задачи
вычислительного и теоретического характера по алгебре.
стандартные
задачи вычислительного
и
теоретического
характера
по
алгебре, доказывать
стандартные утверждения
Владеет: матема- Владеет:
матетическим аппа- матическим апратом алгебры, паратом алгебпростейшими
ры,
методами
вычислительны- исследования
ми навыками
алгебраических
объектов
в
стандартных
случаях
Знает: простейшие
утверждения алгебры
Умеет: доказывать
простейшие
утверждения
Знает: основные
утверждения алгебры
Умеет: сформулировать результат, доказывать
основные утверждения алгебры,
получать
следствия из них
Владеет: методами Владеет: методадоказательств
ми доказательств
простейших
стандартных
утверждений
утверждений
Виды занятий
(лекции, семинар
ские, практические, лабораторные)
Оценочные
средства (тесты, творческие работы,
проекты и
др.)
Знает: основные Лекции,
понятия и утвер- практические
ждения, а также занятия
методы доказательства утверждений:
Контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
решать
задачи вычислительного
и
теоретического
характера
по
алгебре, доказывать
утверждения
Умеет:
математическим аппаратом алгебры,
методами
исследования
алгебраических
объектов
Владеет:
Знает: теоремы Лекции,
алгебры
практические
Умеет: сформулировать результат, доказывать
утверждения алгебры, получать
следствия из них
Владеет: методами доказательств
утверждений
занятия
Контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольные работы.
Первый семестр
Контрольная работа № 1.
1. Вычислить определитель.
2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
3. Решить матричное уравнекние.
Контрольная работа № 2.
1. Найти фундаментальную систему решений СЛОУ.
2. Вычислить ранг матрицы.
3. Найти НОД двух многочленов.
Второй семестр
Контрольная работа № 3.
По матрице линейного преобразования найти:
(a) Собственные значения и собственные векторы;
(b) Жорданову матрицу данного преобразования.
Контрольная работа № 4.
Для данных двух матриц линейных преобразований найти ортонормированные базисы, в которых матрицы будут иметь диагональную форму.
Контрольная работа № 5.
Данную квадратичную форму привести к каноническому виду с помощью:
(a) Алгоритма Лагранжа;
(b) Ортогонального преобразования.
Третий семестр
Контрольная работа № 6.
(a) Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших.
(b) Симметрический многочлен представить в виде многочлена от элементарных многочленов.
Контрольная работа № 7.
В поле Z5 решить:
(a) Систему линейных уравнений;
(b) Матричное уравнение;
(c) Найти НОД двух многочленов.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (КОЛЛОКВИУМУ)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Первый семестр
О произведении определителей;
О методе Крамера;
О ранге матрицы;
О порождающих и линейно независимых системах векторов;
О базисах;
О решении СЛОУ;
О размерности суммы двух подпространств;
Кронекера-Капелли.
О делении двух многочленов с остатком;
22
(j) Алгоритм Евклида;
(k) Об обобщённых формулах Виета;
(l) Об описании неразложимых многочленов над полем действительных чисел;
(m) О существовании системы Штурма;
(n) О поле комплексных чисел;
(o) О неразложимых многочленах над полем рациональных чисел;
(p) Критерий Эйзенштейна;
(q) О рациональных корнях целочисленных многочленов.
Второй семестр
(a) О связи координат векторов в разных базисах;
(b) О прообразе и образе (x и φ(x));
(c) О матрице линейного преобразования;
(d) О канонической ламбда-матрице;
(e) О НОДах эквивалентных ламба-матриц;
(f) Два критерия эквивалентности ламда-матриц;
(g) О системе элементарных делителей распавшейся ламба-матрицы;
(h) Теорема Жордана.
(i) Неравенство Коши-Буняковского и треугольника;
(j) Об ортогональных суммах и дополнениях;
(k) Об унитарных, эрмитовых и кососимметричесих преобразованиях;
(l) Закон инерции;
(m) О положительно определённых и распадающихся квадратичных формах.
Третий семестр
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Лагранжа и Кэли;
О циклических группах и их подгруппах;
О гомоморфизмах групп;
Прюфера и основная теорема о конечных абелевых группах;
О максимальных и простых идеалах колец;
О кольцах главных идеалов.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Коллоквиумы;
Промежуточная аттестация:
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы и сдачи коллоквиумов. Эта
оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, при23
обретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки,
а также критерии их оценивания приведены в таблице 7.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 7.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Ильин В.А. Линейная алгебра: учеб. для студентов физ. спец. и спец. "Прикл. мат."/
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 6-е изд., стер.. Москва: Физматлит, 2007. - 280 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учеб. для студ. вузов, обуч. по спец. "Математика", "Прикладная математика"/ А. Г. Курош. - 17-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань,
2008. - 432 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учеб. пособие/ В. В. Воеводин. - 4-е изд., стер.. Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 416 с.
24
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для
студ. вузов/ Д. В. Беклемишев. - 12-е изд., испр.. - Москва: Физматлит, 2008. - 312 с.
3. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: учеб. пособие по спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев. 3-е изд.. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2008. - 88 с.
4. Дегтев А.Н. Алгебра. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.-метод.
комплекс : сб. индивид. контр. заданий для студ. спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев;
Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. - 38 с.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: учеб. пособие/ И. В. Проскуряков. - 12-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 480 с.
6. Фаддеев Д.К. Задачи по высшей алгебре: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по мат.
спец./ Д. К. Фадеев, И. С. Соминский. - 16-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2007.
- 288 с.
7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий используется следующее программное обеспечение:
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
25
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в изучении
предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для подготовки к контрольным работам.
ГЛАВА I.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
§1.1. Матрицы и операции над ними.
Прямоугольная таблица элементов некоторого множества K , состоящая из m
строк и n столбцов, называется матрицей порядка m на n ( m  n ). Матрицы будем обозначать буквами A, B, ..., а их элементы, находящиеся на пересечении i  ой строки и
j  ого столбца через a ij , b ij и т.д. Если m  n , то матрица называется квадратной порядка n . В общем виде матрица m  n записывается следующим образом:
a12
... a1 n 
 a11


a 22
... a 2 n 
 a 21
A
...
...
...
... 


a

a
...
a
m2
mn 
 m1
1  . Суммой двух матриц A  a ij и B  bij  одного и того же порядка m  n
 
 


называется матрица C  c ij порядка m  n , где c ij  a ij  b ij i  1 .. m ; j  1 .. n .
26
Пример 1.
2 1 4 5 6 2 2  5 1  6 4  2 7 7 6
 


 
 
1
3
2

3
4
1

1

3
3

4
2

1

4
7
3
 
.

 
 
3 4 5 5 1 2 3  5 4  1 5  2 8 5 7
 


 
 
2  . Произведением матрицы A  a ij на число  называется матрица, у которой
 
каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число 
:
 A   a ij    a ij
 i  1 ..m , j  1 ..n .
Пример 2.
1
  2 
3
2    2 1

4    2  3
 2  2  2
 
 2  4    6
 4
.
 8 
 
3  . Произведением матрицы A  a ij , имеющей m строк и k столбцов, на мат-
рицу
 
B  bij ,
 
имеющую
k
строк
и
n
столбцов,
называется
матрица
C  c ij , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c ij равен сумме произведе-
ний элементов i  ой
строки матрицы A

и
j  ого столбца матрицы B , т. е.

c ij  a i1b1 j  a i 2 b 2 j    a ik b kj
i  1 ..m , j  1 ..n .
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В
противном случае произведение не определено.
Пример 3.
3 2
  1  3  2  5  3  0 1  2  2  4  3  1   13 13 
1 2 3  
  
 .

   5 4   
1

3

3

5

2

0
1

2

3

4

2

1
18
16
1
3
2
 


 
 
0 1
§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел от 1 до n в каком либо порядке. В общем виде она записывается так
i1 , i 2 , ..., i n .
(1)
Говорят, что в перестановке (1) числа i s и it образуют инверсию, если s  t , но i s  it .
Перестановку называют чётной (нечётной), если количество всех её инверсий есть число
чётное (соответственно нечётное). Оно обычно подсчитывается так: берём число i1 и
находим количество чисел, лежащих правее и меньших i1 , т.е. число инверсий, которое
образует i1 с остальными. Затем поступаем аналогично с числами i 2 , ..., i n  1 . Сумма
этих чисел и будет количеством всех её инверсий. Например, в перестановке 5, 3, 1, 4, 2
число инверсий равно 7 и поэтому она нечётная.
Определителем квадратной матрицы называется сумма всех её правильных произведений, причём каждое из них в этой сумме берётся со знаком «плюс», если соответствующая ему перестановка чётная, и со знаком «минус» – в противном случае.
Определитель матрицы A порядка n записывается так:
27
A 
a11
a12
...
a1 n
a 21
a 22
...
a2n
...
...
...
...
a n1
an2
...
a nn
Если в матрице зафиксировать k различных строк и столбцов, то на их пересечении
элементы составят матрицу порядка k , определитель которой называется минором
k  ого порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть
k различных строк и столбцов с номерами i1 ,..., i k и j1 ,..., j k , то определитель, составленный из элементов оставшихся n  k строк и столбцов, умноженный на число
i  ...  i  j  ...  j
k
1
k
называется алгебраическим дополнением исходного минора
(  1) 1
k  ого порядка.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе k строк. Тогда сумма произведений всех миноров k  ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их
алгебраические дополнения равна исходному определителю.
СЛЕДСТВИЕ. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя
на
их
алгебраические
дополнения
равна
определителю,
т.е.
n
A  a i1  Ai1  a i 2  Ai 2  ...  a in  Ain   a ij  Aij ,
при
любом
фиксированном
j 1
i, 1  i  n. □
Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны нулю. Непосредственно из определения определителя следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали.
Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка. Именно,
a11 a12
 a11 a 22  a12 a 21 .
a 21 a 22
Пример 4.
2
3
4
5
 2  5  3  4  2 .
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23  a11 a 22 a 33  a12 a 23 a 31  a13 a 21 a 32 
a 31 a 32 a 33
 a13 a 22 a 31  a11 a 23 a 32  a12 a 21 a 33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком
‹‹+››, а какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
28
3
Пример 5.
 2 1
2
3
4
0
1  3  3   2    2   1  4   1  2  0   1  3  4   2   2   2  
2
 3  1  0   18  8  12  8   22 .
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим
алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке
(или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по
следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу).
Тем самым вычисление определителя n  ого сводят к вычислению определителя
n  1  ого порядка. При необходимости процедуру повторяют.
Пример 6. Вычислить определитель
1
2
3
2
D 
2
0
1
3
1
2
3
2
.
2 2
1
3
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно
ко второй, третьей и четвёртой строке, получим
1
2
3
2
0
4
7
7
0
0
6
0
0 6
7
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7
1
D 
11
D  1     1 

0
6
6
7
.
7
0 .
1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
22  4  7
D  6   1

  228 .
 6 1
§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило
Крамера.
ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух
квадратных матриц A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A  B  A  B .
29
Пусть A и B  матрицы порядка n . Матрица B называется обратной для матрицы A , если AB  BA  E . Матрица A называется невырожденной, если A  0 .
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная;
(б) если обратная матрица для A существует, то она единственна.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то
она имеет обратную матрицу A
1
, где
A 
 A11
... n1 

A 
 A11 ... A n1
 A
1 
1
A   .......... .....  
  .......... ....


A 
A nn 
 A1n
 A1 n ... A nn
...
 A
A 






(4)
1
Иными словами, ij  ый элемент A
равен алгебраическому дополнению
ji  го эле-
мента A , деленному на A .
Пример 7.
1
 3

Дана матрица A    2
 2

матрица A
1
0

1  . Её определитель A  5 , поэтому обратная
4 
1
1
существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
11
1 2  2 1
A11    1 

 5;
A12    1 

 10 ;
1 4
2
4
1 3
A13    1 

A 22    1 
22
A31    1 
3 1

2
1
2
1
3
0
2
4

1
0
1
1
Тогда A

1 
 
5 

A11
A 21
A12
A 22
A13
A 23
A 23    1 
 12 ;
A32    1 
  1;
A33    1 
1
A 21    1 
 0;
3 3
A31 
 5
 1
A32    10
5
A33 
 0

3
1
2
1
4
12
1
2 1
23
3 2


1
0
1
4
3
1
2
1
3
0
2
1

 4;
1;
 3 ;
 1.
 1

 3 .
1 
Линейным уравнением от n неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
a 1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
30
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1 n x n  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2

 .......... .......... .......... .........  
a x  a
m 2 x 2  ...  a mn x n  b n
 m1 1
(5)
 
Эта СЛУ состоит из m уравнений от n неизвестных. Матрица A  a ij , составленная из
коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из
b1 ,..., b m - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной.
СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
 x1   b1 

 

 x 2   b2 
A 

(6)
   

 

 x  b 
 n  n
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных  m  n  и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение
x1 ,..., x n  , которое находится по формулам
x1 
1
, x2 
2
,..., x n 
n
,



где   определитель основной матрицы СЛУ, а  i получается из  в результате замены в  i  го столбца на столбец из свободных членов.
Пример 8. Решить систему уравнений
 x  2y  z 1

2 x  y  z  1
 x  3 y  z  2.

1 2 1
Решение.   2
1
1  1;
1
3
1
1
1   1
2
1
1
1   1;  2  2
1
1
2
т. о. x 
3
1

1
1
  1;
y
1
1
1
2
 1 1  1;  3  2
1
2
2

1
1
 1;
1
z
3

3
0

1

1

1
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
1
 1  0,
2
 0.
n
§2.1. Арифметическое линейное пространство R .
n
Рассмотрим множество R всех n  ок (строк из n элементов) действительных
чисел  1 ,...,  n  . Введем на этом множестве умножение числа на n  ку и сложение
n  ок так:
31
  1 ,...,  n     1 ,...,  n ,
 1 ,...,  n     1 ,...,  n    1   1 ,...,  n   n .
Ниже n  ки будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами
a , b ,..., возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор
  0 ,..., 0  . Числа из R будем обозначать греческими буквами  ,  ,...
n
Множество R , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или n - мерным векторным пространством.
Вектор вида  1 a 1  ...   m a m называется линейной комбинацией векторов
a1 ,  , a m (с коэффициентами  1 ,...,  m ). Говорят, что система векторов a1 ,  , a m является линейно независимой, если для любых чисел  1 ,...,  m равенство
 1 a1  ...   n a n   влечет, что  1  ...   n  0 . В противном случае система векторов a1 ,  , a m называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов
a1 ,  , a m линейно зависима, если найдутся числа  1 ,...,  m , не все из которых равны 0
, но  1 a 1  ...   m a m   . Равенство  1 a 1  ...   m a m   можно выразить слова-
ми: линейная комбинация векторов a1 ,  , a m с коэффициентами  1 ,...,  m равна нулевому вектору.
n
Линейно независимая система порождающих называется базисом R .
3
Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в R :
e1  1, 0 , 0 ; e 2  0 , 1, 0 ; e 3  0 , 0 , 1 .
§2.2. Ранг матриц.
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.
Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы m  n как на векm
n
торы пространства R
(соответственно, R ). Говорят, что подмножество векторов L
линейного пространства является его подпространством, если для всех a , b  L и числа
 выполнены два условия:
(а) a , b  L  a  b  L ;
(б) a  L    a  L .
Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо
взять произвольное множество A векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество L всевозможных линейных комбинаций векторов из A образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено
векторами A . По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система
векторов из A содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее
определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг
матрицы по строкам.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
Пример 1. Найти ранг матрицы
32
0
3 4 3 1


1
1 2 2  2
.
A
2 3 3
3
 1


2 2 1

1

1


Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.
3 4
d 
 2.
1 2
Минор третьего порядка
3 4 3
d
/
 1
2
2  1,
2
3
3
окаймляющий d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие
/
d , равны нулю:
3
4
3
1
1
2
2
2
2
3
3
2 2 1
т. е. ранг матрицы A равен трём.




3
4
3
0
1
2
2
1
3
2
3
3
1
1
2
2
1
1
0;
 0,
Назовём элементарными следующие преобразования матриц:
перестановка строк (столбцов);
домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
вычёркивание нулевой строки (столбца).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из k векторов
 1 ,  2 ,  3 ,  ,  k ,  ,  n  ;
0 ,  2 ,  3 ,  ,  k ,  ,  n  ;
0 , 0 ,  3 ,  ,  k ,  ,  n  ;

0
,0 ,0 , ,  k , ,  n 
линейно независима. □
В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный
на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому
виду; количество её строк и будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
33
2
3
4 
 1


1
0 
 2 2
.
 3
0
4
4 


 1

4

3

5


Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим
2
3
4 
 1


0

6

5

8


.
 0  6  5  8


 0  6  6  9


Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
2
3
4 
1


0  6  5  8
0
0
 1  1 

ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
§2.3. Системы линейных уравнений.
Общий вид СЛУ задается системой:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1 n x n  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2
(*)

..........
..........
..........
.........



a x  a
m 2 x 2  ...  a mn x n  b n
 m1 1


Набор чисел x1 ,  , x n такой, который при подстановке вместо x1 ,  , x n , каждое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением.
Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее
решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и
несовместной– иначе.
Классической является следующая
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если
они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать,
что полученная СЛУ равносильна исходной, если
 из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0  0 ;
 обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
 прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного
исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что a11  0 (этого можно
всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое
уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них сла a 
гаемые, содержащие x1 . Для этого, умножаем первое уравнение на   21  и прибавля a11 
34
 a

ем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на   m 1  и не приба a11 
вим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида
 a11 x1  a12 x 2    a1 n x n  b1

/
/
a 22 x 2    a 2 n x n  b 2




/
/
/

a m 2 x 2    a mn x n  b m .

/
Полагаем, что a 22  0 (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение
вида 0  a и a  0 , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида
0  0 , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид
 a11 x1  a12 x 2    a1 r x r  a1 r  1 x r  1    a1 n x n  b1

/
/
/
/
a 22 x 2    a 2 r x r  a 2 r  1 x r  1    a 2 n x n  b 2




/
/
/
/

a rr x r  a rr  1 x r  1    a rn x n  b r .

Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число
r является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для
нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из
предпоследнего уравнения можно выразить x r 1 также через x r 1 ,..., x n , и так далее.
Наконец получим систему
 x1  c1  d 1 r  1 x r  1    d 1 n x n

 
x  c  d
r
rr  1 x r  1    d rn x n .
 r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения x r  1 ,..., x n и вычисляя
x1 , x 2 ,..., x r можно получить все частные решения ( x1 , x 2 ,..., x n ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x1  2 x 2  5 x 3  20

 x1  x 2  3 x 3  8
 3 x  3 x  13 x  48 .
2
3
 1
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
1

1

3
2
5
1
3
3
13
1
20 


8  0

48 
0
2
3
3
1
20 


 2  12    0

 2  12 
0
5
2
3
0
20 

 2  12 .
0
0 
5
35
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной
 x1  2 x 2  5 x 3  20
,

 3 x 2  2 x 3   12

в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной
возьмём x 3 , и выразим через неё остальные, получим:
11

x1  12 
x3

3
.

2
 x2  4 
x3
3

Полагая, например, x 3  3 , получим одно из частных решений системы:
x1  1; x 2  2 ; x 3  3 .
Если все свободные члены СЛУ b1 ,..., b m равны 0 , то СЛУ называется системой
линейных однородных уравнений (СЛОУ). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ.
ТЕОРЕМА (о СЛОУ). Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из
n  r некоторых ее частных решений, где n  число неизвестных СЛОУ, а r  ранг ее
основной матрицы.
Пример 4. Решить систему
 x1  2 x 2  2 x 3  3 x 4  0

 2 x1  3 x 2  x 3  5 x 4  0
 x  x  3 x  8 x  0.
2
3
4
 1
Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше
числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены
равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
3 
3
1  2  2
1  2  2




3
1  2  2
.
1
 5  0
1
5
 11   
2  3
0
1
5

11


1 1
0
3
 8 
1
5
 11 


Мы пришли к системе уравнений
 x1  2 x 2  2 x 3  3 x 4  0

x 2  5 x 3  11 x 4  0 .

В качестве независимых выберем две переменные, например x 3 , x 4 . Выразим остальные
переменные через независимые. Получим
 x1   8 x 3  19 x 4

 x 2   5 x 3  11 x 4 .
Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:
x1 x 2
x3 x 4
-8 -5
1
0
19 11
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации
фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
36
x     8 ,  5 , 1, 0    19 , 11 , 0 , 1;  ,   R .
ГЛАВА 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
§3.1. Матрицы линейных операторов.
Отображение  : L  L называется линейным оператором, если выполнены условия: для всех x , y  L и числа  :
(а)   x  y     x     y 
(б)   x     x  ,
Матрицей линейного оператора  в базисе e1 ,  , e n называется такая матрица
  i  1 .. n ; j  1 .. n . ,
A  a ij
у которой i  ый
столбец есть координаты вектора
 ( e i ) в базисе e1 ,  , e n . Т. е.,
 ( e1 )  ( e 2 )
/
 ( e n )    e1


e2
  11

  21
en   



 n1
 12

 1n 
 22

 2n 


 n2


.
 

 nn 
/
Пусть e1 ,..., e n  другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса e1 ,..., e n
  i  1 .. n ; j  1 .. n  , у которой i-
/
/
к другому e1 ,..., e n называется такая матрица T   ij
/
ый столбец есть координаты вектора e i в базисе e1 ,..., e n , т. е.
e1/
/
e2

e n   e1
/

  11

  21
e n 



 n1

e2
 12

 1n 
 22

 2n 


 n2


.
 

 nn 
Пример 1.
/
Векторы e1  (1, 1, 1);
/
/
e 2  (1, 1, 2 );
e 3  (1, 2 , 3 );
x  ( 6 , 9 , 14 ) заданы своими ко/
/
/
ординатами в некотором базисе e1 , e 2 , e 3 . Показать, что векторы e1 , e 2 , e 3 сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e 2 , e 3 к системе векторов
/
/
/
e1 , e 2 , e 3 :
1

T  1
1

/
/
1
1
2
1

2 ,
3 
/
она невырожденная, значит векторы e1 , e 2 , e 3 линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда
37
 1
1 
T
 1
1

/
 1

1 .
0 
1
2
1
/
/
Найдём координаты вектора x в базисе e1 , e 2 , e 3 :
 x/ 
1
 1  6   1 
 1  1

 
  
 x/   1  2
1

9



   2 .
 2

1
0   14   3 
 x/  1
 3
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть A и B – матрицы ли/
/
нейного оператора  в базисах e1 ,..., e n и e1 ,..., e n соответственно и T  матрица
1
 A  T (матрицы A и B называперехода о первого базиса ко второму. Тогда B  T
ются подобными).
Пример 2. Линейный оператор  в базисе e1 , e 2 , e 3 имеет матрицу
1

A  3
1

2
2
1
1

1  . Найти его матрицу B в базисе
0 
/
e1  (1, 1,  1);
/
e 2  (1,  2 , 1);
/
e 3  ( 0 ,  1, 1).
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e 2 , e 3 к базису e1 , e 2 , e 3 :
1
 1

T  1 2
1
1

Найдём обратную матрицу для T :
1
1

1
T
 0 1
1
2

Тогда
1
1  1
1

 
1
B T
 A  T   0  1  1   3
1
2
3   1

 5

  4
 10

5
3
9
2  1
 
 1   1
3    1
0

 1 .
1 
1

 1 .
3 
2
2
1
1
2
1
1  1
 
1   1
0    1
0  8
 
 1    6
1   16
0

 1 
1 
1
2
1
3
1
5
 3

2 .
 6 
38
§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
Пусть A   ij   квадратная матрица порядка n с действительными элементами.
Пусть, с другой стороны,   некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A   E ), где E 
единичная матрица порядка n , называется характеристической матрицей матрицы A .
Так как в матрице (  E ) по главной диагонали стоит  , все же остальные элементы равны
нулю, то
 12

 1n 
  11  









21
22
2n 
A  E  
.






 






n1
n2
nn


Многочлен n  ой степени A   E называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Пусть в линейном пространстве L задан линейный оператор  . Если вектор b ,
отличный от нуля, переводится оператором  в вектор, пропорциональный самому b ,
 (b )   0 b ,
(6)
где  0  некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором оператора  , а число  0  собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор b относится, к собственному значению  0 .
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические
корни линейного оператора  , если они существуют, и только они служат собственными значениями этого оператора.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
4  5 2


A   5  7 3 .
6  9 4


Решение: Составим характеристическое уравнение
4
5
2
5
7
3
6
9
4
 0.
Раскрывая определитель, получим уравнение
3
2
     0,
корни которого 1  0 ,  2  0 ,  3  1 являются собственными значениями линейного
оператора  .
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению 1, 2  0 . Для
этого решим систему (10), считая  0  0 .
39
 4 x1  5 x 2  2 x 3  0

 5 x1  7 x 2  3 x 3  0
 6 x  9 x  4 x  0.
1
2
3

После преобразования получим:
1

x 
 1 3
 x1  2 x 2  x 3  0
или 

2
3 x 2  2 x3  0

 x2 
3

Фундаментальная система решений имеет вид:
x1
x2
x3
1
2
3
x3
x3 .
Собственный вектор x   0   (1, 2 , 3 );   0 .
Аналогично, для  3  1 , получим систему линейных однородных уравнений
 3 x1  5 x 2  2 x 3  0

 5 x1  8 x 2  3 x 3  0
 6 x  9 x  3 x  0,
1
2
3

фундаментальным решением которой будет:
x1
x2
x3
1
1
1
и x   1   (1, 1, 1);   0  собственный вектор, соответствующий собственному значению  3  1 .
ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
§4.1. Группы, кольца, поля.
Множество G элементов a , b , c ,  , в котором определён закон композиции,
называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов a, b множества G определённый элемент c  a  b этого множества, называется аддитивной группой (обозначается G ,  ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
a  ( b  c )  ( a  b )  c (ассоциативность).
Существует элемент e множества G такой, что для любого элемента a этого множества a  e  a (существование нейтрального (нулевого) элемента).
3.
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент  a такой, что a  (  a )  e .
4.
a  b  b  a (коммутативность),
то группа G называется коммутативной или абелевой.
Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число 0 , а обратным для a служит целое число  a .
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел R  образует абелеву
группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно.
1.
2.
40
Нейтральный элемент 1  R  , а обратным элементом для числа a  0 служит вещественное число 1 .
a
Множество K элементов a , b , c ,  , в котором определены законы композиции,
называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается K ,  ,  ), если
эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
1. K ,   коммутативная группа.
2. a  ( b  c )  ( a  b )  c (ассоциативность).
3. a  ( b  c )  a  b  a  c и ( b  c )  a  b  a  c  a (дистрибутивность
умножения относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце
имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы a , b  K
называются делителями нуля  нейтрального элемента относительно  , если a  0 и
b  0 , но a  b  0 .
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число
1.
Пример 5. Множество квадратных матриц n  ого порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для
матриц были отмечены в §. Нейтральным элементом по сложению является нулевая
квадратная матрица порядка n , нейтральным элементом по умножению  единичная матрица порядка n .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является
1
1
обратимым, т.е. для любого a  0 существует a , такой, что aa
 e , называется полем.
Пример 6. Множество рациональных чисел Q с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального a
ет так же рациональный обратный элемент b
a
b
, существу-
.
§4.2. Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости C  ( x , y ) : x , y  R  , каждая из которых однозначно определяется упорядоченной
парой действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом:
( a , b )  ( c , d )  ( a  c , b  d );
( a , b )  ( c , d )  ( ac  bd , cd  bc ).
Множество C с введёнными операциями сложения и умножения образует поле
комплексных чисел.
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь,
справедливая при любом расположении точек на плоскости:
a  r cos  , b  r sin  .
Для произвольного комплексного числа  имеем:
  a  bi  r cos   r sin  i  r cos   i sin  .
41
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа
 3 2  12  2 .
3 , b   1 . Тогда r 
Решение. Здесь a 

3
 cos  
2

1
 sin   
2.

3 i.

11
Решая систему, получаем

 
6
11
 . Таким образом
6
11
11 

3  1  2  cos   i sin
 .
6
6 

Формулы Муавра:
r cos 
 i sin    r
n
n
cos n    i sin n  .
Пример 8. Вычислить 1  i  .
4
Решение. 1  i 
4

 


  2  cos  i sin  
4
4 


4

 2 4 cos 
 i sin     4 .
Пример 9. Вычислить    i .
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа  i :
3
3
 i  cos
 i sin
.
2
2
3
3
 2 k
 2 k
3
3
2
2
 i sin
 cos
 i sin
Тогда   cos
.
2
2
2
2
При k  0 имеем:  0  cos
При k  1 :  1  cos
7
3
 i sin
4
 i sin
4
7

4
3
4
2
2

2
2
i
2
i
2
.
2
.
2
Пример 10. Вычислить   3 8 .
Решение. В тригонометрической форме 8  8  cos 0  i sin 0  .

  3 8 cos 0  i sin 0   2  cos
2 k
 i sin
2 k 
.
3 
3

k  0 :  0  2 cos 0  i sin 0   2 ;
2
2 

 i sin
k  1 :  1  2  cos
  3 i;
3
3 

4
4 

 i sin
k  2 :  2  2  cos
  3 i.
3
3 

§4.4. Кольца многочленов.
42
Пусть P  произвольное поле. Через P  x  обозначим множество многочленов от
x с коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
n 1
f  x   a 0  a1 x    a n  1 x
 an x .
Следовательно, множество C  x  с введёнными таким образом операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
n
f  x   x  3 x  x  4 x  3; g  x   3 x  10 x  2 x  3 .
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами,
мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить
делитель на любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить,
понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь
некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего
общего делителя допускается.
4
3
2
3
2
Делим f  x  на g  x  , предварительно умножив f  x  на 3:
3x
3x
4
 9x
3
4
 10 x
 3x
3
 x
2
 2x
3
 12 x  9 3 x
2
 5x
3
 10 x
 3x
2
2
 2x  3
x 1
 9x  9
(умножаем на 3)
3
2
 27 x  27
3
2
 2x  3
2
 25 x  30
3 x  15 x
3 x  10 x
5x
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокращения на 5 получим первый остаток r1  x   x
2
 5 x  6 . Делим на него многочлен
g x  :
3x
3x
3
 10 x
2
 2x  3 x
2
3
 15 x
2
 18 x
3x  5
 5x
2
 16 x  3
 5x
2
 25 x  30
 5x  6
9 x  27
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет r2  x   x  3 . Очевидно, что
r1  x   r2  x  x  2  , т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2  x   x  3 .
Он и будет искомым наибольшим делителем:
 f  x , g  x  
x  3.
43
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ
ПРОСТРАНСТВАХ.
§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
Будем говорить, что в n  мерном действительном линейном пространстве L n
определено скалярное умножение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом  a , b  и называемое скалярным произведением векторов a и b , причем выполняются следующие условия (здесь a , b , c 
любые век т ор ы пространства L n ,   любое действительное число):
I.  a , b   b , a ,
II.
III.
 a  b , c    a , c   b , c ,
 a , b     a , b ,
Если a   , то скалярный квадрат вектора a строго положителен,
a , a   0 .
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из k векторов a1 , a 2 ,  , a k евклидова
IV.
пространства E n к ортогональной системе, также состоящей из k ненулевых лекторов;
эти векторы будут обозначены через b1 , b 2 ,  , b k .
Положим b1  a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a 2 ,  , a k ) войдёт и в строящуюся
нами ортогональную систему. Положим, далее,
b 2   1b1  a 2 .
Так как b1  a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b 2 отличен от нуля
при любом числе  1 . Подберем это число из условии, что вектор b 2 должен быть ортогонален к вектору b1 :
0  b1 , b 2   b1 ,  1b1  a 2    1 b1 , b1   b1 , a 2 ,
откуда, ввиду IV,
1  
b1 , a 2 
.
b1 , b1 
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b1 , b 2 ,  , bl ; до-
1  i  l , вектор b i является линейной
комбинацией векторов a1 , a 2 ,  , a i . Это предположение будет выполняться тогда и для
полнительно предположим, что для всякого i ,
вектора bl  1 если он будет выбран в виде
bl  1   1b1   2 b 2     l bl  a l  1 .
Вектор bl  1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1 , a 2 ,  , a k ) линейно
независимая, а вектор a l  1 не входит в записи векторов b1 , b 2 ,  , bl . Коэффициенты
i,
i  1, 2 ,  , l , подберем из условия, что вектор bl  1 должен быть ортогонален ко
всем векторам bi , i  1, 2 ,  , l :
44
0  b i , b l  1   b i ,  1b1   2 b 2     l b l  a l  1  
  1 b i , b1    2 b i , b 2      l b i , b l   b i , a l  1 ;
отсюда, так как векторы b1 , b 2 ,  , bl ортогональны между собой,
 i b i , b i   b i , a l  1   0 ,
т. е.
i  
b i , a l  1 
,
b i , b i 
i  1, 2 ,  , l .
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему
b1 , b 2 ,  , b k .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства E n , мы
получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по
доказанному линейно независима, ортогональный базис.
Назовем вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.
b , b   1 .
Если a   , откуда  a , a   0 , то нормированием вектора a называется переход к вектору
1
b
a.
a , a 
Вектор b будет нормированным, так как
2

 

1
1
1
 a , a   1 .
b , b   
a,
a  


 a , a     a , a  
 a , a 
Пример 1. Привести систему векторов
a1   2 ,  1, 2 ; a 2  1, 1, 4 ; a 3  6 ,  3 ,  3 
к ортонормированному виду.
Решение. Применим к указанным векторам процесс ортогонализации.
b1  a1   2 ,  1, 2 . Вектор b 2 ищем в виде
b 2  a 2  kb 1 ,
b 2    1, 2 , 2 .
где
k 
b1 , a 2 
9

b1 , b1 
9
Далее
ищем
 1.
Подставляя
b3  a 3   1b1   2 b 2 .
b1 , a 3 
b , a 
9
 18
    1,  2   2 3  
 2.
b1 , b1 
b 2 , b 2 
9
9
 6 ,  3 ,  3    2 ,  1, 2   2    1, 2 , 2    2 , 2 ,  1 .
1  
b3
значения,
получим
Здесь
После подстановки, имеем:
Осталось нормировать систему b1 , b 2 , b3 .
c1 
c2 
1
b1 , b1 
1
b 2 , b 2 
b1 
b2 
1
3
 2 ,  1, 2   
1
3
2
3
,
  1, 2 , 2    

1 2
, ,
3 3
1 2 2
, , ,
3 3 3
45
1
c3 
b 3 , b 3 
b3 
1
3
 2 , 2 ,  1  
2 2
1
, ,  .
3
3 3
Итак, c1 , c 2 , c 3  искомая ортонормированная система.
§1.3. Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P . Отображение
 : L  P называется линейной функцией, если
   x   y     x      y  ,
x, y  L
è
 ,   P.
§1.4. Сопряжённые операторы.
Оператор 

 y  ay
называется сопряжённым к  , т. е.
  x  , y    x ,    y   .
Пример 1. Линейный оператор  задан в евклидовом пространстве в базисе из
векторов f1  1, 2, 1  ,
f1  1, 1, 2  ,
f1  1, 1, 0  матрицей
1

A 0

2

3

1 .

 3 
1
5
7

Найти матрицу сопряжённого оператора  в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
Решение. Координаты векторов f1 , f 2 , f 3 заданы в некотором ортонормированном базисе e1 , e 2 , e3 . Матрица перехода от e1 , e 2 , e3 к f1 , f 2 , f 3 будет
1

T  2

1

Значит, A  T
1
1

1 .

0 
1
1
2
B T , где B  матрица того же оператора в ортонормированном
базисе. Откуда B  T A T
1
.
Находим
T
1
 2
1

1
2 
 3
2
1
1
0

1 .

 1 
Тогда
1

B  2

1

1
1
2
1  1

1 0

0   2
1
5
7
3   2
1
1
1
2
 3   3
2
1
1
0 2
 
1  6
 
 1   6
3
4
5
7

6 .

5 

Матрица сопряжённого оператора  будет по предыдущей теореме сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто
транспонированной.
46
 2


B  B  3

 7

6
4
6
6

5 .

5 
Возвращаемся к исходному базису
 2
1


1 
A T B T 
1
2 
 3
2
1
1
0  2

1 3

 1   7
  36


30

 26

 37
6
4
6
6  1

5 2

5   1
1
1
2
1

1 

0 
 15 

14 .

9 
30
27
§1.5. Нормальные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется нормальным, если


   ,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора  в унитарном пространстве U найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора  . Матрица  имеет в этом базисе диагональный вид.
§1.6. Унитарные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется унитарным, если
он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
x,
y U
  x , y     x  ,   y   .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет
1
скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A   A , т.
е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу  ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора  в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.
ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой f от n неизвестных x1 , x 2 ,..., x n называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или
комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или
же могут быль любыми комплексными числами.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f  x1 x 2  x 2 x 3  x 3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним
сначала невырожденное линейное преобразование
47
x1  y1  y 2 , x 2  y1  y 2 , x 3  y 3
с матрицей
1

A 1

0

1
1
0
0

0 ,

1 
после чего получим:
2
2
f  y1  y 2  2 y1 y 3 .
2
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно
выделить квадрат одного неизвестного. Полагая
z1  y1  y 3 , z 2  y 2 , z 3  y 3 ,
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
1

B  0

0

1 

0 ,

1 
0
1
0
мы приведем f к каноническому виду
2
2
1

AB  1

0

1
2
f  z1  z 2  z 3 .
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение
1
0
1

1 .

1 
Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как
определитель равен 2 ) линейное преобразование
x1  z1  z 2  z 3 ,
x 2  z1  z 2  z 3 ,
x3  z 3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
2
2
2
f  x1  x 2  x3  4 x1 x 2  4 x1 x3  4 x 2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
48
1

A 2

2

2
1
2
2

2 ,

1 
Найдём её характеристический многочлен:
A  E 
1 
2
2
2
1 
2
2
2
1 
     1
2

 5 .
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень  1 и простой корень 5 .
Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
2
2
2
f   y1  y 2  5 y 3 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
1,2   1;
3  5 , т. е. решим системы линейных однородных уравнений
 A   E 0
для каждого  .
При 1,2   1 имеем
 x1  x 2  x 3  0

 x1  x 2  x 3  0 .
x  x  x  0
2
3
 1
Откуда x1   x 2  x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный
набор решений будет:
b1    1, 1, 0  ,
b 2    1, 0, 1  .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1    1, 1, 0  ,
1 
 1
c2    ,  , 1  .
2 
 2
При  3  5 имеем
  4 x1  2 x 2  2 x 3  0

 2 x1  4 x 2  2 x 3  0 .
 2x  2x  4x  0
1
2
3

Данная система эквивалентна следующей:
 x1  x 2  2 x 3  0
,

x 2  x3  0

решением которой будет
c3  1, 1, 1  .
49
Остаётся нормировать систему c1 , c 2 , c 3 :
1
1


d1   
,
, 0 ,
2
2



1
1
d2   
,
,
6
6

2 
,
3 
1
1 
 1
d3  
,
,
.
3
3
 3
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
y1  
1
y2  
1
2
6
1
y3 
3
x1 
1
x1 
1
2
6
1
x1 
x2 ,
3
2
x2 
3
1
x2 
3
x3 ,

x3 .
Для того чтобы найти матрицу преобразования Q , нужно выразить переменные
x1 , x 2 , x 3 через y1 , y 2 , y 3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования    .
1
А так как Q  Q  , то достаточно транспонировать матрицу преобразования    . Окончательно имеем:
1
x1  
x2 
x3 
2
1
2
1
y1 
y1 
6
1
6
2
1
y2 
3
y2 
1
y2 
1
3
y3 ,
y3 , .
y3 .
3
3
ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ.
§3.1.   матрицы, их эквивалентность.
В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка n , элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного  с коэффициентами из поля P . Такие матрицы называются многочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче,   матрицами.
Будем говорить, что   матрицы A    и B    эквивалентны, и записывать
A 
B    , если от матрицы A    можно перейти к матрице B    при помощи ко-
нечного числа элементарных преобразований. Канонической   матрицей называется
  матрица, обладающая следующими тремя свойствами:
а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид
50
 e1   

 0


 0


0 
;


e n    
0
0
e2   
0
(1)
б) всякий многочлен ei    , i  2, 3,
, n , нацело делится на многочлен ei 1    ;
в) старший коэффициент каждого многочлена ei    , i  1, 2, , n , равен единице,
если этот многочлен отличен от нуля.
Пример 1. Привести к каноническому виду   матрицу
3  2 2 
.
A   
  2  3 2  


Решение. Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаем;
1 2 1 3 1 2
 3

2
0
     
0  3  2 0  

  
2
2
2
A 



.

 
 
  0 3  2 
0

  2  3 
   2  3
 

  

 
С другой стороны, можно вычислить инвариантные множители матрицы A    .
Именно, вычисляя наибольший общий делитель элементов этой матрицы, получаем:
d1     e1      .
Вычисляя же определитель матрицы A    и замечая, что его старший коэффициент равен 1 , получаем:
d 2     2
4
3
 2  
4
 3
3

4
3
 .
а поэтому
e2    
d2  
d1   
3
2
  .
§3.2. Унимодулярные  -матрицы.
Второй критерий эквивалентности.
  матрица U    называется унимодулярной, если она имеет матрицу E своим
каноническим видом, т. е. если все ее инвариантные множители равны единице.
ТЕОРЕМА 3. (второй критерий эквивалентности   матриц). Две   матрицы
A    и B    порядка n тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют такие унимодулярные   матрицы U    и V    того же порядка n , что
B     U    A   V   
(3)
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
 2 1 
  10  4 
,
A
B



?
 0 3
 26 11 
Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же каноническому виду
51
1

0

,
2
    6 
0
поэтому матрицы A и B подобны.
§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкого
класса матриц. Именно, матрицы, все характеристические корни которых лежат в основном поле P (и только такие матрицы), подобны некоторым жордановым матрицам, т. е.,
как говорят, они приводятся к жордановой нормальной форме. В частности, если в качестве поля P взято поле комплексных чисел, что всякая матрица с комплексными элементами, приводится в поле комплексных чисел к жордановой нормальной форме.
Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка k , относящейся
к числу  0 , называется матрица порядка k , 1  k  n , имеющая вид
1
0 
0


0 1




(1)



1 


 0
0


иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же число  0 из поля P ; на параллели, ближайшей к главной диагонали сверху, расположены числа 1; все остальные
элементы матрицы равны нулю. Так,
0
1
0 


0 , 
0
1 
 0
 0



 0
0
0


будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.
Жордановой матрицей порядка n называется матрица порядка n , имеющая вид
 
0
1 
,
0

 J1
0 




J2

J 
(2)




 0
Js 


вдоль главной диагонали которой расположены жордановы клетки J 1 , J 2 , , J s некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P ,
также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом
s  1 , т. е. одна жорданова клетка порядка n принадлежит к числу жордановых матриц
этого порядка, и, понятно, s  n .
Пример 4. Найти инвариантные множители характеристической матрицы для следующей жордановой:
52
 2 1 0

 0 2 1
 0 0 2


2
J 

3 1

0 3



0


Решение. Составим таблицу многочленов (7):

 2  ,   2,

 3 ,   3 .


0 



.




3 1 
0 3 

3
2
2
Поэтому инвариантными множителями матрицы J будут многочлены
e8        2 
3

 3 ,
2
e7        2     3  ,
2
в то время как e 6     ...  e 1     1 .
§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A с элементами из поля P тогда и только тогда приводится в поле P к жордановой нормальной форме, если все характеристические корни
матрицы A лежат в самом основном поле P .
Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы
87 108 
 16 17


8
9 42
54


A
 3
3
16
 18 


1
6
8 
 1
Решение. Приводя обычным способом матрицу A   E к каноническому виду,
получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут
многочлены
e 1        1
2

 2,
e3       1 .
Мы видим, что матрица A приводится к жордановой нормальной форме далее в
поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются многочлены

 1  ,   1 и   2 , а поэтому жордановой нормальной формой матрицы A служит
2
матрица
53
0
1 1 0


0 1 0
0

.
J 
0 0 1
0


 0 0 0 2 
§ 3.7. Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица A порядка n с элементами из поля P . Если
f      0
k
  1
k 1
 ...   k 1   k 
произвольный многочлен из кольца P    , то матрица
f      0 A  1 A
k
k 1
 ...   k 1 A   k E
будет называться значением многочлена f    при   A .
Нетрудно проверить, что если f              или f     u    v    , то
f  A     A     A  и, соответственно, f
 A  u  Av  A .
Если многочлен f    аннулируется матрицей A , т. е. f  A   0 , то матрицу A будем
называть матричным корнем многочлена f   
54
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа