close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Тема 7. Лидерство в организации;pdf

код для вставкиСкачать
Лекция 5. Преобразование Фурье.
1. Определение и основные результаты.
Пусть f ∈ L2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция
Z
˜
f (α) =
f (x)t−iαx dx
(1)
R
Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция
1
fˆ = √ f˜
2π
(2)
Из формулы не очевидно, что преобразование Фурье существует для любой функции f ∈ L2 R. Это доказано ниже.
Основные результаты сегодняшней лекции таковы:
Теорема 1 (Равенство Планшереля) f ∈ L2 (R) ⇒ fˆ ∈ L2 (R), и ||f || = ||fˆ||.
Теорема 2 Формула обращения: ∀f ∈ L2 (R),
Z
1
f˜(α)eiαx dα
f (x) =
2π R
Мы докажем эти теоремы сначала для случая, когда функция f – финитная дважды гладкая, а затем распространим их на все L2 (R).
Преобразование Фурье является континуальным аналогом ряда Фурье. Ряды Фурье определены для функций на окружности, а преобразование Фурье – для функций
на прямой. Второе получается из первого предельным переходом по семейству окружностей, длина которых стремится к бесконечности.
2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции.
Теорема 3 Преобразование Фурье финитной функции класса C m убывает не медленнее, чем |x|−m .
Эта теорема доказывается точно так же, как ее аналог для рядов Фурье.
Доказательство Преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на iα:
f˜0 (α) = iαf˜(α).
(3)
Эта формула доказывается с помощью интегрирования по частям. Интегралы пишутся по прямой (и это не указано в обозначениях), но берутся по отрезку, вне которого функция f равна нулю. Возникающие двойные подстановки исчезают, поскольку
1
f = 0 на концах отрезка. Иногда преобразование Фурье обозначают символом F,
чтобы избежать разночтений. Имеем:
Z
Z
Z
Z
0
0
−iαx
−iαx
−iαx
F(f )(α) = f (x)e
dx = e
df (x) = − f (x)de
dx = iα f (x)e−iαx dx = iαFf (α).
Отсюда следует:
Ff (α) =
1
F(f 0 )(α).
iα
Индукцией по m получаем:
Ff (α) =
1
F(f (m) )(α).
(iα)m
Но функция F(f (m) ) ограничена, поскольку f (m) непрерывна и финитна.
¤
Следствие 1 Если f ∈ C 2,0 , то существует C:
|f˜(α)| <
C
.
1 + α2
(4)
3. Ряды Фурье на “длинной” окружности.
Окружность изображается отрезком с отождествленными концами. Другое представление: функции на окружности “длины T ” изображаются T -периодическими
функциями на прямой. Этим представлением мы и воспользуемся.
Рассмотрим функцию f : R → R с периодом 2πl, и найдем ее разложение в ряд
Фурье по базису, который будет сейчас построен. Функция g(x) = f (xl) имеет период
2π и разлагается в классический ряд Фурье
g(x) = Σk∈Z gk eikx .
(5)
Множители перед ix в показателе экспоненты называются волновыми числами. В
обычном ряде Фурье множество волновых чисел совпадает с Z.
По определению функции g, при |x| ≤ πl,
³x´
x
f (x) = g
= Σgk eik l = Σα∈ Z cα eiαx
(6)
l
l
Волновые числа в последнем ряде пробегают множество Zl . При большом l это множество гораздо гуще, чем Z. Допуская вольность речи, можно сказать, что при l → ∞
оно стремится к R.
Формула (6) показывает, что векторы eiαx , α ∈ Zl , образуют базис в L2 ([−πl, πl]).
√
Их нормы равны 2πl. Следовательно, при α ∈ Zl ,
Z πl
1
f (x)e−iαx dx
cα =
2πl −πl
2
Отметим, что при α ∈ Zl ,
cα =
1 ˜
f (α)
2πl
(7)
Равенство Планшереля для f имеет вид
||f ||2 = 2πl Σα∈ Z |cα |2 .
l
(8)
Разложение f в ряд Фурье дается формулами (6), (7).
4. Предельный переход: эвристическое доказательство равенства Планшереля и формулы обращения.
Фиксируем финитную функцию f ∈ C 2,0 с носителем supp f ⊂ [−πl0 , πl0 ], и для
каждого l > l0 рассмотрим ограничение функции f на отрезок [−πl, πl]. Эти ограничения формально – разные функции, но мы будем все их обозначить через f .
Докажем равенство Планшереля:
||f || = ||fˆ||.
Для этого достаточно доказать:
||f ||2 =
1 ˜ 2
||f ||
2π
(9)
В силу (8) и (7),
1
2
Σα∈ Z |f˜(α)| := Σl .
l
2πl
Выражение Σl – это “бесконечная интегральная сумма” для интеграла
Z
1 ˜ 2
1
2
|f˜(α)| dα := I
||f || =
2π
2π
||f ||2 =
(10)
Сумма соответствует разбиению прямой на отрезки длины 1l с вершинами в точках
множества Zl . С одной стороны, эта сумма стремится к интегралу (это еще надо доказать!), с другой последовательность Σl стационарна (не зависит от l). Это “доказывает” (9).
Аналогично доказывается формула обращения. В силу (6), при |x| ≤ πl,
f (x) =
1
Σ Z f˜(α)eiαx := Sl (x).
2πl α∈ l
Выражение Sl (x) – “бесконечная интегральная сумма” для интеграла
Z
1
f˜(α)eiαx dα.
I(x) =
2π
3
Переходя к пределу, как и выше (этот переход тоже нужно обосновать), получаем
формулу обращения
Z
1
f (x) =
f˜(α)eiαx dα
(11)
2π R
5. Формальное доказательство.
Лемма 1 Если f ∈ C 2,0 , то Σl −−−→
l→∞
R
R
2
|f˜(α)| dα при условии: f ∈ C 2,0 .
Лемма 2 Если f ∈ C 2,0 , то Sl (x) → I(x) при l → ∞.
Из предыдущих рассуждений и леммы 1 следует теорема Планшереля, а из леммы 2 – формула обращения.
Доказательство [Леммы 1]. Если бы интеграл I был собственным, стремление интегральной суммы к интегралу было бы следствием теории интеграла Римана. Нам
нужно “справиться” с несобственным интегралом. Это делается с помощью мажорирования.
−1
В силу следствия 1, существует C > 0 : |f˜(α)| < C(1 + α2 ) . Возьмем ε > 0 и
такое N , что
Z
1
dα
ε
1
C
2
Σα∈ Z \[−N,N ] |f˜(α)| < Σα∈ Z \[−N,N ]
<C
≤ .
2
2
2
l
l
l
l
3
(1 + α2 )
|α|≥N − 1l (1 + α )
Тогда
¯Z
¯
¯
¯
¯
¯ ε
|f (α)| dα¯¯ < .
3
|α|≥N
2
Возьмем l столь большое, что
¯
¯
Z
¯1
¯
2
2
˜(α)| −
˜(a)| dx¯ < ε .
¯ Σ Z
|
f
|
f
α∈
|,
α|≤N
¯l
¯ 3
l
|α|≤N
¯
¯
2¯
¯
Тогда ¯Σl − ||f˜|| ¯ < ε.
¤
Аналогично доказываетсмя лемма 2.
Вывод. Доказаны теоремы 1 и 2: равенство Планшереля и формула обращения
для финитных гладких функций f .
Цель: доказать то же для всех f ∈ L2 .
6. Операторы и их продолжение.
Определение 1 A : H → H – линейный оператор, если A(αξ + βη) = αA(ξ) + βA(η).
4
Определение 2 A – изометрия, если ||Aξ|| = ||ξ|| ∀ξ ∈ H A – линейный по умолчанию.
Теорема 4 Пусть H – гильбертово пространство, E – плотное множество в H,
A : E → E 0 ⊂ H – изометрия. Тогда A продолжается на H до изометрии A : H → H.
Доказательство [triv]. Пусть x ∈ H, (xr ) ⊂ E, xn → x при n → ∞. Пусть yn = Axn .
Тогда (xn ) – фундаментальная последовательность ⇒ (yn ) – тоже фундаментальная
последовательность. Пусть y = limn→∞yn . Положим A(x) = y.
Упражнение 1 A корректно определено: y зависит только от x, а не от xn → x.
A – изометрия, поскольку ||yn || = ||xn || ⇒ ||y|| = ||x||.
¤
Тем самым, преобразование Фурье продолжается на все пространство L2 (R) как
изометрия, то есть на всем этом пространстве справедлива формула Планшереля.
Формула обращения распространяется на все пространство L2 (R) аналогично. А
именно, пусть S : f (x) 7→ f (−x) -оператор обращения аргумента. Формула обращения
эквивалентна следующей:
F 2 = 2πS.
Операторы в правой и левой части этого равенства - изометрии. Их совпадение на
плотном множестве C 2,0 влечет их совпадение на всем пространстве L2 (R).
5
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа