close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Факультативный курс:
«Комплексные числа».
Учитель математики МОУ СОШ №3
Г. Железнодорожный
Самодумова Т. С.
План.
Введение.
Основная часть.
1) Историческая справка. Происхождение понятия комплексного числа и его развитие.
2) Постановка задачи о расширении множества действительных чисел.
3) Комплексные числа и действия над ними:
а) равенство комплексных чисел;
б) сложение;
в) вычитание;
г) умножение;
д) деление.
4) Поле комплексных чисел.
5) Геометрическое изображение комплексных чисел.
6) Действительные и чисто мнимые числа.
7) Сопряженные числа. Практический способ деления.
8)Извлечение корней квадратных из отрицательного числа. Решение квадратных уравнений с
отрицательным дискриминантом.
9)Тригонометрическая форма комплексного числа.
10) Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
а) умножение;
б) возведение в степень;
в) деление;
г) извлечение корня.
11) Алгебраическое уравнение п – ой степени.
Заключение.
«Помимо и даже против воли того или другого
математика, мнимые числа снова и снова
появляются на выкладках, и лишь постепенно, по
мере того как обнаруживается польза от их
употребления, они получают более и более
широкое распространение».
Феликс Клейн.
Введение.
Одной из вариативных внутришкольных форм дифференцированного
обучения являются факультативные занятия. Это наиболее массовая форма
дифференциального обучения. Факультативные занятия способствуют
зарождению у учащихся интереса к математике, создают условия для выбора
математики как предмета для последующего углубленного изучения.
Предметные факультативы углубляют и расширяют знания учащихся.
Тема «Комплексные числа» традиционно является сложной для изучения.
Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного
расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным
разделом – решение уравнений – и вместе с тем дает возможность
установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое
содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого
технического уровня. Без темы «Комплексные числа» курс школьной
математики трудно считать завершенным.
Происхождение понятия комплексного числа.
Говоря об эволюции понятия числа, мы отмечаем, что не всегда первым
толчком были непосредственные практические потребности людей в узком
понимании этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли
из внутреннего развития математической науки, из практического решения
алгебраических уравнений. Уже при решении квадратного уравнения
ах²+вх+с = 0, где а,в,с – действительные числа (а = 0), его корни не могут быть
действительными при в² - 4ас < 0. В этом случае, мы говорим, что уравнение
корней не имеет. И таких примеров можно привести бесчисленное
множество. Это значительно усложнило бы теорию не только алгебраических
уравнений, но и многих других математических понятий. Еще более
настойчиво эта проблема выдвинулась при решении уравнений степеней
выше 2-ой. Эти причины, вызванные развитием алгебры, потребовали
расширения понятия числа. Однако процесс этого расширения не был
кратким, он длился около трех столетий, на протяжении которых, в борьбе
bмнений и взглядов, складывалось, развивалось и получило общее
признание понятие комплексного числа.
Квадратные уравнения решали еще древние вавилоняне и греки, но у них
отсутствовало понятие отдельно взятого отрицательного числа. С
комплексными числами впервые встретились при решении квадратных
уравнений индийские ученые, имевшие понятие о квадратном корне и об
отрицательном числе. Однако, они считали, что квадратные корни из
отрицательных чисел не существуют, ибо отрицательные числа не могут быть
квадратами действительных (вещественных) чисел, с которыми они
привыкли производить разнообразные операции. Поэтому квадратные
уравнения с невещественными корнями математики Индии считали вообще
не имеющими решения, их просто не брали во внимание.
Так же поступали до 16-ого века и ученые других стран, которые не находя
конкретного истолкования для комплексных корней объявляли их ложными.
В 16-ом веке итальянские математики внесли крупный вклад в развитие
алгебры: они решили в радикалах уравнения 3-ей и 4-ой степеней. В
орубликованном в 1545 году произведение Кардано «Великое искусство»
(так называли в то время алгебру в отличие от арифметики – «Малого
искусства») содержалось решение кубического уравнения х³ +рх + q = 0.
Чтобы решить такое уравнение Кардано пришлось оперировать числами
нового вида – комплексными.
Франсуа Виет, отец «символической» алгебры, не признавал ни
отрицательных, ни комплексных корней уравнения, в то время как А. Жирар,
автор замечательного произведения «Новое изобретение в алгебре» (1629г.)
уделял им большое внимание. Последнее объясняется тем, что А.Жирар
впервые сформулировал так называемую «основную теорему алгебры»,
впоследствии строго доказанную Ф. Гауссом: всякое алгебраическое
уравнение n – ой степени имеет n корней, действительных и мнимых. Без
учета комплексных чисел эта теорема теряет свою общность, фактически не
имеет смысла. О том, каковы были взгляды математиков 17-ого, 18-ого
веков на комплексные числа, можно судить по следующему высказыванию
А. Жирара: «Могут спросить, к чему эти невозможные решения? Я отвечаю –
для трех вещей: 1) для справедливости общего правила; 2) так как дгугих
решений нет и 3) ради пользы».
Пользу принесли комплексные числа и Р. Декарту в его аналитической
геометрии при поисках точек пересечения окружности с параболой: если
«окружность не пересекает и не касается параболы ни в одной точке, то это
значит, что уравнение не имеет ни истинных, ни ложных корней, ибо все они
воображаемые». «Ложными» Р. Декарт называл отрицательные числа,
«воображаемыми» или «мнимыми» - комплексные.
Итак, в данном случае мнимые числа полезны тем, что они указывают на
реальное взаимное расположение двух линий в координатной плоскости.
Р.Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой
прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого
реального истолкования и что они обречены навеки оставаться лишь
воображаемыми ( наименование «мнимые числа» вошло в употребление в
17-ом веке, уже после Декарта). Таких же взглядов придерживались и другие
великие математики того времени, в том числе Ньютон и Лейбниц.
В 17-ом веке лишь один ученый Д. Валлис в своем произведении
«Алгебра, исторический и практический трактат» (1685г.) указал на
возможность геометрического истолкования комплексных чисел и действий
над ними: сложение и вычитание.
Состояние физико-математической науки той эпохи и общее увлечение
теорией бесконечно малых оставили в тени попытку Валлиса на целое
столетие. Лишь после того как в 17-ом веке многие задачи математического
анализа, механики и геометрии потребовали широкого применения
операций с комплексными числами, создались благоприятные условия для
их геометрического истолкования.
Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Слово
«комплекс» (от латинского «complexus») означает связь, сочетание,
совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
В течение 17-ого века продолжалось обсуждение арифметической
природы мнимых чисел. Теория комплексных чисел развивалась медленно.
Хотя с их помощью удалось получить много важных фактов, относящихся к
действительным числам, само существование комплексных чисел оставалось
сомнительным. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория
корней n- ой степени из отрицательных, а затем из любых комплексных
чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муара
( 1707 г. ):
(cos γ + isinγ )n =cosnγ + isinnγ.
Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в 18-ом
веке русский академик Л. Эйлер. Он вывел в 1748 году замечательную
формулу:
eix = cos x +isin x,
которая связала показательную функцию с тригонометрической.
На рубеже 18 – 19 веков было введено Весселем ( Дания ) и Арганом (
Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы
этих ученых не обратили внимания, и лишь в 1831 году, когда тот же способ
был развит великим Гауссом, он стал всеобщим достоянием. Было
предложено изображать комплексное число z = a +bi точкой М (а;b) на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что удобнее это число
изображать не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из
начала координат. Геометрическое истолкование комплексных чисел
позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного
переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что
комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с
величинами, которые изображаются векторами на плоскости. Комплексные
числа прочно вошли в практику физико-математической науки.
Постановка задачи о расширении множества действительных чисел.
Задача по расширению поля действительных чисел путем
присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество
образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо
действие извлечение корня, была окончательно решена лишь в XIX веке.
Новое расширенное поле, прежде всего, должно содержать все
действительные числа. Далее, в нем должно быть решено уравнение x 2   1 ,
поскольку действие обратное возведению в степень в этом поле выполнимо.
Число, квадрат которого равен -1 принято обозначать буквой i и называть
мнимой единицей. Итак, по определению i 2   1 .
Новое множество чисел должно быть полем. Поэтому наряду с
действительным числом b и мнимой единицей i ему должно принадлежать
и их произведение bi . Точно также вместе с действительным числом a и
произведением bi новому множеству должна принадлежать и сумма a  bi .
Таким образом новое числовое множество должно содержать все
числа вида a  bi , где a и b - произвольные действительные числа, а i мнимая единица. Эти числа мы назовем комплексными числами. Число a
принято называть действительной частью, а выражение bi мнимой частью
a  bi . Число b называется коэффициентом при
комплексного числа
мнимой части. Например, для комплексного числа 2  3 i действительной
частью является число 2, а мнимой – выражение 3 i , коэффициент при
мнимой части части равен 3.
Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и
коэффициенты при мнимых частях, то есть a  bi  c  di тогда и только тогда,
когда a=c и b=d.
Для неравных комплексных чисел соотношение «больше» и
«меньше» определить невозможно.
Сложение комплексных чисел. Противоположные числа.
Определение.
Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное
число(a + c) + (b + d)i : ( a+bi ) +( c+ d)i= (a + c ) + ( b + d ) i.
Другими словами, при сложении комплексных чисел складываются их
действительные части и коэффициенты при мнимых частях.
Примеры:
1). ( 1 + i ) + ( 2 + 3i );
2). ( 5 + 6i ) + ( 7 – 6i );
3). ( 4 + 9i ) + ( -4 +i );
4). ( 3 - 7i ) + (-3 + 7i ).
В области действительных чисел имеется число «нуль», прибавление
которого к любому другому действительному числу не меняет этого числа:
а +0 =а. В области комплексных чисел аналогичную роль играет число 0+ 0i.
Действительно, каково бы ни было комплексное число a + bi выполняется
равенство: ( a + bi ) + (0 + 0i ) = ( a + 0 ) + ( b + 0 )I = a + bi
Два действительных числа а и – а, сумма которых равна нулю, называются
противоположными. По аналогии с этим комплексные числа a +bi и – a – bi
также называют противоположными.
Упражнения.
1). Назовите комплексные числа противоположные данным:
а) 3 + I; б) 1 – 5i; в) -2 + 0i; г) 0 + 4i; д) 0 + 0i; е) 7 + i.
2).Найдите действительные числа х и у из уравнения:
а) ( 5х + 3уi ) + (2y – xi ) = 3 – I;
б) ( 2x – 5i ) + (7y + 2xi ) = -12 + 3yi;
в) ( x + 3yi ) + ( 1,5y + 2xi ) = 4 + 8i.
Решение.
По определению операции сложения комплексных чисел:
( x + 3yi ) + (1,5y + 2xi ) = ( x + 1,5y ) + ( 3y + 2x )i.
Но, ( x + 3yi ) + (1,5y + 2xi ) = 4 + 8i,
0x + 0y = 0,
Т. О. х – любое число.
Пусть x = t, тогда 3y + 2t = 8, 3y = 8 – 2t; y =
Ответ: x = t; y =
y=
, где t – любое действительное число.
Вычитание комплексных чисел.
Определение.
Разностью двух комплексных чисел
комплексное число
= a + bi и
= x + yi, которое в сумме с
= c + di называется такое
дает число
.
Другими словами, для комплексных чисел, так же как и для
действительных, равенство
=
по определению означает то же
самое, что и равенство
+
=
.
Само по себе введенное определение не гарантирует, что из каждого
комплексного числа можно вычесть любое другое комплексное число.
Возможность такого вычитания устанавливается теоремой.
Теорема.
Для любых комплексных чисел
= a + bi и
= c + di разность
=
-
определена и притом однозначно.
Фактически надо доказать, что существует и притом единственное число
= x +yi, которое в сумме с
дает число
.
( c + di ) + ( x +yi ) = a + bi
(1)
Определению суммы ( c + di ) + ( x + yi ) = ( c + x ) + ( d + y )I;
( c + x ) + ( d + y )I = a + bi:
Т.к. система уравнений имела единственное решение, существует
единственная пара чисел ( х; у ), удовлетворяющая уравнению (1). Тем
самым теорема доказана.
По существу, доказано, что (a + bi ) – ( c+ di ) = ( a – c) + ( b – d )I.
Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это
вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел
и коэффициентов при мнимых частях.
Примеры.
1). Вычислите:
а) ( 5 + 6i ) – ( 3 + 7i );
б) ( 3 + 4i ) – (3 – i );
в) ( 2 + i ) – ( 3 – i );
г) (7 – i ) – ( 7 – i ).
2). Найдите действительные числа х и у из уравнения:
а) ( 0 + 3xi ) – ( 10x + 2yi ) = -5y + 3i;
б) ( -3y + 0,5xi ) – ( -8x + 5yi ) = -2 + 12i;
в) ( 3x – 2yi ) – ( y + 6xi ) = 0 +21i.
Умножение комплексных чисел.
Естественно потребовать, чтобы умножение комплексных чисел a + bi и c + di
выполнялось так же, как и умножение двучленов с действительными
коэффициентами, а именно:
(a + bi ) ( c + di ) = ac + аdi + bci + bdi² = ac + ( ad + bc )I + bdi²,но по
определению i² = -1, поэтому bdi² = -bd; ( a + bi ) (c + di ) = (ac – bd ) + ( ad + bc )i
Определение.
Произведением двух комплексных чисел a + bi
комплексное число (ac – bd ) + ( ad + bc )i.
и c + di
называется
Практически при умножении комплексных чисел друг на друга
необязательно помнить формулу, проще производить умножение
комплексных чисел как умножение двучленов с последующей заменой i² на
-1.
Примеры.
1). (2 + 3i )( 6 – 5i);
2). (4 + i )( 4 – i );
3). ( 1 + i )²;
4). ( 5 + i)( -2 + 3i );
5). ( 3 +2i )(6 – 5i );
6). (3i – 2 )²;
7). (7 -2i )(3,5 –i);
8). ( 0,2i + 0,5 )( 2 + 3i );
9). (7 + 4i)²;
10).( 5 +i)(15 – 3i);
11).(-6 + 2i)(11 +5i);
12).(
-i)(
+2i).
Деление комплексных чисел.
В области комплексных чисел, так же как и в области действительных чисел,
соотношение
= при
0 + 0i понимается в том смысле, что · = .
Определение.
Частным от деления комплексного числа
комплексное число
на
0 + 0i называется такое
, которое при умножении на
дает число
.
В области действительных чисел частное определено для всех значений а
и в, если в 0. Аналогично обстоит дело и в области комплексных чисел.
Теорема.
Частное
определено и при том однозначно для всех комплексных
чисел a + bi и c + di, если c +di 0 +0i.
Доказательство.
Нам нужно показать, что если c +di 0 +0i, то существует и при том
единственная пара действительных чисел (х; у) удовлетворяющая уравнению
(х +уi)(c + di ) = (a + bi).
(1)
По правилу умножения комплексных чисел (x + yi )(c + di ) = (xc – yd)+(xd + yc)i
Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде: (xc – yd)+ (xd + yc)i = a +bi.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их
действительные части и коэффициенты при мнимых частях.
Поэтому
(2)
Решим систему (2):
Xcd + yc² - xcd + yd² = bc – ad,
x=
.
=
Итак,
+
i.
Т.о. z =
+
.
Пример.
.
Найти частное комплексных чисел:
Пусть
= x + yi, тогда (x + yi )(2 -3i) = 9 -7i,
2x + 2yi – 3xi – 3yi ²= 9 – 7i,
(2x + 3y) + (2y – 3x)I = 9 – 7i,
13y = 13, y = 1,
2x + 3 = 9,
X = 3.
=3 + i.
Таким образом,
Примеры.
;
1). Вычислите: а)
б)
;
в)
.
2). Докажите равенства:
a)
=
;
б)
=
.
Итак, определены четыре действия над комплексными числами, и мы
убедились, что результатами этих действий являются опять же комплексные
числа.
Проверим, выполняются ли при этом законы сложения и умножения
присущие действительным числам.
+
=
+ ;
+ )+
=
+
+
=
;
;
· )·
=
·
·
;
+ )·
=
·
+
.
Если мы покажем, что эти законы выполняются, то тем самым будет
доказано, что множество всех комплексных чисел образует поле.
Рассмотрим переместительный закон сложения.
Пусть
= a + bi,
= c + di. Тогда
+
= ( a + bi ) + (c + di ) = ( a+ c ) + (b +d )i.
+
= (c + di ) + (a = bi ) = (c +a ) + ( d + b )i.
Для действительных чисел переместительный закон выполняется.
Следовательно, a + c = c + a; b + d = d + b. Поэтому комплексные числа
+
и
+
имеют одинаковые действительные части и коэффициенты
при мнимых частях, но в таком случае они равны, т.е.
+
=
+ .
Проверим распределительный закон умножения относительно сложения.
Пусть
= a + bi,
= c + di,
= e + fi. Тогда
+
= ( a + bi ) + (c + di ) = ( a+ c)
+ (b +d )i.
Поэтому
+ )·
С другой стороны,
=
( e +fi ) =
·
+
I =
+
i =
+
i
(*)
= (a + bi )(e + fi ) = (ae – bf ) + (af + be )i
= (c + di )(e + fi ) = (ce – df ) +(cf +de )i
·
=
+
= (ae – bf) + ( af + be ) + ( ce - df ) + (cf + de)i
+
I
(**)
Сравнивая выражения (*) и (**), мы замечаем, что они равны, следовательно
равны и числа
+ )· и · +
,т.к. он имеют соответственно
равные действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Но в
таком случае, на множестве комплексных чисел выполняется
распределительный закон .Итак, множество комплексных чисел образует
поле.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Действительные числа можно изображать точками числовой прямой. При
этом каждому действительному числу соответствует единственная точка
числовой прямой. И обратно, каждой точке числовой прямой соответствует
определенное действительное число. Т.о. множество действительных чисел
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек
числовой прямой.
Подобно тому, как действительные числа можно изображать точками
числовой прямой, комплексные числа можно геометрически представить
точками координатной плоскости.
Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку
координатной плоскости с координатами (a;b). Например, числу 2+3i
поставили в соответствии точку A с координатами (2;3).
Каждая точка плоскости имеет определенные координаты. Поэтому
при выбранном соответствии каждой точке плоскости будет отвечать
некоторое комплексное число.
Итак, каждому комплексному числу a+bi соответствует одна, вполне
определенная точка плоскости, а именно точка с координатами (a;b).
Наоборот, каждой точке плоскости (α;β) соответствует одно, вполне
определённое комплексное число, а именно число α+ βi.
Т.о. множество всех комплексных чисел находится во взаимно
однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости.
С каждой точкой плоскости можно связать
вектор
, выходящий из начала координат
и оканчивающийся в точке A. Поэтому
комплексные числа допускают и другую
геометрическую интерпретацию. Каждое комплексное число a+bi можно
геометрически интерпретировать как вектор
Координаты вектора
с координатами (a;b).
при этом будут такими же, как и координаты точки
A,а именно (a;b). Очевидно, что такое соответствие между всеми
комплексными числами и всеми векторами плоскости, выходящими из
начала координат, является взаимно однозначным.
Используя векторную интерпретацию комплексных чисел, легко истолковать
то определение, которое мы приняли для суммы двух комплексных чисел:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)=(b+d)i
Как известно, при сложении векторов их соответственные координаты
складываются. Поэтому если вектор
имеет координаты (a; b), а в-р
координаты (c ; d ), то их сумма
вектор
-будет иметь координаты
(a+c;b+d). Этот вектор как раз и
соответствует комплексному числу
(a+c)+(b+d)i,
которое
является
суммой комплексных чисел a+bi и C+di.
Действительные и чисто мнимые числа.
Рассмотрим отдельно все точки плоскости, лежащие на оси абсцисс. Они
имеют координаты (a; 0) и, следовательно, соответствуют комплексным
числам вида (a+0i).
Пусть a1+0i и а2+ 0i – два таких числа. Легко убедиться в справедливости
следующих соотношений:
(a1+0i)+(a2+0i)=(a1+a2)+0i;
(a1+0i)-(a2+0i)=(a1-a2)+0i;
(a1+0i) ×(a2+0i)=a1a2+0i;
=
+ 0i (a2≠0).
Эти соотношения показывают, что все комплексные числа вида a+0i,т.е.
числа с нулевыми коэффициентами при мнимых частях, складываются,
вычитаются, умножаются и делятся друг на друга как соответствующие им
действительные числа. Геометрическое изображение этих чисел также
совпадает
с
геометрическим
изображением
соответствующих
действительных чисел: как те, так и другие представляются точками оси
абсциссы. Это позволяет не делать различий между комплексным числом
a+0i и действительным числом a. Поэтому вместо a+0i можно писать просто a.
По этой причине ось абсциссы, на которой расположены точки,
соответствующие действительным числам (или комплексным числам вида
a+0i), называется действительною осью. Т.о. ясно, что действительные числа
входят в совокупность всех комплексных чисел.
Точки оси ординат имеют координаты (0; b) и поэтому соответствуют числам
вида 0+bi , т.е. комплексным числам, действительная часть которых равно 0.
Такие числа характеризуются тем, что квадраты их отрицательны (если
только b≠0). Действительно, (0+bi)2=(0+bi) (0+bi)=0+0i+0i+b2i2=-b2+0i=-b2.
Когда комплексные числа ещё не были введены в математику, трудно было
представить себе, что квадратные числа могут быть отрицательными.
Поэтому комплексные числа вида 0+bi получили название чисто мнимых
чисел. В дальнейшем эти числа обозначаются bi. Ось ординат, на которой
располагаются все чисто мнимые числа, называется мнимой осью.
Упражнения.
1.Изобразить точками координатной плоскости комплексные числа:
а)1+i ;
в)-2+3i ;
д)5+0i ;
ж)0+5i ;
б)1-I ;
г)-3-2i ;
е)-6+0i
з)0-4i ;
2.Дать геометрическую интерпретацию формулам:
а)(1+2i)+(1-2i)=2+0i;
б)(3-4i)+(-1+2i)=2-2 ;
3.Найти действительные числа x и y из уравнений :
а) (x+y)+(x-y)i=2+4i ;
б) (x+y)+(x-y)i=4i;
в) (x+y)+(x-y)i =2 ;
г) (y+2x)+(2y+4x)i =0 ;
4.Вычислите: а) (i(2-i))2 ;
б) (2i(3-4i))2
д) (x+1,5y)+(2x+3y)i=13i .
Сопряжённые числа. Практический способ деления комплексных
чисел.
Комплексное число a-bi называется сопряженным к комплексному
числу a+bi. Например, число 2-3i явл. сопряжённым к числу 2+3i. Пусть aпроизвольное действительное число. Тогда a=a+0i=a-0i. Поэтому, любое
комплексное число ровно своему сопряжённому. Верно и обратное
утверждение: если комплексное число равно своему сопряжённому, т.е.
a+bi=a-bi, то это число действительное. Докажем: если a+bi=a-bi, то
b=-b=>b=0,=>a+bi=a+0 × i =a.
Если число a+bi сопряжённое к числу a-bi, то число a-bi сопряжённое к
числу a+bi, т.е. a+bi и a-bi взаимно сопряжённые числа. Такие числа
изображаются на плоскости точками, симметричными друг другу
относительно действительной оси.
Произведение двух взаимно сопряжённых комплексных чисел есть
число действительное.
В самом деле, (a+bi) (a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2 i2=a2+b2.
Доказанное свойство взаимно сопряжённых чисел позволяет довольно
просто производить действие деление комплексных чисел. Пусть нужно
, (c+di)≠0 ; умножим числитель и знаменатель дроби на
найти частное
число сопряжённое знаменателю:
=
=
.
Примеры:
1)
=
=
=
=2-i ;
2)
=
=
= =i
Упражнения:
1.Назовите числа, сопряжённые данным:
a) 1+i ;
б)2-3i ;
в)5 ; г)4i ;
д)0 ; е)2i-1.
Изобразите данные и сопряжённые к ним числа точками плоскости.
2. Вычислите:
a)
; б)
ж)
–
; в)
; г) ; д)
–
; е)
+
;
i.
Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел.
Решение квадратных уравнений с отрицательным
дискриминантом.
Как мы знаем i2=-1. Вместе с тем (-i)2=(-1i)2=(-1)2 i2=-1. Т.о, существуют по
крайней мере два значения корня квадратного из -1, а именно i и –i. Но,
может быть, есть ещё какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых
равны -1? Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат
комплексного числа a+bi равен -1.
Тогда (a+bi)2=-1
a2+2abi+b2 i2=-1
a2+2abi-b2=-1
(a2-b2)- 2abi =-1+ 0i
Согласно второму уравнению хотя бы одно из чисел a и b должно
равняться 0. Если b=0, то из 1-ого уравнения => a2= -1, но a-число
действительное, поэтому a2≥0. Т.о. равенство b=0 невозможно. Если a=0, то
из 1-ого уравнения =>-b2=-1, b2=1, b=±1.
Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны -1,
являются только числа i и –i , т.е
=±i. Отсюда следует, что
=±
i,
– подразумевается арифметический, т.е. положительный корень.
Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений
отрицательным дискриминантом мы говорим, что такие уравнения не
с
имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с
отрицательным дискриминантом имеют комплексные корни. Эти корни
получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано урнение
x2+2x+5=0 ,тогда x1,2=-1±
=-1±
=-1±2i .
Итак, данное уравнение имеет два корня : x1=-1-2i , x2=-1+2i . Эти корни
являются взаимно сопряжёнными. Интересно отметить, что их сумма равна
-2,а произведение 5, т.ч выполняется теореме Виета.
Упражнения.
1.(Устно.) Решить уравнения:
а) x2=-16 ; б) x2=-2 ; в)3х2=-5
2.Решить квадратные уравнения:
a)x2-2x+2=0 ;
б) 4x2+4x+5=0 ;
в) x2-14x+74=0.
3.Решить системы уравнений
a)
б)
4.Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
корнями которого являются :
а)x1=5-i ; x2=5+i ;
б)x1=3i ; x2=-3i ; в)x1=(3-i) ( 2i-4) .
Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Пусть комплексному числу a+bi соответствует вектор
(a; b).Обозначим
с координатами
= r , а угол, который он образует с осью x – γ.
По определению:
= cos γ ;
= sin γ =>
a= r cos γ ; b= r sin γ .
В таком случае комплексное число a+bi можно записать в виде:
a+bi = r cos γ + ir sin γ = r (cos γ +i sin γ) , но r2=a2+b2=> r =
Итак, любое комплексное число a+bi можно представить в виде :
a+bi = r (cos γ + isin γ) ,где r =
,а угол γ определяется из
условия
,
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Число r- называется модулем, а угол γ- аргументом комплексного числа.
Если комплексное число a+bi не равно 0, то модуль его положителен,
если +bi = 0 , то a=b=0 => r = 0.
Модуль любого комплексного числа определён однозначно, а
аргумент с точностью до угла кратного γ.
Модуль комплексного числа Z обозначают |Z|, а аргумент arg Z.
Пример 1.
Записать в тригонометрической форме комплексное число 1+i. Для
этого найдём r и γ.
r=
=
; sin γ=
cos γ=
=
=
=
=
;
=> γ = +2πn,n€Z .
Т.о. 1+i =
[cos ( +2πп )+ i sin ( +2πп) ], n€Z .
Обычно из бесконечного множества значений аргумента выбирают то,
которое заключено между 0 и 2π,поэтому 1+i=
(сos = + i sin = )
Пример 2.
Записать в тригонометрической форме комплексное число i
Числу i соответствует вектор
r=
= 1;
(0 ; 1)
= =1
sin γ =
cos γ = = 0
=> γ=
i= 1 ( сos + i sin )
Упражнения.
1.Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме,
определив их модули и аргументы:
1)2+2
2)
i;
+i;
3)6-6i ;
4)12i-5 ;
7)3i
5)25 ;
8) -2i
6)-4;
9)3i-4.
Умножение и деление комплексных
тригонометрической форме.
чисел,
заданных
в
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять, если
эти числа заданы в тригонометрической форме. Имеют место следующие
теоремы.
Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен
произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.
Доказательство.
Пусть Z1= Z1( cos γ1 + i sin γ1), Z2=Z2 (cos γ2 + i sin γ2). Тогда Z1 × Z2 = r1 × (cos
γ1 + i sin γ1) × r2 (cos γ2 + i sin γ2) = r1 × r2 × (cos γ1 + i sin γ1) (cos γ2 + i sin γ2)=r1 × r2
(cos γ1 × cos γ2 + i cos γ1 sin γ2 + i sin γ1 cos γ2 + i sin γ1 × i sin γ2 )=r1× r2 ((cos γ1 cos
γ2 – sin γ1 sin γ2) + i ( cos γ1 sin γ2 + cos γ2 sin γ1))=r1 × r2 (cos (γ1+γ2)+ i sin (γ1+γ2)).
Т.о. r=r1 × r2, γ=γ1+γ2
Пример : 2 ×(cos 1300 + i sin 1300) × 3 ( cos 2300 + i sin 2300)=6(cos 3600 + i sin
3600)=6 × ( 1+i × 0)=6+0i
Сам-но: 5 (cos 470+ i sin 470) × 4 ( cos 130 + i sin 130) = 10 +10
i.
Доказанная теорема справедлива для любого числа множителя ,
т.е r1 (cos γ1 + i sin γ1) × r2 (cos γ2 + i sin γ2):..rn (cos γn + i sin γn)= r1 r2 …. × rn ( cos (
γ1+γ2 +…+γn)+ i sin ( γ1+γ2+…+ γn)
В частном случае,когла все множители равны (r(cos γ + i sin γ ))n=rn (cos n γ + i
sin n γ ) –формула Муавра.
Теорема 2. Модуль частноо двух комплексных чисел равен частному
модулей делимого и делителя ; аргумент частного двух не равных нулю
комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя.
Доказательсто. Пусть Z=r (cos γ + i sin γ )
Z=Z1÷Z2, где Z1=r1 (cos γ1 +i sin γ1), Z2=r2 (сos γ2 +i sin γ2)≠0.
Z1=Z × Z2
r1(cos γ1 + i sin γ1)=r (cos γ +i sin γ )× r2 (cos γ2+ i sin γ2)
r1 (cos γ1 + i sin γ2) = r× r1 (cos ( γ+γ2)+i sin (γ + γ2)
r1 =r × r2 => r = r1÷r2
γ+γ2 =γ1 , т.к аргументы могут отличаться на 2πп, то γ+γ2-γ1=2πп ;
γ=γ1-γ2+2πп
Аргумент любого комплексного числа определён лишь с точностью до
угла, кратного 2π. Поэтому можно, считать,что
γ=γ1-γ.
Пример.
= (cos (1500 – 1050)+i sin (1500 – 1050)) = ( cos 450 + i
sin 450)= =
(1 + i ).
Сам-но:
=
-
i.
Извлечение корней из комплексного числа.
Предположим, что корень степени n из комплексного числа r ( cos γ + i
sin γ), отличного от нуля, существует и равен ρ (cos θ+ i sin θ). Тогда (ρ (cos θ +
i sin θ ))n = r (cos γ + i sin γ).
Используя формулу Муавра, получаем ρn (cos n θ + i sin n θ ) =r (cos γ + i
sin γ).
Модули равных комплексных чисел равны, а аргументы могут
отличаться лишь на угол,равный 2π.
n θ = γ +2πR
Поэтому ρn=r ,
ρ=
;
θ=
, R-любое целое. Но при R=n , n+1 ,n+2,…
будут получаться значения θ,отличающиеся от полученных ранее на угол
кратный 2π.Поэтому новых комплексных чисел эти значения R дать не могут.
Никаких новых комплексных чисел мы не получим и при отрицательных
значениях R.Итак, если только корень степени n из комплексного числа
существует, то он может принимать лишь следующие n значения:
α0=
(cos + i sin ) ;
α1=
(сos
αn-1 =
( cos
+ i sin
);
+ i sin
).
Т.о. каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней nой
степени.
Геометрически все n значений корня nой степени из комплексного
числа изображается точками, лежащими на окружности с центром в начале
координат, радиус который равен
. Если эти точки соединить
последовательно прямолинейными отрезками, то в результате получится
правильный n-угольник
Пример 1.
Найти все значения
-64=-64+0i
r=
=64,
sin γ =
cos γ =
-64+0i =
= 0 => y= π =+64 ×(cos π + i sin π)
= -1
Алгебраическое уравнение n-ой степени.
В области комплексных чисел любое алгебраическое уравнение 1-ой
степени имеет ровно 1 корень, ур-ние 2-ой степени – ровно 2 корня. В
высшей алгебре изучаются уравнение произвольных
степеней.
Алгебраическое уравнение n-ой степени имеет вид:aoxn+a1xn-1+a2xn-2+…+an1x+an=0, где aa,a1,…,an - заданные комплексные числа, причём a≠0, а xнеизвестная величина. Вопрос о существовании и количестве корней такого
уравнения долгое время является центральным вопросом алгебры . В 1799
г. выдающийся немецкий математик К.Ф. Гаусе (1777-1855г.) доказал
следующую теорему: любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет
хотя бы один комплексный корень. Однако, исходя из этой теоремы можно
доказать, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно
n комплексных корней ,если каждый корень считать столько раз какова
его кратность.
Для решения ур-ний 1-ой и 2-ой степени выведены общие формулы, по
которым можно находить корни этих уравнений. Аналогичные формулы
получены и для ур-ний 3-ой и 4-ой степеней. Однако они слишком
громоздки. Что касается ур-ний произвольных более высоких степеней, то
для них, как показал норвежский математик Абель (1802-1829), таких
формул, вообще говоря, составить нельзя.
Большое значение комплексных чисел широко известно. Особенно часто
применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет
самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел успешно используют
в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических
преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с
механическим и физическим содержанием.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические
задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными
выкладками. Выбор эти формул с очевидностью диктуется условиями задачи
и её требованиями. В этом и состоит необычайная простота метода по
сравнению с координатным, векторным и др.
Комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с
величинами, к-рые изображаются векторами на плоскости: при изучении
течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике,
в аэро – и гидродинамике, в квантовой теории полей .
Фундаментальные результаты в различных областях математики и
механики получил Мстислав Всеволодович Келдыш. Основные его работы
по математике относятся к теории функций комплексного переменного,
теории
приближений в комплексной области, теории приближенного
интегрирования дифференциальных уравнений.
В области приложений М.В.Келдыш посвятил часть своих работ
изучению неустановившегося движения тел в жидкости, влиянию
сжимаемости на обтекание тел, развитию теории волновых движений и
упругих колебаний в воздушном потоке, динамической прочности и
вибрации самолётов. Ему принадлежит ряд основных результатов в теории
движения подводного крыла, а также в теории волнового сопротивления.
Литература.
1. E.С. Кочетков , Е.С. Кочеткова
“Алгебра и элементарные функции”,Москва,“Просвещение ”,1972г.
2. П.Ф. Фильгаков
“Справочник по высшей математике”,Киев,“Наукова думка”,1972г.
3. А.Д.Кутасов , Т.С. Пиголкина и др. Ред. Г.Н. Яковлева
“Пособие по математике для поступающих в ВУЗы”
Москва, “Наука”,1988г.
4. Г.И. Глейзер
“История математики в школе IX-X кл.”
Москва, “Просвещение”,1983г.
5. Журнал “ Математика в школе”
№2,1990г.
№6,1990г.
№6,1992г.
6.Энциклопедический словарь юного математика,Москва,“Педагогика”
1985г.
7. А.Г. Цыпкин , А.И. Пинский
“Справочное пособие по методам решения задач по математике”
Москва,“Наука”,1983г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа