close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА
№11"
СПОСОБНОСТЕЙ
УЧАЩИХСЯ 5-7
классов
и подготовка
их к олимпиаде»
ЛАРЧИК
АЛЕКСАНДРА
ВЛАДИМИРОВНА
ФАМИЛИЯ
имя
ОТЧЕСТВО
ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИМ. С. М. КИРОВА
ОБРАЗОВАНИЕ
УЧИТЕЛЬ
МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ
ЛЮБИ СВОИХ ВОСПИТАННИКОВ И
УВАЖАЙ В НИХ ЛИЧНОСТЬ
ДЕВИЗ В РАБОТЕ
НАГРАДЫ
1. ПОЧЕТНАЯ ГРАМОТА ОТДЕЛА ОБРАЗОВАНИЯ
АДМИНИСТРАЦИИ
ОКТЯБРЬСКОГО
РАЙОНА
г. ВИТЕБСКА ЗА ТВОРЧЕСКИЙ ДОБРОСОВЕСТНЫЙ
ТРУД В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ
МАТЕМАТИКИ.
2. ПОЧЕТНАЯ ГРАМОТА ОТДЕЛА ОБРАЗОВАНИЯ
АДМИНИСТРАЦИИ
ОКТЯБРЬСКОГО
РАЙОНА
г. ВИТЕБСКА ЗА ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
В ОБУЧЕНИИ И ВОСПИТАНИИ УЧАЩИХСЯ.
КУРСЫ ПОВЫШЕНИЯ
КВАЛИФИКАЦИИ
2003 год г.ВИТЕБСК
СТАЖ ПЕДАДОГОГИЧЕСКОЙ
РАБОТЫ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
"ГОСУДАРСТВЕННАЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
СРЕДНЯЯ ШКОЛА №11"
19 лет
а) Создание возможностей для
творческого развития личности.
б) Подготовка учащихся к профильному
изучению предмета.
в) Выявление способных к изучению
математики ребят и подготовка их к участию в
олимпиадах.
г) Развитие познавательной активности
учащихся к предмету, привитие интереса к урокам
математики.
а) Развитие логического мышления.
б) Формирование специальных знаний и
умений.
в) Расширение кругозора учащихся,
развитие математической интуиции.
г) Создание комфортной обстановки,
атмосферы доброжелательности и сотрудничества.
д) Вовлечение учащихся в серьезную
самостоятельную работу.
е) Привитие навыков аккуратности,
опрятности, культуры речи и культуры поведения.
...Математические сведения могут применяться
умело и с пользой только в том случае, если они усвоены
творчески, так, Что учащийся видит САМ, КАК можно
было бы прийти к ним самостоятельно.
А.Н. Колмагоров.
Знание математики необходимо для очень многих специальностей, и особенно
технических. Нашей стране требуются тысячи высокообразованных
специалистов, владеющих математикой и ее методами, и поэтому большое
внимание уделяется математическому образованию подрастающего поколения.
В средней школе математика изучается с1 по 11 классы. В массовой школе
учатся дети с неровным интеллектом, с непохожими способностями. Много
труда и настойчивости, внимания требуется от учителя и школьника, чтобы
последний мог освоить необходимый минимум знаний по этому предмету. Но
для того, чтобы в дальнейшем можно было бы овладеть специальностью, так
или иначе связанной с математикой, ее методами, ее применениями,
недостаточно проводимых уроков математики. Необходима самостоятельная
творческая работа и сознательное отношение к изучению этого предмета.
Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании
большого количества формул, теорем и т.д. Конечно, хорошая память для
занятий математикой нужна, но очень многие выдающие ученые - математики
никакой особой памятью не обладали, и именно
Систематические занятия математикой часто помогали им развивать ее.
Значительно важней, чем память, для занятий математикой - умение
находить наиболее удачные пути решения задач, тождественных
преобразований, решения уравнений и т.д. Особенно ценно для всех желающих
заниматься математикой, развивать логическое мышление, умение правильно,
обоснованно и последователъно рассужда ть.
Сегодня хочу остановиться на работе, проводимой мною с детьми,
которые имеют средний и высокий уровень матема тических способностей.
Оканчивая начальную школу, ученики имеют право выбрать допрофильный
математический класс. Зачисляются в него дети по своему желанию и
желанию родителей, но прошедшие собеседование.
Прежде всего ставлю перед собой конкретную цель - научить ребят
рассуждать, умению объяснять, доказывать не только другим, но и самому
себе какие-то истины, умению искать и находить решения возникающих в
жизни проблем, сопоставлять и осмысливать факты. Для достижения данной
цели ставлю задачу развивать логическое мышление ребят. Для этого учу
умению решать «нестандартные» задачи с использованием различных методов
и приемов.
Работа идет по нескольким направлениям. Во-первых, к каждому или почти
каждому уроку подбираются «нестандартные» задачи, решение которых
требует определенной сообразительности, смекалки. Их решение не обяза тельно для всех учащихся. Но, как показывает практика при умелой
организации работы, поощрении тех, кто предлагает
Интересные решения, все большее число школьников включается в
работу.
Во- вторых, раз в неделю проводится факультатив, на котором ребята
овладевают основными методами решения логических задач, учатся решать
уравнения и неравенства, содержащие модуль, параметр, решают задачи на
проценты, делимость чисел.
Чтобы повысить интерес ребят к математике, провожу математические
викторины, школьные математические олимпиады. На протяжении всего
учебного года проводится непрерывная математическая олимпиада. Укрепляют
и поддерживают интерес к математике районные математические олимпиады,
конкурс «кенгуру».
Всю работу по творческому развитию учащихся 5-7классов строю так, чтобы
ребенок после окончания 7класса мог сознательно определить свой выбор
профильного обучения в старших классах. С теми, кто приходит учиться в 8
математический класс, продолжаю работу по развитию математических
способностей.
Логические задачи
СОДЕРЖАНИЕ
1ЗАНИМА ТЕЛЬНЫЕ ЗАДА ЧИ
2.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДА Ч:
а) задачи, решаемые методом исключения с применением
таблиц
б) круги Эйлера, диаграммы Вена
в) графы
г) принцип Дирихле
д) метод инварианта
е) задачи на переливание и взвешивание
ж) задачи, решаемые с конца
з) правило «крайнего»
3 .МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ И РЕБУСЫ.
4.ШАХМАТЫ, ФУТБОЛ.
5. ИГРЫ.
6.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ.
7. ЗАДА ЧИ НА ПРОЦЕНТЫ.
8.ДЕЛИМОСТБ ЧИСЕЛ.
9. УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.
10. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.
11. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
12.МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ ВИКТОРИНА. 13.НЕПРЕРЫВНАЯ
МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 14.ШКОЛЬНЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ. 15.ПРИМЕРНОЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВОВ. 16.РАЗРАБОТКИ
УРОКОВ. ФАКУЛЬТАТИВОВ.
17.РЕЗУЛБТА ТЫ РАБОТЫ.
Занимательные задачи
1 .Какое число делится на все натуральные числа без остатка? 2. Напишите рядом две цифры 5 и
6 и подумайте, какой знак, употребляемый в математике, надо поставить между ними, чтобы получить
число больше 5, но меньше 6.
З.Напишите цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и
одиннадцати единиц.
4.Какой цифрой оканчивается разность
1х2хЗх... х!8х19-1хЗх5х7 ... х17х19 ? 5.Выясните, с
какой закономерностью идут цифры в десятичной дроби:
а). 0,123456789101112... б). 0,1491625364964... в). 0,182764125216... 6. Даты часто
записываются так: пишут число, номер месяца и две последние цифры года (например: 9.5.45 - 9 мая
1945 г,). Сколько раз в течение 20 в. дату можно записать, используя лишь одну цифру ( например:
5.5.55- 5 мая 1955г.) ?
7.На дно ящика с квадратным основанием положено 9 одинаковых шариков, На этот слой
шариков в углубления между ними положен второй слой, а в его углубления -третий и т.д. Сколько
шариков в ящике?
8.Брошено два игральных кубика. Какая сумма очков наиболее вероятна?
9. Два жука ползут по бревну в разные стороны. Сейчас между ними расстояние 42см,
а 4 секунды назад было 14 см. Скорость одного жука 4 см/с. Найдите скорость второго
жука.
10. Улитка ползет по стволу липы. Ночью она поднимается на 4 м. вверх, а днем
опускается на 2 м. вниз. На восьмую ночь улитка достигла вершины дерева. Определите
высоту липы.
11Во сколько раз лестница на 4-ый этаж длиннее лестницы на 2-ой этаж?
12. а) Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на третьем этаже.
На каком этаже живет Петя? б) Петя живет на 16-ом этаже, а Коля на 4-ом. Во сколько раз Пете
необходимо пройти ступенек больше, чем Коле?
13. Что дороже: кило гривенников или полкило двугривенников?
14. Подумайте, что объединяет напечатанные заглавными буквами слова, и отметьте в нижнем
ряду слово, которое к ним подходит: ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ, МАССА.
а) секунда
в) объем
д) метр
б) центнер
г) величина
15. Подумайте, что объединяет напечатанные заглавными буквами слова и отметьте в нижнем
раду слово, которое к ним подходит: ЧЕТЫРЕ, ВОСЕМНАДЦАТЬ, СТО.
а) пять
б) одиннадцать
в) тридцать семь
г) нуль
д)один
16. В двух карманах имеется поровну денег. Из левого в правый переложили один рубль. На
сколько рублей в правом кармане стало больше, чем в левом?
17. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось 3 четырехугольника?
18. Встретились два друга детства, не видевшиеся со школьных лет и ничего не знавшие
друг о. друге, Между ними состоялся разговор.
- Сколько лет я тебя не видел и не получал никаких новостей.
- А у меня уже дочь.
- Как ее зовут?
- Да так же, как и ее мать.
- И сколько лет твоей Йнночке?
Как один из собеседников узнал имя дочери другого?
19. Брат говорит сестре: «Если я к твоим деньгам добавлю половину моих, мы
сможем купить две плитки шоколада». «Ну, а если я к твоим деньгам прибавлю половину
моих?»- спросила сестра. «Тогда у нас будет денег только на одну такую плитку»,ответил брат. Сколько денег было у брата?
20. Хотят скорее поджарить три ломтика булки. На сковороде умещается два ломтика, причем
на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается одна минута. За какое наименьшее число
минут можно поджарить с обеих сторон три ломтика?
21. И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься пред
мои очи , я задумаю 3 цифры: а, в , с. Назовешь ты мне три числа - х , у, z. Выслушаю я тебя и скажу,
чему равно ах + ву + cz. Тогда отгадай, какие а, в, с я задумал. Не отгадаешь - голову с плеч долой».
Запечалился Иван, пошел думу думать. Надо бы ему помочь. Какие числа должен назвать Иван, чтобы
угадать задуманные Кощеем цифры?
22. Умный продавец получил для продажи несколько пачек конвертов, по сто конвертов в
пачке. 10 конвертов он отсчитывает за 10 с. За сколько секунд он отсчитает 60 конвертов? 80
конвертов?
23. В высокий цилиндрический сосуд диаметром 5 см упал мяч диаметром 4 см. Сможете ли
Вы достать мяч, не переворачивая сосуда?
24. Найти два числа, сумма которых, произведение их и частное от деления одного из них на
другое были бы равны.
25. Как быстро вычислить:
а)1+3+5+7+...+99;
б) 99+95+91+ ... +7+3-1-5- ... -89-93-97? 26.Какие целые числа от 1 до 100 при
зачеркивании последней цифры уменьшаются в целое число раз?
27. Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг с точностью до 1 кг,
помещая гири только на одну чашу весов?
28. Трем путешественникам надо было переправиться на лодке, выдерживающей массу не более
100 кг, с одного берега реки на противоположный. Андрей знал результаты своего взвешивания - 54
кг, и своего друга Олега - 46 кг. Зато дядя Миша имел массу 98 кг. Как им переправиться через
реку?
29. Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном направлении. Первый находится на 8
км впереди другого и идет со скоростью 4 км/ч, второй - 6 км/ч. У одного из путешественников есть
собака, которая именно в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала от своего
хозяина к другому путешественнику (ее скорость 15км/ч), затем она вернулась к хозяину и бегала от
одного к другому до тех пор, пока путешественники не встретились. Нужно узнать, какой путь
пробежала собака ?
30. Из двух станций, расстояние между которыми 240 км, выезжают навстречу друг другу два
автомобиля. В тоже время с одной из станций вылетает голубь со скоростью 40 км/ч и летит до
встречи со вторым автомобилем, затем он тотчас же поворачивает назад и летит до встречи с первым,
после чего он снова поворачивает и летит до встречи со вторым, после чего он снова поворачивает и
летит до встречи с первым и так далее, до тех пор, пока автомобили не встретятся. Сколько километров
пролетит голубь, считая путь его полета между станциями прямолинейным?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
ОТВЕТЫ
Число.
Запятую.
Число 12111, т.к. если к И тыс. прибавить 11 сотен и 11 единиц, то будет 12111.
Уменьшаемое оканчивается цифрой 0 , вычитаемое цифрой 5, значит, разность
оканчивается цифрой 5 .
а) после запятой стоит натуральный ряд чисел ; б) стоят квадраты чисел натурального
числа; в) кубы чисел натурального числа.
Всего 13 раз (1.11.11; 11.1.11; 11.11.11; 2.2.22; 22.2,22; 22.22.22; 3.3.33; 4.4.44; 5.5.55;
6.6.66; 7.7.77; 8.8.88; 9.9.99).
9+4+1=14
7
3 см/сек.
За сутки улитка поднимается на 2 м. За 7 суток- на 14 м. а за восьмую ночь еще на 4м.
Значит, высота липы 18 м.
Лестница на 4 этаж в три раза длиннее лестницы на 2 этаж.
а) на 9 этаже, б) в 5 раз.
Стоимость одинаковая.
Слово «объем», т.к. все они названия величин.
Слово «нуль», т.к. 4,18 ,100 и нуль -четные, а 5,1137,1-нечетные.
На 2 рубля.
Можно. Смотри рисунок.
18. Второй собеседник- женщина, которую зовут Инна
19. У него не было денег.
20. Вначале на сковородку кладут два ломтика. Через минуту один ломтик поворачивают, а второй
снимают и вместо него кладут третий ломтик, через минуту снимают первый , переворачивают
второй и кладут третий . Таким образом , за три минуты с обоих сторон поджарятся три
ломтика.
21. Назовет Иван-Царевич 1,10,100 и останется жив.
22. Чтобы отсчитать 60 конвертов, достаточно отсчитать сорок конвертов, а оставшиеся 60 отдать
покупателю. При таком методе 90 конвертов он отсчитает за 10 секунд.
23. Налить в сосуд воды. Мяч всплывет, и его можно будет достать.
24.
1
и 1.
2
25. Использовать группировку: а) (1+99)+(3+97)+(5+95)... +(49+51) , б) (99-97)+(95-93)+... +(7-5)+(31).
26. Все числа, оканчивающиеся на ноль, и двузначные числа: 11,22 ...
99,12,24,36,48,13,26,39,14,28,15,16,17,18,19.
27.1кг ,2кг ,4кг ,8кг ,16кг ,32кг.
28. Сначала в лодке переправляются Олег с Андреем, а затем Андрей возвращает лодку назад, в
которой переправляется дядя Миша. После этого лодку возвращает Олег и вместе с Андреем
переправляется к дяде Мише.
29. 60 км. Ответ не зависит от того, кому принадлежит собака, т.к. она бегала 4 часа и за это время
пробежала 60 км.
30. Аналогично. 160 км.
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДОМ ТАБЛИЦ
ЗАДАЧА 1.
Завуч школы составляет расписание уроков пятого класса. Математику
можно поставить на 2 урок или 1; русский язык на 1 или 3; историю на 2 или 3; труд на
5 и 4 уроки. Сколько вариантов расписания может составить завуч школы?
ЗАДАЧА 2
Однажды в Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят родом из
Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля
и Витя.
Москвич сидел между томичем и Витей, санкт-петербуржец -между Юрой и
Толей, а напротив него сидел пермяк и Алеша. Коля никогда не был в СанктПетербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а Томич с Толей регулярно
переписывались. Определите, в каком городе живет каждый из них?1
ЗАДАЧА 3 (двойная таблица)
Андрей, Леонид, Михаил и Вадим студенты различных факультетов:
математического, физического, исторического и биологического. Они играют на различных
инструментах: один из них пианист, другой саксофонист, третий играет на гитаре, а четвёртый
- ударник. О них известно следующее: Михаил играет на саксофоне, а Леонид на гитаре;
пианист-будущий физик, Михаил не историк; Андрей не биолог, и он не пианист, ударника
зовут не Вадим, и он не историк. Кто есть кто?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА 1
В купе одного из вагонов поезда едут 6 пассажиров, живущих в разных городах: Москве,
Харькове, Ленинграде, Минске, Киеве и Одессе. Их фамилии: Васильев, Григорьев, Андреев,
Борисов, Дмитриев и Елисеев. При посадке Васильев помогает одесситу грузить багаж. В
дороге выясняется, что Андреев и москвич - врачи; Дмитриев и ленинградец - учителя;
Васильев и минчанин инженеры. Борисов и Елисеев - участники Отечественной войны, а
минчанин в армии не служил; Андреев и харьковчанин сошли в Киеве, а Васильев поехал
дальше; Елисеев вел спор с ленинградцем о пользе нового лекарства. Определите
местонахождения каждого пассажира, а затем укажите их профессии.
ЗАДАЧА 2
В небольшом городке живут 5 друзей: Иванов, Петренко, Сидорчик, Гришин и
Алексеев. Профессии у них разные: один из них маляр, другой -мельник, третий-плотник,
четвёртый- почтальон, пятый - парикмахер. Петренко и Гришин никогда не держали в руках
малярных кистей: Иванов и Гришин все собираются посетить мельницу, на которой
работает их товарищ. Петренко и Иванов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и
Сидорчик каждое воскресенье играют в городки с плотником и малярам. Петренко брал
билеты в театр для себя и для мельника. Определите профессию каждого их друзей.
ЗАДАЧА 3
Корнеев, Докшин, Мореев и Скобелев - жители нашего городка. Их профессии - пекарь,
врач, инженер и милиционер. Корнеев и Докшин -соседи, и всегда с работы едут вместе.
Докшин старше Мореева; Корнеев регулярно обыгрывает Скобелева в пинг-понг; пекарь
всегда на работу ходит пешком; милиционер не живет рядом с врачом: инженер и милиционер
встречались единственный раз, когда милиционер оштрафовал инженера за нарушение правил
уличного движения. Милиционер старше врача и инженера Определите, кто чем занимается?
Задача 1
М
Р
и
1
+
-
2
+
-
3
+
М
Р
и
1
+
-
2
+
3
+
-
М
С-п
Н
П
т
Юра
+
-
Толя
+
-
Задача 2
коля
+
-
Алёша
+
Витя
+
-
Задача 3
А
Л
М
в
м
+
-
ф
+
и
+
-
б
+
-
с
+
-
п
+
г
+
-
у
+
-
л
+
-
мин
+
-
к
+
-
о
+
-
в
+
-
и
+
+
-
Дополнительные задачи
В
Г
А
б
д
м
-
х
+
у
+
+
Е
+
-
-
-
-
Маляр
Мельн
Плотник
почта
Пар-ер
и
+
п
+
-
с
+
-
т
+
-
Пекарь
Врач
Инж
Мил-ер
к
+
-
д
+
-
м
+
-
С
+
-
+
-
-
а
+
-
ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА-ВЕННА
Задача 1
В молодежном лагере в воскресенье должны были состояться соревнования по легкой
атлетике. Накануне этого события неожиданно пришло письмо из другого лагеря:
«Здравствуйте, дорогие ребята! Мы хотим принять участие в ваших соревнованиях. Наша
команда состоит из волейболистов, бегунов, прыгунов и метателей. Все бегуны являются прыгунами,
а все прыгуны являются или бегунами, или метателями. Но среди метателей, которые являются еще
и прыгунами, нет бегунов. Метателей у нас в два раза меньше, чем прыгунов, и на два меньше, чем
бегунов. Бегуны составляют третью часть всей команды, а волейболистов в два раза больше, чем тех
ребят, которые являются одновременно и прыгунами, и метателями.
Мы приедем в субботу вечером. Приготовьте, пожалуйста, ночлег для всей нашей
команды. Ваши друзья».
Известие о прибытии гостей было встречено с восторгом. Затруднение возникло только с их
размещением на ночлег. Нужно было знать число ожидаемых гостей, но именно об этом в письме
ничего не было сказано. Тем не менее, выяснить это все же удалось. Сколько гостей должно было
приехать?
Задача 2 (диаграммы ВЕННА)
При школе был приусадебный участок с теплицей. В субботу группа ребят работала на этом
участке. Они ремонтировали теплицу и поливали огурцы, помидоры и капусту. По окончании
работы потребовались сведения о работавших, но мнения разошлись, и узнать ничего не
удалось.
Было установлено только следующее. Ребята, ремонтирующие теплицу, не занимались
поливкой, а ребята, поливавшие овощи, не участвовали в ремонте теплицы. Никто из ребят не
поливал одновременно огурцы и капусту, но не было таких ребят, которые поливали только
помидоры. Огурцы поливало 7 человек, а помидоры - 4. Число ребят, ремонтировавших теплицу,
было на 2 меньше числа работающих ребят, поливавших огурцы. Удвоенное число ребят,
поливавших только капусту, было на 1 больше утроенного числа тех ребят, которые поливали
только огурцы. тих сведений оказалось достаточно, чтобы установить число работающих. Сколько
же ребят было в субботу на приусадебном участке?
Задача 3 (круги ЭЙЛЕРА)
В классе 37 учеников. Из них занимается в математическом кружке - 20 учеников. В
биологическом - 11 учеников. 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается
математикой? Сколько ребят посещает только один кружок?
Задача 4 (круги ЭЙЛЕРА)
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драматическом кружке, 32 поют в
хоре, 22 увлекаются спортом. В драматическом кружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в
драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в
хоре, не увлекаются спортом, и не занимаются в драмкружке?
Задача 5 (круги ЭЙЛЕРА)
Класс собирается на экскурсию. 15 ребят взяли с собой бутерброды с ветчиной. 14 - с
колбасой, 13 - бутерброды с сыром, 7 - с ветчиной и колбасой, 6 - с колбасой и сыром, 3-е ветчиной,
колбасой, сыром, 6 ребят взяли пирожки с капустой. Вместе с учениками ехал 1 руководитель.
Сколько билетов надо купить в железнодорожной кассе?
Задача 6 (диаграмма ВЕЕМА)
Мальчик рассказал своим друзьям, что бабушка принесла ему посылку с яблоками и
грушами. Некоторые из плодов были большими, остальные - маленькие. По цвету плоды тоже
различались: часть плодов была желтого цвета, остальные- зеленого. Среди плодов не было ни
маленьких груш, ни маленьких зеленых яблок. Яблок было 35, а груш - 17. Больших плодов 32.
Желтых плодов было 28. Зеленых яблок на 2 больше, чем зеленых груш. Самыми вкусными
оказались большие желтые яблоки. Ребята заинтересовались: сколько же было таких яблок? Но
мальчик этого не сказал. И тогда они сами вычислили число этих яблок. Какой у них получился
ответ?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА 1
В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по
математике - 17 человек и по физике - 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по
русскому языку - 4 человека, по математике - 4 человека и по физике - 11 человек. 7 человек имеют
«тройки» и по математике, и по физике, и по русскому языку. Сколько человек учатся без «троек»?
Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?
ЗАДАЧА 2
Из ста участников математического съезда: 49 владеют русским языком, 46 - английским,
31 - немецким, 21 - русским и английским, 17 - английским и немецким, 13 - русским и немецким,
5 - всеми тремя языками. Сколько участников съезда не владеют ни одним из этих языков?
Задача 3
Пол комнаты площадью 12 кв. м покрыт тремя коврами. Площадь одного ковра 5 кв. м,
другого - 4 кв. м, третьего - 3 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 2 кв. м, причем 1
кв. м из этих двух приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какова площадь
пола, не покрытая коврами? Какова площадь участка, покрытого одним только первым ковром?
Задача 4
Несколько кубиков мы склеили из картона, а остальные сделали из дерева. Кубики были
только двух размеров: большие и маленькие. Когда кубики были изготовлены, мы их покрасили:
несколько кубиков в зеленый цвет, а остальные - в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Из
них зеленых большого размера было 6; больших зеленых кубиков из картона было 4. Красных
кубиков из картона было 8, а красных кубиков из дерева 9. Больших деревянных кубиков было 7, а
маленьких деревянных было 11. Сколько было маленьких зеленых кубиков из картона и из дерева?
Задача 5
Комплексная бригада строителей состояла из каменщиков, печников, штукатуров и
разнорабочих (т.е. подсобных рабочих без квалификации). Все печники были каменщиками, а среди
тех каменщиков, которые были еще и печниками, не было ни одного, который был бы еще и
штукатуром. Все каменщики, которые были еще и штукатурами, владели к тому же еще и
специальностью печника. Были и такие штукатуры, которые никакими другими специальностями не
владели. Кроме того, оказалось, что:
1) рабочих, владеющих только одной специальностью, было
столько же, сколько было разнорабочих;
2) сумма удвоенного числа тех рабочих, которые были штукатурами, и утроенного
числа тех рабочих, которые были только каменщиками, равна 15;
3)
число рабочих, владевших только специальностью каменщика, было в 5 раз меньше суммы
числа 9 и утроенного числа тех рабочих, которые владели всеми тремя специальностями.
Сколько рабочих было в этой бригаде?
Дополнительные задачи
1. Ответ: 4 2. Ответ: 20
3. Ответ: 5 4. Ответ: 4 5. Ответ: 10
4
5.
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ к РЕШЕНИЮ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА 1
Три друга ;Алеша, Поря и Володя—учатся в разных школах города 11овгорида (школах №1, №
8, № 30). все они живут на различных улицах ( улица Рогатица. улица Газон и улица Ломоносова).
Причем один из них любит математику, второй биологию, а третий химию. Известно, что: 1)Алеша
не живет на ул. Рогатица. а Борис не живёт на ул. Газон; 2) мальчик, живущий на ул. Рогатица не
учится в школе .№30; 3) мальчик живущий на ул. Газон учится в школе № I и любит математику;
4)Володя учится в школе № 30; 5)ученик школы № 30 не любит химию. В какой школе учится каждый
из друзей, на какой улице живет и какой предмет любит;
ЗАДАЧА 2.
Выписать в ряд цифры от I до 9 так, чтобы число, составленное из двух цифр делилось бы
на 7 или 13.
ЗАДАЧА 3
В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина,
Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе (каждый из участников играет
каждым из остальных один раз). К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей
сыграл с Парисом, Галиной. Пленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор
— с Галиной, Дмитрием и Пленой; Галина — с Андреем и Борисом; Дмитрий - с Виктором и Плена с
Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
ЗАДАЧА 4
Город Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на берегах и двух островах реки Прегель
(Прегоин). Различные части города были соединены семью мостами, как показано на рис.1. В
воскресные дни горожане совершают прогулки по городу. Можно выбрать такой маршрут чтобы
пройти один и только один раз по каждому мосту и потом вернуться в начальную точку.
ЗАДАЧА 5
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по какому ребру дважды, нарисуйте граф,
изображенный на рис.2. Занумеруйте ребра в той последовательности, в которой вы их проходили.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ЗАДАЧИ
1) Расположите числа от 1 до И) по кругу так, чтобы сумма рядом стоящих чисел! не делилась
на 3, 5 и 7.
2) Муха забралась в банку из-под сахара. Панка имеет форму куба. ('может ли муха
последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру.
Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.
3) Можно ли не отрывая карандаша начертишь следующие фигуры (рис.3).
4) Каждая вершина правильного шестиугольника соединяется с каждой из остальных вершин
красным или синим отрезком. Докажите, что всегда найдется треугольник со сторонами
одного цвета.
5) Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое, друг с другом знакомых,
либо трое, друг с другом не знакомых.
Рис. 1
с
рнс.2
рис.З
ЗАДАЧА 1
Три друга: Алеша, Боря и Володя учатся в разных школах города Новгорода
(школах №1, № 8, № 30). Все они живут на различных улицах ( улица Рогатица, улица
Газон и улица Ломоносова). Причем один из них любит математику, второй биологию, а третий химию. Известно, что: 1)Алеша не живет на ул. Рогатица, а
Борис не .живет на ул. Газон;
2) Мальчик,живущий на ул. Рогатица, не учится в школе № 30;
3) мальчик, живущий на ул Газон, учится в школе № I и любит математику; 4)Володя
учится в школе № 30;
5)ученик школы № 30 не любит химию.
В какой школе учится каждый из друзей, на какой улице живет и какой предмет
любит?.
Решение
Борис
Алеша
Володя
ул. Рогатица № 8
ул.Газон
№1
ул. Ломоносова № 30
химия
математика
биология
ЗАДАЧА 2
Выписать в ряд цифры от 1 до 9 так. чтобы число, составленное из двух цифр
делилось бы на 7 или 13.
Решение
1) выбираем направление обхода
2) первой цифрой выбираем 7
Ответ: 784913526
ЗАДАЧА 3
В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис,
Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе
(каэ/сдый из участников играет каждым из остальных один раз). К настоящему
моменту некоторые игры улсе проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой;
Борис, как улсе говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор — с Галиной,
Дмитрием и Еленой; Галина — с Андреем и Борисом; Дмитрий — с Виктором и Елена
— с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько
еще осталось?
Решение
Проведено 7
Осталось 8
ЗАДАЧА 4
Город Кёнинсберг (ныне Калининград) распололсен на берегах и двух островах
реки Прегелъ (Преголи). Различные части города были соединены семью мостами, как
показано на рис. 1. В воскресные дни горожане совершают прогулки по городу.
Молено выбрать такой маршрут .чтобы пройти один и только один раз по калсдому
мосту и потом вернуться в начальную точку.
Решение
Нет, так как у этого графа более двух вершин нечетной кратности
ЗАДАЧА 5
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по какому ребру дважды,
нарисуйте граф, изображенный на рис.2. Занумеруйте ребра в той последовательности,
в которой вы их проходили.
Решение
Можно построить, так как в каждой вершине сходится четное число ребер и только в двух
сходится три. Значит их возьмем за начало и конец.
О. Граф называется связаным если двигаясь вдоль рёбер, можно из любой его вершины
попасть в любую другую.
О. Если в каждой вершине связного графа сходится чётное число рёбер, то такой граф
называется "Эйлеров".
1) Всякий эйлеровый граф допускает непрерывный замкнутый обход (такой путь в теории
графов называется циклом), проходящий по каждому ребро равно один раз.
2) если требуемый условием обход графа существует, то все его вершины ых разбиваются на
два класса: вершины, в которых начинается или заканчивается обход -таких вершин может
быть не более двух, и все прочие вершины. В каждой из вершин второго класса должно
сходится чётное число рёбер. Значит вершины, в которых сходится нечётное число ребер
"годятся" только на то, чтобы служить начальной или конечной точкой обхода.
3) невозможно начертить граф, если у него более двух вершин нечётной кратности
(кратностью вершин называют число рёбер, сходящихся в одной вершине)
Принцип Дирихле
«Клетки» и «зайцы». При решении задач на «доказательство» часто бывает,
полезен так называемый «принцип Дирихле». В самой простой и несерьезной
форме он выглядит так: «Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так,
чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев». Действительно,
если в каждой клетке не больше двух зайцев, то всего зайцев не больше чем 2 х
3 = 6, что противоречит условию. Сейчас мы решим несколько задач, выбирая
каждый раз подходящих «зайцев» и строя соответствующие «клетки».
ЗАДАЧА 1
В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а
остальные - меньше. Докажите, что, по крайней мере 3 ученика сделали
ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок).
Решение
Здесь «зайцы» - ученики, «клетки» - число сделанных ошибок. В клетку
0 «посадим» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна
ошибка, в клетку 2 - две... и так до клетки 13, куда попал один Саша
Иванов.
Теперь применим принцип Дирихле
Докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три
ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, т.е. в каждую из «клеток» 0,
1, 2, ..., 12 попало меньше 3 школьников. Тогда в каждой из них два человека
или меньше, а всего в этих 13 клетках не более 2x13 = 26 человек. Добавив
Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие.
Следовательно, утверждение задачи верно, по крайней мере, трое
учеников сделали поровну ошибок.
ЗАДАЧА 2
Пусть в классе 41 человек, а не 30, а все остальные условия, как в задаче
1. Докажите, что найдутся четверо, сделавшие одинаковое число ошибок.
Решение
На 13 «клеток» - для сделавших 0 ошибок, 1 ошибку, ..., 12 ошибок, приходится 40 учеников. Если бы в каждой «клетке» было не более трех
учеников, их всего было бы не более 3 х 13 = 39.
ЗАДАЧА 3
В Москве живет около 8,3 миллиона жителей, на голове у каждого не более
100 000 волос. Докажите, что в Москве есть, по крайней мере 80 человек с
одинаковым числом волос на голове.
Решение
Построим 100 001 «клетку» для тех, у кого на голове нет волос вообще
(0 волос), для тех, у кого на голове ровно 1 волос, ровно 2 волоса, ..., ровно 100
000 волос. Распределим население города по «клеткам» (мысленно,
разумеется). Если бы в каждой «клетке» находилось не более 80 человек, то
всего в городе было бы не более 80 х 100 001 — 8 000 080 человек. Ясно, что
утверждение задачи можно усилить - есть, по крайней мере 82 человека с
одинаковым числом волос на голове.
ЗАДАЧА 4
На Земле живет более 4 миллиардов человек. Известно, что среди них не
более 1% людей старше 100 лет. Докажите, что найдутся два человека, которые
родились в одну и ту же секунду.
ЗАДАЧА 5
В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл.
Докажите, что, по крайней мере у двух елей число игл одинаково.
ЗАДАЧА 6
В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у
которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?
ЗАДАЧА 7
В классе 26 учеников. Можно ли утверждать, что в нем найдутся хотя бы два
ученика, фамилии которых начинаются на одну и ту же букву? Как ответить на
этот вопрос, если в классе 40 человек?
ЗАДАЧА 8
В одном из классов школы 23 ученика. Можно ли утверждать, что в этом
классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и
той же буквы у? А если бы в классе было 35 учеников?
ЗАДАЧА 9
В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в
котором не мене 35 учащихся?
ЗАДАЧА 10
99 лошадей разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной
конюшне будет обязательно нечетное число лошадей?
ЗАДАЧА 11
У каждого из 5 мальчиков было не менее одного шара, а всего у них
было 7 шаров. Мог ли кто-либо из них иметь: 3 шара? 4 шара?
ЗАДАЧА 12
У мальчиков 9 медных монет. Докажите, что у него есть хотя бы 3
монеты одинакового достоинства.
ЗАДАЧА 13
Почтовое отделение приняло от населения 200 посылок с яблоками.
Известно, что ящик не может вмещать более 60 яблок. Докажите, что, по
крайней мере 4 посылки содержат одинаковое число яблок
ЗАДАЧА 14
Работая в колхозном саду на уборке урожая (фруктов), школьники
собрали 22 ящика, в одних из которых-яблоки, в других - груши, в третьих сливы. Можно ли утверждать, что имеется, по крайней мере, 8 ящиков,
содержимое которых один из указанных видов фруктов?
ОТВЕТЫ
6
Да.
7
Нет..
8
Предположим, что в каждом классе меньше, чем 35 учеников, то всех
учеников было бы не более 34x33=1122. В действительности же в школе 1150
учеников. Значит, допущение не верно; есть класс, в котором не менее 35
учеников.
10
Если бы в каждой конюшне было бы по четному числу лошадей, то общая
их сумма была бы четным числом, а не 99.
1
а) Да, б) Нет.
12
Всего различных монет 4. Пусть мальчик имеет набор из двух монет
каждого вида, всего будет 8. Оставшаяся монета из 9 имеющихся будет
третьей монетой одного из видов. Значит, у мальчика есть хотя бы 3 монеты
одинакового достоинства.
13
Так как ящик не может вмещать более 60 яблок, то в ящике может быть от I
до 60 яблок. Три группы таких посылок дают 180 посылок. 20 посылок
составят 4ю группу, в которой обязательно есть четвертая посылка с
одинаковым числом яблок.
14
Рассмотрим самый неблагоприятный случай. Пусть имеются 7 ящиков с
яблоками, грушами и сливами. Это составит 21 ящик. Если 22 ящик будет с
яблоками, то яблок 8 ящиков; если этот ящик с грушами, то груш 8 ящиков,
если же этот ящик со сливами, то слив 8 ящиков. В иных случаях будет больше
8 ящиков, содержимое которых составляет один из трех видов фруктов.
МЕТОД ИНВАРИАНТА
ИНВАРИАНТ - свойство данной задачи, которое при выполнении
условия не изменятся.
АЛГОРИТМ
1. Поиск инварианта и фиксация
2. Доказательство от противного
3. Противоречие с инвариантом
ЗАДАЧА 1
Некоторые из 15 листов бумаги разрезали на 10 частей, затем некоторые из
получившихся листов еще разрезали на 10 частей и так далее несколько раз. Когда
подсчитали общее число получившихся листов бумаги, их оказалось 1963. Докажите,
что подсчет произведен не верно.
ЗАДАЧА 2
На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он
срывает два фрукта, и на их месте, если он срывает два одинаковых фрукта, то
вырастает апельсин, а если он срывает два разных плода, то вырастает банан. Каким
может оказаться последний фрукт на этом дереве?
ЗАДАЧА 3
Витя и Коля по очереди берут камни из кучи, содержащей 100 камней. За один раз
каждому разрешается брать либо ровно 1 камень, либо ровно 3 камня. Кто из них
возьмет последний камень, если начинал Витя?
ЗАДАЧА 4
На доске написаны числа 1, 2, 3, .... 1981. За один ход разрешается стереть любые два
числа и вместо них написать их разность. Через 1980 шагов на доске останется одно
число. Может ли оно равняться 0?
ЗАДАЧА 5
Расположите числа 3, 6, 9, .............. 24 в таблице размером 3x3 так,
чтобы сумма чисел в каждой строке и столбце была одна и та же.
ЗАДАЧА 6
Можно ли выбрать пять чисел из таблицы, сумма которых равна была 20?
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
ЗАДАЧА 7
На доске записаны числа 1, 2, 3, ................ 101. Стирают два
произвольных числа и записывают разность стертых чисел. Повторяют эту операцию
100 раз и в результате получают число Р. Докажите, что Р отлично от 0.
ЗАДАЧА 8
100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, расположенные через одну, можно менять
местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?
ЗАДАЧА 9
Квадрат размером 5x5 заполнен числами так, что произведение чисел, стоящих в каждой
строке, отрицательно. Докажите, что в некотором столбце произведение отрицательно.
ЗАДАЧА 10
Володя написал на доске 1 *2*3 * ................ *9=21. Поставив вместо
звездочки либо «+», либо «-», Саша изменил некоторые знаки на противоположные, а в
результате вместо 21 написал 20. Докажите, что один из мальчиков допустил ошибку.
ЗАДАЧА 11
На экспериментальном дереве выросли 20 бананов и 35 апельсинов. Если садовник
срывает два одинаковых фрукта, то вместо них вырастает один банан, а если два
различных - апельсин. Какой плод на дереве останется последним?
ЗАДАЧА 12
Даны три числа: 2; 1+2; 1-2
а) За
один
ход
разрешается
написать
новые
три
числа,
заменив
каждое из исходных чисел полусуммой двух других чисел. Можно
ли, проделав эту операцию несколько раз, прийти к набору: 1; 2+2;
2-2.
б) За один ход разрешается любые два из них заменить суммой,
деленной на 2, и разностью, деленной на 2, оставив третье число
неизменным.
Можно
ли,
проделав
эту
операцию
несколько
раз,
прийти к набору: 1; 2;
1
2
?
В ЗАДАЧАХ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ ИЛИ ШАХМАТНОЙ
ДОСКЕ ИСКАТЬ ИНВАРИАНТ ПОМОГАЕТ РАСКРАСКА
(естественная или специальная)
ЗАДАЧА 1
Можно ли ходом шахматного коня обойти всю шахматную доску так, чтобы, начав с левого
нижнего угла, закончить в правом верхнем и побьшать при этом на каждой клетке ровно один
раз?
ЗАДАЧА 2
Из шахматной доски 8x8 вырезана одна угловая клетка. Можно ли оставшуюся
часть покрыть без наложений прямоугольниками, составленными из трех клеток?
ЗАДАЧА 3
У шахматной доски 8x8 вырезаны левая верхняя и правая нижняя угловые клетки.
Можно ли ее замостить косточками домино,
покрывающими ровно две клетки доски, так, чтобы без наложений друг на друга покрыть
всю такую доску?
ЗАДАЧА 4
Мышка грызет сыр, который имеет форму куба. Сыр разбит на 27 ед. кубика. Когда
она съедает один кубик, она переходит к другому через грань. Может ли мышка съесть все
кубики, кроме центрального?
ЗАДАЧА 5
В одной клетке доски 5x5 сидит жук. Затем жук переползает на соседние по стороне
клетки. Доказать, что осталась хотя бы одна пустая клетка.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧМЕТОДОМИНВАРИАНТА,
где надо ввести систему координат
1. Три кузнечика играют в чехарду: если кузнечик из точки А прыгнет через кузнечика в
точку В, то он оказывается в точке С, симметричной точке А относительно В. В исходном
положении кузнечики занимают три вершины квадрата. Могут ли они, играя в чехарду,
попасть в его четвертую вершину?
2. В каждой из вершин равностороннего треугольника сидит кузнечик. В некоторый
момент времени какой-либо из кузнечиков, выбрав некоторую точку на прямой,
соединяющей двух других кузнечиков, прыгает в точку, симметричную относительно
выбранной. Могут ли кузнечики через некоторое время оказаться в вершинах
прямоугольного треугольника, длины катетов которого целые числа, если стороны
исходного треугольника целые число.
Инвариант
А)
1) Делимость на 3.
2) Нечетность числа бананов.
3) Нечетность числа оставшихся камней после хода вити.
4) Нечетность суммы чисел записанных на доске.
5) Сумма чисел в строке, столбце.
6) Нечетность суммы пяти любых чисел.
7) Нечетность числа р.
9) нечетность количества минусов в таблице.
10) нечетность суммы.
15) а) сумма чисел после каждого хода равна 4.
в) сумма квадратов целое число.
Б)
1) каждый ход коня меняет цвет поля на противоположный.
2) Раскрасим в три цвета. Инвариант: количество цветов разное.
3) Вырезанные клеточки одного цвета.
4) Раскрасим в шахматном порядке.
Инвариант: разность между черными и белыми кубиками равна 2.
В) одна из координат всегда четная
ЗАДАЧИ НА
ПЕРЕЛИВАНИЕ И ВЗВЕШИВАНИЕ
ЗАДАЧА 1
Среди восьми монет одинаковой стоимости имеется одна фальшивая,
имеющая меньший вес. Найти эту монету при помощи двух взвешиваний на
чашечных весах без гирь.
ЗАДАЧА 2
Имеется 9 одинаковых пластинок, но одна из них более легкая. Найдите эту
пластинку с помощью двух взвешиваний на двух чашечных весах без гирь.
ЗАДАЧА 3
.Среди 20 одинаковых на вид монет есть одна фальшивая, которая легче, чем
настоящая. С помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь определить
фальшивую монету.
ЗАДАЧА 4
.Среди 27 монет одна фальшивая. По виду се отличить от остальных
невозможно. Определить фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах
с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая.
ЗАДАЧА 5
Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем все
остальные, имеющие одинаковый вес. При помощи 4 взвешиваний на чашечных весах
без гирь найти фальшивую монету.
ЗАДАЧА 6
Король ждет, когда каждый из 30 его вассалов, как и в предыдущие годы,
преподнесет ему 30 золотых монет. Но король знает, что один из них имеет
прискорбную привычку вручать монеты не в 10 г, как положено, а в 2 г. Как с
помощью одного единственного взвешивания король может обнаружить виновного,
чтобы отрубить ему голову, если последний и на этот раз осмелится обмануть своего
сюзерена?
ЗАДАЧА 7
Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета
отличается по весу от настоящей, но неизвестно, легче она или тяжелее. Настоящие
монеты все одного веса. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь
выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее
остальных.
ЗАДАЧА 8
Бидон, емкость которого 10 л, наполнен молоком. Требуется перелить из
этого бидона 5 л в 7-ми литровый бидон, используя при этом один бидон, вмещающий
3 л.
ЗАДАЧА 9
Можно ли с помощью двух сосудов емкостью 9 и 11 л набрать из крана 10 л
воды?
ЗАДАЧА 10
В бочке находится не менее 13 ведер бензина. Как отлить из нее 8 ведер с
помощью 9-ти ведерной и 5-ти ведерной бочек?
ЗАДАЧА 11
В пакете содержится 9 кг крупы. Попробуйте при помощи чашечных весов с
гирями 50 и 200 г распределить всю крупу по двум пакетам: в один 2 кг, а в другой 7
кг, при этом разрешается произвести только три взвешивания.
Ответы
3
Положим по 9 монет на каждую чашу весов, а две положим в стороны. Если весы
в равновесии, то одним взвешиванием определяем фальшивую монету среди
отложенных двух монет. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета находится
так: берем по три монеты с более легкой девятки и положим на чашки весов. Если
сейчас весы в равновесии, то фальшивая монета в оставшейся тройке и находится
одним взвешиванием. Если же одна чаша перевесила, то фальшивая монета находится
в другой чаше. То же определяем одним взвешиванием, кладя по одной монете на
каждую чашу.
4
Надо разбить данную кучку в 27 монет на три кучки по 9 монет в каждой.
Одним взвешиванием определяем самую тяжелую кучку из 9 монет, которую
разбиваем на три кучки по три монеты. Вторым взвешиванием определяем самую
тяжелую кучку из трех монет, а третьим взвешиванием из самой тяжелой кучки в три
монеты выделяем фальшивую монету.
5
Указание. Нужно разделить 80 монет на три группы в 27,27 и 26 монет. На
каждую чашу весов положим по27 монет. Если весы будут в равновесии, то
фальшивая монета находится среди оставшихся 26. Если весы не будут в равновесии,
то фальшивая монета находится в более легкой кучке монет. В первом случае 26 монет
следует разделить на три части: 9 монет, 9 монет и 8 монет и т.д.
6
Достаточно взвесить (30х31)/2=465 монет, среди которых одна монета взята из
приношений первого вассала, две монеты из приношений второго, три монеты-
третьего,... наконец; 30 монет взяты из приношений 30 вассала. Если все монеты весят
по 10 г, то если виновных нет, то общий вес всех монет равен
10x(l+2+3+...+30)=10x30x(30+l)/2=4650 г. Если вес монет окажется меньше этой
величины на один грамм, то виновен первый вассал. Если вес окажется меньше, чем
4650 г. на 2 г. - то виновен второй вассал и т.д. Если вес всех монет окажется равным
всего лишь 4650-30=4620 г., то виновен тридцатый вассал.
7
При первом взвешивании поместите на каждую чашку весов по 4 монеты.
8
10л. 3 3 6 6 9 9 2 2
7 л.
74411075
Зл.
03030113
9
Проведем следующие операции: из крана наполним сосуд А емкостью 11л., из
него наполним сосуд Б емкостью 9л. Выльем воду из Б и перельем из А в Б оставшиеся
2 л. воды. После этого сосуд А окажется пустым, а в сосуде Б будет два литра. Проведя
эти же операции еще три раза, мы получим пустой сосуд А и 8л. В сосуде Б. Теперь из
крана наполним сосуд А и из него дополним сосуд Б, в сосуде А останется 10 л. воды.
ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С КОНЦА.
ЗАДАЧА 1
Я задумал число, прибавил к нему 1,умножил сумму на 3, произведение разделил на 3 и отнял от
результата 4.Получилось 5.Кккое число я задумал.
РЕШЕНИЕ
1)5+4=9
2)9X3=27
27:3=9 91=8
ОТВЕТ:8
ЗАДАЧА 2
У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ
черт предложил: «Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги
удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24». Три раза проходил
лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?
РЕШЕНИЕ
1)0+24=24 2)24:2=12
3)12+24=36 4)36:2=18 5)18+24=42
6)42:2=21
ОТВЕТ:21
ЗАДАЧА 3
Над цепью озер летела стая гусей, на каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся и т.д.
Последний гусь сел на 7 озере. Сколько гусей летело?
РЕШЕНИЕ
1)(0+1/2)Х2=1
2) (1+1/2) X 2 =3
3) (3+1/2)Х2=7
4) (7+1/2)Х2=15
5)(15+1/2)Х2=31
6)(31+1/2)Х2=63 7)(63+1/2)Х 2=127
ОТВЕТ: 127
ЗАДАЧА 4
Трое мальчиков имеют по некоторому числу яблок. Первый из мальчиков дает другим
столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет, в свою очередь второй, а потом и третий
дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у
каждого из мальчиков, оказывается по 8 яблок. Сколько было яблок вначале у каждого
мальчика?
ЗАДАЧА 5
Для Вани, Нины и Миши были куплены яблоки, которые они должны поделить поровну.
Первым пришел Ваня, сосчитал яблоки и, взяв третью часть, ушел. Потом пришла Нина и
сделала то же самое. Наконец, пришел Миша и взял себе третью часть оставшихся яблок.
После этого осталось 8 яблок. Сколько яблок было куплено?
ЗАДАЧА 6
В трех сосудах налита вода. Если 1\3 воды из первого сосуда перелить во второй, затем 1\4
воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и,наконец,1\10 воды, оказавшейся в
третьем сосуде, перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 9 литров. Сколько литров
воды было в каждом сосуде первоначально?
ЗАДАЧА 7
Три сестры разделили полученные сливы следующим образом. Первая взяла 1\3 всех слив и 8
штук, вторая взяла 1\3 остатка и еще 8 штук, третья 1\3 остатка и оставшиеся 8 штук. Сколько
слив получила каждая сестра.
ОТВЕТЫ
4)У первого мальчика- 13 яблок, у второго-7 яблок, у третьего-4 яблока.
5)27 яблок.
6)12литров,8 литроа,7 литров. После третьего переливания стало 9л,9л,9л.3начит до него
было 8л,9л,10.До второго переливания было 8л,12л,7л. До первого переливания:
12л,8л,7л.
ПРАВИЛО «КРАЙНЕГО»
В ряде случаев, особенно в задачах, где неизвестные в том или ином смысле равноправны, бывает
удобно рассматривать экстремальные по отношению к некоторому свойству элемент ( самый левый,
самый верхний, самый длинный, наибольший, наименьший и т.д ) и тем самым нарушить
равноправия .Другими словами упорядочит элементы.
Если речь в задаче идет о множестве точек на прямой, то правило « рассмотри крайнее» советует нам
сосредоточить свое внимание на самой крайней точке множества, самой левой или самой правой.
Если в задаче фигурирует некоторый набор чисел, то правило « крайнего» рекомендует рассмотреть
наибольшее или наименьшее из этих чисел.
Развитием идеи « крайнего» является правило расположения, которое приблизительно звучит так
«Расположите элементы исследуемого множества (данные задачи) в определенном порядке (в порядке
убывания, или в порядке возрастания, или еще как-нибудь).
ЗАДАЧА 1
Множество точек обладает тем свойством, что каждая его точка является серединой отрезка,
соединяющего две другие точки этого множества. Доказать, что данное множество бесконечно, если
оно лежит
а)
на прямой; б)
на плоскости.
решение (от противного)
Обозначим множество через М и предположим, что оно конечно. Применим правило « крайнего»:
если множество М, конечно, то среди его точек есть самая левая и самая правая. Рассмотрим,
например, самую левую( пусть точка А). Точка А крайняя и поэтому не может лежать внутри отрезка,
соединяющего две другие точки множества М, а значит А не принадлежит М. Получим
противоречие. Значит М бесконечно.
ЗАДАЧА 2
На бесконечной клетчатой бумаге в каждой клетке написано натуральное число так, что оно равно
среднему арифметическому своих четырех соседей. Доказать, что все числа на этой бумаге равны
между собой.
РЕШЕНИЕ
(ОТ ПРОТИВНОГО) Обозначим через М множество и предположим, что оно конечно. Применим
правило « крайнего» рассмотрим самую левую точку. Но так как их много ( дана плоскость), то
рассмотрим самую левую и нижнюю. Обозначим ее через А. Точка А не может лежать внутри отрезка,
соединяющего две другие точки множества М, а значит А не принадлежит М. Противоречие. М бесконечно.
ЗАДАЧА 3
Можно ли 44 монеты разложить по 10 кошелькам так, чтобы любые два из них содержали различное
число монет. (Считаем, что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет - ноль)
решение (от противного)
Предположим, что можно разложить 44 монеты по 10 кошелькам так, чтобы
любые два из них содержали различное число монет.
кошелек
монеты
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9
В10 кошельках получаем 45 монет 45>44 . Следовательно, предположение не верно, значит, в какомто из двух кошельков будет одинаковое количество монет. Ответ: не можно
ЗАДАЧА 4
Семь друзей собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое не собрали одинаковое количество
грибов. Доказать, что трое из них собрали не менее половины всех грибов.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ГОЛОВОЛОМКИ И РЕБУСЫ
а)
УДАР
+ УДАР
ДРАКА
РЕШЕНИЕ У больше или равно 5, А - четное число А<5 (в противным
случаи 2А>10 и при суммировании чисел сотен получилось бы нечетное число), А=2, К=4, Р=6,
Д=1.
ОТВЕТ:8126+8126=16252
б)
ВОБЛА
+
ВОБЛА
ПЛОТВА
в)
г)
КОКА
+ КОЛА
ВОДА
ОТВЕТ: 69730+69730=139460
ОТВЕТ:3930+3980=7910
ЛЕТО
+
ЛЕТО
ПОЛЕТ
РЕШЕНИЕ
Выделим два слога О и ЛЕТ. Обозначим ЛЕТ через А АО
+АО
ЮА
2 х 10А + 2 х 0=10000 + О х ЮОО + А 19А=ЮООО + 998 хО
А=894, 0=7
ОТВЕТ:8947+8947=17894
д) ПЧЕЛКА
х
7
жжжжжж
Е) **
х 8
96
З) 1*
х 8*
______
***
+ **
______
****
и) 126
х **
____
***
+****
______
1*2*6
ОТВЕТ: 142857 х 7 =999999
ж) **7
х *
*36
ОТВЕТ:12х8 = 96
к) 14** *7
- **5 **
___
**
- *1
___
0
ответ: з) 12*89=1068;
ОТВЕТ: 117x8=936
и) 126*81=10206; к)1431:27=53.
Л) дымка ка
- дар
мак
ямк
- ока
ама
- ама
0 ответ: 19275:75 =257
м) Сумма трех чисел равна4426. Если в большем зачеркнуть цифру десятков, то получится второе число. Если
в большем зачеркнуть цифру единиц, то получится третье число. Найдите эти числа.
ОТВЕТ:3689,369,368.
н) Ниже даны числа, расположеные в соответствии с определенной закономерностью. Установите эту
закономерность и найдите недостающие числа, которые следует записать вместо знака вопроса.
1)14 9 5
24 19 5
21 7?
4)26 44 29
6 8 7
14 28 ?
2) 23 7
895
57?
3)16 28 4158
21 33 46 ?
5) 9 4 20
75 8
76 ?
6)84 8188
12 9 11
14 18?
ОТВЕТЫ: 1)14; 2)6; 3) 63; 4)15; 5)4; 6)16
о) Вместо кружков поставьте все цифры от 1 до 9 включительно так, чтобы выполнялись указанные
равенства (читать следует слева направо и сверху вниз )
о
-
о
=
О
:
О
=
о
=
О
о
х
о
=
о
9
-
1
=
6
:
3
=
2
=
7
5
х
4
=
8
п) Расставьте числа от 1 до 8 в кружках фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы числа
в кружках, соединенных отрезками, отличались не меньше, чем на 2 .
0_________0
4_________6
/
\
/
\
0----0 ----------------0---0
7--- 1---------------- 8---2
\
/
\
/
0 -------------------0
3 -------------------5
р)Заменитьбуквы цифрами так, чтобыравенство БАРС = (Б+А+С)4 оказалось
верным?
РЕШЕНИЕ Так как четвертая степень числа а = Б+А+С
является четырехзначным числом, то само число а не меньше 6 и не болыне9, так что БАРСОДНО ИЗ ЧИСЕЛ 1296, 2401,4096, 65 61.Из этих чисел только второе удовлетворяет
требуемому условию, так что Б=2, А=4, Р=0, С=1.
ШАХМАТЫ, ФУТБОЛ.
Рассматривается класс логических задач, связанных с выяснением итогов некоторых турниров. В задачах
этого класса приводятся неполные данные об итогах проведенных спортивных встреч и требуется путем
логических рассуждений получить полные решения.
Решая задачу о шахматном или футбольном турнире, нужно знать основные положения о таких турнирах.
Так, в шахматном турнире победитель игры в партии получает одно очко, ничейный исход оценивается для
каждого игрока в 0,5 очка, а проигравшему записывается 0 очков. В шахматном турнире участники,
набравшие одинаковое количество очков делят между собой соответствующие места. Если в шахматном
турнире участвуют п шахматистов, то турнирная таблица представляет собой таблицу, содержащую п х п
клеток. Изобразим таблицу, в которой участвуют пять шахматистов: А, Б, В, Г, Д.
А
Б
В
Г
д
кол-во
очков
МЕСТО
А
X
Б
X
1
X
В
Г
0
X
Д
X
Диагональные клетки заштрихованы т.к ни один участник турнира не играет сам с собой.
Если выигрывает Б, то Г проигрывает (Б-1 очко, Г-0 очков). В случае ничейного исхода
встречи в указанных клетках записывается по 0,5 . Количество очков в каждой строке
таблицы суммируется, и место в итоге турнира располагается в соответствии с
набранным количеством очков.
В футбольном (хоккейном) турнире команда победитель получает 2 очка. Ничейный исход
оценивается для каждой команды
в одно очко, а поражение - в 0 очков. При распределении мест в случае равенства очков в
двух командах во внимание принимается разница забитых и пропущенных голов.
ЗЕНИТ СПАРТА ДИНАМ АВАНРАР кол-во СООТНОШЕН МЕСТО
К
О
Д
очков ИЕ ПРОП. И
ЗАБ. ОЧ.
ЗЕНИТ //////
3:1
СПАРТАК
//////
ДИНАМО 1:3
///////
АВАНГАР
НИШ
Д
ЗАДАЧА 1
Шесть шахматистов: А, Б, В, Г, Д, Е сыграли между собой по одной партии. А сыграл все
партии вничью. Б не выиграл ни одной партии. В не выиграл у победителя соревнования и
сыграл вничью с Д. Г обогнал Д, но отстал от Е. Кто сколько очков набрал и какое место
занял?
РЕШЕНИЕ
Используя данные задачи, сформулированные в явном виде: во всех клетках, связанных с
А, нужно поставить по 0.5 очка и отметить ничью в игре между Б и Д.
Установим победителя турнира. Это не А ( по количеству очков), не Б (он не выиграл ни
одной партии), не В (он выиграл у победителя), не Г( он отстал от Е),и не Д( его обогнал
Г) .Следовательно, победителем является Е. И он по условию задачи проиграл В. Значит,
в последней клетке горизонтали В нужно поставить!, а в третьей клетке горизонтали Е
поставить 0.
Как сыграли Е и Б ?. Б не выиграл у Е (иначе у Е было бы 2.5 очка, и он не мог бы стать
победителем).Но по условию задачи Б не проиграл Е.Значит, они сыграли вничью, и
поэтому в соответствующие клетки нужно поставить по 0.5.
Чтобы Е был победителем, он должен набрать не менее трех очков, то есть больше, чем
набрал А.Но тогда Е выиграл у Г и Д, и поэтому в горизонтали Е в четвертой и пятой
клетках следует поставить 1, а в шестой клетке горизонталей Г и Д-0. По условию задачи Б
не проиграл ни одной партии. Но тогда у него не меньше 2,5 очков. У него не может быть
больше 2,5 очков, иначе он догонит победителя. Значит, у Б 2.5 очка, а это значит, что он все
партии сыграл вничью. Таким образом, во всех клетках горизонтали и вертикали Б должно
стоять 0.5. Теперь ясно, что В проиграл Г, в противном случае у него будет больше, чем 2.5
очка.
Так как Г обогнал Д, то Д не мог выиграть у Г, иначе у Д будет 2,5очка, а у Г-2 очка. Но и
Г не мог выиграть у Д, иначе он догоняет победителя. Значит, Г и Д сыграли вничью.
Внося теперь в таблицу данные и о выигрыше В и Г, и о ничейном результате между Г и Д,
мы получим ответы на все вопросы, поставленные в задаче.
А
А
Б
В
Г
д
Е
Б
В
Г
Д
Е
Кол-во место
очков
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2,5
2-5
////// 0,5
0,5
0,5
0,5
2,5
2-5
/
0,5
//////
0
0,5
1
2,5
2-5
0,5
1
////// 0,5
0
2,5
2-5
0,5
0,5 / 0,5 //////
0
2
4
0,5
0
1
1
//////
3
1
/
ЗАДАЧА 2
Недавно я нашел прошлогоднюю таблицу хоккейного турнира между шестыми
классами нашей школы. На ней сохранилась лишь небольшая часть записей.
6А
6Б
6В
6Г
очки СЧЕТ
МЕСТО
6А
ИНН
1:1
:3
6Б
НИШ
1
:4
6В
НИН
3:1
1
6Г
:5
3
:7
л
ОТВЕТ:
6А
6Б
6В
6Г
//////
//
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
6А
//////
1:1
1:0
1:5
6Б
1:1
/////
1:0
2:1
6В
0:1
0:1
/////
1:1
6Г
5:1
1:2
1:1
////
ОЧКИ
3
1
5
3
СЧЕТ
6:3
2:4
3:1
4:7
МЕСТО
2
4
1
3
ЗАДАЧА 3
В финальном турнире играли пять шахматистов. А окончил все партии вничью. Б
сыграл вничью с занявшим первое и последнее места. В проиграл Б, но зато сыграл
вничью только одну партию. Г выиграл у Д и у занявшего четвертое место. Д не выиграл
ни одной партии. Кто сколько набрал и какое место занял?
ОТВЕТ:
А
Б
В
Г
д
А
/////
0,5
0,5
0,5
0,5
Б
0,5
////
0
0,5
0,5
В
0,5
1
////
1
0
Г
0,5
0.5
0
/////
0
Д
0,5
0,5
1
1
/////
ОЧКИ
2
2
1,5
3
1
МЕСТО
3
2
4
1
5
ЗАДАЧА 4
В розыгрыше первенства по футболу встретились футбольные
команды: «АВАНГАРД», «БУРЕВЕСТНИК». «ДИНАМО»,
«СПАРТАК», «ТОРПЕДО». Они сыграли между собой по одному
матчу, причем в каждом туре одна из команд была свободна от
игры.
В первом туре «БУРЕВЕСТНИК» проиграл спартаковцам, а во
втором - выиграл у «АВАНГАРДА».
В третьем туре команда « ТОРПЕДО» была свободна от игры,
одержав перед этим победу и проиграв другую встречу.
В четвертом туре свободным был «АВАНГАРД», имевший в своем
активе две победы при трех сыгранных матчах. Динамовцы к этому
времени сумели выиграть только один матч.
Каких результатов добилась каждая из команд в соревнованиях,
если встречи четвертого и пятого тура окончились вничью?
ОТВЕТ:
А
Б
д
С
т
А
//////
2
1
0
0
Б
0
/////
2
2
1
д
1
0
/////
1
2
С
2
0
1
1111
1
т
2
1
0
1
1111
ОЧКИ
5
3
4
4
4
МЕСТО
1
2
2-4
2-4
2-4
ИГРЫ
Задача №1
Имеется две кучи камней. Игра состоит в том, что каждый из двух игроков по очереди забирает
любое число камней только из одной кучи. Выигрывает тот, кто берёт последним. Найдите способ
игры, обеспечивающий выигрыш тому игроку, который может либо начинать игру, либо
предоставить первый ход своему партнёру.
РЕШЕНИЕ
Каждым ходом следует брать камни из той кучи, где их больше, так, чтобы в каждой куче
оставалось равное число камней. Если в начале игры кучи имели одинаковое число камней, то
нужно передать ход партнёру.
Задача №2
Двое играют в игру: каждый из них своим ходом ставит крестик или нолик (по своему
усмотрению) на любое свободное поле доски 10x10. Выигрывает тот, после чьего хода на доске
появляются три стоящих подряд по линии одинаковых знака. Кто выигрывает при правильной
игре? (А может быть это ничейная игра?)
РЕШЕНИЕ
Выигрывает второй игрок. Его стратегия такова: отвечать на симметричное относительно центра
доски поля другим знаком, за исключением тех случаев, когда есть прямо выигрывающий ход.
Задача №3
Двое играют в следующую игру: на центральном узле клетчатого квадрата 10x10 стоит фишка. За
один ход каждый из игроков имеет право переставить её на любой другой узел квадрата, но при этом
длина его хода (то есть расстояние, на которое он передвинул фишку) должна быть больше, чем
длина предыдущего хода, сделанного его партнёром. Проигрывает тот, кто не может сделать
очередного хода. Кто из партнёров выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ
Второй ставит фишку в симметричное относительно центра доски поле. Его ход всегда длиннее
предыдущего хода игрока (можно доказать геометрически).
Задача №4
Двое играют в следующую игру: на доске написано число 2. Каждый из игроков своим ходом
заменяет число п, написанное на доске, на число n+d, где d - произвольный делитель числа п,
меньший его- Проигрывает тот, кто напишет на доске число, больше а)19891989; 6)19891990. Кто
выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр.
РЕШЕНИЕ
а) Стратегия первого игрока: здесь очень просто - прибавлять
единицу.
б) Начало может идти по двум путям 2-3-4-5-6- ................................ или 2-3-4-6...., причём именно первый игрок определяет начало. В одном случае число 6 получает первый
игрок, а во втором случае -второй.
Задача №5
На листе клетчатой бумаги отмечено 100 узлов - вершины клеток, образующих квадрат 9x9. Двое
игроков по очереди соединяют вертикальным или горизонтальным отрезком два соседних
отмеченных узла. Игрок после хода, которого образуется квадратик, закрашивает его в свой цвет.
Выигрывает тот, кто закрасит больше квадратиков. Существует ли выигрышная стратегия у
первого игрока? У второго? Если да, то какая?
РЕШЕНИЕ
Выигрывает второй игрок. Его стратегия - делать ходы, центрально симметричные ходам
противника. Действительно, квадрат 9x9 содержит 81 клетку. Из них 80 клеток (все кроме
центральной разбиты на пары центрально симметричных. В итоге клетки, входящие в пары,
разделятся поровну между игроками, а центральный достанется второму)
Задача №6
Волк и Заяц играют в следующую игру. На доске написано число, и ход состоит в том, чтобы
вычесть из числа какую-либо его ненулевую цифру и написать получившееся число на место
старого. Ходят по очереди. Выигрывает тот, у кого получается ноль. Пусть на доске написано число
1234. Первым ходит Волк. Кто выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ
Выигрывает Волк, если он всё время будет вычитать из имеющегося на доске числа
его последнюю цифру.
Задача №7
Андрей по своему усмотрению делил кучку из 200 спичек на 6 кучек (каждая из них содержит по
крайней мере одну спичку), а затем Борис выравнивает количество спичек в двух из этих кучек, беря
несколько спичек из одной кучки. Число спичек, взятых Борисом, назовём выигрышем Андрея.
Борис стремится взять как можно меньше спичек. Как надо играть Андрею, чтобы он обеспечил
себе максимально возможный выигрыш.
РЕШЕНИЕ
Пусть выигрыш Андрея равен х. Заметим, что тогда в первой кучке лежит не меньше одной
спички, во второй - не меньше чем 1+х, в третий не меньше, чем 1+2х, в четвёртой не меньше 1+Зх, в
пятой не меньше 1+4х, в шестой не меньше 1+5х. Следовательно, общее количество спичек(200) не
меньше чем 6+15х отсюда х меньше или равно13-1/15. Значит наибольшее значение х=12.
Задача №8
В трёх кучках камней лежат соответственно!992, 1993 и 1994 камня. Два человека играют в
следующую игру. Ходят по очереди. За один ход разрешается убрать две кучи, а третью разделить
на три (непустые) кучи. Выигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода. Может ли какойнибудь игрок выиграть при любой игре противника?
РЕШЕНИЕ
Пусть первый игрок придерживается следующей стратегии: каждый раз делит кучу на части
таким образом, чтобы в одной новой куче число камней заканчивалось на 3 или на 4, а две
остальные содержали бы каждая не более 4 камней.
Выясним, когда такое возможно. Построим таблицу
0123456789
788 23445
334 33344
в первой строке, которой стоит последняя цифра числа камней делимой кучи,
во второй - число камней, которое нужно убрать из неё и распределить по двум другим, а в третьей последняя цифра числа оставшихся в делимой куче камней. При этом для цифр 3 и 4 нужного
варианта деления нет - придётся убрать не меньше 9 камней, а их нельзя распределить по двум
другим кучам так, чтобы они содержали не более 5 камней
После каждого такого хода первого игрока второй не может делить кучи из 1 и 2 камней и
проигрывает при разделе кучи из 3 или 4 камней. Поэтому он должен делить именно кучу, число
камней в которой оканчивается на 3 или на 4. Однако при этом одна из трёх меньших куч будет
иметь число камней, оканчивающееся на 3 или на 4: в противном случае при последних цифрах 333,
334, 344,444 общее число камней оканчивалось бы на 9, 0, 1 или 2.
Другими словами, второй игрок не может препятствовать первому применить свою стратегию, и
поскольку в ходе игры число камней уменьшается, то на предпоследнем ходу одна из куч будет
содержать 3 или 4 камня. При этом второй игрок может сделать очередной ход, а следующий ход
уже невозможен, так что первый игрок выиграл.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение,
которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм,
он обязательно содержит одну или несколько замаскированных
ошибок. Особенно часто в математических софизмах
выполняются « запрещенные» действия или не учитываются
условия применимости теорем, формул и правил. Иногда
рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или
опираются на приводящие к ошибочным заключениям
«очевидности».
ЗАДАЧА 1
5=6. Попытаемся доказать, что 5-6. С этой целью возьмем
числовое тождество: 35+10-45=42+12-54.Вынесем общие
множители за скобку левой и правой части. Получим:
5 х (7+2-9)=6 х (7+2-9). Разделим обе части этого равенства на
общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6. В чем
ошибка?
ОТВЕТ: нельзя делить на 7+2-9=0.
ЗАДАЧА 2
5=1. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же числоЗ.
Получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел
получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и
исходные числа 5 и 1 .Где ошибка?
ОТВЕТ: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами
эти числа равны.
ЗАДАЧА 3
4=5. Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств: 1636=25-45, 16-36 +20i\4= 25-45+20 и, (4- 9/2)2=(5- 9/2)2,4-9/2=59/2,4=5?
ОТВЕТ:(4-9/2)2 =(5-9/2)2; | 4-9\2| =|5-9\2|
ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ.
ЗАДАЧА 1
Найти устно:
6
3
19
% от
33
1
3
ЗАДАЧА 2
Две автомашины разных марок имеют максимальные скорости 1ООкм/ч и 125км/ч.
На сколько процентов скорость второй автомашины больше скорости первой? На
сколько процентов скорость первой машины меньше скорости второй?
Ответ: 25%; 20%.
ЗАДАЧА 3
На сколько процентов увеличился объём прямоугольного параллелепипеда, если
длину и ширину его увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10%?
Ответ: на 8,9%. Если измерение параллелепипеда а,в,с,
то первоначальный объем равен авс, а после увеличения равен 1,1а х
1ДвхО,9с=1,089авс.
ЗАДАЧА4
За весну Пятачок похудел на 25 % , за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел
на 10% , а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?
Ответ: похудел. Если в начале весны Пяточек весил М кг,
то к концу года стал весить 0,75 х 1,2 х 0,9 х 1,2М=0,972 кг.
ЗАДАЧА 5
Одна книга на 50% дороже другой. На сколько процентов другая книга дешевле
первой?
1
Ответ: на 33 %.
3
ЗАДАЧА 6
Два мальчика собрали вместе 420 марок, причём у первого оказалось на 10% марок
больше, чем у второго. На сколько процентов больше марок стало у второго
мальчика, когда ему подарили ещё 50 марок?
Ответ: 13.6%
ЗАДАЧА 7
Площадь двух участков, занятых лесом, составляют 370га, причём площадь
второго участка на 15% меньше площади первого. На первом участке вырубили 50
га леса. На сколько процентов площадь второго участка стала больше площади,
занятой лесом на первом участке?
1
Ответ: на 33 %
3
ЗАДАЧА 8
Бригада косцов в первый день скосила половину луга и ещё 2 га, а во второй день
25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.
Ответ: 20 га
ЗАДАЧА 9
Два рабочих вышли одновременно из одного и того же дома на один и тот же
завод. У первого шаг был на 10% короче, чем у второго, но зато он
делал шагов в единицу времени на 10% больше, чем второй. Кто из рабочих
раньше придёт на завод?
0,99 скорости второго
Ответ: скорость первого рабочего составляет 0,9 х 1,1=
ЗАДАЧА 10
На заводе 40% всех станков были усовершенствованны, в результате чего их
производительность повысилась на 60%. На сколько процентов повысился выпуск
продукции на заводе?
Ответ: на 24%
ЗАДАЧА 11
В начале учебного года в школе мальчиков и девочек было поровну. В течение
первой четверти в школу было принято ещё 15 девочек и 5 мальчиков, в результате
число девочек уже составляло 51% от числа всех учащихся. Сколько было девочек и
сколько мальчиков в конце учебного года?
Ответ: разница между девочками и мальчиками с одной стороны составляет
2% (51 -49=2), с другой стороны - равна 10 человек. Значит: 1%- 5 человек.
Девочек-51 х5=255, мальчиков - 49x5-245.
ЗАДАЧА 12
Из сосуда, содержащего 40л кислоты определённой крепости, отлили сначала всего количества и долили водой до прежнего уровня. После
этого отлили вторично столько литров разбавленной кислоты, сколько и в первый
раз. Сколько литров кислоты первоначальной крепости осталось в сосуде?
Ответ: 16 л.
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1. Докажите, что из трёх любых натуральных чисел всегда можно выбрать такие
два, сумма которых делится на 2.
2. Докажите, что сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4.
3. Сколько чисел от 1 до 100 таких, каждое из которых делится на 3, но в своей записи не
имеет ни одной тройки?
4. Когда за альбом стоимостью 6 руб., книжку стоимостью 12 руб., 9 коробок цветных
карандашей и 15 линеек кассир выбил один чек на 22 рубля 85 копеек, то покупатель,
хотя и не знал стоимости карандашей и линеек, но сразу же заметил, что кассир ошибся.
Какое он имел на это основание?
5. Ученица 6 класса купила в магазине 9 тетрадей, несколько блокнотов по 60 коп. и 3
карандаша. Продавец выбил ей чек на 5 руб. 80 коп. Взглянув на чек, ученица сразу же
сказала продавцу, что он ошибся. Продавец удивился, как могла ученица без вычислений
обнаружить ошибку. Пересчитав снова, продавец действительно нашёл ошибку. Как
могла ученица, только взглянув на чек, заметить ошибку?
6. Четыре девочки: Катя, Лена, Маша и Нина участвовали в концерте. Они пели песни.
Каждую песню исполнили 3 девочки. Катя спела 8 песен — больше всех. Лена спела 5
песен — меньше всех. Сколько спето было песен?
7. Докажите, что данное число делится на 25 в том случае и только в том, если на 25
делится число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух
последних. Укажите, какие в этом случае могут быть последние две цифры?
8. Как записать в общем виде натуральное число, при делении которого на 5 получается
остаток 7?
9. При делении на 5 числа А в остатке получается 3, при делении числа В на 5 в остатке
получается число 3, а при делении числа С на 5 в остатке получается число 2. Какой
остаток получится при делении на 5 разности А-В и разности А-С?
10.Докажите, что разность 9999931999-777777'997 кратна 5.
11.Докажите, что число п2-8 ни при каком целом значении п не делится на 5
12.Докажите следующие утверждения:
- произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.
- произведение четырёх последовательных целых чисел делится на 24;
- произведение пяти последовательных целых чисел делится на 120;
13. Если разность А-В выражается многозначным числом и по внешнему виду трудно
определить делится ли это число на 11, то к этому новому числу применяем признак
делимости на 11, то есть вычитаем число его единиц из числа его десятков, получаем
новое число, к которому снова можно применить указанный признак, и т.д. до тех
пор, пока по внешнему виду сразу можно определить, разделится ли число на 11, или
нет. Установить, разделится ли число 27874 на 11.
14.Установить, разделится ли на 11 числа:
1)235782;
2)25795;
3)80795
15. В числе 13*530*, кратном 15, восстановить пропущенные цифры.
16. Найдите цифры сотен и единиц числа 72*3*, если это число делится без остатка
на 45.
17. Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого
есть все цифры от 1 до 9.
18. Рассмотрим целые числа от 1 до 30: I, 2, 3, 4,... , 29, 30. Не выписывая всех чисел,
скажите, сколько среди них таких, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 3;
в) делятся на 2 и 3;
г) делятся на 2, но не делятся 3;
д) делятся на 3, но не делятся на 2;
е) не делятся на 2;
ж) не делятся ни на 2, ни на 3?
з) не делятся ни на 2, ни на 3
19.Сколько есть целых чисел от ) до 41, делящихся и на 2, и на 3?
20.Ира заплатила за книгу пятикопеечными монетами, а Марина трёхкопеечными за
такую же книгу. Вместе они внесли в кассу больше 10, но меньше 20 монет.
Сколько стоит книга?
21.Сформулируете признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45. Достаточно ли для
проверки делимости числа на 24 установить его одновременную делимость на 4 и
на 6?
22.Докажите следующее предложение: любое простое число, большее 3, при делении
на 6 даёт в остатке либо 1, либо 5.
23.К двузначному числу прибавили 5, сумма оказалась кратной 5. Когда от него
отняли 3, разность оказалась кратной 3. А когда его поделили на 2, то оказалось,
что и частное делится на 2. Найти число.
24.Найти наименьшее целое число, записываемое одними единицами, которое делится
без остатка на число 333...333 (сто троек).
Ответы:
1. Так как натуральные числа могут быть либо чётными, либо нечётными, то среди
трёх чисел будет, по крайней мере, два числа одинаковой чётности. Сумма двух
чисел одинаковой чётности всегда число чётное.
2. Показать, что сумма чисел вида 2п~1 и 2п+1, где п принадлежит N, кратна 4.
3. Всего чисел от 1 до 100, делящихся на 3, 33. Среди этих чисел имеют в своей
записи цифру 3 такие числа: 3, 30, 33, 39, 36, 63, 93, т.е. 7 чисел. Значит, чисел,
делящихся на 3, но не имеющих в своей записи цифру 3,
26 (33-7-26).
4. Если коробка карандашей стоит X коп., а линейка С коп., то карандаши и линейка
стоят (9Х+15С) копеек. Они стоят 22 руб. 85 коп. - (6+12) руб. = 4 руб. 85 коп.
Значит, 9Х+15С=485. Равенство не может быть истинным ни при каких
натуральных X и С, т.к. левая часть его делится на 3, а правая не делится.
5. Сумма, которую ученица должна была заплатить за покупку, кратна 3, а 580 на 3
не делится.
6. 9 песен. Если за каждую песню давать каждой её исполнительнице по конфете, то
общее число призовых конфет будет кратно 3.
7. Запишем данное число п в виде 100ni+n0, где п0 двузначное число, образованное 2мя последними цифрами числа п. Так как число 100 пт делится на 25, то остаток от
деления числа п на 25 равен остатку от деления на 25 числа п0. Следовательно,
число п делится на 25 в том случае и только в том, если остаток от деления на 25
числа п0 равен 0, т.е. если две последние цифры числа По образуют одну из
четырёх комбинаций: 00; 25; 50 или 75.
8. Такого числа нет.
9. А-5Х+3; B-5Y+3; C-5Z+2; А-В - (5X-5Y); при делении (А-В) на 5 в остатке
получается 0. А-С—5X+3-5Z-2 - (5X-5Z) +1; при делении (А-С) на 5 в остатке 1.
10.Степени чисел, оканчивающихся цифрой 3, имеют окончания 3, 9, 7, I; степени
чисел с цифрой единиц 7 имеют окончания 7, 9, 3, 1. 1999-1996+3-4*466+3; 19974*466+1. Обе данные степени имеют цифру единиц 7, поэтому их разность кратна
5.
11 .Квадрат любого числа может оканчиваться цифрами
0,1,4,5,6,9.Последней цифрой числа п2-8 тогда могут быть 2, 3, 6, 1,8, 7, т.е. не 0 и
не 5. Следовательно, п -8 ни при каком целом п не делится на 5.
13.Вычитаем цифру единиц из числа десятков этого числа, получаем: 2787-4-2783. 2)
Применяем указанный признак к числу 2783. Вычитаем цифру единиц из числа его
десятков, получаем 278-3-275. 3) Снова применяем указанный признак к числу 275,
27-5—22, которое делится на 11. Все эти операции можно хорошо записать так,
(27874-4)/(2783-3)/(275-5)/22.
15.Число может оканчиваться 0 или 5. В первом случае возможными числами могут
быть 1305300; 1335300; 1365300; 1395300. Во втором 1315305; 1345305; 1375305.
17.Искомое число делится на 72, а значит и на 9, и на 8. 1+2+3+...+9-45, которое
делится на 9. Для того, чтобы число делилось на 8, нужно чтобы оно оканчивалось
такими тремя цифрами, которые образуют трёхзначное число, которое делится
нацело на 8. Таким числом является 123457968.
18.а) 15; б) 10; в) 5; г) 10; е) 15; ж) 20; з) 10.
19.6.
20.Стоимость книги - число копеек — делится на 3 и на 5, а значит, на 15. На каждые
три монеты Иры Марина должна платить пятью монетами. Так как 3+5=8<10, а
8*2=16> 10, но 16<20, то они внесли в кассу 16 монет: Ира — 6 монет, а Марина 10. Значит, книга стоит 30 коп. (5*6-3*10-30).
21.Представим данные числа в виде 6-2*3; 12-4*3; 15-5*3; 18-2*9; 24-8*3; 36-4*9;
45=9*5 и воспользуемся следующим утверждением: делимость на число m—pd,
представляет собой произведение взаимно простых чисел р и d, равносильна
одновременной делимости на р и d. Взаимная простота чисел р и d играет
существенную роль, поскольку без этого требования утверждение было бы
неверно. Например, несмотря на справедливость разложения 24-6*4; из делимости
числа 12 на 4 и на 6, не следует его делимость на 24. В то же время делимость
какого-либо числа на 8 и на 3 влечёт за собой его делимость на 24.
22.Запишем число в виде: А-6К+В, где В ~ остаток от деления числа А на 6.
Учитывая, что число А - простое, В не может быть чётной цифрой, т.е. 0, 2, 4 и не
может быть 3, т.к. тогда А - составное. Значит, В может быть равно только 1 или 5.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ, НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
1) РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ:
а) ХУ=7
 õ  7,

 ó1
 õ  1,
 õ  7,
ілі 
ілі 
 ó  1
ó  7
 õ  1
ілі 
 ó  7
ОТВЕТ: (1;7),(7;1),(-1;-7),(-7;-1)
б) X2 +ХУ=15
РЕШЕНИЕ
Х(Х + У)=15
 õ  1,
 õ  15 ,
 õ   15 ,
 õ   1,
ілі 
ілі 
ілі 

 ó  õ  15
ó  õ  1
 ó  õ  1
 ó  õ   15
 õ  1,

 ó  14
ілі
 õ  15 ,

 ó   14
 õ   15 ,
ілі 
 ó  14
 õ   1,
ілі 
 ó   14
ОТВЕТ: (1;14),(15;14),(-15;14),(-1;-14)
в) X2 - У2 = 9
РЕШЕНИЕ
(Х-У)(Х + У) = 9
 õ  ó  9,
 õ  ó   1,
 õ  ó  1,
 õ  ó   9,
ілі 
ілі 
ілі 

 ó õ1
 ó  õ  1
 ó  õ  9
ó õ  9
 õ  5,
 õ   5,
 õ  5,
 õ   5,




 ó  4
ó  4
 ó 4
 ó  4
ОТВЕТ:(5;-4),(-5;-4),(5;4),(-5;4)
г) ХУ+4У-Х=9
РЕШЕНИЕ
У(х+4) = 9 + х
У=(9+х):(х+4)
У=(х+5+4):(х+4)
У=(х+4):(х+4)+5:(х+4)
У=1+5: (х+4)
ответ: (1;2), (-3; 6), (-5;-4) (-9;0).
Д) х2 -2х + у2- 4у + 5 =0
Решение
(х -1)2+(у – 2)2=0
 õ  1  0,

ó  2  0
 õ  1,

ó  2
Ответ: (1; 2)
Е) х2 + ху – 2у2 – х + у =3
Решение
х2 + 2ху – 2у2 –ху- х + у =3
х(х-у) +2у(х-у) –(х-у) =3
(х-у)(х +2у-1) =3
 õ  ó  3

 õ  2 ó  1  1
или
 õ  ó  1
 õ ó  3
или 

 õ  2 ó  1  3
õ  2 ó  1  1
или
 õ ó 1

õ  2 ó  1  3
Ответ: (2;1), (-2;1).
Ж) 4ху – 2х2+2у2-ух-2у+х=2
Решение
(4ху – 2х2 )+(2у2-ух)- (2у –х)=2
2х(2у –х) +у(2у –х) –(2у – х)=2
(2у – х)(2х + у -1) =2
 2 ó  õ  2
 2 ó  õ  1
 2ó  õ  2
или 
или 

2 õ  ó  1  1
2 õ  ó  1  2
2 õ  ó  1  1
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
а)ЗХ+2У=11
ОТВЕТ:(1;4),(3;1).
б) ЗХ +7У = 23 ОТВЕТ: (3;2)
в) Х2-2У2=1
решите уравнения в целых числах:
а)Х2-У2 = 30
б)X2 - У2= 23
в) У2-2ХУ-2Х-1=5
или
 2ó  õ 1
ответ:

2 õ  ó  1  2
(1;1).
задачи
а) ШИФР КОДОВОГО ЗАМКА ЯВЛЯЕТСЯ ДВУЗНАЧНЫМ ЧИСЛОМ.
БУРАТИНО ЗАБЫЛ КОД, НО ПОМНИТ, ЧТО СУММА ЦИФР ЭТОГО
ЧИСЛА, СЛОЖЕННАЯ С ИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ, РАВНА САМОМУ
ЧИСЛУ. НАПИШИТЕ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ВАРИАНТЫ КОДА»
ЧТОБЫ БУРАТИНО СМОГ БЫСТРЕЕ ОТКРЫТЬ ЗАМОК.
РЕШЕНИЕ
ПУСТЬ ПЕРВАЯ ЦИФРА КОДА X, А ВТОРАЯ У, ТОГДА САМО ЧИСЛО
ЗАПИСЫВАЕТСЯ КАК 10Х+У И УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ МОЖНО ЗАПИСАТЬ
УРАВНЕНИЕМ
(Х + У) + ХУ=10Х+У 9Х=ХУ ТАК КАК КОД ДВУЗНАЧНОЕ
ЧИСЛО, ТО Х#0, У=9
ОТВЕТ: 19,2939,49,59,69,79,89,99.
б) КАРЛСОН НАПИСАЛ ДРОБЬ 10/97. МАЛЫШ МОЖЕТ
ПРИБАВЛЯТЬ ЛЮБОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО К ЧИСЛИТЕЛЮ И
ЗНАМЕНАТЕЛЮ ОДНОВРЕМЕННО. СМОЖЕТ ЛИ МАЛЫШ С
ПОМОЩЬЮ ЭТИХ ДЕЙСТВИЙ ПОЛУЧИТЬ ДРОБЬ РАВНУЮ '/i?
РЕШЕНИЕ
(10+Х)\(97+Х)=1/2
2(10+Х)=97+Х
20+2Х=97+Х
Х=77
ОТВЕТ: сможет
в) ВИНТИК И ШПУНТИК ЖИВУТ В НЕБОСКРЕБЕ, НА КАЖДОМ
ЭТАЖЕ КОТОРОГО ПО 10 КВАРТИР. НОМЕР ЭТАЖА ВИНТИКА
РАВЕН НОМЕРУ КВАРТИРЫ ШПУНТИКА, А СУММА НОМЕРОВ
ИХ КВАРТИР РАВНА 239. В КАКОЙ КВАРТИРЕ ЖИВЕТ ВИНТИК?
ОТВЕТ:217
г) СУММА КВАДРАТОВ ЦИФР ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА РАВНА 13.
ЕСЛИ ОТ ЭТОГО ЧИСЛА ОТНЯТЬ 9, ТО ПОЛУЧИТСЯ ЧИСЛО,
ЗАПИСАННОЕ ТЕМИ ЖЕ ЦИФРАМИ, НО В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ.
НАЙТИ ЧИСЛО. Ответ: 32.
д) ТРЕХЗНАЧНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ ЦИФРОЙ 3.
ЕСЛИ ЭТУ ЦИФРУ ПЕРЕНЕСТИ В НАЧАЛО ЗАПИСИ ЧИСЛА, ТО
НОВОЕ ЧИСЛО БУДЕТ НА 1 БОЛЬШЕ УТРОЕННОГО ПЕРВОГО
ЧИСЛА. НАЙДИТЕ ЭТО ЧИСЛО.
ОТВЕТ: 103
е) САДОВНИК ДОЛЖЕН РАССАДИТЬ ДЕРЕВЬЯ, ЧИСЛО КОТОРЫХ
МЕНЬШЕ 1000. ЕСЛИ ОН ПОСАДИТ ИХ РЯДАМИ ПО 37 ШТУК В
КАЖДОМ РЯДУ, ТО У НЕГО ОСТАНЕТСЯ 8; ЕСЛИ ПО 43 ШТУК В
КАЖДОМ РЯДУ, ТО УНЕГО ОСТАНЕТСЯ 11.
РЕШЕНИЕ
X - КОЛИЧЕСТВО РЯДОВ ПО 37 ДЕРЕВЬЕВ
У - КОЛИЧЕСТВО РЯДОВ П043 ДЕРЕВА
37Х+8=43У+П
37Х-37У=6У+3
37(Х - У)-6У+3
37(Х - У) ДЕЛИТСЯ НА 37,37(Х -У) - 3 ДЕЛИТСЯ НА 6
НАДО НАЙТИ ЧИСЛО, КРАТНОЕ 37, А ЕСЛИ ИЗ НЕГО ВЫЧЕСТЬ 3,
ТО ПОЛУЧАЕТСЯ ЧИСЛО, КРАТНОЕ 6.
ОБОЗНАЧИМ ЕГО ЧЕРЕЗ А.
ЕСЛИ А =37, ТО А-3=34,34 НЕ ДЕЛИТСЯ НА 6.
А-ЧЕТНОЕ НЕ ПОДОЙДЕТ, ТАК КАК А-3 БУДЕТ НЕЧЕТНЫМ И
НЕ ДЕЛИТСЯ НА 6.
САМОЕ МАЛЕНЬКОЕ ЧИСЛО, КОТОРОЕ ДЕЛИТСЯ НА37 — 111.
А=Ш,А-3=108
У=108:6=18
ДЕРЕВЬЕВ - 43x18 +11 -785
ОТВЕТ: 785.
Ж) КУСОК ПРОВОЛОКИ ДЛИНОЙ 102 ДМ НУЖНО РАЗРЕЗАТЬ НА ЧАСТИ 15
ДМ И 12 ДМ ТАК, ЧТОБЫ ОБРЕЗКОВ НЕ БЫЛО. КАК ЭТО СДЕЛАТЬ?
СКОЛЬКО РЕШЕНИЙ ИМЕЕТ ЗАДАЧА.
ОТВЕТ: (2;6),(6;1)
3) В КОМНАТЕ, В КОТОРОЙ СОБРАЛИСЬ ДРУЗЬЯ, БЫЛИ СТУЛЬЯ НА 4
НОЖКАХ И ТАБУРЕТКИ НА 3 НОЖКАХ. КОГДА ВСЕ ДРУЗЬЯ УСЕЛИСЬ, ТО
СВОБОДНЫХ МЕСТ НЕ ОКАЗАЛОСЬ, А СУММА ЧИСЛА НОГ У СИДЯЩИХ И
НОЖЕК У СТУЛЬЕВ И ТАБУРЕТОК ОКАЗАЛАСЬ РАВНОЙ 39. СКОЛЬКО В
КОМНАТЕ БЫЛО СТУЛЬЕВ И СКОЛЬКО ТАБУРЕТОК?
Решение
Х –друзей,
у – стульев,
 2 õ  4 ó  3 ñ  39

õ óñ

с – табуреток
 6 ó  5 ñ  39

 õ óñ
с= (39 -6 у) :5
у=4,
с=3. ответ: 4 стула, 3 табур.
Математическая викторина
1. Мотоциклист ехал в поселок. По дороге он встретил три легковые машины и
грузовик. Сколько всего машин шло в этот поселок?
2. В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек?
3. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу; первый из
пункта а со скоростью 20 км/ч, второй из Ь со скоростью 15 км/ч. Который из
велосипедистов будет ближе к а в момент встречи их?
4. (Шутка.) Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
5. В семье 5 сыновей, и у каждого есть сестра. Сколько детей в этой семье?
6. Блокнот с оберткой стоят 11 к. Сам блокнот на 10 к. дороже обертки. Сколько
стоят блокнот и обертка в отдельности?
7. Часы с боем отбивают один удар за 1 с. Сколько времени потребуется часам,
чтобы они отбили 12 ч?
8. Три курицы за три дня снесут три яйца. Сколько яиц снесут 6 куриц за 6
дней? А 4 курицы за 9 дней?
9, 2/3 числа равняется 3/5 его. Какое это число?
10, Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся
числом —5 и оканчивающихся числом 5?
11. Как можно истолковать равенства: а) 19 +23 = 18, б) 9 + 8 = 5, в) 12+12
= 0, г ) 7 « 3 = 9 ?
12. (Шутка.) Одно яйцо варят 4 мин. Сколько минут нужно варить 5
яиц?
Ответы:
1. Не менее одной (мотоцикл двигался в поселок).
2. Задачу можно истолковать так: дед, отец, сын: всего 3 человека.
3. Велосипедисты встретятся на одном и том же расстоянии от А.
( 4. Иногда обыкновенной дробью выражают нумерацию углового дома
квартала (числитель — номер этого дома по одной улице, знаменатель — номер его по
другой улице). Такую дробь сокращать нельзя.
5. 6.
6. 10,5 к. и 0,5 к.
7. 11с.
8. 36; 24.
9. 0.
10. 0.
11. Все эти равенства можно истолковать на «языке» часов.
12. 4 (или немного больше).
Математическая викторина
© 1. На какое число нужно разделить 2, чтобы получить 4?
© 2. Когда делимое и частное равны между собой?
© 3. Запись шестизначного числа (в десятичной системе исчисления) такова,
© что одинаковы первая и четвертая цифры, вторая и пятая, третья и шестая.
Делится ли это число: а) на 7, б) на 11, в) на 13?
© 4. К данному трехзначному числу дважды приписывают точно такое же число и
полученное число делят на данное. Каким будет частное?
© 5. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым
числом? А двух? А четырех?
© 6. Существует ли простое число, являющееся четным?
© 7. Какой цифрой оканчивается сумма: 1216 +2346 + 166 ?
© 8. Какой цифрой оканчивается обычная запись числа: а) 6666, б) ЗЗ33, в) 77 ?
@ 9. В десятичной записи числа 73 цифры и все они единицы. Делится ли это число
на 18?
© 10. Какую цифру нужно приписать к числу 10 справа и слева, чтобы получилась
запись числа, делящегося на 72?
© 11. Если к числу прибавить 6, то оно разделится без остатка на 8. Чему равен
остаток от деления этого числа на 8?
© 12. 1/3 от 1
1
2
некоторого числа равна 50. Какое это число?
Ответы:
1.
1
2
2,
Когда делитель равен 1,
3.
Делится на 7,11 и 13,
4.
100100L
5.
Сумма двух последовательных чисел может быть простым числом, в
остальных случаях — составное число,
6.
2 — простое четное число-
7.
3.
8.
а)6; б)3; в)3,
9.
Не делится.
10. 4
11. 2.
12. 100.
7 класс
L Ваня и Маша вместе со своими друзьями ели яблоки. Вместе они съели 21
яблоко» причем все девочки съели по одинаковому числу яблок, и все мальчики
тоже. Известно, что Bаня съел яблок в два раза больше, чем Маша, Сколько было
мальчиков и с колько девочек в компании? Всего всех друзей было пятеро. 3 балла
2. Проехав треть пути, пассажир лег спать и спал до тех пор, пока ему
не осталось проехать треть того пути, который он проехал спящим. Какую
часть всего пути пассажир проехал спящим?
3 балла
3. Окрашенный куб с ребром 12 см распилили на кубики с ребром 1 см.
Сколько среда них окажется кубиков: а) с тремя окрашенными гранями; б)
с двумя окрашенными гранями; в) с одной окрашенной ранью; г) со всеми
неокрашенными гранями?
4 балла
4. Напишите восьмизначное число, использовав каждую цифру 1,2,3,4
по два раза, в котором между единицами стоит ровно одна цифра» между
двойками стоит ровно две цифры, между тройками ~ три цифры и между
четверками стоит ровно четыре цифры.
4
балла
5. В классе 37 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым
количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может
быть в классе?
5
баллов
6. Банк ОГООГО меняет рубля на рупии по 3000 рублей за рупию и еще
берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк
ЙОХОХО берт за рупию 3020 рублей* а за право обмена берет 1 рупию
(тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что оду все
равно, в каком из банков .менять деньги. Какую сумму он собирается
менять?
5 баллов
РЕШЕНИЕ
1
Пусть х - количество съеденных Машей яблок. Тогда Вася съел 2х яблок. Рассмотрим все
возможные случаи
1 случай.
Пусть
все
друзья
мальчики.
Тогда
в
компании
всего
четыре мальчика и одна девочка, и должно быть съедено 4 х 2х + х ~ 9х
яблок, а так как 21 нацело на 9 не делится, то этот случай невозможен.
2 случай. Пусть среди друзей было два мальчика и одна девочка. Тогда в компании было
три мальчика и две девочки и должно быть съедено 3 х 2JC + 2 х Х = &Х яблок. Общее число яблок 21
не делится не 8, поэтому этот случай невозможен.
3 случай. Пусть среди друзей было две девочки и один мальчик. Тогда в компании всего
два мальчика и три девочки и должно быть съедено 2 х 2х + 3 х х~7х яблок. Отсюда х = 3, то есть
девочки съели по 3 яблока, а мальчики съели по 6 яблок.
4 случай. Пусть все друзья - девочки. Тогда в компании всего один мальчик и четыре
девочки и должно быть съедено 2х + 4х = 6х яблок, что невозможно.
Итог, в компании из 5 человек два мальчика и три девочки.
2
Пусть А - начальная точка, D - конечная точка, В - точка, где пассажир заснул, а С
— точка, где он проснулся. Обозначим AD = х. Тогда
õ
ó
3
3
АВ= . Пусть ВС = у, тогда CD =
Так как AD = АВ + ВС + CD, то
õ
ó
2õ
3
3
3
можно составить уравнение х = +у+ , откуда имеем:

4ó
3
, õ  2 ó, ó 
õ
2
т.е. у составляет половину пути.
3
а) Кубики
с
тремя
окрашенными
гранями
это
те,
которые
прилегают
к
углам
большого
куба,
и
только
они.
Всего
углов
8,
следовательно, и кубиков 8 штук.
б) Кубики
с
двумя
окрашенными
гранями
—
это
те,
которые
прилегают к ребрам и не являются угловыми. К каждому ребру прилегает
12 кубиков, из которых два угловые. В итоге к каждому ребру прилегает 10
нужных кубиков, а ребер 12. Получаем, что кубиков с двумя окрашенными гранями 10 е 12 = 120
штук.
в) Кубики с одной окрашенной гранью - это кубики, прилегающие к
грани, но не угловые и не прилегающие к ребрам. В каждой грани они
составляют квадрат 10 х 10. Значит, к каждой грани прилегает 100 наших
кубиков, а граней всего 6. Отсюда кубиков с одной окрашенной гранью
всего 100*6 = 600.
г) Все
оставшиеся
кубики
будут
неокрашенными.
Мы
их
получим,
если
из
всего
количества
кубиков
12
х
12
х
12
вычтем
кубики,
соответствующие случаям а), б), в), т.е. 1728 — (8 + 120 + 600) = 1000 штук.
4
Это число 41312432 или наоборот 23421314.
5
Построим пример, показывающий, что для 19 девочек эта ситуация возможна.
Пусть первая девочка не дружит ни с кем из мальчиков, вторая девочка дружит с
одним мальчиком, третья - с двумя мальчиками и так далее. Тогда 19 девочка дружит
с 18 мальчиками. Докажем, что больше 19 девочек быть не может. Если в классе
более 19 девочек, то там меньше 18 мальчиков. Тогда различных вариантов
количества мальчиков, с которыми можно дружить, всего 0, 1,2, ..., п, где п количество мальчиков в классе, п < 18. Получается, что различных вариантов всего п
+ 1 < 19. А девочек больше 19. противоречие.
6
Если у туриста было х рублей, то в банке ОГОГО он получит за них
рупий, а в банке ЙОХОХО
х - 7000 _
3000
õ
3020
- 1 рупий. Составим уравнение:
х
3020
Решив его, получим: х = 604000 рублей.
õ  7000
3000
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа