close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...методов оценки стоимости фондов прямых инвестиций;pdf

код для вставкиСкачать
Дисциплина “Математика”
1. Скалярное произведения векторов, его
свойства, механический смысл
лекция
Скалярным произведением a ⋅ b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Таким образом,
a ⋅ b = a b cos ϕ ,
(1)
Раздел:
2. Аналитическая геометрия
Тема:
2. Скалярное, векторное и
смешанное произведения векторов
Вопросы:
1. Скалярное произведения
векторов, его свойства,
механический смысл
где ϕ – угол между векторами a и b
(рис. 1).
Скалярное произведение обозначают
Рис. 1
символом a ⋅ b , или (a, b) , или ab .
Из равенства (1) получаем формулу для определения косинуса угла между ненулевыми векторами:
a ⋅b
cos ϕ =
.
a b
Известно, что a cos ϕ = npb a , поэтому выражение (1) можно
2. Условие перпендикулярности двух векторов
записать:
3. Ориентация тройки
векторов
Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства:
Свойство 1) a ⋅ b = b ⋅ a – коммутативность;
Свойство 2) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b ) – ассоциативность, λ ∈ ;
4. Векторное произведение
векторов, его свойства,
геометрический и
физический смысл
5. Смешанное произведение
векторов, его
геометрический смысл
a ⋅ b = b npb a .
(2)
Свойство 3) (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c – дистрибутивность;
2
Свойство 4) a ⋅ a = a .
Скалярное произведение a ⋅ a называется скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2 . На основании свойства 4)
2
имеем: a 2 = a , отсюда, в частности,
a2 = a .
Выясним механический смысл скалярного произведения. Из физики известно, что
работа А, совершаемая силой F при перемещении S , равна произведению величины
6. Условие компланарности
трех векторов
этой силы на величину перемещения: A = F S ,
Рис. 2
2
если направление силы совпадает с направлением перемещения.
Если сила направлена под углом α к направлению движения (рис. 2), то на тело оказывает влияние составляющая OD
силы F , которая направлена по прямой перемещения. Перпендикулярная составляющая компенсируется сопротивлением.
Поэтому (рис.2)
A = S ⋅ ( F cos α ) = S OD = S ⋅ OD = S F cos α .
Таким образом, скалярное произведение двух векторов
численно равно работе некоторой силы при перемещении тела.
2. Условие перпендикулярности двух векторов
чайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с
конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном
случае указанная тройка векторов называется левой.
4. Векторное произведение векторов, его
свойства, геометрический и физический
смысл
Векторным произведением векторов a и b называется
вектор c , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам
и направлен так, что векторы a , b , c образуют правую тройку
векторов (рис. 3).
Свойство 5). Два ненулевых вектора a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение
a ⋅ b равно нулю.
Отметим, что из свойств 4) и 5) для базисных векторов
i , j , k непосредственно получаем следующие равенства:
i 2 = j 2 = k 2 = 1, i ⋅ j = i ⋅ k = j ⋅ i = j ⋅ k = k ⋅ i = k ⋅ j = 0.
Если векторы a и b заданы своими координатами:
a = ( X1; Y1; Z1 ), b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , то их скалярное произведение вычисляется по формуле
a ⋅ b = X1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 .
(3)
Из формулы (3) и свойства 5) вытекает необходимое и
достаточное условие перпендикулярности ненулевых
векторов a = ( X1;Y1; Z1 ) и b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) : сумма произведений одноименных координат этих векторов равна нулю, т.е.
X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 = 0 .
3. Ориентация тройки векторов
Тройку векторов называют упорядоченной, если указано,
какой из векторов считается первым, какой вторым и какой
третьим. В записи (a ; b ; c ) вектор a считается первым, b – вторым, c – третьим; в записи (c ; b ; a ) вектор c – первый, b – второй, a – третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу крат-
3
Рис. 4
Рис. 3
Из определения векторного произведения следует, что
(рис.3)
c = a b sin ϕ = S ,
где ϕ – угол между векторами a и b , S – площадь параллелограмма.
Векторное произведение двух векторов a и b обозначают
символом
a × b , или  a b  , или  a , b  .
Выясним физический смысл векторного произведения. В физике момент силы F с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором OM , перпендикулярным
плоскости, в которой лежат точка О и вектор F (рис. 4), таким,
что тройка векторов r , F , OM – правая. Длина вектора OM определяется как произведение длины вектора F на плечо h , где
4
h – расстояние от точки О до прямой, на которой лежит вектор
силы F , т.е. OM = F ⋅ h , или OM = F r sin( F
, r ), (r = OA – радиус–
i
a × b = ax
j
ay
k
az .
вектор точки приложения силы F ) . Таким образом, момент си-
bx
by
bz
лы F относительно некоторой точки O , есть векторное произведение радиус–вектора r точки приложения силы на вектор
силы F : OM = r × F .
Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е.
a × b = − (b × a ) .
2. Ассоциативность:
(α a ) × b = α (a × b ), α ∈ .
3. Дистрибутивность:
(a + b ) × c = a × c + b × c .
4. Векторное произведение a × b = 0 , если a и b – коллинеарные векторы.
Доказательство. Если векторы a и b коллинеарны, то
sin ϕ = 0. Поэтому, a × b = a b sin ϕ = 0 , т.е. длина вектора a × b
равна нулю, а значит, и сам вектор a × b равен нулю. □
Для базисных векторов i , j , k (рис. 5):
i × i = 0; i × j = k ; i × k = − j ;
j × i = −k ;
j × j = 0; j × k = i ;
k × i = j ; k × j = − i ; k × k = 0.
Рис. 5
Пусть векторы a и b заданы своими координатами: a = (a x ; a y ; az ), b = (bx ; by ; bz ), т.е. при разложении по базису i , j , k имеем
a ×b =
ay
by
az
ax
az
j+
bz
bx
ax
i −
bx
bz
ay
by
Используя формулу (5), определение векторного произведения и свойство 4, получаем следующее утверждение: два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда,
когда их координаты пропорциональны
ax a y az
=
= .
bx by bz
5. Смешанное произведение векторов, его
геометрический смысл
Пусть даны три вектора a , b и c . Умножим вектор a векторно на b , а полученный вектор a × b умножим скалярно на c
и тем самым определим число (a × b )c . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов a , b , c . Смешанное произведение (a × b ) c обозначают также
abc , или (abc ) , или (a , b , c ) .
Выясним геометрический смысл смешанного произведения.
Утверждение 1. Смешанное произведение (a × b ) c равно
объему V параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c ,
взятому со знаком «+», если тройка a , b , c – правая, со знаком
«–», если тройка a , b , c – левая. Если же a , b , c компланарны, то
(a × b ) c = 0.
Пусть векторы a , b , c
заданы своими
a = (a x ; a y ; az ), b = (bx ; by ; bz ), c = (cx ; c y ; cz ). Тогда
координатами:
a = ax i + a y j + a z k , b = bx i + by j + bz k , c = cx i + c y j + cz k .
k.
(4)
Но (4) есть разложение определителя третьего порядка по
элементам первой строки, значит
5
(5)
По формуле векторного произведения:
a y az
ax a y
ax az
a ×b =
i −
j+
k.
bx bz
by bz
bx by
Далее по формуле скалярного произведения получаем:
6
(a × b ) c =
ay
az
by
bz
cx −
ax
az
cy +
bz
bx
ax
bx
ay
by
cz
или
ax
ay
az
(a × b ) c = bx
by
bz .
cx
cy
cz
Замечание 1. Объем треугольной пирамиды, образован1
ной векторами a , b , c , равен ab c .
6
6. Условие компланарности трех векторов
Утверждение 2. Необходимым и достаточным условием
компланарности векторов a , b , c является равенство нулю их
смешанного произведения:
abc = 0 .
(6)
Доказательство. Если a , b , c компланарны, то из утверждения 1 получаем abc = 0 , т.е. (6) имеет место.
Пусть теперь выполняется равенство (6) и покажем, что
векторы a , b , c компланарны. Действительно, если бы векторы
a , b , c были некомпланарны, то по утверждению 1 их смешанное
произведение abc = ±V ≠ 0, что противоречит (6).□
7
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа